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2016版导数题型归类第八讲:极值点偏移问题

2016版导数分类提高

第八讲 极值点偏移一(纯偏型)

课类:技巧与方法 课型:体验式 主讲:江海桃 电话:132******** 微信:dh187********

一、学习目标

1.了解极值偏移的两种类型

2.掌握两种极值偏移的处理方法

二、学习过程

【定义】什么是极值点偏移?

我们知道二次函数f(x)的顶点就是极值点0x ,若f(x)=c 的两根的中点为

2

21x x +,则刚好有221x x +=0x ,即极值点在两根的正中间,也就是极值点没有偏移;而函数x e

x x g =)(的极值点0x =1刚好在两根的中点221x x +的左边,我们称之为极值点左偏。

【分类】

【分类一】按极值点的偏移来分

分为两类:左偏221x x +>0x ;右偏2

21x x +<0x . 【分类二】按极值点偏移的处理方法分

分为两类:纯偏移,非纯偏移.

【类型一】纯偏移型

纯偏移的处理策略为:构造函数)2()()(x x f x f x F o --=或是()()(

o o F x f x x f x x =+--. 例题1.已知函数)()(R x xe x f x ∈=-.

(1)求函数f(x)的单调区间和极值;

(2)已知函数y=g(x)的图像与函数y=f(x)的图像关于直线x=1对称,证明:当x>1时,f(x)>g(x);

(3)若1x ≠2x ,且f(1x )=f(2x ),证明:1x +2x >2.

练习.已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=.

(1)讨论)(x f 的单调性;

(2)设0>a ,证明:当a x 10<<时,)1()1(x a

f x a f ->+; (3)若函数)(x f y =的图像与x 轴交于A ,B 两点,线段AB 中点的横坐标为x 0, 证明:f '(x 0)<0.

例题2.已知函数x e x x x f 2

11)(+-=. (1)求函数)(x f 的单调区间;

(2)证明:若1x ≠2x ,且f(1x )=f(2x )时,则1x +2x <0.

练习.已知函数R a a ax e x f x

∈+-=,)(,其中图像与x 轴交于A(0,1x ),B (0,2x ),且 21x x <.

(1)求a 的取值范围;

(2)证明:0)(21'

(3)设点C 在函数)(x f y =的图像上,且ABC ?为等腰直角三角形,记t x x =--1

112,求 (a-1)(t-1)的值.

【课后总结】

纯极值点偏移的处理步骤:

1.构造一元差函数)2()()(x x f x f x F o --=或是()()()o o F x f x x f x x =+--;

2.对差函数F(x)求导,判断单调性;

3.结合F(0)=0,判断F(x)的符号,从而确定)(0x x f +与)(0x x f -的大小关系;

4.由)]([)()(20021x x x f x f x f --==_____002[()]f x x x +-=)2(0x x f -的大小关系,得到)(1x f ________)2(0x x f -,(横线上为不等号);

5.结合f(x)单调性得到1x ____022x x -_,进而得到221x x +________0x .

三、课后作业

已知函数2ln )(x x a x f -=.

(1)讨论函数)(x f 的单调性;

(2)当a=2时,函数h(x)=f(x)-mx 的图像与x 轴交于两点A(0,1x ),B (0,2x ),且 210x x <<,又)('x h 是)(x h 的导函数,若正常数βα,满足条件1=+βα,αβ≥, 证明:0)(21'

<+x x h βα.

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