搜档网
当前位置:搜档网 › 二次函数图像性质(二)导学案

二次函数图像性质(二)导学案

二次函数图像性质(二)导学案
二次函数图像性质(二)导学案

26.1.3 二次函数()k h x a y +-=2

的图象(一)

【学习目标】

1.知道二次函数k ax y +=2

与2

ax y =的联系. 2.掌握二次函数k ax y +=2的性质,并会应用; 【学法指导】

类比一次函数的平移和二次函数2

ax y =的性质学习,要构建一个知识体系。 【学习过程】

一、知识链接:直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的。

练:若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到,并且过点(-1,3),求这个函数的解析式。 解:

由此你能推测二次函数2

x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗? 猜想: 。 二、自主学习

(一)在同一直角坐标系

中,画出二次函数

2

x

y =,1

2

+=x y ,

个单位,

就得到抛物线

1

2+=x y ;把抛物

线

2

x y =向_______

平移______个单位,就得到抛物线12

-=x y .

3.抛物线2

x y =,12

+=x y ,12

-=x y 的形状_____________.开口大小相同。

三、知识梳理:(一)抛物线k ax y +=2

特点:

1.当0a >时,开口向 ;当0a <时,开口 ;

2. 顶点坐标是 ;

3. 对称轴是 。

(二)抛物线k ax y +=2

与2

y ax =形状相同,位置不同,k ax y +=2是由2

y ax = 平移得到的。(填上下或左右) 二次函数图象的平移规律:上 下 。

(三)a 的正负决定开口的 ;a 决定开口的 ,即a 不变,则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状,所以平移前后的两条抛物线a 值 。 三、跟踪练习:

1.抛物线2

2x y =向上平移3个单位,就得到抛物线__________________; 抛物线22x y =向下平移4个单位,就得到抛物线__________________.

2.抛物线232

+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ,它们的形状__________,当x = 时,y 有最 值是 。

3.由抛物线352-=x y 平移,且经过(1,7)点的抛物线的解析式是 ,是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

4. 写出一个顶点坐标为(0,-3),开口方向与抛物线2

x y -=的方向相反,形状相同的抛物线解析式____________________________.

5. 抛物线142

+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________. 6.二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A (1,-1)、B (2,5).

⑴求该函数的表达式;

⑵若点C(-2,m ),D (n ,7)也在函数的上,求m 、n 的值。

二次函数的图像与性质导学案

第二节 二次函数的图像与性质(第1课时) 环节一 回顾旧知,导入新课。 1.一次函数的图像是 ,反比例函数的图像是 。 2.画函数图象的一般步骤是什么 , , . 环节二 小组合学,探究新知。 1.试画出二次函数y=x 2 的图像。(组黑色笔完成) (1)列表 (2)描点 (3)连线 2. 试画出二次函数y=-x 2 3. 在1中画出二次函数y =2x 2的图象(组红色笔完成) 在2中画出二次函数y =-2x 2的图象(组红色笔完成) 环节三:归纳总结,提炼升华。

反思小结: 1.当a>0时, a 越大,a ,抛物线开口 。 当a<0时,a 越小,a ,抛物线开口 。 综上:对于任意a ≠0, a 越大, 抛物线开口 。 环节四:达标检测,反馈提高 A 组 1.二次函数2 x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 二次函数2-x y =的函数图像为_________,开口______,顶点坐标为______对称轴为________ 2.判断正误 (1)函数y = x2与y = -x2的图像都是抛物线( ); (2)函数y = x2与y = -x2的图像对称轴都是x 轴 ( ); (3)函数y = x2与y = -x2的图像形状相同,开口方向相反( ) (4)抛物线y = 3x2在x 轴的下方(除顶点外)( ) (5)在抛物线y = -5x2左侧, y 随着x 的增大而增大( ) 3.已知7 2 )2(--=a x a y 是二次函数,且当0>x 时,y 随x 的增大而增大,则=a 。 4.设边长为x 的正方形的面积为y ,y 是x 的二次函数,该函数的图象是下列各图形中( ) B 组: 1.在函数y = x 2上有两点,(-1,y 1),(-3,y 2),那么y 1,y 2,0的大小关系是( ) < y 2 <0 B. y 2 < y 1 <0 C. y 1 > y 2 >0 D. y 2 > y 1 >0 2、直线1+-=x y 与抛物线2x y =有( ) A .1个交点 B . 2个交点 C .3个交点 D .没有交点 3、如图边长为2的正方形ABCD 的中心在直 角坐标系的原点O ,AD ∥x 轴,抛物线y = x 2和 y = -x 2别经过A ,B ,C ,D 点,将正方形成几部 分,则图中阴影部分的面积为 . 探索乐趣 : 课下猜想并验证抛物线y = 3x2与y = 3x2+4之间有什么关系它们是轴对称图形吗开方方向,对称轴、定点坐标分别是什么

