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一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

魏　兵

　葛德彪　王　飞

(西安电子科技大学物理系,西安　710071)(2007年12月17日收到;2008年4月11日收到修改稿)

色散介质的介电系数是频率的函数,使本构关系在时域成为卷积关系.这就给用时域有限差分方法计算色散介质中波的散射和传播带来了困难.现有算法往往要针对不同色散介质模型推导相应的递推公式,算法的通用性较差.本文完善和发展了移位算子2时域有限差分方法,使之成为一种处理色散介质电磁问题的通用方法.首先,证明了常见的三种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模型)的介电系数均可以写成适于移位算子法计算的有理分式函数形式.然后,用9Π9t 代替j ω,过渡到时域,再引入时域移位算子z t 代替时间微分算子来处理有理分式函数形式的介电系数,给出离散时域本构关系的表示式,进而导出时域有限差分方法当中电位移矢量和电场强度之间的关系.最后,计算了几种色散介质的电磁散射,数值结果表明了本文方法和程序的通用性和正确有效性.

关键词:时域有限差分方法,色散介质,移位算子

PACC :4110H ,5170,5210

3国家自然科学基金(批准号:60871070)和国家博士后科学基金(批准号:20070421109)资助的课题. E 2mail :bwei @https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html,

11引言

近十几年来,随着国内外对时域有限差分(finite difference time domain ,FDT D )方法研究的深入,将该方法用于处理色散介质电磁问题引起人们的关注.1990年,Luebbers 等人[1]

提出了适用于Debye 模型的

递归卷积FDT D 方法(recursive conv olution FDT D ,RC 2

FDT D ),然后将该方法推广到等离子体介质[2]

和N 阶色散介质

[3,4]

.Hunsberger 等人[5]

将RC 2FDT D 方法

推广用于磁化等离子体介质.Luebbers 等人[6]研究了色散介质球的电磁散射问题.K elley 等人[7]

用电场的分段线性(piecewise linear )近似(P LRC 2FDT D 方法改善了RC 2FDT D 方法)的计算精度.Siushansian 等人[8]

采用离散的梯形递归卷积(TRC 2FDT D )方法改善了RC 2FDT D 方法的计算精度.此外,处理色散介质电磁问题的FDT D 方法还有辅助方程(ADE )法

[9—11]

,Z 变换法

[12—14]

,电流密度卷积(J EC )法[15]

Y oung 氏直接积分法

[16—18]

,分段线性电流密度卷积

(P LJ ERC )算法[19,20]等.近年来,对色散介质的研究

已逐步深入到各向异性介质的情形[21—24]

上述几种方法中,RC 法将电位移矢量写成电场

强度的卷积,离散该卷积成迭代求和式,再联立电场

强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.J EC 法将极化电流密度表示为电场强度的卷积并离散得到迭代方程,再联立电场强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.P LRC 法和P LJ ERC 法分别在RC 法和J EC 法的基础上引进分段线性近似以改善计算精度.ADE 法将Maxwell 方程和介质所满足的相关方程直接差分,得到一个包含多个量的差分方程组,从而实现场量的时域迭代计算.Z 变换法把频域本构关系变换到Z 域,然后再通过Z 域得到时域递推式.RC 法,P LRC 法,J EC 法和P LJ ERC 法等需进行复杂卷积计算.ADE 法和Z 变换法的数学过程也比较繁琐.总的来讲,现有方法往往需要对不同的色散介质推导相应的递推公式,并编制相应计算程序,算法和程序的通用性较差.

2002年,葛德彪等人

[25]

提出了处理色散介质电

磁问题的移位算子2时域有限差分(shift operator finite difference time domain ,S O 2FDT D )方法并讨论了该算

法在非磁性等离子体中的应用.本文完善和发展了文献[25]所提出的S O 2FDT D 方法,使之成为色散介质电磁问题处理的通用算法.首先,证明了常见的三

种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模

第57卷第10期2008年10月100023290Π2008Π57(10)Π6290208

物　理　学　报

ACT A PHY SIC A SI NIC A

V ol.57,N o.10,October ,2008

ν2008Chin.Phys.S oc.

型)的介电系数均可以写成适于移位算子法计算的有理分式函数形式.然后,用9Π9t 代替j ω,过渡到

时域,再引入时域移位算子代替时间微分算子来处

理有理分式函数形式的介电系数.给出了用移位算子表达式代替对时间偏微分时从低阶到高阶的严格证明,推导了适应于三种色散介质模型的通用FDT D 递推表达式.最后,给出了本文方法的计算结果和文献结果以及解析解的比较.本文中时谐因子取exp (j ωt ).

21常见色散介质模型及其介电系数表

达式

常见的三种线性、各向同性色散介质模型的介电常数表达式[26]

如下:

1)德拜模型(Debye m odel )

ε(ω)=ε∞+6p

p =1

εs ,p -ε∞,p

1+j ωτp ≡

ε∞+6

p =1

Δεp

1+j ωτp

,(1)

式中,Δεp =εs ,p -ε∞,p ,其中,εs ,p 为静态或零频时的相对介电系数,ε∞,p 为无穷大频率时的相对介电系数;τp 为极点弛豫时间.

2)洛仑兹模型(Lorentz m odel )

ε(ω)=ε∞+

p =1Δεp

ω2

p ω2

p +2j ω

δp -ω2,(2)

式中Δεp 含义同(1)式,ωp 为极点频率,δp 为阻尼系数.

3)德鲁模型(Drude m odel )

ε(ω)=ε∞-6p

p =1

ω2p

ω2-j ω

γp ,

(3)

式中ωp 为德鲁极点频率,γp 为极点弛豫时间的倒数.可以证明(见附录A ),上述几种色散介质模型

中的相对介电系数εr (ω)均可以写成以下有理分式函数形式,即

εr (ω

)=6

n =0

p n (j ω)

n =0

q n (j ω)

.(4)

31各向同性色散介质FDT D 递推式

设各向同性色散介质频域中本构关系为

D (ω)=ε(ω)

E (ω),

(5)式中ε(ω)为复数介电系数.色散介质中麦克斯韦

旋度方程在无源情况为

×E =-9B Π9t =-μ9H Π9t ,

Δ×H =9D Π9t .

(6)(6)式中设导磁系数与频率无关,即B =μH .

