关于调和级数既发散又收敛的悖论的说明

调和级数悖论的剖析

——与张慧老师商榷

蒋晓云1罗国湘2

（1桂林师专数学与计算机科学系广西桂林541001；

2桂林航天工业高等专科学校广西桂林541004）

【摘要】张慧老师在文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的级数，并认为这一悖论的发现是数学理论上的一个突破。经过剖析发现文献[1]中调和级数收敛性证明是错误的。

【关键词】调和级数；收敛性；归纳法。

大家都知道费马是一位声望极高的数学家，他在研究了由公式给出的自然122+=n n F 数（后人称为费马数），发现都是素数，他曾65537,257,17,5,343210=====F F F F F 猜想：对任意一个自然数n ，费马数都是素数。然而，十八世纪的瑞士数学家欧拉却发n F 现。大数学家费马的错误告诉我们：单纯的枚举归纳法和直觉可能会67004176415×=F 欺骗我们，从而导致错误。

文献[1]宣称证明了调和级数是一个既收敛又发散的无穷级数，如果这一调和级数∑∞

=11n n 悖论真正成立的话，微积分就又得要另起炉灶。其实文献[1]中调和级数的收敛性证明又是直觉导致的错误，笔者对文献[1]的证明过程进行了剖析：

调和级数中去掉分母中含有9的项，剩余项构成的新级数：∑∞

=11n n 88

1801281201181101812111+++++++++++++=∑L L L L L u （1）L L L L L +++++++++++888

180818011800110811001文献[1]先证明（1）是（绝对）收敛的，这是很多文献已发现的一个事实（如文献[2]）。文献[1]再考虑调和级数

分母中含有9的项组成的新级数∑∞=11n n 199

119111901189111911091991901891291191911+++++++++++++++=∑L L L L v （2）L L L L ++++++++++999

128912911290128912091由于（2）中分母为一位数的各项之和的小于级数（1）中分母为一位数的各项之和；9

1（2）中分母为两位数的各项之和小于（1）中分母为两位数99

1901891291191++++++L L

的各项之和。（2）中的小于级数（1）中分母为999

119911901189111911091++++++++L L L 三位数的各项之和，……，而级数（1）是绝对收敛的，所以级数（2）也是绝对收敛的。从而也是绝对收敛的，再将此级数各项由大到小重新排列所得到的级数正好是调

∑∑+v u 11和级数，由绝对收敛级数的性质得：调和级数也是绝对收敛的。

∑∞=11n n ∑∞=11n n

文献[1]的作者凭借经常接触的1位数、2位数和3位数的直觉和经验加以类推，得到“含有9的n 位自然数”远少于“不含9的n 位自然数”，从而得出：“级数（2）中分母为n 位数的各项之和”小于“级数（1）中分母为n 位数的各项之和”。

我们平时很少接触“巨大”的自然数，事实上绝大多数“巨大自然数（位数很多）”都含有9，这和人们的直观感觉正好相反。因为所有的n 位数共有个，不含数字9的1109?×n n 位数为，所以不含数字9的n 位数所占比例为，当时这个比例198?×n 1)10

9(98?×n ∞→n 趋于零，这表明，当n 较大时，不含9的整数相对地要非常的稀少，或者说当n 充分大时，几乎所有的n 位整数都含有数字9。因此，从某个充分大的自然数n 以后，级数（2）中分母为n 位数的各项之和远远大于级数（1）中分母为n 位数的各项之和，从而级数（2）的收敛性的证明是错误的。

文献[1]的证明再次提示我们：解决数学问题的信念一般是将经验和直觉加以类推（类比和推广）而得到，一切理论和逻辑推理奠基于人们的直接经验。然而，直觉把握不了的东西也很多，一般地，太大、太小、太快、太慢、太远等等，都是人们感觉难以把握的。这里，我们必须付诸逻辑（证明、计算）的手段。

参考文献：

[1]张慧.既收敛又发散的无穷级数[J].陕西科技大学学报,2004,22(4).

[2]R.Honsberger.一个奇妙的级数[J].数学译林，1982,1(4).

