当前位置：搜档网 › 等差等比数列专项练习题(精较版)

等差等比数列专项练习题(精较版)

等差数列、等比数列同步练习题

等差数列

一、选择题

1、等差数列-6，-1，4，9，……中的第20项为（）

A、89

B、-101

C、101

D、-89

2、等差数列{a n}中，a15 = 33，a45 = 153，则217是这个数列的（）

A、第60项

B、第61项

C、第62项

D、不在这个数列中

3、在-9与3之间插入n个数，使这n+2个数组成和为-21的等差数列，则n为

A、4

B、5

C、6

D、不存在

4、等差数列{a n}中，a1 + a7 = 42，a10 - a3 = 21，则前10项的S10等于（）

A、720

B、257

C、255

D、不确定

5、等差数列中连续四项为a，x，b，2x，那么a：b等于（）

A、1

4B、

3C、

3或1 D、

6、已知数列{a n}的前n项和S n = 2n2 - 3n，而a1，a3，a5，a7，……组成一新数

列{ C n }，其通项公式为（）

A、C n= 4n - 3

B、C n= 8n - 1

C、C n= 4n - 5

D、C n= 8n - 9

7、一个项数为偶数的等差数列，它的奇数项的和与偶数项的和分别是24与30，若此数列的最后一项比第1项大10，则这个数列共有（）

A、6项

B、8项

C、10项

D、12项

8、设数列{a n}和{b n}都是等差数列，其中a1 = 25，b1 = 75，且a100 + b100 = 100，

则数列{a n + b n}的前100项和为（）

A、0

B、100

C、10000

D、505000

二、填空题

9、在等差数列{a n}中，a n = m，a n+m= 0，则a m= ______。

10、在等差数列{a n}中，a4 +a7 + a10 + a13 = 20，则S16 = ______ 。

11、在等差数列{a n}中，a1 + a2 + a3 +a4 = 68，a6 + a7 +a8 + a9 + a10 = 30，则从

a15到a30的和是______ 。

12、已知等差数列110，116，122，……，则大于450而不大于602的各项之和

为______ 。

13、在等差数列{a n}中，已知a1=2，a2 + a3 = 13，则a4 + a5 +a6 =

14、如果等差数列{a n}中，a3 +a4 + a5 = 12，那么a1 + a2 +…+ a7 =

15、设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a1 = 3，a5 = 11，S7 =

16、已知{a n}为等差数列，a1 + a3 + a5 = 105，a2 +a4 + a6 = 99，则a20 =

17、设数列{a n }的前n 项和S n = n 2，则a 8 =

18、已知等差数列{a n }满足a 2 + a 4 = 4，a 3 + a 5 = 10，则它的前10项的和S 10 =

19、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其

公差为

20、设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 7 = 35，则a 4 =

21、设Sn 是等差数列{a n }的前n 项和，若 S 3S 6 = 13 ，则 S 6S 12

= 22、已知等差数列的首项为31，若此数列从第16项开始小于1，则此数列的公

差d 的取值范围是

23、数列{a n }的通项a n = 2n +1，则由b n =

a 1+a 2+a 3+…+a n n (n ∈N*)，所确定的数

列{b n }的前n 项和S n = 24、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9 = 72，则a 2 + a 4 + a 9 =

25、设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6 = S 3 = 12，则数列的通项公式a n =