按照Y ee 元胞由(6)式第一式可得到磁场强度

H 各分量随时间推进的计算公式[27]

.另外,将(6)式第二式在t =(n +1Π2)Δt 时刻作差分离散可得

(Δ

×H )n +1Π2=[D n +1-D n

]Π

Δt ,(7)即

n +1

=D n +Δt (

×H )n +1Π2

(8)取电位移矢量D 的采样点与电场强度E 的采样点相同,离散(8)式可得D 各分量随时间推进计算公式为(以x 分量为例)

D n +1

x (i +1Π2,j ,k )

=D n

x (i +1Π2,j ,k )+Δt ?{[H n +1Π2

z (i +1Π2,j +1Π2,k )

-H n +1Π2

(i +1Π2,j -1Π2,k )]}ΠΔy -[H n +1Π2

(i +1Π2,j ,k +1Π2)

-H n +1Π2

(i +1Π2,j ,k -1Π2)]Π

Δz }.(9)

(9)式是从H 到D 的递推式,要使FDT D 计算进行

下去,还需要知道从D 到E 的递推式.下面用移位

算子法得到从D 到E 的递推式.

41用移位算子法处理色散介质的本构

关系

下面用移位算子法得到色散介质时域本构关系

表达式,进而得到FDT D 所需的时域递推计算式.4111含移位算子的本构关系

设频域中介质的本构关系为(以x 分量为例)

D x =ε0εr (ω

)E x .(10)若介电系数εr (ω

)可以写成以j ω为自变量的分式多项式,即(4)式的形式,利用频域到时域的算子转换关系j ω→9Π9t ,将(4)式代入(10)式得到时域本构关系为

D x (t )=ε0εr (9Π

9t )E x (t ),(11)

式中εr (9Π9t )为相对介电系数的时域算子形式,表示为

εr (9Π

9t )=6

n =0

p n (9Π9t )

n =0

q n (9Π9t )

.(12)

92610期魏　兵等:一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

将(12)式代入(11)式,并将分母上的求导运算移到

等式左边可得

n =0

q n (9Π9t )

D x (t )

=ε0

n =0

p n (9Π9t )n

E x (t ).

(13)

(13)式是时域中含时间导数算子的本构关系,这是一个微分方程.

为得到方程(13)在时域的递推计算式,下面讨论时间导数算子在离散时域中的形式.设函数

y (t )=9f (t )Π9t ,

(14)(14)式在(n +1Π2)Δt 的中心差分近似为

(y n +1+y n )Π2=(f n +1-f n

)Π

Δt ,(15)其中(15)式左端取平均值近似.引进离散时域的移位算子z t ,定义为

z t f

n +1

,(16)

即移位算子的作用相当于使离散时域数列的n 时

刻值移位到函数在n +1时刻的值.合并(15)和(16)式可得

y n

=(2Δt )[(z t -1)Π(z t +1)]f n ,(17)比较(14)和(17)式有

9Π9t →(2Π

Δt )[(z t -1)Π(z t +1)].(18)

可以证明,高阶时间导数的移位算子形式为(见附录B )

(9Π9t )n

→{(2ΠΔt )[(z t -1)Π(z t +1)]}n .(19)将(19)式代入(13)式并整理得到以下离散时域的本

构关系(为简化,以下令h =2Π

t ):6

l =0

q l {h [(z t -1)Π

(z t +1)]}l

D n

=ε0

l =0

p l {h [(z t -1)Π

(z t +1)]}l

E n

x .(20)

将(20)式两边乘以(z t +1

得

l =0

q l h l (z t +1)

N -l

(z t -1)l D n

=ε0

l =0

p l h l (z t +1)

N -l

(z t -1)l E n x .(21)

(21)式称为离散时域含移位算子的本构关系.4121离散时域的递推关系

首先考虑(2)式中有理分式表示中的最高幂次

N =1和N =2的情形.

情形1　令N =1,将N 代入(21)式整理得

[(q 0+q 1h )z t +(q 0-q 1h )]D n

=ε0[(p 0+p 1h )z t +(p 0-p 1h )]E n

x .

(22)

根据(16)式,可将(22)式写为

E n +1x =[a 0(D n +1

x Πε0)

+a 1(D n

x Πε0)-b 1E n

x ]Π

b 0.(23)

(23)式给出了从D 到E 的递推计算公式,其中

a 0=q 0+q 1h ,a 1=q 0-q 1h ,

b 0=p 0+p 1h ,b 1=p 0-p 1h .

(24)

情形2　令N =2,将N 代入(21)式整理得

{[q 0+q 1h +q 2h 2]z 2

t +[2q 0-2q 2h 2

]z t +[q 0-q 1h +q 2h 2

]}D n

={[p 0+p 1h +p 2h 2

]z 2t +[2p 0-2p 2h 2

]z t

+[p 0-p 1h +p 2h 2]}ε0E n

x .

(25)

根据(16)和(21)式,(25)式可写为

E n +1x =[a 0(D n +1x Πε0)+a 1(D n

x Πε0)

+a 2(D n -1x Πε0)-b 1E n x -b 2E n -1x

]Πb 0.　(26)(26)式给出了从D 到E 的递推计算公式,其中

a 0=q 0+q 1h +q 2h 2

,a 1=2q 0-2q 2h 2

,a 2=q 0-q 1h +q 2h 2

,b 0=p 0+p 1h +p 2h 2,b 1=2p 0-2p 2h 2

,b 2=p 0-p 1h +p 2h 2

(27)

对于N ≥3的一般情况,(21)式可写为

n +1

b 0

l =0

a l (D

n +1-l x

Πε0)-

l =1

b l E n +1-l

.(28)

式中a l ,b l 可由q 0,q 1,…,q N ,p 0,p 1,…,p N 表示.

可以看出,当色散介质的相对介电系数的分式有理

函数的最高次幂N =1时,只需知道前一时刻的D 与E 值和当前时刻的D 值即可求出当前时刻的E .而当N =2时,则需要知道前两个时刻的D ,E 值和当前时刻的D 值才能求出当前时刻的E .