关于级数的绝对收敛

第３７卷第８期２ＯＯ５年８月 哈尔滨工业大学学报 ＪＯＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＢＩＮＩＮＳＴ【ＴＵＴＥＯＦ’ｒＥＣＨＮＯＬＯＧＹ Ｖ０１．３７Ｎｏ．８ Ａｕｇ．２００５关于级数的绝对收敛 杨云燕 （哈尔滨工业大学数学系，黑龙江哈尔滨１５０００ｌ，Ｅ哪ａｉｌ：ｙｙｙ蚰＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．叻） 摘要：拓展了级数绝对收敛的概念．设（ｘ，ｘ’）是任意对偶系统，在ｚ上找到了一个可容许拓扑ｒ，使得在 （ｘ，ｒ）上有界乘数收敛级数都是绝对收敛的，但是，当可容许拓扑下７严格强于ｒ时，在（ｘ，ｒ’）中，一定存在有 界乘数收敛级数不是绝对收敛的．这个结果的建立主要借助予李容录的一致收敛引理…和Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓ－ｉｎｓｋｉ矩阵定理‘２１． 关键词：绝对收敛；有界乘数收敛；等度连续；可容许拓扑；Ａｎｔｏｓｉｋ—Ｍｉｋｕｓｉｎｓｋｉ矩阵定理 中图分类号：０１７３文献标识码：Ａ文章编号：０３６７—６２３４（２００５）０８—１１１３—０３ ｏｎａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎＶｅｒｇｅｎｔｓｅｒｉｅｓ ＹＡＮＧＹｕｎ－ｙａｎ （Ｄｅｐｔ．ｏｆＭａｔｈｅｍ砒ｉｃｓ，ＨａｒｂｉｎＩｎｓｔｉｔｕｔｅｏｆＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｈａｒｂｉｎ１５０００１，Ｃｈｉｎａ，Ｅ－ｍａｊｌ：ｙｙｙａｎ＠ｈｉｔ．ｅｄｕ．ｃｎ） Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｃｏｎｃｅｐｔｏｆａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎｖｅ唱ｅｎｃｅｉｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄ．Ｆｏｒｅｖｅｒｙｄｕａｌｐａｉｒ（Ｘ，ｘ’），Ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｓａｎａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ丁ｏｎｘｓｕｃｈｔｈａｔ，ｉｎ（Ｘ，丁），ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓａｒｅａｂｓｏｌｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔｂｕｔｉｎ（Ｘ，ｒ’），ｗｈｅｒｅｔｈｅａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙｒ’ｉｓｓｔｒｉｃｔｌｙｓｔｒｏｎｇｅｒｔｈａｎｒ，ｔｈｅｒｅｅｘｉｓｔｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎ． Ｖｅ唱ｅｎｔｓｅｒｉｅｓｗｈｉｃｈａｒｅｎｏｔａｂｓｏＩｕｔｅｌｙｃｏｎｖｅｒｇｅｎｔ．ＴｈｉｓｒｅｓｕｈｉｓｂａｓｅｄｏｎｔｈｅＵｎｉｆｏ珊ＣｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅＬｌｅｍｍａ…ｏｆＵＲｏｎｇ．１ｕａｎｄＡｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＢａｓｉｃＭａｔｒｉｘＴｈｅｏｒｅｍ［引． Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ａｂｓｏｌｕｔｅｃｏｎＶｅＥｇｅｎｃｅ；ｂｏｕｎｄｅｄｍｕｌｔｉｐｌｉｅｒｃｏｎｖｅｒｇｅｎｃｅ；ｅｑｕｉｃｏｎｔｉｎｕｉｔｙ；ａｄｍｉｓｓｉｂｌｅｔｏｐｏｌｏｇｙ；Ａｎｔｏｓｉｋ．ＭｉｋｕｓｉｎｓｋｉＭａ喇ｘＴｈｅｏｒｅｍ 称赋范空间（ｘ，０?ＩＩ）内的级数∑鼍是绝对收敛的若∑三，Ｉ｜巧ＩＩ＜＋∞．本文将这个简单的概念推广到局部凸空间的情形，进而发现：在一个对偶系统中存在一个可容许拓扑ｒ，使得对所有强于弱拓扑而弱于ｒ的可容许拓扑而言，所有有界乘数收敛级数都是绝对收敛的． 以下如不加声明，ｘ代表局部凸空间，ｘ’是它的对偶． 定义１称ｘ中的级数∑勺是绝对收敛的，若对任意等度连续序列｛Ｚ｝￡ｘ’有∑王，ｚ（勺）收敛． 若ｘ是赋范空间，｛骛｝∈ｘ，则∑三，ＩＩ巧ｏ＜＋∞当且仅当对任意等度连续序列｛彳｝∈ｘ’，∑二。Ｚ（戈，）收敛 收稿日期：２００４一０６—２８． 作者简介：杨云燕（１９７８一），女，博士研究生 为得到以下有关级数及其绝对收敛性质的一些结果，引进如下的一致收敛引理［１｜： 引理ｌ－ｆ２≠勿，Ｇ是Ａｂｅｌ拓扑群，｛Ｚ｝ｃＧｎ，则下列（１）（２）等价． （１）对每个｛哟｝ｃ以，∑二。石（ｑ）收敛． （２）∑工，Ｚ（哆）关于｛ｑ｝ｃ力一致收敛． 定理ｌｘ中的级数∑巧绝对收敛当且仅当对任意等度连续集Ａ∈ｘ’，∑二。ｌＺ（勺）Ｉ关于｛Ｚ｝互Ａ一致收敛． 证明假设∑吩绝对收敛．若Ａ是ｘ’的一个等度连续子集，则曰＝｛矿：ＩｔＩ≤ｌ／∈Ａ｝也等度连续．因此，对任意｛乃｝∈Ａ，∑二，Ｉ‘７；（％）Ｉ收敛．从而，据引理１有∑三，Ｉｚ（巧）Ｉ关于｛ｚ｝∈Ａ一致收敛． 若Ａ∈ｘ’等度连续，命 ０髫｜Ｉ＾＝ｓｕｐ｛Ｉ．厂（菇）ｌ：厂∈Ａ｝，菇Ｅｘ， 　万方数据