26、在数列{a n }中，a 1 = 1，且对于任意自然数n ，都有a n +1 = a n + n ，则a 100＝

三、解答题

27、已知等差数列{a n }的公差d = 12

，前100项的和S 100 = 145。求：a 1 + a 3 + a 5 + ……+ a 99的值。

28、已知等差数列{a n}的首项为a，记b n =a1 + a2 + a3 +…+ a n

(1)求证：{b n}是等差数列

(2)已知{a n}的前13项的和与{b n}的前13的和之比为3：2，求{b n}公差

29、等差数列{a n}中，a1 = 25，S17 = S9

(1)求{a n}的通项公式

(2)这个数列的前多少项的和最大？并求出这个最大值。

等差等比数列的证明例举

等差等比数列的证明在数列的解答题中，有时第一问会要求证明某个数列是等差等比数列，既考察了学生证明数列的能力，同时也为后面的问题做好铺垫。一、基础知识： 1、如何判断一个数列是等差（或等比）数列（1）定义法（递推公式）：1n n a a d +-=（等差）， 1 n n a q a +=（等比）（2）通项公式：n a kn m =+（等差），()0n n a k q q =?≠（等比）（3）前n 项和：2n S An Bn =+（等差），n n S k q k =-（等比）（4）等差（等比）中项：数列从第二项开始，每一项均为前后两项的等差（等比）中项 2、如何证明一个数列是等差等比数列：（1）通常利用定义法，寻找到公差（公比）（2）也可利用等差等比中项来进行证明，即n N * ?∈，均有： 122n n n a a a ++=+（等差） 2 12n n n a a a ++=?（等比）二、典型例题：例1：已知数列{}n a 的首项1133,,521 n n n a a a n N a *+= =∈+．求证：数列11n a ?? -? ??? 为等比数列思路一：构造法，按照所给的形式对已知递推公式进行构造，观察发现所证的数列存在 1 n a 这样的倒数，所以考虑递推公式两边同取倒数：113121 213n n n n n n a a a a a a +++= ?=+ 即 1121 33n n a a +=+ ，在考虑构造“1-”：112111111333n n n a a a +?? -=+-=- ??? 即数列11n a ??-? ??? 是公比为1 3的等比数列

2016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)

数列题目精选精编【典型例题】（一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ；（2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ，所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥，两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥，又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===，由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）②

高中数学-等差等比数列经典例题以及详细答案

等差等比数列综合应用【典型例题】 [例1] 一个等比数列共有三项，如果把第二项加上4所得三个数成等差数列，如果再把这个等差数列的第3项加上32所得三个数成等比数列，求原来的三个数。解：等差数列为d a a d a +-,, ∴ ?????=++--=+?-2 2 )32)(()4()()(a d a d a a d a d a ∴ ?????=-+-+-=-) 2()(32)()1(168222222a d a d a a a d a ∴ 2 23232168a d a a =-++- 0432=-+d a 代入（1） 16)24(3 1 82+-?-=-d d 0643232=+-d d 0)8)(83(=--d d ① 8=d 10=a ② 38=d 9 26=a ∴ 此三数为2、16、18或92、910-、9 50 [例2] 等差数列}{n a 中，3931-=a ，76832-=+a a ，}{n b 是等比数列，)1,0(∈q ，21=b ，}{n b 所有项和为20，求：（1）求n n b a , （2）解不等式 2211601 b m a a m m -≤++++Λ 解：（1）∵ 768321-=+d a ∴ 6=d ∴ 3996-=n a n 2011=-q b 10 9 =q ∴ 1 )10 9( 2-?=n n b 不等式10 921601) (21 21??-≤++?+m a a m m m

)1(1816)399123936(2 1 +??-≤-+-? m m m m 0)1(181639692≤+??+-m m m 032122≤+-m m 0)8)(4(≤--m m }8,7,6,5,4{∈m [例3] }{n a 等差，}{n b 等比，011>=b a ，022>=b a ，21a a ≠，求证：)3(≥ ),1(+∞∈q 01>-q 01>-n q ∴ 0*> ∴ N n ∈ 3≥n 时，n n a b > [例4] （1）求n T ；（2）n n T T T S +++=Λ21，求n S 。解：???=-=????=+++-=+++221 04811598 7654d a a a a a a a a Λ n T 中共12-n 个数，依次成等差数列 11~-n T T 共有数1222112-=+++--n n Λ项 ∴ n T 的第一个为2)12(211 21?-+-=--n n a ∴ 2)12()2(2 1 )232(2 111 ?-?+-?=---n n n n n T 122112222232-----+?-=n n n n 2222323+-?-?=n n

证明或判断等差(等比)数列的常用方法

证明或判断等差（等比）数列的常用方法湖北省王卫华玉芳翻看近几年的高考题，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢且听笔者一一道来．一、利用等差（等比）数列的定义在数列 {} n a 中，若 1n n a a d --=（d 为常数）或 1 n n a q a -=（q 为常数），则数列{}n a 为等差（等比）数列．这是证明数列{}n a 为等差（等比）数更最主要的方法．如：例1．（2005北京卷）设数列{}n a 的首项114a a =≠，且11 214 n n n a n a a n +???=??+??为偶数为奇数，记211 1234 n n b a n -=-=，，，，…．（Ⅰ）求23a a ，；（Ⅱ）判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论．解：（Ⅰ）213211111 44228a a a a a a =+=+==+，；（Ⅱ）43113428a a a =+=+，所以54113 2416 a a a ==+，所以1123351111111144424444b a a b a a b a a ????=- =-=-=-=-=- ? ????? ，，，猜想：{}n b 是公比为 1 2 的等比数列．证明如下：因为121221111111()424242 n n n n n b a a a b n *++-??=-=-=-=∈ ???N ，所以{}n b 是首项为14a - ，公比为1 2 的等比数列．评析：此题并不知道数列{}n b 的通项，先写出几项然后猜测出结论，再用定义证明，这是常规做法。