51数值结果

算例中入射波均取高斯脉冲

E i (t )=exp [-4π(t -t 0)2Πτ2

(29)

式中τ为脉冲宽度.以下δ均表示FDT D 计算时的

元胞尺度,Δt 表示时间步长,取Δt =δΠ(2c ),其中c 为真空光速.算例1　吸波介质球的散射

吸波介质球半径为0125米,非磁性介质(μr =

2926物理学报

57卷

110,σm =0).其复相对介电常数可以表示为

ε(ω)=ε∞+(εs -ε∞)Π

(1+j ωt 0)-j σΠωε0,

(30)

式中,ω为入射波频率,j 为虚数单位,εs =1116为频率为零时的相对介电常数,ε∞=1101为频率为无穷大时的相对介电常数,电导率σ=2195×10-4

Ω,t 0

=41497×10

-10

s.图1是该介质球的后向雷达散射

截面(RCS ),图中实线是考虑色散现象后用色散介

质FDT D 程序的计算结果.圆点是Mie 级数的计算结果.可以看出,色散介质FDT D 的计算结果与Mie

级数的结果符合的很好.计算中δ=313×10-3

m ,τ

=60

Δt

.图1　吸波球的后向RCS

算例2　非磁性等离子体球的后向RCS 非磁化等离子体的相对介电系数[28]

为

εr (ω)=[1+ω2

p Π

(ω(j v c -ω))]={[(j ω)2

+v c (j ω)+ω2p ]

Π[(j ω)2

+v c (j ω)]},

(31)

式中,ω2p =(Ne 2

)Π(m ε0)为等离子体频率(N ,e ,m

和ε0分别为电子密度、电子电量、电子质量和真空介电常数),v c 为电子平均碰撞频率.等离子体球半径为3175mm ,非磁性等离子体的相对介电常数可

以表示为(31)式.取v c =210×1010s -1

,ωp =118×1011

H z ,δ=510×10

-2

mm ,τ=60

Δt .图2和图3分别为等离子体后向散射场的时域波形和后向RCS.图中圆圈表示由Mie 级数所得的结果,实线表示本文方法的计算结果,可以看出两者相符.

算例3　等离子体覆盖导体圆柱的宽频后向散射特性

覆盖等离子体的导体圆柱的截面如图4所示

图2　

等离子体球后向散射场时域波形

图3　等离子体球的后向

RCS

图4　等离子体覆盖导体圆柱的示意图

导体圆柱半径为a =012m ,d =b -a 表示等离子体包层厚度.入射方向如图,后向散射.计算中取d =

011m ,δ=015mm.T M 波入射时柱体的散射宽度如图5所示.图5(a )中实线为本文方法的计算结果,○和★是文献[29]的结果,两者符合很好.等离子体

的浓度为N =510×1017m -3

.由图可见,等离子体对

92610期魏　兵等:一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

图5　二维覆盖等离子体的金属圆柱的散射宽度　(a )T M 情形;(b )TE 情形

电磁波的吸收效果明显,且具有很宽的吸收频带.

61结论

本文的推证和计算结果说明,S O 2FDT D 是一种

普遍适用于三种常见色散介质模型的通用计算方

法.该方法数学推证过程清晰明了,便于编制通用程序处理不同类型色散介质的电磁散射问题,且具有较小的内存需求量.本文的数值结果说明了移位算子FDT D 方法的正确性和通用性.

附录A 三种色散介质模型的有理分

式函数形式

S O 2FDT D 方法要求,色散介质的相对介电系数可以写成以j ω为自变量的有理分式函数形式.由于介电系数和相对介电系数只差一个常量ε0,下面用归纳法证明三种常见色散介质模型的介电系数可以写成以j ω为自变量的有理分式函数形式,即

ε(ω)=

n =0

p n (j ω

n =0

q n (j ω)

.(A1)

1)德拜模型(Debye model)

ε(ω)=ε∞+

p =1

[Δεp Π(1+j ωτp )].

(A2)

证明　当P =1时

ε1(ω)=[(ε∞+Δε1(j ω)0+τ1ε∞(j ω

)1]Π[(j ω)0

+τ1(j ω

)1],(A3)

可见,当p =1时,(A2)式可以写成(A1)式的形式.

设当p =n (n ≥1)时,(A2)式可以写成(A1)式的形式,即

εn (ω

)=ε∞+6

p =1

Δεn 1+j ωτp

=ε0

n =0

p n (j

ω)

n =0

q n (j ω

,(A4)

则当p =n +1时,

εn +1(ω)=(p 0b +q 0a )(j ω)0+(p 1b +p 0c +q 1a )(j ω)1

q 0b (j ω

)0+(q 1b +q 0c )(j ω)1+(q 2b +q 1c )(j ω)2+…×+(p 2b +p 1c +q 2a )(j ω)2+…+(p m b +p m -1c +q m a )(j ω)m +p m c (j ω)m +1

+(q m b +q m -1c )(j ω)m +q m c (j ω)

m +1

,(A5)

上式中a =Δεn +1

(j ω)0Πε0,b =(j ω)0,c =τn +1.故εn +1(ω

)也可以写成6

m +1

n =0

p n (j ω

m +1

n =0

q n (j ω)

的形式.

综上所述,无论p 取何值,(A2)式都可以写成(A1)式的形式. 2)洛仑兹模型(Lorentz model)

ε(ω)=ε∞+

p =1

εp

ω2

Π(ω2p +2j ωδp -ω2

).(A6)

4926物理学报57卷

证明　当p =1时

ε1(ω

)=(ε∞ω21+Δε1ω2

1)(j ω

)0+2ε∞δ(j ω1)1+ε∞(j ω)2ω21(j ω

)0+2δ(j ω)1+(j ω)2,

(A7)

故,当p =1时,(A6)式以写成(A1)式的形式.

设当p =n (n ≥1)时,(A6)式可以写成(A1)式的形式,即

εn (ω)=ε∞+6n

p =1Δεp

ω2p ω2p +2j ω

δp -ω2

n =0

p n (j ω)

n =0

q n (j ω)

,(A8)

则当p =n +1时

εn +1(ω)=(p 0b +q 0a )(j ω)0+(p 1b +p 0c +q 1a )(j ω)1+(p 2b +p 1c +p 0d +q 2a )(j ω)2…

q 0b (j ω)0+(q 1b +q 0c )(j ω)1

+(q 2b +q 1c +q 0d )(j ω

)2+…×+(p m b +p m -1c +p m -2d +q m a )(j ω)m +(p m c +p m -1d )(j ω)m +1+p m d (j ω)m +2

+(q m b +q m -1c +q m -2d )(j ω)m +(q m c +q m -1d )(j ω)m +1+q m d (j ω)

m +2

,(A9)

上式中a =Δεn +1ω2n +1Πε0,b =ω2

n +1,c =2δn +1,d =1,故εn +1(ω

)

也可以写成6

m +2

n =0

p n (j ω

m +2

n =0

q n (j ω)

的形式.