201x版九年级数学下册第5章二次函数5.2二次函数的图象和性质4导学案新版苏科版

2019版九年级数学下册第5章二次函数5.2二次函数的图 象和性质4导学案新版苏科版 学习目标: 1.会用描点法画函数y =a (x +m )2+k (a ≠0)的图像; 2.会用平移变换解释函数y =a (x +m )2+k 与函数y =ax 2+k 、y =a (x +m )2、y =ax 2(a ≠0)的图像之间的关系; 3.会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴,根据对称性列表、描点、画图,并确定函数的最大值或者最小值; 4.进一步体会数学研究问题由具体到抽象.....、特殊到一般.....的思想方法. 会用平移变换解释函数y =a (x +m )2+k 与y =ax 2(a ≠0)的图像之间的关系; 学习重,难点: 1.会用配方法确定二次函数图像的顶点坐标、对称轴、函数的最值,根据对称性列表、描点、画出函数图像. 2.感受图形的运动变化与图形上点的坐标变化之间的关系,体验由具体到抽象、特殊到一般的研究问题的方法. 学习过程 一、回顾与猜想 你知道函数y =x 2+2的图像与y =x 2的图像有什么关系?函数y =(x +3)2的图像和y =x 2的图像有什么关系? 猜想:函数y =(x +3)2+2与y =x 2有什么关系? 二、活动与探究 活动一:画图与观察 画函数y =x 2、y =(x +3)2和y =(x +3)2+2的图像. 1.填表: x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =x 2 … … y =(x +3)2 … … y =(x +3)2+2 … 2.画图:在平面直角坐标系中,描点并画出函数y =x 2、

y=(x+3)2和y=(x+3)2+2的图像; 3.观察: (1)你能说出函数y=(x+3)2+2的图像的形状吗? (2)函数y=(x+3)2+2的图像与函数y=(x+3)2和y=x2的图像有什么联系? (3)根据图像,你能得出函数y=(x+3)2+2图像的性质吗? 4.思考:函数y=x2+2x+3的图像是抛物线吗?它与函数 y=(x+1)2+2有何关系? 活动二:转化与思考 (1)你能将函数y=-x2-4x-5转化为y=a(x+m)2+k的形式吗?并画出它的图像,指出它的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大(小)值. (2)如何将二次函数y=ax2+bx+c转化y=a(x+m)2+k的形式? 三、总结与归纳 思考:二次函数y=ax2+bx+c转化为y=a(x+m)2+k的形式是什么?由此,你能得到函数y=ax2+bx+c的哪些性质? 四、例题讲解: 例1、如图,给出八个结论:①a>0;②b>0;③c>0;④a+b+c=0;⑤abc<0;⑥2a+b>0; ⒄a+c=1;⑧a>1.其中正确的结论的序号是____________________ 。 五、课堂小结: 对自己说(收获)…… 对同学说(提醒)…… 对老师说(困惑)……

二次函数图像和性质专题训练(答案)