等比数列知识点总结与典型例题+答案

等比数列知识点总结与典型例题 2、通项公式: 4、等比数列的前n 项和S n 公式: (1)当 q 1 时，S n na i n ⑵当q 1时，5罟 5、等比数列的判定方法: 等比数列等比中项：a n 2 a n 1a n 1 (a n 1a n 1 0) {a n }为等比数列通项公式：a n A B n A B 0 {a n }为等比数列 1、等比数列的定义: a n 1 a n 2,且n N * ， q 称为公比 n 1 a n ag a i B n a i 0,A B 0，首项：a 1;公比：q 推广：a n a m q a n a m a n m — \ a m 3、等比中项：（1）如果a, A, b 成等比数那么A 叫做a 与b 的等差中项，即: A 2 ab 或 A ab 注意：同号的两个数才有等比中并且它们的等比中项有两个（（2）数列a n 是等比数列 2 a n a n 1 a q q A'B n A' ( A, B,A',B'为常数) (1) 用定义：对任意的都有a n 1 qa n 或旦口 q （q 为常数，a n 0） {a n }为 a n

6、等比数列的证明方法: 依据定义：若-a^ q q 0 n 2,且n N*或i qa“ ｛a“｝为等比数列a n 1 7、等比数列的性质： (2) 对任何m,n N*，在等比数列｛a n｝中，有a. a m q n m。 (3) 若m n s t(m,n,s,t N*)，则a. a m a s a t。特别的，当m n 2k 时，得 2 a n a m a k注：3] a n a2 a n 1 a3a n 2 等差和等比数列比较: 经典例题透析类型一：等比数列的通项公式

等差数列与等比数列的综合运用

等差数列与等比数列的综合运用班别：坐号：姓名： 1．在直角三形中，三条边的长成等差数列的充要条件是它们的比等于。 2．成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上1，3，9后又成等比数列，则这三个数分别是。 3．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是37，第二个数与第三个数的和是36，则这四个数分别是。 4．已知数列{}n a 的前n 项的和1(0n n S a a =-是不为的常数），则{}n a （） A,一定是等差数列 B,或者是等差数列，或者是等比数列 C, 一定是等比数列 D,不是等差数列，也不是等比数列 5． a ,b,c 成等比数列，那么关于x 的方程20ax bx c ++= （） A ，一定有两个不相等的实数根 B ，一定有两个相等的实数根 C, 一定没有实数根 D ，以上均有可能 6．已知数列{}n a 是等差数列，12a =，且存在数列{}n b ，使得121 1 1 44 4 (1) n n a a a a n b ---=+ ，则数列{}n b 的前n 项和n S = 。 7．如果b 是a 与c 的等差中项，y 是x 与z 的等比中项，且,,y x z 都是正数，则 ()log ()log ()log m m m b c x c a y a b z -+-+-= （0,1m m >≠） 8．如果等差数列{}n a 的项数是奇数，11a =，{}n a 的奇数项的和是175，偶数项的和是150，则这个等差数列的公差为。 9．在数列{}n a 中，11a =，13(1),n n a S n +=≥证明：23,,,n a a a 是等比数列。 10 求和：（1）21 123n n S x x nx -=++++ （2）23123n n S x x x nx =+++++

等差等比数列的运用公式大全

第六讲：等差、等比数列的运用 1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ?=+ 前n 项和()() 1112 2 n n a a n n n S na d +-= =+ 性质：{}n a 是等差数列 m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+； {}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2； a d a a d -+，， n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则 21 21 m m m m a S b T --= }n a 为等差数列2n S an bn ?=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数） n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组10 0n n a a +≥??≤?可得n S 达到最大值时的n 值. 当 100a d <>，，由1 0n n a a +≤??≥?可得n S 达到最小值时的n 值. 项数为偶数n 2的等差数列{} n a ，有 ),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n S nd S S =-奇偶， 1 += n n a a S S 偶奇. 12-n 的等差数列{} n a ，有 )()12(12为中间项n n n a a n S -=-，