综上所述,无论p 取何值,(A6)式都可以写成(A1)式的形式.

3)德鲁模型(Drude model)

ε(ω)=ε∞-6p

p =1

ω2p

Π(ω

2p -j ωγp ).(A10)

证明　当p =1时

ε1(ω)=[(ε∞ω21-ω21)(j ω)0-ε∞γ1(j ω)1]Π[ω2

1(j ω)0-γ1(j ω)1],(A11)

显然,当p =1时,(A10)式可以写成(A1)式的形式.

设当p =n

(n ≥1)时,(A10)式可以写成(A1)式的形式,即

εn (ω

)=6

n =0

p n (j ω

n =0

q n (j ω)

,(A12)

则当p =n +1时

εn +1(ω)=(p 0b +q 0a )(j ω)0+(p 1b +p 0c +q 1a )(j ω)1

q 0b (j ω

)0+(q 1b +q 0c )(j ω)1+(q 2b +q 1c )(j ω)2+…×+(p 2b +p 1c +q 2a )(j ω)2+…+(p m b +p m -1c +q m a )(j ω)m +p m c (j ω)m +1

+(q m b +q m -1c )(j ω)m +q m c (j ω)

m +1

,(A13)

上式中a =-ω2n +1(j ω)0Πε0,b =ω2

n +1

(j ω)0,c =-γn +1,所以εn +1(ω

)也可以写成6

m +1

n =0

p n (j ω

m +1

n =0

q n (j

ω)

的形式.

综上所述,无论p 取何值,(A10)式均可以写成(A1)式的形式.

附录B 高阶时间导数移位算子形式的证明

已知9Π9t →(2Π

Δt )[(z t -1)Π(z t +1)],以下用归纳法证明

(9Π9t )

→{(2Π

Δt )[(z t -1)Π(z t +1)]}n . 证明　设函数y 为函数f 对时间的二阶导数

y (t )=92

f (t )Π9t 2

(B1)

将上式右端在(n +1Π2)Δt 的中心差分近似为

=(f

n +1

-2f

n -1

)ΠΔt 2,(B2)

将(B2)式左端函数y 在n 时刻的值由n +1时刻,n 时刻和n

-1时刻的值平均得到,则(B2)式可以改写为

=y n

n +1

n -1

4+y

n +1

+2y n

+y n -1

n +1

-2f n

+f n -1

Δt 2

.(B 3)

引进离散时域的移位算子z t ,即定义为(16)式,由(16)和(B3)式可得

92610期魏　兵等:一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

y n-1=

Δt2

z2t-2z t+1

z2t+2z t+1

f n-1=

Δt

z t-1

z t+1

f n-1.(B4)

可见当n=2时(19)式成立.

设n=k时(19)式成立,即

(9Π9t)k→{(2ΠΔt)[(z t-1)Π(z t+1)]}k,(B5)则当n=k+1时,设函数y是函数f对时间的k+1阶偏导y(t)=9k+1f(t)Π9t k+1=(9Π9t)[9k f(t)]Π9t k,(B6)令

x(t)=9k f(t)Π9t k,(B7) (B6)式可以写成

y(t)=(9Π9t)(x(t)).(B8)同样引进离散时域的移位算子z

,即

z t x n=x n+1,(B9)可得

y n=(2ΠΔt)[(z t-1)Π(z t+1)]x n.(B10)综合(B5),(B7)和(B10)式可得

y k+1=

Δt

z t-1

z t+1

Δt

z t-1

z t+1

Δt

z t-1

z t+1

k+1

.(B11)可见当n=k+1时(19)式是成立的.

综上所述,无论k取任何整数值,(19)式均成立.

[1]Luebbers R J,Hunsberger F,K unz K S,S tandler R,Schneier M1990

IEEE https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html,pat.32222

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[莫锦军、刘少斌、袁乃昌2004微波学报1920]

6926物理学报57卷

A general method for finite difference time domain modeling

of wave propagation in frequency 2dispersive media 3

W ei Bing G e De 2Biao W ang Fei

(Department o f Physics ,Xi πdian Univer sity ,Xi πan 710071,China )(Received 17December 2007;revised manuscript received 11April 2008)

Abstract

The analysis of electromagnetic scattering and propagation in dispersive media is com plicated in time domain ,because its dielectric property is frequency 2dependent.A disadvantage of the prevailing alg orithms is the need to deduce different formulations for each dispersion m odel.In this paper ,the shift operator finite difference time domain (S O 2FDT D )method is developed.First ,we prove that the com plex perm ittivity of three kinds of general dispersive media m odels ,i.e.Debye m odel ,the Lorentz m odel and the Drude m odel ,may be described by rational polynom ial functions in j ω.By introducing a shift operator z t ,the constitutive relation between D and E is derived in discretised time domain.The shift operator method is then applied to the general dispersive medium case.The recursive formulation for D and E available for FDT D com putation is obtained.Finally ,the scatterings by a dispersive sphere and a PEC object covered w ith dispersive media are com puted.The com puted results are in g ood agreement w ith the literature and the one obtained by M ie πs series solution.This illustrates the generality and the feasibility of the presented scheme.

K eyw ords :FDT D method ,dispersive media ,shift operator PACC :4110H ,5170,5210

3Project supported by the National Natural Science F oundation of China (G rant N o.60871070)and the National Science F oundation for P ost 2doctoral

Scientists of China (G rant N o.20070421109).

E 2mail :bwei @https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html,

92610期魏　兵等:一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

有限差分法

对所学有限差分法的总结和其一些应用 07410301班邓齐波 20032471

一：有限差分方法的总结有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网各界点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。分类对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

在所学课程‘力学计算’中《偏微分方程数值解》，我们主要学习了一维抛物型方程、二维和三维抛物型方程、一维双曲型方程以及二维线形二阶椭圆型方程。流体力学有限差分法与结构力学有限元法区别对于有限差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。二、有限差分法的一些应用 Ⅰ有限差分法求解静电场问题在李国生的《Solving Electric Field Problem with Finite-difference Method》中，简介了有限差分法(FDM)的起源,讨论其在静电场求解中的应用.以铝电解槽物理模型为例,采用FDM 对其场域进行离散,使用MATLAB和C求解了各节点的电位.由此,绘制