正项数收敛判别方法

数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法

摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足

正项级数敛散性地判别方法

正项级数敛散性的判别方法 摘要:正项级数是级数容中的一种重要级数，它的敛散性是其基本性质。正项级数敛散性的判别方法虽然较多，但是用起来仍有一定的技巧，归纳总结正项级数敛散性判别的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型判别法的特点及其适用的正项级数的特征。根据不同级数的特点分析、判断选择适宜的方法进行判别，才能事半功倍。 关键词:正项级数；收敛；方法；比较；应用 1引言 数项级数是伴随着无穷级数的和而产生的一个问题，最初的问题可以追溯到公元前五世纪，而到了公元前五世纪，而到了公元17、18世纪才有了真正的无穷级数的理论。英国教学家Gregory J （1638—1675）给出了级数收敛和发散两个术语从而引发了数项级数敛散性广泛而深入的研究，得到了一系列数项级数的判别法。因而，判断级数的敛散性问题常常被看作级数的首要问题。我们在书上已经学了很多种正项级数敛散性的判定定理，但书上没有做过多的分析。我们在实际做题目时，常会有这些感觉：有时不知该选用哪种方法比较好；有时用这种或那种方法时，根本做不出来，也就是说，定理它本身存在着一些局限性。因此，我们便会去想，我们常用的这些定理到底有哪些局限呢？定理与定理之间会有些什么联系和区别呢？做题目时如何才能更好得去运用这些定理呢？这就是本文所要讨论的。 2正项级数敛散性判别法 2.1判别敛散性的简单方法 由级数收敛的基本判别定理——柯西收敛准则:级数 1 n n u ∞ =∑收敛 ?0,,,,N N n N p N ε+?>?∈?>?∈有12n n n p u u u ε+++++ +<。取特殊的1p =，可 得推论：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =。 2.2比较判别法 定理一（比较判别法的极限形式）： 设 1 n n u ∞=∑和1 n n v ∞ =∑为两个正项级数，且有lim n n n u l v →∞=，于是 （1）若0l <<+∞，则 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑同时收敛或同时发散。 （2）若0l =，则当 1 n n v ∞ =∑收敛时，可得 1 n n u ∞ =∑收敛。

数项级数敛散性判别法。(总结)

华北水利水电学院 数项级数敛散性判别法。（总结） 课程名称：高等数学（下） 专业班级： 成员组成 联系方式： 2012年5月18日

摘要：在学习数项级数的时候，对于单一的方法所出的例题，大家都知道用何种方法去解决。但是等到所有的方法学完之后，再给出题目，大家似乎一头雾水，不知道用哪一种方法。有些同学甚至挨个拭每一种方法，虽然也可行。但是对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，如果选用合适的方式，可以到到事半功倍的效果，但是如果悬选择了错误的方法，可能费了九牛二虎之力之后，得出的结果还是错误的。所以我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，才能更好地运用它们。 关键词：数项级数，敛散性，判断，方法。 英文题目 Abstract:Single out examples to learn a number of series,we all know which way to go.But wait until all of the methods after completing their studies are given topics,everyone seems confused and do not know what kind of way. Some students even one by one swab of each method, although it is also feasible.But for one series,using different methods to determine the convergence and divergence of the degree of difficulty, if the appropriate choice of the way to a multiplier effect,but if the hanging has chosen the wrong way,may have spent nine cattle tigers after the power, the result is wrong.So we need to sum up to determine the convergence and divergence,and to understand their characteristics,in order to make better use of them. Key words:A number of series,convergence and divergence of judgment. 引言：以下介绍书中所提到的判断数项级数敛散性的定理，并通过一些例题，讲解它们各自的适用范围。并总结出判断敛散性的一般思维过程。

(完整版)无穷级数整理

无穷级数整理 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.

比较几种判定正项级数收敛性的方法

比较几种判定正项级数收敛性的方法 【摘要】通过对：1：比较判别法；2：根植判别法3：达朗伯耳判别法的应用范围的比较，加以对其分析， 找出若干类型题加以分类，确定哪类适合这两种判定法，归纳其特点，以便以后做题能够快速入手，遇到题目以后具体运用哪种方法更便捷提供了途径. 【关键词】比较判别法 根植判别法 达朗贝尔 例题 一：比较判别法. 1:定义 若从某一项起11n n n n n n a b a kb a b ++≤≤（或者） （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑的收敛性可推出1 n n a ∞ =∑收敛，若从某一项起n n a kb ≥11()n n n n a b a b ++≥ 或者 （k >0）,则由1 n n b ∞ =∑发散可推出1 n n a ∞ =∑发散. 2：比较判别法的极限形势 设lim n n n a b →∞ =λ（+λ∞为有限数或）则： （i ）：0λ<<+∞时，n n a b 则和收敛性相同. （ii ）：1 1 =0b n n n n a λ∞ ∞ ==∑∑时，由收敛可推出收敛. （iii ）：1 1 b n n n n a λ∞ ∞ ===+∞∑∑时,由发散课推出发散. 3:例题 (1):证明：若级数1 n n a ∞ =∑收敛，则把该级数的项通过组合而不改变其先后顺序所得的级 数1 n n A ∞ =∑其中 1 1 n n p n i i p A a -+==∑ （11p =，12p p <<…）也收敛且具有相同的和，反之不真，举 出例子. 证 设级数1 n n A ∞ =∑的部分和序列为1,2l l ，…，n l ，…，则