新课标高考数学题型全归纳：等比数列与等差数列概念及性质对比典型例题

等比数列与等差数列概念及性质对比 1．数列的定义顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列．数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．2．等差数列的定义顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质． 3．等差数列的通项公式等差数列的通项公式是：a n= a1＋（n－1）d ．① 这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将a n看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系． 4．等差中项 A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是： 2b a A + =，或2 A=a＋b．显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或 2b a A + =）是判断三数a，A，b成等差数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或 2b a A + =）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项．值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或 2b a A + =）可同时判定A是a与b的等差中项及A是b 与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列． 5．等差数列前n项的和

等差等比数列综合应用教案

教育个性化教育教案教师姓名学科数学上课时间 2011/1/29 学生姓名年级时间段课题名称等差数列和等比数列教学目标等差数列和等比数列教学重难点等差数列和等比数列一、知识回顾 1. 等差数列和等比数列的概念、有关公式和性质 2. 判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：(1)定义法. (2)通项公式法.(3)中项公式法. 3. 在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足???≤≥+00 1m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当 1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值.在解含绝对值的数列最值问题时,注意转化思想的应用。二、基本训练 1．等差数列的前n 项和为25，前2n 项和为100，则它的前3n 和为。 2．各项均为正数的等比数列{}n a 中，569a a ?=，则3132310log log log a a a ++ += 。 3．若一个等差数列的前3项和为34，最后3项和为146，且所有项的和为390，则这个数列有项。 4．在等差数列中，S 11＝22，则a 6＝__________________. 5．等比数列{}n a 中，①若a 1 +a 4＝9，a 2 ·a 3=8，则前六项和S 6=___________；②若a 5+ a 6 ＝a ，a 15+ a 16 ＝b ，则a 25+ a 26＝__________________. 6．数列{}n a 是等比数列，下列四个命题：①2 {}n a 、2{}n a 是等比数列；②{ln }n a 是等差数列；③1{}n a 、{||}n a 是等比数列；④{}n ka 、{}n a k +(0)k ≠是等比数列。正确的命题是。三、例题分析例1、设等差数列{}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n S 、n T ，m n ≠， 1）若,m n a n a m ==，求m n a +和m n S +；2）若,m n S n S m ==，求m n S +；3）若71 427 n n S n T n +=+，求n n a b 。

等差、等比数列证明(补差1)

1. 等差、等比数列证明例 1：已知数列前n 项和n s n n 22 +=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]121222 1-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。例2：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2=，求证：数列{}n c 是等差数列；证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。（2）,232,23111 -+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321 22122111111 1=??=-=-=-∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又21 21 1==a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为43 的等差数列。

例3：设数列{}n a 的前n 项的和() +∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ()()()[] 12412142221+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n ∴()[](),2121121=+-++=-+n n a a n n 对于任意2≥n 都成立，从而数列 432,,a a a 是等差数列。注：由于212-=-a a ，故21=-+n n a a 不对任意N n ∈成立，因此，数列{}n a 不是等差数列。例4：设数列{}n a 的首项11=a ，前n 项和n s 满足关系()t s t ts n n 33231=+--，求证{}n a 为等比数列。证明如下：3≥n 时： ()t s t ts n n 33231=+-- ()t s t ts n n 332321=+--- 两式相减得：()()()0323211=-+-----n n n n s s t s s t 即：()03231=+--n n a t ta 所以：t t a a n n 3321+=- （这只能说明从第二项开始，后一项与前一项的比为定值，所以需要对第二项与第一项的比另外加以证明，以达到定义的完整性。）又因为2=n 时： ()t s t ts 332312=+-

等差等比数列练习题(含答案)