时域有限差分法的Matlab仿真

时域有限差分法的Matlab仿真关键词: Matlab 矩形波导时域有限差分法摘要：介绍了时域有限差分法的基本原理，并利用Matlab仿真，对矩形波导谐振腔中的电磁场作了模拟和分析。关键词：时域有限差分法；Matlab；矩形波导；谐振腔目前，电磁场的时域计算方法越来越引人注目。时域有限差分（Finite Difference Time Domain，FDTD）法［1］作为一种主要的电磁场时域计算方法，最早是在1966年由K. S. Yee提出的。这种方法通过将Maxwell旋度方程转化为有限差分式而直接在时域求解，通过建立时间离散的递进序列，在相互交织的网格空间中交替计算电场和磁场。经过三十多年的发展，这种方法已经广泛应用到各种电磁问题的分析之中。 Matlab作为一种工程仿真工具得到了广泛应用［2］。用于时域有限差分法，可以简化编程，使研究者的研究重心放在FDTD法本身上，而不必在编程上花费过多的时间。下面将采用FDTD法，利用Matlab仿真来分析矩形波导谐振腔的电磁场，说明了将二者结合起来的优越性。 1FDTD法基本原理时域有限差分法的主要思想是把Maxwell方程在空间、时间上离散化，用差分方程代替一阶偏微分方程，求解差分方程组，从而得出各网格单元的场值。FDTD 空间网格单元上电场和磁场各分量的分布如图1所示。电场和磁场被交叉放置，电场分量位于网格单元每条棱的中心，磁场分量位于网格单元每个面的中心，每个磁场（电场）分量都有4个电场（磁场）分量环绕。这样不仅保证了介质分界面上切向场分量的连续性条件得到自然满足，而且

还允许旋度方程在空间上进行中心差分运算，同时也满足了法拉第电磁感应定律和安培环路积分定律，也可以很恰当地模拟电磁波的实际传播过程。 1.1Maxwell方程的差分形式旋度方程为：将其标量化，并将问题空间沿3个轴向分成若干网格单元，用Δx，Δy和Δz 分别表示每个网格单元沿3个轴向的长度，用Δt表示时间步长。网格单元顶点的坐标（x，y，z）可记为：其中：i，j，k和n为整数。同时利用二阶精度的中心有限差分式来表示函数对空间和时间的偏导数，即可得到如下FDTD基本差分式：由于方程式里出现了半个网格和半个时间步，为了便于编程，将上面的差分式改写成如下形式：

一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法 3 魏　兵　葛德彪　王　飞 (西安电子科技大学物理系,西安　710071)(2007年12月17日收到;2008年4月11日收到修改稿) 色散介质的介电系数是频率的函数,使本构关系在时域成为卷积关系.这就给用时域有限差分方法计算色散介质中波的散射和传播带来了困难.现有算法往往要针对不同色散介质模型推导相应的递推公式,算法的通用性较差.本文完善和发展了移位算子2时域有限差分方法,使之成为一种处理色散介质电磁问题的通用方法.首先,证明了常见的三种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模型)的介电系数均可以写成适于移位算子法计算的有理分式函数形式.然后,用9Π9t 代替j ω,过渡到时域,再引入时域移位算子z t 代替时间微分算子来处理有理分式函数形式的介电系数,给出离散时域本构关系的表示式,进而导出时域有限差分方法当中电位移矢量和电场强度之间的关系.最后,计算了几种色散介质的电磁散射,数值结果表明了本文方法和程序的通用性和正确有效性. 关键词:时域有限差分方法,色散介质,移位算子 PACC :4110H ,5170,5210 3国家自然科学基金(批准号:60871070)和国家博士后科学基金(批准号:20070421109)资助的课题. E 2mail :bwei @https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html, 11引言近十几年来,随着国内外对时域有限差分(finite difference time domain ,FDT D )方法研究的深入,将该方法用于处理色散介质电磁问题引起人们的关注.1990年,Luebbers 等人[1] 提出了适用于Debye 模型的递归卷积FDT D 方法(recursive conv olution FDT D ,RC 2 FDT D ),然后将该方法推广到等离子体介质[2] 和N 阶色散介质 [3,4] .Hunsberger 等人[5] 将RC 2FDT D 方法推广用于磁化等离子体介质.Luebbers 等人[6]研究了色散介质球的电磁散射问题.K elley 等人[7] 用电场的分段线性(piecewise linear )近似(P LRC 2FDT D 方法改善了RC 2FDT D 方法)的计算精度.Siushansian 等人[8] 采用离散的梯形递归卷积(TRC 2FDT D )方法改善了RC 2FDT D 方法的计算精度.此外,处理色散介质电磁问题的FDT D 方法还有辅助方程(ADE )法 [9—11] ,Z 变换法 [12—14] ,电流密度卷积(J EC )法[15] , Y oung 氏直接积分法 [16—18] ,分段线性电流密度卷积 (P LJ ERC )算法[19,20]等.近年来,对色散介质的研究已逐步深入到各向异性介质的情形[21—24] . 上述几种方法中,RC 法将电位移矢量写成电场强度的卷积,离散该卷积成迭代求和式,再联立电场强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.J EC 法将极化电流密度表示为电场强度的卷积并离散得到迭代方程,再联立电场强度和磁场强度的迭代式,实现时域迭代计算.P LRC 法和P LJ ERC 法分别在RC 法和J EC 法的基础上引进分段线性近似以改善计算精度.ADE 法将Maxwell 方程和介质所满足的相关方程直接差分,得到一个包含多个量的差分方程组,从而实现场量的时域迭代计算.Z 变换法把频域本构关系变换到Z 域,然后再通过Z 域得到时域递推式.RC 法,P LRC 法,J EC 法和P LJ ERC 法等需进行复杂卷积计算.ADE 法和Z 变换法的数学过程也比较繁琐.总的来讲,现有方法往往需要对不同的色散介质推导相应的递推公式,并编制相应计算程序,算法和程序的通用性较差. 2002年,葛德彪等人 [25] 提出了处理色散介质电磁问题的移位算子2时域有限差分(shift operator finite difference time domain ,S O 2FDT D )方法并讨论了该算法在非磁性等离子体中的应用.本文完善和发展了文献[25]所提出的S O 2FDT D 方法,使之成为色散介质电磁问题处理的通用算法.首先,证明了常见的三种色散介质模型(德拜模型、洛伦兹模型和德鲁模第57卷第10期2008年10月100023290Π2008Π57(10)Π6290208 物　理　学　报 ACT A PHY SIC A SI NIC A V ol.57,N o.10,October ,2008 ν2008Chin.Phys.S oc.