关于数项级数敛散性的判定(可编辑修改word版)

n 3 5 n 2 3 5 3 关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1 数项级数收敛的定义 ∞ ∞ 数项级数 ∑u n 收敛 ? 数项级数∑u n 的部分和数列{S n }收敛于 S . n =1 n =1 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{S } 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前 n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2 数项级数的性质 ∞ ∞ ∞ （ 1） 若级数 ∑u n 与 ∑v n 都收敛， 则对任意常数 c,d, 级数 ∑(cu n + dv n ) 亦收敛， 且 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ∑(cu n + dv n ) = c ∑u n + d ∑v n ;相反的，若级数∑(cu n + dv n ) 收敛，则不能够推出级数∑u n 与 n =1 n =1 n =1 n =1 n =1 ∑v n 都收敛. n =1 ∞ ∞ ∞ 注：特殊的，对于级数 ∑u n 与 ∑v n ，当两个级数都收敛时， ∑(u n ± v n ) 必收敛；当其中一个 n =1 n =1 n =1 ∞ ∞ 收敛，另一个发散时， ∑(u n ± v n ) 一定发散；当两个都发散时， ∑(u n ± v n ) 可能收敛也可能发散. n =1 n =1 ∞ 1 1 ∞ 1 1 例 1 判定级数∑( n n =1 + n ) 与级数∑( + n ) 的敛散性. n =1 ∞ 1 ∞ 1 ∞ 1 1 解：因为级数 ∑ n n =1 与级数 ∑ n n =1 收敛，故级数 ∑( n n =1 ∞

正项级数收敛及其应用公式版

公式为正常公式,不是图片版 正项级数收敛性判别法的比较及其应用 一、引言 数学分析作为数学专业的重要基础课程。级数理论是数学分析的重要组成部分，在实际生活中的运用也较为广泛，如经济问题等。而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性更是级数理论的核心问题，要想解决正项级数的求和问题必须先解决正项级数收敛性判断。正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行判断，能够最大限度的节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍。 二、预备知识 1、正项级数收敛的充要条件 部分和数列{}n S有界，即存在某正数M，对0>n?，有n SN都有 n n v u≤， 那么 （1）若级数∑∞ =1 n n v收敛，则级数∑∞ =1 n n u也收敛； （2）若级数∑∞ =1 n n u发散，则级数∑∞ =1 n n v也发散； 即∑∞ =1 n n u和∑∞ =1 n n v同时收敛或同时发散。 比较判别法的极限形式： 设∑∞ =1 n n u和∑∞ =1 n n v是两个正项级数。若l v u n n n = +∞ → lim，则 （1）当时，∑∞ =1 n n u与∑∞ =1 n n v同时收敛或同时发散；

（2）当0=l 且级数∑∞ =1 n n v 收敛时，∑∞ =1 n n u 也收敛； （3）当∞→l 且∑∞=1 n n v 发散时，∑∞ =1 n n u 也发散。 2.2 比值判别法 设∑∞ =1n n u 为正项级数，若从某一项起成立着 11 ，成立不等式q u u n n ≤+1 ，则级数∑∞ =1i n u 收敛； （2）若对一切0N n >，成立不等式11 ≥+n n u u ，则级数∑∞=1 i n u 发散。 比值判别法的极限形式： 若∑∞ =1 n n u 为正项级数，则 （1） 当1lim ，成立不等式1，成立不等式1≥n n u ，则级数∑∞ =1 i n u 收敛 根式判别法的极限形式： 设∑∞ =1 n n u 是正项级数，且l u n n n =+∞ →lim ，则 （1）当1l 时，级数∑∞ =1 n n u 发散； （3）当1=l 时，级数的敛散性进一步判断。