二次函数图象专题训练 1.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示,下列结论①a 、b 异号;②当x =1和x=3时,函数值相等;③4a +b =0,④当y =4时,x 的取值只能为0.结论正确的个数有( ) 个 A .1 B.2 C.3 D.4 2、已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的 图象如图所示,有下列结论: ①240b ac ->; ②0abc >; ③80a c +>; ④930a b c ++<.其中,正确结论的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 3.已知二次函数2 y ax bx c =++的图象与x 轴交于点(20)-,、1(0)x , ,且112x <<,与y 轴的正半轴的交点在(02),的下方.下列结论:①420a b c -+=;②0a b <<;③ 20a c +>;④210a b -+>.其中正确结论的个数是 个. A .1 B .2 C .3 D .4 4、已知抛物线y =ax 2 +bx +c (a ≠0)在平面直角坐标系中的位置如图所示,则下列结论中正确的是( ) A . a >0 B . b <0 C . c <0 D . a +b +c >0 5、如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中,刘星同学观察得出了下面四条信息:(1)2 40b ac ->;(2)c >1;(3)2a -b <0;(4)a +b +c <0。你认为其中错误.. 的有 A .2个 B .3个 C .4个 D .1个 6、已知二次函数y =ax 2 +bx +c (a ≠0)的图象如图,则下列结论中正确的是( ) A .a >0 B .当x >1时,y 随x 的增大而增大 C .c <0 D .3 是方程ax 2 +bx +c =0的一个根

二次函数的图像和性质导学案

二次函数的图像和性质导学案 【学习目标】 1、经历探索二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质的过程; 2、能够理解函数y= y=a(x-h)2与y=ax 2的图象的关系,知道a 、h 对二次函数的图象的影响; 3、能正确说出函数y=a(x-h)2的图象的性质. 【课前导学】:叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0)的图象和性质。 【课堂导学】 自主学习:二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象作法和性质: 画出函数2y x = y=(x+3)2的图象 (1) 列表: 2y x = y=(x+3)2的图象; 【交流互动】: (1)函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象有什么关系? (2)函数y=(x+3)2的图象与y=x 2的图象的形状相同吗? (3)从表格中的数值看,函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x 2的函数值相等时,它们所对应 的自变量的值有什么关系? (4)从点的位置看,函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系?它是轴对 称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么? 3、结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2 的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到, 所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小. 4、观察右图,思考并回答下列问题:

①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴 平移了 个单位;抛物线 y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗? 【课堂小结】二次函数y=a(x-h)2(a ≠0)的图象和性质: 【巩固练习】 1、二次函数y=2(x+5)2的图像是 ,开口 ,对称轴是 ,当 x= 时,y 有最 值,是 。它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为___________。 2、将函数y=3(x -4)2 的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是 ;将函数y=3(x -4)2的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是 。 3、把抛物线y=a (x-4)2 向左平移6个单位后得到抛物线y=- 3(x-h )2 的图象,则a= , h= 。若抛物线y= a (x-4)2的顶点A ,且与y 轴交于点B ,抛物线y= - 3(x-h )2 的顶点是M ,则S ΔMAB = . 4、如图所示,在直角坐标系中,函数1y x =-+与21 (1)2 y x =- -的图象大致是( ) 5、将抛物线2(2)(0)y a x a =+>向右平移2个单位后与直线AB 相交于B,C 两点,如图,已知A 点的坐标是(2,0),B 点坐标是(1,1). (1)求直线AB 和平移后的抛物线所表示的函数解析式; (2)如果平移后的抛物线上有一点D,使得OAD OBC S S = ,求这时点D 的坐标. 作业:新课堂