时域有限差分法发展综述

时域有限差分法发展综述潘忠摘要:时域有限差分法(FDTD)是解决复杂电磁问题的有效方法之一，目前FDTD 法的许多重要问题得到了很好的解决，已经发展成为一种成熟的数值计算方法。随着计算机数据处理性能的快速提高和计算机价格的下降，使得FDTD法的应用范围越来越广，而FDTD法本身在应用中又有新的发展.本文介绍并分析了时域有限差分法，对各种条件的应用进行了比较和分析，给出了具有一定参考价值的结论。关键词:时域有限差分法;研究与发展;比较;分析 A Summary of FDTD and Development at Home and Abroad Zhong Pan Abstract: The finite difference time-domain (FDTD) method is one of the most effective methods to solve electromagnetic problems. Many important questions of FDTD method have been solved well through many scientists’ effort. Now, FDTD method is a mature numerical method. Especially in few years, the range of using FDTD method is becoming wider and wider because of the faster data processing and processing and cheaper price of computer. FDTD method has also been developed during using. FDTD method is introduced and discussed in this paper. The applications of various conditions are compared and analyzed. Finally, some valuable conclusions are drawn. Key words: FDTD; Research and Development; Comparison; Analysis 1966年，K.S.Yee首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域。

基于时域有限差分法的软件设计

第一章引言 1.1 时域有限差分法技术的发展计算电磁学是现代电磁场理论、现代数值计算方法、现代计算机技术相结合所产生的一门交叉学科。计算电磁学以电磁场理论为基础，以高性能计算机技术为工具和手段，运用计算数学提供的各种方法，为电磁场理论的研究提供了有力工具。当前计算电磁学中使用较多的方法主要有两大类：一类是以电磁场问题的积分方程为基础的数值方法，如矩量法系列；另一类是以电磁场问题的微分方程为基础的数值方法，如有限差分法系列。有限差分法简称差分法，这种方法以简单、直观的特点而得到广泛的应用，无论是常微分方程还是偏微分方程、各种类型的二阶线性方程，以致高阶或非线性方程，均可利用差分法转化为代数方程组，而后用计算机求其数值解。特别的，作为一种电磁场数值计算方法，时域有限差分法（Finite-Difference Time-Domain Method）具有一些非常突出的优点（直接时域计算、节约存储空间和计算时间、适合并行计算、简单），得到了越来越广泛的应用。 1966年，K.S.Yee提出了时域有限差分法的基本原理，他在论文中用后来被称为Yee网格的空间离散方式，把带时间变量的Maxwell旋度方程转化为差分格式，并成功地模拟了电磁脉冲与理想导体作用的时域响应。这就诞生了后来被称为时域有限差分发（FDTD）的一种新的时域计算方法。近十年来，它倍受专家、学者青睐，被称为90年代重要的电磁场计算方法之一。在最初20年的发展中，主要解决的是以下一些问题：吸收边界的应用和不断改善；总场区和散射场区的划分；实现稳态场的计算。80年代后期以来，时域有限差分法由成熟转入被广泛接受和应用，在应用中又不断有新的发展。在这一阶段主要解决了以下几个问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线坐标系中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的差分格式；超吸收边界条件和色散吸收边界条件等。时域有限差分近期发展的另一个特点是迅速扩大了它的应用范围。在80年代中期它还主要应用于电磁场散射问题，到80年代中期首先成功地用到了生物电磁剂量学问题的计算的电磁热疗系统的计算机模拟。到80年代后期，证明了时域有限差分法用于微波电路的时域分析非常成功。进入90年代以来又被用于天线辐射特性的计算问题。随着新技术的不断提出，应用的范围和质量正在不断地扩大和提高。

LED-FDTD LED时域有限差分方法

Efficiency enhancement of homoepitaxial InGaN/GaN light-emitting diodes on free-standing GaN substrate with double embedded SiO2 photonic crystals Tongbo Wei,* Ziqiang Huo, Yonghui Zhang, Haiyang Zheng, Yu Chen, Jiankun Yang, Qiang Hu, Ruifei Duan, Junxi Wang, Yiping Zeng, and Jinmin Li Semiconductor Lighting Technology Research and Development Center, Institute of Semiconductors, Chinese Academy of Sciences, Beijing 100083, China *tbwei@https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html, Abstract: Homoepitaxially grown InGaN/GaN light emitting diodes (LEDs) with SiO2 nanodisks embedded in n-GaN and p-GaN as photonic crystal (PhC) structures by nanospherical-lens photolithography are presented and investigated. The introduction of SiO2 nanodisks doesn’t produce the new dislocations and doesn’t also result in the electrical deterioration of PhC LEDs. The light output power of homoepitaxial LEDs with embedded PhC and double PhC at 350 mA current is increased by 29.9% and 47.2%, respectively, compared to that without PhC. The corresponding light radiation patterns in PhC LEDs on GaN substrate show a narrow beam shape due to strong guided light extraction, with a view angle reduction of about 30°. The PhC LEDs are also analyzed in detail by finite-difference time-domain simulation (FDTD) to further reveal the emission characteristics. ?2014 Optical Society of America OCIS codes: (230.0230) Optical devices; (230.3670) Light-emitting diodes; (160.5298) Photonic crystals; (220.4241) Nanostructure fabrication. References and links 1. B. Monemar and B. E. Sernelius, “Defect related issues in the “current roll-off” in InGaN based light emitting diodes,” Appl. Phys. Lett. 91(18), 181103 (2007). 2. G. Verzellesi, D. Saguatti, M. Meneghini, F. Bertazzi, M. Goano, G. Meneghesso, and E. Zanoni, “Efficiency droop in InGaN/GaN blue light-emitting diodes: Physical mechanisms and remedies,” J. Appl. Phys. 114(7), 071101 (2013). 3. K. Akita, T. Kyono, Y. Yoshizumi, H. Kitabayashi, and K. Katayama, “Improvements of external quantum efficiency of InGaN-based blue light-emitting diodes at high current density using GaN substrates,” J. Appl. Phys. 101(3), 033104 (2007). 4. Y. Yang, X. A. Cao, and C. H. Yan, “Rapid efficiency roll-off in high-quality green light-emitting diodes on freestanding GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 94(4), 041117 (2009). 5. C.-L. Chao, R. Xuan, H.-H. Yen, C.-H. Chiu, Y.-H. Fang, Z.-Y. Li, B.-C. Chen, C.-C. Lin, C.-H. Chiu, Y.-D. Guo, J.-F. Chen, and S.-J. Cheng, “Reduction of Efficiency Droop in InGaN Light-Emitting Diode Grown on Self-Separated Freestanding GaN Substrates,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(12), 798–800 (2011). 6. M. J. Cich, R. I. Aldaz, A. Chakraborty, A. David, M. J. Grundmann, A. Tyagi, M. Zhang, F. M. Steranka, and M. R. Krames, “Bulk GaN based violet light-emitting diodes with high efficiency at very high current density,” Appl. Phys. Lett. 101(22), 223509 (2012). 7. X. A. Cao, S. F. LeBoeuf, M. P. D’Evelyn, S. D. Arthur, J. Kretchmer, C. H. Yan, and Z. H. Yang, “Blue and near-ultraviolet light-emitting diodes on free-standing GaN substrates,” Appl. Phys. Lett. 84(21), 4313 (2004). 8. Y. J. Zhao, J. Sonoda, C.-C. Pan, S. Brinkley, I. Koslow, K. Fujito, H. Ohta, S. P. DenBaars, and S. Nakamura, “30-mW-class high-power and high-efficiency blue (1011) semipolar InGaN/GaN light-emitting diodes obtained by backside roughening technique,” Appl. Phys. Express 3, 102101 (2010). 9. Y.-K. Fu, B.-C. Chen, Y.-H. Fang, R.-H. Jiang, Y.-H. Lu, R. Xuan, K.-F. Huang, C.-F. Lin, Y.-K. Su, J.-F. Chen, and C.-Y. Chang, “Study of InGaN-based light-emitting diodes on a roughened backside GaN substrate by a chemical wet-etching process,” IEEE Photon. Technol. Lett. 23(19), 1373–1375 (2011). #209568 - $15.00 USD Received 4 Apr 2014; revised 23 May 2014; accepted 26 May 2014; published 2 Jun 2014 (C) 2014 OSA30 June 2014 | Vol. 22, No. S4 | DOI:10.1364/OE.22.0A1093 | OPTICS EXPRESS A1093