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度

漫谈正项级数的收敛性及收敛速度 ++++=∑∞ =n n n a a a a 211 称为无穷级数。当0≥n a 时，此级数称为正项级数。记 n n a a a S +++= 21， ,2,1=n ，则}{n S 为部分和数列。级数∑∞ =1 n n a 的敛散性是通过数列}{n S 的敛 散性来定义。显然，级数∑∞=1 n n a 时，有0lim =∞ →n n a 。因此，0lim ≠→∞ n n a 时，必有级数∑∞ =1 n n a 发散。但是 0lim =∞ →n n a 未必有∑∞=1n n a 收敛。只有当无穷小n a 的阶高到一定的程度时，∑∞ =1 n n a 才收敛。可以证明： 几何级数∑∞ =1 n n q ，当1||p 时收敛；当1≤p 时发散。 由p -级数∑ ∞ =1 1 n p n 的敛散性及比较判别法，可以看出，当n a 趋于0的速度快于n 1时，级数∑∞ =1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n 1时，级数∑∞=1n n a 发散。因而，无穷小n 1 是衡量级数∑∞ =1 n n a 敛散性的一把“尺子”。可是，这把“尺子”有点粗糙了。事实上，尽管无穷小 n n ln 1 趋于0的速度远远快于n 1，但是级数∑∞=1ln 1n n n 仍然发散。可以证明，级数∑∞ =1ln 1 n p n n ，当1>p 时收敛；当1≤p 时发散。于是，无穷小 n n ln 1 是衡量级数敛散性的一把精度较高的一把新“尺子”：当n a 趋于0的速度快于n n ln 1时，级数∑∞=1n n a 收敛；而当n a 趋于0的速度不快于n n ln 1 时，级数∑∞ =1n n a 发散。可是，马 上又面临新问题：无穷小n n n ln ln ln 1趋于0的速度远远快于n n ln 1，但是∑∞ =1ln ln ln 1 n n n n 仍然发散级 数。于是需要更为精细的判断级数敛散的“尺子”。这样，我们会得到一系列判断级数敛散的“尺 子”：n 1 ，n n ln 1， n n n ln ln ln 1。这些 “尺子”可以无限的精细，一直进行下去。实际上，按这种方式，只能够找到越来越精细的“尺子”，但是永远找不到最为精细的“尺子”——“没有最好，只有更好”。 由几何级数的∑∞ =-11n n q 的敛散性，可以看出，粗略的讲，当n 充分大时，正项级数的后一 项小于前一项时，该级数就收敛，否则就发散。在此基础上，有了判断正项级数敛散性的比值（达

条件收敛与绝对收敛

第四节 条件收敛与绝对收敛 对于任意项级数∑∞ =1n n a ，我们已经给出了其收敛的一些判 别方法，本节我们讨论任意项级数的其他性质 - 条件收敛与绝对收敛. 定义10．5 对于级数∑∞ =1 n n a ，如果级数∑∞ =1 ||n n a 是收敛的,我们 称级数∑∞ =1 n n a 绝对收敛. 如果∑∞=1 ||n n a 发散,但∑∞=1 n n a 是收敛的， 我们称级数∑∞ =1 n n a 条件收 敛。 条件收敛的级数是存在的,如∑∞ =+-11 .)1(n n n 收敛级数可以看成是有限和的推广，但无限和包含有极限过程。并不是有限和的所有性质都为无限和所保持。大体说来,绝对收敛的级数保持了有限和的大多数性质，条件收敛的级数则在某些方面与有限和差异很大。下面我们讨论条件收敛与绝对收敛的性质。 定理10。1７ 绝对收敛级数必为收敛级数，反之则不然． 证明：设级数∑∞ =1 n n a 收敛，即∑∞ =1 ||n n a 收敛，由C ａuc ｈy 收敛准 则，对0>?ε， 存在N ，当n 〉N 时,对一切自然数 p , 成立着 ε<++++++||||||21p n n n a a a 于是：

≤++++++||21p n n n a a a ε<++++++||||||21p n n n a a a 再由Cauchy 收敛准则知∑∞ =1 n n a 收敛。 由级数∑∞ =+-1 1 )1(n n n 可看出反之不成立. 注：如果正项级数∑∞=1 ||n n a 发散，不能推出级数∑∞ =1 n n a 发散。 但如果使用Cauchy 判别法或Ｄ'Ａlembert 判别法判定出 ∑∞=1 ||n n a 发散，则级数∑∞ =1 n n a 必发散,这是因为利用Cauch ｙ判别 法或D ’Ａｌｅｍｂert 判别法来判定一个正项级数∑∞ =1 | |n n a 为发散时，是根据这个级数的一般项｜a n ｜当+∞→n 时不趋于0，因此对级数∑∞ =1n n a 而言,它的一般项也不趋于零，所以级 数∑∞ =1 n n a 发散。 例10.38 讨论级数∑∞ =+++-1 1 1 12)1(n p n n n n 的敛散性，如收敛指明是条件收敛或绝对收敛。 解,当0≤p 时，由于∞ →n lim ,01 12≠++p n n n 所以级数发散． 当2>p 时， 因为 ∞ →n lim 1/11 12=++p p n n n n 而∑ ∞ =1 1n p n 收敛,所以原级数绝对收敛。

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发 散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数)(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性 定理 3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。