一、选择题 1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（）（A ）为常数数列（B ）为非零的常数数列（C ）存在且唯一（D ）不存在 2.、在等差数列 {}n a 中，41=a ,且1a ,5a ,13a 成等比数列，则{}n a 的通项公式为（）（A ）13+=n a n （B ）3+=n a n （C ）13+=n a n 或4=n a （D ）3+=n a n 或4=n a 3、已知c b a ,,成等比数列，且y x ,分别为a 与b 、b 与c 的等差中项，则 y c x a +的值为（）（A ） 2 1 （B ）2- （C ）2 （D ）不确定 4、互不相等的三个正数c b a ,,成等差数列，x 是a ,b 的等比中项， y 是b ,c 的等比中项，那么2x ，2b ，2y 三个数（）（A ）成等差数列不成等比数列（B ）成等比数列不成等差数列（C ）既成等差数列又成等比数列（D ）既不成等差数列，又不成等比数列 5、已知数列 {}n a 的前n 项和为n S ,n n S n 24212+=+,则此数列的通项公式为（）（A ）22-=n a n （B ）28-=n a n （C ）12-=n n a （D ）n n a n -=2 6、已知))((4)(2z y y x x z --=-，则（）（A ）z y x ,,成等差数列（B ）z y x ,,成等比数列（C ） z y x 1,1,1成等差数列（D ）z y x 1 ,1,1成等比数列 7、数列 {}n a 的前n 项和1-=n n a S ，则关于数列{}n a 的下列说法中，正确的个数有（） ①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1 8、数列1 ?,16 1 7,815,413,21,前n 项和为（）（A ）1212+-n n （B ）212112+-+n n （C ）1212+--n n n （D ）212 112 +--+n n n 9、若两个等差数列 {}n a 、{}n b 的前n 项和分别为n A 、n B ，且满足 5 524-+= n n B A n n ，则 13 5135b b a a ++的值为（）（A ） 9 7 （B ） 7 8 （C ） 2019 （D ）8 7 10、已知数列 {}n a 的前n 项和为252+-=n n S n ,则数列{}n a 的前10项和为（）（A ）56 （B ）58 （C ）62 （D ）60 11、已知数列 {}n a 的通项公式5+=n a n 为, 从{}n a 中依次取出第3，9，27，…3n , …项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n 项和为（）

证明数列是等差或等比数列的方法

一、证明或判断数列为等差数列的方法 1.定义法在数列{}n a 中，若d a a n n =--1（d 为常数），则数列{}n a 为等差数列例：已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，3 21=a ，且满足2 11322++=+n n n a S S （*N n ∈）证明：数列{}n a 是等差数列证明：由2 11322++=+n n n a S S 得2 1132)(2++=++n n n n a S a S 整理得12 1234++-=n n n a a S 则n n n a a S 23421-=- 两式相减得n n n n n a a a a a 2233412 2 1+--=++ n n n n a a a a 2233122 1+=-++ 因为{}n a 是正项数列，所以01>++n n a a 所以()231=-+n n a a ，即3 21=-+n n a a 所以{}n a 是首项为32，公差为3 2 的等差数列 2.等差中项法 212{}n n n n a a a a +++=?是等差数列例：设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知11=a ，62=a ，113=a ，且 1(58)(52)123n n n S n S An B n +--+=+=，，，，，其中A 、B 为常数（1）求A 与B 的值（2）证明数列{}n a 是等差数列解：（1）因为11=a ，62=a ，113=a ，所以1231718S S S ===，，把1=n ，2=n 分别代入()()B An S n S n n n +=+--+25851 得B A +=?-?-1773 B A +=?-?2712182 解得：20-=A ，8-=B （2）由（1）知()()82025851--=+--+n S n S n n n 整理得()82028511--=---++n S S S S n n n n n

等差等比数列练习题及答案

等差、等比数列练习一、选择题 1、等差数列{}n a 中，10120S =，那么110a a +=（） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 2、已知等差数列{}n a ，219n a n =-，那么这个数列的前n 项和n s （） A.有最小值且是整数 B. 有最小值且是分数 C. 有最大值且是整数 D. 有最大值且是分数 3、已知等差数列{}n a 的公差1 2 d =，8010042=+++a a a ，那么=100S A ．80 B ．120 C ．135 D ．160． 4、已知等差数列{}n a 中，6012952=+++a a a a ，那么=13S A ．390 B ．195 C ．180 D ．120 5、从前180个正偶数的和中减去前180个正奇数的和，其差为（） A. 0 B. 90 C. 180 D. 360 6、等差数列{}n a 的前m 项的和为30，前2m 项的和为100，则它的前3m 项的和为( ) A. 130 B. 170 C. 210 D. 260 7、在等差数列{}n a 中，62-=a ，68=a ，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（） A.54S S < B.54S S = C. 56S S < D. 56S S = 8、一个等差数列前3项和为34，后3项和为146，所有项和为390，则这个数列的项数为（） A. 13 B. 12 C. 11 D. 10 9、已知某数列前n 项之和3n 为，且前n 个偶数项的和为)34(2 +n n ，则前n 个奇数项的和为（） A ．)1(32+-n n B ．)34(2-n n C ．2 3n - D ． 3 2 1n 10若一个凸多边形的内角度数成等差数列，最小角为100°，最大角为140°，这个凸多边形的边比为（） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 二．填空题 1、等差数列{}n a 中，若638a a a =+，则9s = . 2、等差数列{}n a 中，若2 32n S n n =+，则公差d = . 3、在小于100的正整数中，被3除余2的数的和是