二次函数的图像及性质

《二次函数的图像及性质》教学案例及反思 教师:同学们,我们上一节课一起研究了二次函数的表达式,那么我们一起来回忆一下表达式是什么? 学生齐答:y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a不为0) 教师:好,那么请同学们在黑板上写出一些常数较简单的二次函数表达式. (学生表现很踊跃,一下写出了十多个) 教师:黑板上这些二次函数大致有几个类型? 学生:(讨论了3分钟)四大类!有y=ax2+bx+c;y=ax2+bx;y=ax2+c;y=ax2! 教师:太棒了!同学们归纳的很好,今天我们就一起来研究比较简单的一种y=ax2的图像及性质! 教师在学生板书的函数中选了四个,并把复杂的系数换成简单的常数,找到如下函数:y=x2;y=-x2;y=2x2;y=-2x2.(教师在这里让学生自己准备素材!) 教师启发学生利用函数中的“列表,描点,连线”的方法,把画上述四个函数的任务分配给A,B,C,D小组,一组一个在已画好的坐标系的小黑板上动手操作.生在自己提供的素材上进行再“加工”,兴趣很大,合作交流充分,课堂气氛活跃.教师到每组巡视、指导,在确认画图全部正确的情况下,提出了要求,开始了探究之旅. 教师:请同学们小组之间比较一下,你们画的图象位置一样吗? 学生;不一样. 教师:有什么不一样?(开始聚焦矛盾) 学生:开口不一样. 学生A:走向不一样. 学生B:经过的象限不一样. 学生C:我们的图象在原点的上方,他们的图象在原点的下方. 教师:看来是有些不一样,那么它们位置的不一样是由什么要素决定的?(教师指明了探究方向,但未指明具体的探究之路,这是明智的) 学生:是由二次项系数的取值确定的. 教师:好了,根据同学们的回答,能得到图象或函数的那些结论?(顺水推舟,放手让学生一搏) 热烈讨论后,学生D回答并板书,当a>0时,图象在原点的上方,当a<0时,图象在原点的下方。 学生E:当a>0时,图象开口向上;当a<0时,图象开口向下. 学生A站起来补充:还有顶点,顶点坐标(0,0),对称轴为y轴! (这个过程约用了十多分时间,学生体会非常充分,从学生的神情看,绝大多数学生已接受了这几个学生的板书,但教师未对结论进行优化。怎么没有一个学生说出二次函数的性质呢?短暂停顿后,教师确定了思路) 教师:刚才你们是研究图象的性质,你们能否由图象性质得出相应的函数的性质? 看着学生茫然的目光,我在思考是不是我的问题---- 教师:请看同学们的板书,能揣摩图象“走向”的意思吗? 学生:(七嘴八舌)当a>0时,图象从左上向下走到原点后在向右上爬;当a<0时,图象从左下向上爬到原点后在向右下走(未出现教师所预期的结论) 教师:好,你们从图象的直观形象来理解的图象性质,很贴切,你们能从自变量与函数值之间的变化角度来说明“向上爬”和“向下走”吗?

初三二次函数的图像与性质

龙文教育学科导学 教师:学生:年级:日期: 星期: 时段: 学情分析二次函数部分内容中考难度不大,所以本套教案注重于基础知识的准确掌握。 课题二次函数的图像与性质 学习目标与考点分析学习目标:1、理解二次函数的概念;会识别最基本的二次函数并利用二次函数的概念求解析式中的未知数; 2、熟练的画出各种抛物线的图像,根据解析式的变化判断图像的平移方法; 3、熟练的选用合适的解析式利用待定系数法求解析式。 学习重点图像的平移;待定系数法求解析式 学习方法讲练结合、师生讨论、启发引导 学习内容与过程 教学内容: 知识回顾 1.一般地,形如y=ax2 +bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数。其中,x 是自变量, a,b,c分别是函数解析式的二次项系数,一次项系数和常数项. 2.二次函数的解析式及其对称轴 (1)二次函数解析式的一般式(通式):,它的顶点坐标为(,),对称轴为;(2)二次函数解析式的顶点式(通式):,顶点坐标为(,)对称轴是;(3)二次函数解析式的交 点式:。此时抛物线的对称轴为。其中,(x 1,0)(x 2 ,0)是抛 物线与X轴的交点坐标。显然,与X轴没有交点的抛物线不能用此解析式表示的 3.二次函数y=a(x-h) 2+k的图像和性质 4.二次函数的平移问题 5. 二次函数y=ax2 +bx+c中a,b,c的符号与图像性质的关系: 6.抛物线y=ax2+bx+c与X轴的交点个数与一元二次方程的根的判别式△的符号之间的的关系