关于数项级数敛散性的判定

关于数项级数敛散性的判定 1、问题的提出 数项级数敛散性的判别问题，是数学分析的一个重要部分.数项级数，从形式上看，就是无穷多个项的代数和，它是有限项代数和的延伸，因而级数的敛散性直接与数列极限联系在一起，其判别方法多样，技巧性也强，有时也需要多种方法结合使用，同时，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，成为数学理论和应用中不可缺少的工具，所以研究数项级数的判定问题是很重要的. 2、熟练掌握并准确应用级数的概念、性质和判定定理 2.1数项级数收敛的定义 数项级数 ∑∞ =1 n n u 收敛?数项级数 ∑∞ =1 n n u 的部分和数列{}n S 收敛于S . 这样数项级数的敛散性问题就可以转化为部分和数列{} n S 的极限是否存在的问题的讨论，但由于求数列前n 项和的问题比较困难，甚至可能不可求，因此，在实际问题中，应用定义判别的情况较少. 2.2数项级数的性质 （1）若级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛，则对任意常数c,d, 级数 ∑∞ =+1 )(n n n dv cu 亦收敛，且 ∑∑∑∞ =∞ =∞ =+=+1 1 1)(n n n n n n n v d u c dv cu ;相反的，若级数∑∞ =+1 )(n n n dv cu 收敛，则不能够推出级数∑∞ =1 n n u 与 ∑∞ =1 n n v 都收敛. 注：特殊的，对于级数 ∑∞ =1n n u 与 ∑∞ =1 n n v ，当两个级数都收敛时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 必收敛；当其中一个 收敛，另一个发散时， ∑∞ =±1 )(n n n v u 一定发散；当两个都发散时，∑∞ =±1 )(n n n v u 可能收敛也可能发散. 例1 判定级数∑∞ =+1)5131(n n n 与级数∑∞ =+1)21 1(n n n 的敛散性. 解：因为级数∑∞ =131n n 与级数∑∞=15 1n n 收敛，故级数∑∞ =+1)51 31(n n n 收敛.

任意项级数收敛性判别法

十五. 任意项级数收敛性判别法 判断∑a n 收敛性的线索: 1°a n 是否→0; 2°是否绝对收敛; 3°是否条件收敛. 绝对收敛判别方法: 对∑| a n | 用正项级数判别法. 注意∑|a n |发散时一般不能得到 ∑a n 发散, 但|n n a a 1+|或n n a ||≥1时∑| a n |和∑a n 都发散. a n 为连乘积时用检比法,和Raabe 法, a n 为n 次幂时考虑检根法和检比法, a n 单调时考虑积分法. 以上方法困难时考虑比较法(找a n 的阶或比较级数)、级数运算、收敛原理、定义、Cauchy 准则. Leibniz 判别法 若a n ↓0, 则交错级数∑(-1)n +1a n 收敛, 其和s < a 1, 余项| R n | < a n +1. 证 s 2n = (a 1 - a 2 ) + (a 3 - a 4 ) + … + (a 2n -1 - a 2n ), s 2n +1 = a 1 - (a 2 - a 3 ) - … - (a 2n - a 2n +1) = s 2n + a 2n +1, 故s 2n ↑, s 2n +1↓, 且0 < s 2n < s 2n +1< a 1 , lim s 2n 与lim s 2n +1存在, lim (s 2n +1- s 2n ) = 0. 因此?s = lim s n , 且s < a 1. 又, | R n | = | (-1) n (a n +1 - a n +2 + a n +3 - … ) = a n +1 - a n +2 + a n +3 - … < a n +1. Abel 变换 a 1 b 1 + a 2 b 2 + … + a n b n = s 1 b 1 + (s 2 - s 1 ) b 2 + … + (s n - s n -1)b n = s 1 (b 1 - b 2 ) + … + s n -1 (b n -1 - b n ) + s n b n =∑-=+-1 11)(n k k k k b b s + s n b n , 其中s n = a 1 + a 2 +…+ a n . 利用Abel 变换, 把∑a n b n 的收敛问题化为∑s n (b n - b n +1)与{s n b n }的收敛问题. Di 法 {s n }有界, b n ↓0 (或↑0)?∑a n b n 收敛. (对积分:?t a f 有界,g ↓0??b a fg 收敛.) A 法 ∑a n 收敛, {b n }单调有界?∑a n a n 收敛. (积分:?b a f 收敛, g 单调有界??b a fg 收 敛.) 证 D 法: 设 | s n |≤M , 则s n b n ↓0,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M ∑=n k 1(b k - b k +1) = M (b 1 - b n )≤ Mb 1, 故∑s n (b n - b n +1)绝对收敛. A 法: 设s n →s , | s n |≤M , b n ↓b , 则s n b n →sb ,∑-=+-111|)(|n k k k k b b s ≤M (b 1 - b n )≤M (b 1 - b ). 注1. 用这三个判别法(L 法是D 法的特例)不能判断发散性. 当然, 如果已经用前面的方法得到∑| a n |发散, 用这三个方法就能判断∑a n 的条件收敛性, 但不能由此而误认为它们是条件收敛判别法 注2. 用D 法证A 法: ∑a n 收敛?{s n }有界; {b n }减、有界??b 使b n ↓b ? b n - b ↓0. 由D 法, ∑a n (b n -b )收敛, 而∑ba n 收敛, 故∑a n b n 收敛. 类似地可证上册p.276.10. *级数与广义积分 给定∑a n , 定义阶梯函数f :[1,∞)为f (x ) = a n (n ≤x 0时?t a f 关于t 增,?b a f =b t →lim ?t a f = I ?? b n ?[a , b ), b n →b : lim ?n b a f = I . 特别地, 有