等差数列与等比数列的证明方法

等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。一、定义法 01.证明数列是等差数列的充要条件的方法： {}1()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}2222()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=?常数是等差数列 02.证明数列是等差数列的充分条件的方法： {}1(2)n n n a a a d n --=≥?是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥?是等差数列 03.证明数列是等比数列的充要条件的方法： {}1 (00)n n n a q q a a +=≠≠?1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法： 1 n n a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ?为等比数列注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有 1 n n a q a -== （常数0≠）；②

n *∈N 时，有 1 n n a q a +== （常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有 1223111 111n n n n a a a a a a a a +++++= 。证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵ 111111n n n n a a d a a ++?? =- ??? 再证充分性： ∵ 122334 111 a a a a a a ++???1111n n n n a a a a ++++= ?? ………① ∴ 122334 111 a a a a a a ++???11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++= ??? ………② ②﹣①得： 121211 11n n n n n n a a a a a a +++++=- ??? 两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+ 即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是

(完整word版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题 1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比2 1 =q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ． 231 B ．233 C ．235 D ．2 37 3. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项 6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则 d c b a ++22等于（） A ．1 B ．21 C ．4 1 D ．81 7.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a ?=+=则 20 10 a a =( ) A.2 3 B.32 C.23或 32 D.23-或 32 - 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且

7768,b a b b ==则( ) A.2 B. 4 C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10 D. 9 11.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( ) A. d<0 B. 110s > C.120s < D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则 1 4 a a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二．填空题 13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=?a a ，则5a =__________ 15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=L ,则 ()101102200lg x x x +++=L ________ 17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________

等差等比数列综合应用

等差等比数列综合应用一、选择题１、在等比数列{}n a 中，n S 为其前ｎ项和，若103013S S =，1403010=+S S ，则20S 的值是（） A50 B40 C30 D 1310 2、数列{}n a 且公差不为零的等差数列，并且1385,,a a a 且等比数列，{}n b 的相邻三项，若52=b ，则n b 等于（） A 1 355-? ? ? ???n B 1 535-? ? ? ???n C 1 533-? ? ? ???n D 1 353-? ? ? ???n 3、已知数列{}n a 的前n 项和142 +-=n n S n ，则数列{}n a 的前10项的和为（） A56 B61 C65 D67 4、数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且76b a =，则有（） A 10493b b a a +≤+ B 10493b b a a +≥+ C 10493b b a a +≠+ D 93a a +与104b b +的大小不确定 5、数列{}n a 中，n a 互不相等且0≠n a ，321,,a a a 成等差数列，432,,a a a 成等比数列， 543,,a a a 的倒数成等差数列，则531,,a a a （） A 成等差数列 B 倒数成等差数列 C 成等比数列 D 倒数成等比数列 6、{}n a 是正数等差数列，{}n b 是正数等比数列，且121211,++==n n b a b a ，则（） A 11++=n n b a B 11++>n n b a C 11++

等比数列知识点总结与典型例题(精华word版)

等比数列知识点总结与典型例题 1、等比数列的定义：()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式： ()11110,0n n n n a a a q q A B a q A B q -== =??≠?≠，首项：1a ；公比：q 推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=?=?=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A =注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+?=? 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a q S q q --= = -- 11''11n n n a a q A A B A B A q q = -=-?=---（,,','A B A B 为常数） 5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有1 1(0){}n n n n n n a a qa q q a a a ++==≠?或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠?为等比数列（3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =??≠?为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若 ()()*1 2,n n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=?为等比数列 7、等比数列的性质：（2）对任何*,m n N ∈，在等比数列{}n a 中，有n m n m a a q -=。（3）若* (,,,) m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ?=?。特别的，当2m n k +=时，得2n m k a a a ?= 注：12132n n n a a a a a a --?=?=??? 等差和等比数列比较：