二次函数的常规解法: 一、若已知二次函数图象上的三个点的坐标或是x、y的对应数值时,可选用y=ax2+bx+c(a≠0)求解。我们称y=ax2+bx+c(a≠0)为一般式(三点式)。 例:二次函数图象经过A(1,3)、B(-1,5)、C(2,-1)三点,求此二次函数的解析式。 说明:因为坐标满足函数解析式的点一定在函数的图象上,反之函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式。所以将已知三点的坐标分别代入y=ax2+bx+c (a≠0)构成三元一次方程组,解方程组得a、b、c的值,即可求二次函数解析式。 二、若已知二次函数的顶点坐标或对称轴或最值时,可选用y=a(x+m)2+k (a≠0)求解。我们称y =a(x+m)2+k (a≠0)为顶点式(配方式)。 例:若二次函数图像的顶点坐标为(-2,3),且过点(-3,5),求此二次函数的解析式。 说明:由于顶点式中要确定a、m、k的值,而已知顶点坐标即已知了-m、k的值。用顶点式只要确定a的值就可以求二次函数解析式。若已知这两点的坐标用一般式来解是不能确定a、b、c的值的,不妨让学生尝试一下加深印象。 三、若已知二次函数与X轴的交点坐标是A(x1,0) 、B(x2,0)时, 可选用y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)求解。我们称y=a(x-x1)(x- x2 ) (a≠0)为双根式(交点式)。 例:已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点,求此二次函数的解析式。 说明:很多同学看到此例会想到使用一般式来解,将已知三点的坐标分别代入去求a、b、c的值来求此二次函数的解析式。往往忽略A、B两点的坐标就是二次函数图象与x轴的交点坐标,而用双根式来求解就相对比较简单容易。 四、若已知二次函数在X轴上截得的线段长为d时,可选用 或 例:抛物线y=2x2-mx-6在X轴截锝线段长为4,求此二次函数的解析式。 说明:对于此例主要让学生明白这两种二次函数解析式中线段长d的推导过程,记住公式套进去就行了。注意相互之间不要混淆。 总之,要求一个二次函数的解析式,可以根据不同的已知条件选择恰当的解题方法,使计算过程简单化,达到迅速解题的目的。当然,也只有在平时的练习中对基本解法的适用情况做到心中有数,才能在具体的问题中结合图形及二次函数的相关性质择优选取适当的解法,提高解题能力。 二次函数的概念 如果y=ax2+bx+c(a≠0,a,b,c为常数),那么y叫做x的二次函数 注意:二次函数的表达形式为整式,且二次项系数不为0,b ,c可分别为0,也可同时为0 自变量的取值范围是全体实数 练习:

二次函数图像与性质总结

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.

概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2) ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后者 通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?,其中2424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对 称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,.当2b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值2 44ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠);