级数敛散性判别方法的归纳

级数敛散性判别方法的归纳-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

级数敛散性判别方法的归纳 （西北师大） 摘 要：无穷级数是《数学分析》中的一个重要组成部分，它是研究函数、进行数值运算及数据分析的一种工具，目前，无穷级数已经渗透到科学技术的很多领域，因而级数收敛的判别在级数的研究中亦显得尤为重要，然而判定级数敛散性的方法太多，学者们一时很难把握，本文对级数的敛散性的判别方法作了全面的归纳，以期对学者们有所帮助。 关键词：级数 ；收敛；判别 ；发散 一. 级数收敛的概念和基本性质 给定一个数列｛n u ｝，形如 n u u u +++21 ① 称为无穷级数(常简称级数),用∑∞ =1 n n u 表示。无穷级数①的前n 项之和，记为 ∑==n n n n u s 1 =n u u u +++ 21 ② 称它为无穷级数的第n 个部分和，也简称部分和。若无穷级数②的部分和数列｛n s ｝收敛于s.则称无穷级数∑∞ =1n n u 收敛，若级数的部分和发散则称级数∑n v 发散。 研究无穷级数的收敛问题，首先给出大家熟悉的收敛级数的一些基本定理： 定理1 若级数∑n u 和∑n v 都收敛，则对任意的常数c 和d ，级数 )(n n dv cu ∑+亦收敛，且)(n n du cu ∑+=c ∑n u +d ∑n v 定理2 去掉、增加或改变级数的有限个项并不改变级数的敛散性

定理3 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和。 定理4 级数①收敛的充要条件是：任给ε＞0，总存在自然数N ，使得当m ＞N 和任意的自然数p ，都有p m m m u u u ++++++ 21＜ε 以上是收敛级数的判别所需的一些最基本定理，但是，在处理实际问题中，仅靠这些是远远不够的，所以在级数的理论中必须建立一系列的判别法，这就是本文的主要任务。 由于级数的复杂性，以下只研究正项级数的收敛判别。 二 正项级数的收敛判别 各项都是由正数组成的级数称为正项级数，正项级数收敛的充要条件是：部分和数列{n s }有界，即存在某正整数M ，对一切正整数 n 有n s ＜M 。从基本定理出发，我们可以由此建立一系列基本的判别法 1 比较判别法 设∑n u 和∑n v 是两个正项级数,如果存在某正数N ，对一切n ＞N 都有 n n v u ≤，则 （i ）级数∑n v 收敛，则级数∑n u 也收敛； （ii ）若级数∑n u 发散，则级数∑n v 也发散。 例 1 . 设∑∞ =1 2 n n a 收敛，证明：∑ ∞ =2 ln n n n n a 收敛（n a >0）. 证明：因为 0<∑∞ =1 2 n n a <)ln 1(212 2n n a n +

1、若数项级数和绝对收敛,则级数必绝对收敛 (正确)word精品文档8页

1、若数项级数和绝对收敛，则级数必绝对收敛.（正确） 2、数项级数收敛当且仅当对每个固定的满足条件（错误） 3、若连续函数列的极限函数在区间I上不连续，则其函数列在区间I不一致收敛。（正确） 4、若在区间上一致收敛，则在上一致收敛.（正确） 5、如果函数在具有任意阶导数，则存在，使得在可以展开成泰勒级数.（错误） 6、函数可导必连续，连续必可导。（错误） 7、极值点一定包含在区间内部驻点或导数不存在的点之中。（正确） 8、线性回归得出的估计方程为y=38+2x，此时若已知未来x的值是30，那么我们可以预 测y的估计值为( 98 )。 9、下列关系是确定关系的是（正方形的边长和面积）。 10、样本方差与随机变量数字特征中的方差的定义不同在于B、是由各观测值到均值距 离的平方和除以样本量减１.而不是直接除以样本量。 11、主要用于样本含量n≤30以下，不经分组资料平均数的计算的是D、直接法。 12、C、盒形图在投资实践中被演变成著名的K线图。 13、设事件A与B同时发生时，事件C必发生，则正确的结论是B、PC≥PA+PB-1。 14、统计学以C、概率论为理论基础，根据试验或者观察得到的数据来研究随机现象，对 研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 15、已知甲任意一次射击中靶的概率为0.5,甲连续射击3次，中靶两次的概率为A、0.375. 16、下面哪一个可以用泊松分布来衡量B、一段道路上碰到坑的次数。 17、线性回归方法是做出这样一条直线，使得它与坐标系中具有一定线性关系的各点的C、 垂直距离的平方和。 18、当两变量的相关系数接近相关系数的最小取值-1时，表示这两个随机变量之间B、 近乎完全负相关。 19、关于概率，下列说法正确的是（ABC） 20、下列哪些方面需要用到概率知识分析其不确定性（ABC） 21、什么样的情况下，可以应用古典概率或先验概率方法（BD） 22、关于协方差，下列说法正确的有（ABD） 23、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 24、线性回归时，在各点的坐标为已知的前提下，要获得回归直线的方程就是要确定该直线的（BD） 25、下列对众数说法正确的有（ABCD） 26、下列关于主观概率的说法正确的有（BC） 27、如果A和B是独立的，下列公式正确的有（BCD） 28、对于统计学的认识，正确的有（ACD） 29、关于中位数，下列理解错误的有（BC） 30、在自然界和人类社会中普遍存在变量之间的关系，变量之间的关系可以分为（AB） 31、应用逻辑判断来确定每种可能的概率的方法适用于古典概率或先验概率。（正确） 32、互补事件可以运用概率的加法和概率的乘法。（错误） 33、泊松分布中事件出现数目的均值入是决定泊松分布的唯一的参数。（正确） 34、袋中有5个白球，n个红球，从中任取一个恰为红球的概率为2/3,则n为（B、10） 35、我们探究概率主要是针对（C、不确定事件） 36、某人忘记了电话号码的一位数字，因而他随意拨号，第一次接通电话的概率是（B、1/10） 37、一个盒子里有20个球，其中有18个红球，每个球除颜色外都相同，从中任意取出3个球，则下列结论中，正确的是（C、所取出的3个球中，至少有1个是红球） 38、从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，要求其中至少有甲型和乙型电视机各1