(完整版)等差等比数列综合练习题.doc

等差数列等比数列综合练习题一．选择题 1. 已知 a n 1 a n 3 0 ，则数列 a n 是（） A. 递增数列 B. 递减数列 C. 常数列 D. 摆动数列 2. 等比数列 { a n } 中，首项 a 1 8 ，公比 q 1 ，那么它的前 5 项的和 S 5 的值是（） A ． 31 ． 33 2 ． 35 ． 37 C 2 B 2 D 2 2 3. 设 S n 是等差数列 { a n } 的前 n 项和，若 S 7=35，则 a 4=( ) A. 8 B.7 C.6 D.5 4. 等差数列 { a n } 中， a 1 3a 8 a 15 120,则 2a 9 a 10 （） A ．24 B ．22 C ．20 D ．-8 5. 数列 a n 的通项公式为 a n 3n 2 28n ，则数列 a n 各项中最小项是（） A. 第 4 项 B. 第 5 项 C. 第 6 项 D. 第 7 项 6. 已知 a ， b ， c ， d 是公比为 2 的等比数列，则 2a b 等于（） 2c d A ．1 B ． 1 ． 1 ． 1 2 C 4 D 8 7.在等比数列 a n 中, a 7 ? a 11 6, a 4 a 14 5, 则 a 20 ( ) a 10 A. 2 B. 3 C. 2 或 3 D. 2 或 3 3 2 3 2 3 2 8.已知等比数列 a n 中, a n >0, a 2a 4 2a 3a 5 a 4 a 6 25 ,那么 a 3 a 5 =( ) A.5 B .10 C.15 D .20 9.各项不为零的等差数列 a n 中 ,有 2a 3 a 7 2 2a 11 0 ,数列 b n 是等比数列 ,且

等差、等比数列证明的几种情况

等差、等比数列证明的几种情况在高中数学教材中，对等差，等比数列作了如下的定义：一个数列从第二项起，每一项与前一项的差等于一个常数d ，则这个数列叫等差数列，常数d 称为等差数列的公差。一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于一个常数q ，则这个数列叫等比数列，常数q 称为等比数列的公比。在涉及到用定义来说明一个数列为等差数列或等比数列时，很多时候往往容易忽略定义的完整性，现举一些例子来加以说明。 1、简单的证明例：已知数列前n 项和n s n n 22+=，求通项公式n a ，并说明这个数列是否为等差数列。解：1=n 时，32111=+==s a ； 2≥n 时，()()[]1212221-+--+=-=-n n n n s s a n n n 12+=n 因为1=n 时，31121=+?=a 所以12+=n a n 因为2≥n 时，21=--n n a a 为常数，所以{}n a 为等差数列。 2、数列的通项经过适当的变形后的证明例：设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，且()*11,24,1N n a S a n n ∈+==+。（1）设n n n a a b 21-=+，求证：数列{}n b 是等比数列；（2）设n n n a c 2= ，求证：数列{}n c 是等差数列；

证明：（1）2≥n 时 11144-++-=-=n n n n n a a S S a ， ()11222-+-=-∴n n n n a a a a ， 12-=∴n n b b 又3232112121=+=-=-=a a S a a b {}n b ∴是首项为3，公比为2的等比数列。（2）,232,23111-+-?=-∴?=n n n n n a a b (),432321221221 1 11111=??=-=-= -∴-++++++n n n n n n n n n n n a a a a c c 又2 1 211== a c ， {}n c ∴是首项为21，公差为4 3 的等差数列。 3、证明一个数列的部分是等差（等比）数列例3：设数列{}n a 的前n 项的和()+∈++=N n n n S n ,422， ⑴写出这个数列的前三项321,,a a a ； ⑵证明：数列{}n a 除去首项后所成的数列 432,,a a a 是等差数列。解：⑴由n s 与n a 的关系 ???≥-==-)2() 1(11n S S n S a n n n 得到 74121211=+?+==S a 5742222122=-+?+=-=S S a ()75743232233=+-+?+=-=S S a ⑵当2≥n 时， ( )()()[] 124121422 21+=+-+--++=-=-n n n n n S S a n n n