二次函数图像性质及应用

.. 二次函数图象性质及应用 一选择题 1.已知抛物线y=﹣x2+2x﹣3,下列判断正确的是() A.开口方向向上,y 有最小值是﹣2 B.抛物线与x轴有两个交点 C.顶点坐标是(﹣1,﹣2) D.当x<1 时,y 随x增大而增大 2.若二次函数y=x2+bx+5 配方后为y=(x-2)2+k,则b、k 的值分别为() A.0、5 B.0、1 C.﹣4、5 D.﹣4、1 3.将抛物线先向左平移2个单位,再向上平移3个单位后得到新的抛物线,则新抛物线的表达式是 A. B. 3 y2- - )2 y2- =x + (5 =x D.3 (52+ )2 (5 - =x )2 y C. 3 4.把抛物线y=﹣2x2+4x+1 图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线函数关系式是() A.y=﹣2(x-1)2+6 B.y=﹣2(x-1)2﹣6 C.y=﹣2(x+1)2+6 D.y=-2(x+1)2-6 5.函数y=ax+b 和y=ax2+bx+c 在同一直角坐标系内的图象大致是() A. B. C. D. 6.二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图,则a bc,b2﹣4ac,2a+b,a+b+c 这四个式子中,值为正数的有() A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 第6题图第8题图 7.二次函数y=ax2+bx+c 对于x的任何值都恒为负值的条件是() A.a>0,△>0 B.a>0,△<0 C.a<0,△>0 D.a<0,△<0 8.抛物线的图象如图所示,根据图象可知,抛物线的解析式可能是() A.y=x2-x-2 B.y=﹣x2﹣x+2 C.y=﹣x2﹣x+1 D.y=﹣x2+x+2

二次函数的图像和性质总结

二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质: 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ;开口向上;在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小,在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移。 (2)抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移;当0k 时向上平移;当0>k 时向下平移;当0>h 时向左平移;当0

3.二次函数的最值公式: 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ,图像有最低点,函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ;时当0?时抛物线与x 轴有两个交点;当0=?抛物线与x 轴有一个交点;当 0

二次函数的图像和性质知识点与练习

第二节 二次函数的图像与性质 1.能够利用描点法做出函数y =ax 2 ,y=a(x-h)2,y =a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2 图象, 能根据图象认识和理解二次函数的性质; 2.理解二次函数c bx ax y ++=2 中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y =x 2 ,y =-x 2 ,y =2x 2 ,y =-2x 2 ,y =2(x-1)2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y =ax 2 的性质: x y O

2. y=ax2+k的性质:(k上加下减) 3. y=a(x-h)2的性质:(h左加右减) 4. y=a (x-h)2+k的性质: 5. y=ax2+bx+c的性质:

二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤: 方法一:⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式() 2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标()h k ,; ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”.概括成八个字 “左加右减,上加下减”. 方法二:

二次函数图像与性质

二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念: 一般地,形如2y ax bx c =++(a b c , ,是常数,0a ≠)的函数,叫做二次函数。这里需要强调:和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ,可以为零.二次函数的定义域是全体实数. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征: ⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式,x 的最高次数是2. ⑵ a b c , ,是常数,a 是二次项系数,b 是一次项系数,c 是常数项. 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成:()k h x a y +-=2 的形式,其中 a b a c k a b h 4422 -=-=,. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式:①2ax y =;②k ax y +=2;③()2 h x a y -=; ④()k h x a y +-=2 ;⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素:开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向:当0>a 时,开口向上;当0

一元二次函数的图像和性质教学设计

§ 3.4一元二次函数的图象和性质教学设计 1. 掌握一元二次函数图象的画法及图象的特征 2. 掌握一元二次函数的性质,能利用性质解决实际问题 3. 会求二次函数在指定区间上的最大(小)值 4. 掌握一元二次函数、一元二次方程的关系。 1.函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 叫做一元二次函数。 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线。 3.任何一个二次函数)0(2 ≠++=a c bx ax y 都可把它的解析式配方为顶点式: a b a c a b x a y 44)2(2 2-++=, 性质如下: (1)图象的顶点坐标为)44,2(2a b ac a b --,对称轴是直线a b x 2-=。 (2)最大(小)值 ① 当0>a ,函数图象开口向上,y 有最小值,a b ac y 442 min -=,无最大值。 ② 当0>a ,函数图象开口向下,y 有最大值,a b a c y 442max -=,无最小值。 (3)当0>a ,函数在区间)2,(a b - -∞上是减函数,在),2(+∞-a b 上是增函数。 当0