2016考研数学：无穷级数敛散性判断方法

2016考研数学:无穷级数的敛散性判断方法无穷级数是高等数学的重要章节，是考研数学一和数学三的必考内容，其主要考点包括两个方面，一个是关于无穷级数的收敛或发散的判断，另一个是无穷级数的求和。关于级数的敛散性(即收敛或发散)判断，由于其方法较多，很多同学在学习和复习中感到有些困惑，为了帮助大家掌握好这些方法，文都网校的蔡老师对其做些分析总结，供各位参考，下面首先对用无穷级数的部分和来判断级数的敛散性方法做些分析。 一、通过部分和来判断级数的敛散性 通过无穷级数的部分和来判断级数的敛散性，是判断敛散性的最基本方法之一，因为按照级数收敛性的定义，收敛就是指其部分和的极限存在;对于正项级数而言，由于其部分和是单调增加的数列，所以只要其部分和是有界的，则部分和数列就是收敛的，因此级数就是收敛的. 无穷级数中有一类常见的级数，就是正负项相间的级数，即交错级数，交错级数的敛散性判断有多种方法，包括：莱布尼茨判别法、绝对值判别法以及部分和判别法，下面我们对这些方面及其典型题型做些分析总结，供各位同学参考。 一、交错级数的敛散性判别法 对于交错级数的敛散性判别，使用得较多的是莱布尼茨判别法。 从上面的例题我们看到，并非所有的交错级数都是收敛的，即使级数的通项趋于零也不一定收敛，但如果通项趋于零且通项是单调的，则级数是收敛的;有些级数表面上看不是交错级数，但经过恒等变形后却是交错级数，这时就可以利用上面方法进行判断;

如果一个交错级数不满足莱布尼茨条件，但每项取绝对值后的级数是收敛的，即绝对收敛，则原交错级数是收敛的。 正项级数是无穷级数的一种基本类型，其敛散性的判断方法有多种，包括：比较判别法、比值判别法、根值判别法(数一要求)等，在不同的条件下，需要根据具体情况使用不同的判别法，下面我们来分析一下比较判别法及其典型题型，供广大考生参考。 一、正项级数的比较判别法 正项级数的比较判别法是一种基本的、常用的判别法，其基本用法如下： 从上面的典型题型分析看到，有些级数虽然不是正项级数，但却可以借助正项级数的敛散性判别法来分析或证明其是否收敛，如上面例2的情况;在具体正项级数中，p级数是一个十分有用的比较工具，我们常用它与需要判断敛散性的级数进行比较;对于需要判断是否绝对收敛的级数，也需要利用正项级数的判别法，如比较判别法。以上分析希望对大家有所帮助，最后预祝各位考研取得成功，金榜题名!

无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数ε，总存在N 使得对于任何两个N 大于的正整数m 和n ，总有ε<-n m S S .（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和 ∑∞ =1 n n v 之间自某项以后成立着关系： 存在常数0>c ，使),2,1(Λ=≤n cv u n n ，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. 推论：设两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ，且自某项以后有 n n n n v v u u 1 1++≤，那么 （i ）当级数 ∑∞ =1n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1n n u 亦收敛； （ii ）当级数 ∑∞ =1 n n u 发散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数 ∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v ， 若0lim >=∞→l v u n n n ， 那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n v 收敛时，级数 ∑∞ =1 n n u 亦收敛；若∞=l ，则当级数 ∑∞ =1 n n u 发 散时，级数 ∑∞ =1 n n v 亦发散.