时域有限差分法(姚伟)介绍

伊犁师范学院硕士研究生 ————期末考核科目：电磁波有限时域差分方法姓名：姚伟学号：1076411203009 学院：电子与信息工程学院专业：无线电物理

时域有限差分法 1 选题背景在多种可用的数值方法中，时域有限差分法(FDTD)是一种新近发展起来的可选方法。1966年，K.S.Yee 首次提出电磁场数值计算的新方法—时域有限差分法(Finite Difference- Time Domain ，简称FDTD)。经历了二十年的发展FDTD 法才逐渐走向成熟。上世纪80年代后期以来FDTD 法进入了一个新的发展阶段，即由成熟转为被广泛接受和应用的阶段。FDTD 法是解决复杂问题的有效方法之一，是一种直接基于时域电磁场微分方程的数值算法，它直接在时域将Maxwell 旋度方程用二阶精度的中心差分近似，从而将时域微分方程的求解转换为差分方程的迭代求解。是电磁场和电磁波运动规律和运动过程的计算机模拟。原则上可以求解任意形式的电磁场和电磁波的技术和工程问题，并且对计算机内存容量要求较低、计算速度较快、尤其适用于并行算法。现在FDTD 法己被广泛应用于天线的分析与设计、目标电磁散射、电磁兼容、微波电路和光路时域分析、生物电磁剂量学、瞬态电磁场研究等多个领域[1]。 2 原理分析 2.1 FDTD 的Yee 元胞 E,H 场分量取样节点在空间和时间上采取交替排布，利用电生磁，磁生电的原理 t t ??=??=??E D H ε t t ??-=??-=??H B E μ 图1 Yee 模型如图1所示，Yee 单元有以下特点[2]： 1）E 与H 分量在空间交叉放置，相互垂直；每一坐标平面上的E 分量四周由H 分量环绕，H 分量的四周由E 分量环绕；场分量均与坐标轴方向一致。 2）每一个Yee 元胞有8个节点，12条棱边，6个面。棱边上电场分量近似相等，用棱边的中心节点表示，平面上的磁场分量近似相等，用面的中心节点表示。 3）每一场分量自身相距一个空间步长，E 和H 相距半个空间步长 4）每一场分量自身相距一个时间步长，E 和H 相距半个时间步长，电场取n 时刻的值，磁场取n+0.5时刻的值；即：电场n 时刻的值由n-1时刻的值得到，磁场n+0.5时刻的值由n-0.5时刻的值得到；电场n 时刻的旋度对应n+0.5时刻的磁场值，磁场n+0.5时刻的

FDTD(时域有限差分法)算法

% Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. % %*********************************************************************** clear %*********************************************************************** % Fundamental constants

时域有限差分法对平面TE波的MATLAB仿真

时域有限差分法对平面TE波的 MATLAB仿真摘要时域有限差分法是由有限差分法发展出来的数值计算方法。自1966年Yee 在其论文中首次提出时域有限差分以来，时域有限差分法在电磁研究领域得到了广泛的应用。主要有分析辐射条线、微波器件和导行波结构的研究、散射和雷达截面计算、分析周期结构、电子封装和电磁兼容的分析、核电磁脉冲的传播和散射以及在地面的反射及对电缆传输线的干扰、微光学元器件中光的传播和衍射特性等等。由于电磁场是以场的形态存在的物质，具有独特的研究方法，采取重叠的研究方法是其重要的特点，即只有理论分析、测量、计算机模拟的结果相互佐证，才可以认为是获得了正确可信的结论。时域有限差分法就是实现直接对电磁工程问题进行计算机模拟的基本方法。在近年的研究电磁问题中，许多学者对时域脉冲源的传播和响应进行了大量的研究，主要是描述物体在瞬态电磁源作用下的理论。另外，对于物体的电特性，理论上具有几乎所有的频率成分，但实际上，只有有限的频带内的频率成分在区主要作用。文中主要谈到了关于高斯制下完全匹配层的差分公式的问题，通过MATLAB 程序对TE波进行了仿真，模拟了高斯制下完全匹配层中磁场分量瞬态分布。得到了相应的磁场幅值效果图。关键词：时域有限差分完全匹配层MATLAB 磁场幅值效果图