二次函数的图像与性质(2)导学案

二次函数y =ax 2+k 的图象与性质 班级____________姓名______________学号_____________ 学习目标:1.会画二次函数y =ax 2 +k 的图象;2.掌握二次函数y =ax 2 +k 的性质,并会应用; 3.知道二次函数y =ax 2 与y =的ax 2 +k 的联系. 活动一,温故知新 直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2=向 平移 个单位得到的。 由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗?二次函数22-=x y 又具有哪些基本新知呢? 活动二,探究新知 请你在同一直角坐标系中,画出二次函数y =x 2,y =x 2+1,y =x 2-1 观察所画的三个函数图像,我能够完成下列填空: 于是,我发现了:把抛物线y =x 2向______平移______ 个单位,就得到抛物线y =x 2+1;把抛物线y =x 2向_______平移______个单位,就得到抛物线y =x 2-1。由此可得:对于二次函数的图象,只要_______相等,则它们的形状相同。 归纳: 于是,我进一步发现了:函数y=ax 2 (a ≠0)和函数y=ax 2+k (a ≠0)的图象的联系。 1.函数y=ax 2 (a ≠0)和函数y=ax 2+k (a ≠0)的图象形状 ,只是位置不同;当k >0时,函数y=ax 2+ k 的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到,当k <0时,函数y=ax 2+ k 的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到。 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y =x 2+1 … … y =x 2 -1 … … 开口方向 顶点 对称轴 有最高 (低)点 最值 y =x 2 y =x 2-1 y =x 2 +1 x y y = x 2 1 O

二次函数图像与性质总结

二次函数图像与性质总 结 Document number:NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式:2 =的性质: y ax 2.2 =+的性质: y ax c 上加下减。Array 3.()2 =-的性质: y a x h 左加右减。

4.()2 y a x h k =-+的性质: 二、二次函数图象的平移 1.平移步骤: 方法一:⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+,确定其顶点坐标 ()h k ,; ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变,将其顶点平移到()h k ,处,具体平移方法如下: 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2(或m c bx ax y -++=2)

⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左(右)平移m 个单位,c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2(或c m x b m x a y +-+-=)()(2) 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看,()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式,后 者通过配方可以得到前者,即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ,其中 2 424b ac b h k a a -=-= ,. 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般 我们选取的五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x ,,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴 对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值244ac b a -. 2.当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =- ,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???,.当2 b x a <- 时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值244ac b a -. 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式:2y ax bx c =++(a ,b ,c 为常数,0a ≠); 2.顶点式:2()y a x h k =-+(a ,h ,k 为常数,0a ≠); 3.两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠,1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).

《221二次函数的图像和性质》导学案

(上册)《22.1二次函数的图像和性质》导学案 (第一课时) 【学习目标】 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程,进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念,掌握二次函数的一般形式; 3、通过解决实际问题的过程总结建立数学模型的方法,培养与他人交流的意识和提取合理见解的能力。 【学习课时】 1课时。 【导学方法】 实验、整理、分析、归纳法。 【导学过程】 一、课前导学 1、填表 一次函数正比例函数反比例函数 表达式 图形形状 2、探究 (1)正方体六个面是全等的正方形,设正方形棱长为x,表面积为y,则y关于x的关系式为是什么?① (2)多边形的对角线数 d 与边数n 有什么关系?② n边形有________个顶点,从一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可作________条对角线。因此,n边形的对角线总数d =____________。 (3)某工厂一种产品现在年产量是20件,计划今后两年增加产量,如果每年都比上一年的产量增加x倍,那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定,y与x之间

的关系应怎样表示? 这种产品的原产量是20件,一年后的产量是____件,再经过一年后的产量是 件,即两年后的产量为________。③ 二、合作探究 探究:函数①②③有什么共同特点?你能举例说明吗? 一般地,形如________的函数,叫做二次函数。 其中,x 是自变量,a 为________, b 为________,c 为________,做一做: 1、下列函数中,哪些是二次函数?分别说出二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项。 (1)2 x y = (2) 21 x y - = (3)122 --=x x y (4))1(x x y -= (5))1)(1()1(2 -+--=x x x y (6) 23712y x x =+-- 2、函数 2 y ax bx c =++,当a 、b 、c 满足什么条件时, (1)它是二次函数? (2)它是一次函数? (3)它是正比例函数? (第二课时) 【导学目标】 会用描点法画出二次函数y=ax 2的图象,概括出图象的特点及函数的性质。 【课 时】 1课时。 【导学方法】 观察、归纳、分析。 【导学过程】 一、课前自学 我们知道,一次函数y=2x +1,反比例函数3 y x = 的图象分别是_______、_______,探究:描点法画函数y=x 2的图象前,想一想,列表时如何合理选值?以什么数为中心?当x 取互为相反数的值时,y 的值如何? 思考:观察函数y=x 2的图象,你能得出什结论?

中考数学-二次函数图像及其性质

中考数学 二次函数图像 【一】二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的 五点为:顶点、与y 轴的交点()0c , 、以及()0c ,关于对称轴对称的点()2h c ,、与x 轴的交点()10x , ,()20x ,(若与x 轴没有交点,则取两组关于对称轴对称的点). 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点. 【二】二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时,抛物线开口向上,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ,. 当2b x a <- 时,y 随x 的增大而减小;当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a =-时,y 有最小值 2 44ac b a -. 2. 当0a <时,抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ? ??,.当2b x a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时,y 随x 的增大而减小;当2b x a =-时,y 有最大值 244ac b a -. 【三】二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a 二次函数2y ax bx c =++中,a 作为二次项系数,显然0a ≠. ⑴ 当0a >时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之a 的值越大,开口越大. 总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向,a 的大小决定开口的大小. 2. 一次项系数b 在二次项系数a 确定的前提下,b 决定了抛物线的对称轴. ⑴ 在0a >的前提下,

.2二次函数的图像和性质(4)导学案

.2二次函数的图像和性质(4)导学案

6.2二次函数的图像和性质(4) 姓名:班级: 一、问题导学: 1、二次函数2(0) =+≠的图像的特征是 y ax k a ________________;由此可以得出二次函数2(0) =++≠的图象的对称轴是y轴(或顶点在y y ax bx c a 轴上)的条件是______。 2、若二次函数2(0) =++≠的图像经过原点,将(0, y ax bx c a 0)代入函数解析式得_____;由此可以得出 二次函数2(0) =++≠的图像经过原点的条件 y ax bx c a 是__________。 3、二次函数2(0) =++≠的图像与_____轴必有一 y ax bx c a 个交点,此交点坐标是_____。c决定抛物线与y轴交点P(0,c)的位置,当c______, P 在y轴正半轴上;c______,P在原点;c______,P在y轴负半轴。: 4、二次函数2 =-≠的图像的特征是 ()(0) y a x h a ________________;此时抛物线与x轴只有一 个公共点,由此可以得出二次函数2(0) =++≠ y ax bx c a 的图象顶点在x轴上的条件是____________。 二、探究,小结归纳: 1、确定a、b、c的符号

(1)二次函数:) 0(2≠++=a c bx ax y , a 的符号由 ________决定; (2) 2-b a 的符号由________决定,结合a 的符号,可确定______的符号; (3)c 的符号由_________________决定,当抛物 线与y 轴交点在y 轴的正半轴时,c_____,当抛物线与y 轴交点在y 轴的负半轴时,c______。 (4)确定了a 、b 、c 的符号,易确定abc 的符号。 2、确定类似代数式a+b+c 的符号 当x=1时, y=a+b+c 。因此代数式a+b+c 的符号由__________________________决定;与之类似的还经常出现判断a-b+c 、4a ±2b+c 、9a ±3b+c 等等的符号。 3、、由对称轴x=2b a -的确定值判断a 与b 的关系。 涉及到2a 和b 的代数式时常考虑对称轴x=2b a -的位置情况。如:2b a -=1能判断出:a = 12-b ,即21+=a b 。 三、例题讲解: 例1、如图,给出八个结论:①a >0;②b >0;

相关主题