目录摘要 (1) 目录 (3) 第一章绪论 (4) 1.1 课题背景与意义 (4) 1.2 时域有限差分法的发展与应用 (4) 2.1 Maxwell方程和Yee氏算法 (7) 2.2 FDTD的基本差分方程 (9) 2.3 时域有限差分法相关技术 (11) 2.3.1 数值稳定性问题 (11) 2.3.2 数值色散 (12) 2.3.3 离散网格的确定 (13) 2.4 吸收边界条件 (13) 2.4.1 一阶和二阶近似吸收边界条件 (14) 2.4.2 二维棱边及角顶点的处理 (17) 2.4.3 完全匹配层 (19) 2.5 FDTD计算所需时间步的估计 (23) 第三章MATLAB的仿真的程序及模拟 (25) 3.1 MATLAB程序及相应说明 (25) 3.2 出图及结果 (28) 3.2.1程序部分 (28) 3.2.2 所出的效果图 (29) 第四章结论 (31) 参考文献 (32)

FDTD(时域有限差分法)算法的Matlab源程序

% 3-D FDTD code with PEC boundaries %*********************************************************************** % % Program author: Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % 608-265-5739 % hagness@https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html, % % Date of this version: February 2000 % % This MATLAB M-file implements the finite-difference time-domain % solution of Maxwell's curl equations over a three-dimensional % Cartesian space lattice comprised of uniform cubic grid cells. % % To illustrate the algorithm, an air-filled rectangular cavity % resonator is modeled. The length, width, and height of the % cavity are 10.0 cm (x-direction), 4.8 cm (y-direction), and % 2.0 cm (z-direction), respectively. % % The computational domain is truncated using PEC boundary % conditions: % ex(i,j,k)=0 on the j=1, j=jb, k=1, and k=kb planes % ey(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, k=1, and k=kb planes % ez(i,j,k)=0 on the i=1, i=ib, j=1, and j=jb planes % These PEC boundaries form the outer lossless walls of the cavity. % % The cavity is excited by an additive current source oriented % along the z-direction. The source waveform is a differentiated % Gaussian pulse given by % J(t)=-J0*(t-t0)*exp(-(t-t0)^2/tau^2), % where tau=50 ps. The FWHM spectral bandwidth of this zero-dc- % content pulse is approximately 7 GHz. The grid resolution % (dx = 2 mm) was chosen to provide at least 10 samples per % wavelength up through 15 GHz. % % To execute this M-file, type "fdtd3D" at the MATLAB prompt. % This M-file displays the FDTD-computed Ez fields at every other % time step, and records those frames in a movie matrix, M, which % is played at the end of the simulation using the "movie" command. %

辛算法在电磁计算中的应用

辛算法在电磁计算中的应用摘要近几年，随着计算机性能的飞速发展和计算物理中各种新型算法的出现，各种电磁场数值方法层出不穷，但很多算法面临着计算时间长、储存空间不足及计算精度低等方面的困难。Hamilton系统理论是当代数学物理中的一个重要的工具。一切守恒的物理过程，总能表示成适当的Hamilton系统。辛算法正是保持Hamilton系统内在性质的一种新型数值方法，该算法在长时间的数值计算中，具有一般数值方法无可比拟的计算优势。本文首先介绍了电磁学的基本背景和电磁计算的研究，然后介绍了辛算法。接着，介绍了辛算法在Maxwell方程中的应用，然后在无耗煤质和散射存在时的情况下分析了辛时域有限差分法的计算式。最后，以真空中一维的高斯脉冲电磁波为例用辛算法进行了数值运算。关键词：电磁计算；辛算法；Hamilton系统；Maxwell方程一．引言电磁场理论的应用遍及地理学、生命科学、医学、材料科学和信息科学等几乎所有技术学科领域。计算电磁学是以电磁场理论为基础，以高性能的计算技术为手段，运用计算数学提供的各种方法，解决复杂电磁场理论和工程问题的应用科学。因此，开展计算电磁学的研究不仅可以产生国际水平的基础研究成果，更重要的是可以促进我国民用和军用电磁学相关领域的发展。早在1864年，Maxwell在前人理论和实验的基础上建立了统一的电磁场理论，并用数学模型揭示了自然界一切宏观电磁现象所遵循的普遍规律，这就是Maxwell方程组，它包括微分形式和积分形式。简单地说，所有的宏观电磁问题都可以归结为Maxwell方程组在各种边界条件下的求解问题。计算电磁学自20世纪60年代兴起，至今40余年。纵观整个电磁理论发展的过程，电磁学的发展可以分为两个阶段。以20世纪60年代为分界点，之前可以称为经典电磁学阶段，在这个时期，电磁场理论和工程中的许多问题大多采用解析或渐进的

时域有限差分法论文

时域有限差分法

Problem 5.1 In this illustrative solution, the electric-field hard source condition of (5.1) is implemented at the far-left grid boundary. The source time function has an amplitude of 1.0 V/m and a frequency of 10 GHz. The reflecting barrier (PEC) is implemented at the far-right grid boundary. The computational domain represents a physical length of 15 cm. Matlab code: %*********************************************************************** % 1D FINITE-DIFFERENCE TIME-DOMAIN SOLUTION: PLANE WAVE PROPAGATION %*********************************************************************** % % Program author: % Prof. Susan C. Hagness % Department of Electrical and Computer Engineering % University of Wisconsin-Madison % 1415 Engineering Drive % Madison, WI 53706-1691 % hagness@https://www.sodocs.net/doc/7c2095866.html, % %*********************************************************************** clear; %..........Material Parameters............ cc=2.99792458e8; %speed of light in free space muz=4.0*pi*1.0e-7; %permeability of free space epsz=1.0/(cc*cc*muz); %permittivity of free space eps=[1.0]; %relative permittivity sig=[0.0]; %electric conductivity mur=[1.0]; %relative permeability sim=[0.0]; %magnetic loss media=length(eps); %..........Space, Time, and Source Parameters... S=1.0; freq=10e9; %frequency of sinusoidal excitation = 10 GHz E0=1.0; %amplitude of sinusoidal excitation = 1.0 V/m lambda=cc/freq; length=0.15; %physical length of grid (in units of m) dx=lambda/20; %grid resolution of 20 cells per wavelength dt=S*dx/cc; ie=round(length/dx)+1; %number of Ez samples in grid ih=ie-1; %number of Hy samples in grid nmax=3*round(ie*S); source(1:nmax)=E0*sin(2*pi*freq*(1:nmax)*dt); %..........Initial Conditions........... ez(1:ie)=0.0; hy(1:ih)=0.0;

一种处理色散介质问题的通用时域有限差分方法

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