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2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）已知极限0arctan lim
k
x x x
c x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）
（A ）1
2,2k c ==-
（B ）1
2,2k c ==
（C ）1
3,3k c ==-
（D ）1
3,3
k c ==
（2）曲面2
cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --=
（3）设1()2f x x =-，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==?，令1
()s i n n n S x b n x π∞==∑，则9()4S -=（ ） （A ）
3
4 （B ）14
（C ）1
4-
（D ）3
4
-
（4）设222222
221234
:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33
()(2)(1,2,3,4)63i
i l y x I y dx x dy i =++-=?，则()i MAX I =( )
（A ）1I （B ）2I （C ）3I （D ）3I
（5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若,B AB C =则可逆，则 （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价
（6）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000?? ?
?
?
?
?相似的充分必要条件为
（A ）a 0,b 2== （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a
（D ）为任意常数b a ,2=
（7）设123X X X ，，是随机变量，且22
123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,
{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）
（A ）123P P P >> （B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >>
（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2
{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α-
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. (9)设函数()f x 由方程(1)
x y y x e
--=确定，则1
lim (()1)n n f n
→∞
-= ．
(10)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x
y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该
方程的通解为y = ．
(11)设sin sin cos x t y t t t
=??=+?（t 为参数），则22
4
t d y dx π=
= ．
(12)
2
1
ln (1)x
dx x +∞
=+?
．
（13）设ij A (a )=是三阶非零矩阵，|A |为A 的行列式，ij A 为ij a 的代数余子式，若
ij ij a A 0(i,j 1,2,3),____A +===则
（14）设随机变量Y 服从参数为1的指数分布,a 为常数且大于零，则{1|}P Y a Y a ≤+>=________。 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 计算
1
,?
其中1ln(1)()x t f x dt t +=?
（16）（本题满分10分）
设数列{}n a 满足条件：0123,1,(1)0(2),n n a a a n n a n -==--=≥()S x 是幂级数0
n
n n a x
∞
=∑的和函数，
（I ） 证明：()()0S x S x ''-=, （II ）
求()S x 的表达式.
（17）（本题满分10分）
求函数3(,)()3
x y
x f x y y e +=+的极值.
（18）（本题满分10分）
设奇函数()f x 在[-1,1]上具有2阶导数，且(1)1,f =证明： （I ） 存在(0,1),'()1f ξξ∈=使得
（II ） 存在()1,1η∈-，使得''()'()1f f ηη+=
（19）（本题满分10分）
设直线L 过(1,0,0),(0,1,1)A B 两点，将L 绕Z 轴旋转一周得到曲面,∑∑与平面0,2z z ==所围成的立体为Ω， （I ） 求曲面∑的方程 （II ） 求Ω的形心坐标.
（20）（本题满分11分） 设101,101a A B b ????
==
? ?????
，当,a b 为何值时，存在矩阵C 使得AC CA B -=，并求所有矩阵C 。
（21）（本题满分11分）
设二次型()()()22123112233112233,,2f x x x a x a x a x b x b x b x =+++++，记112233,a b a b a b αβ????
? ?
== ? ? ? ?????
。
（I ）证明二次型f 对应的矩阵为2T T
ααββ+；
（II ）若,αβ正交且均为单位向量，证明二次型f 在正交变化下的标准形为二次型22
122y y +。
（22）（本题满分11分）
设随机变量的概率密度为2
103()4
x
x f x ?<
1212x Y x x x ≤??
=<
,
（I ）求Y 的分布函数 （II ）求概率{}P X Y ≤ （23）（本题满分11分）
设总体X 的概率密度为()23,0,
0,.x e x f x x θ
θ-?>?=???
其它其中θ为未知参数且大于零，12,N X X X ，为来自总体
X 的简单随机样本.
（1）求θ的矩估计量；
（2）求θ的最大似然估计量.
2013年全国硕士研究生入学统一考试
数学一试题答案
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．
指定位置上. （1）已知极限0arctan lim k
x x x
c x →-=，其中,c k 为常数，且0c ≠，则（ ）
（A ）1
2,2k c ==-
（B ）1
2,2k c ==
（C ）1
3,3k c ==-
（D ）1
3,3
k c ==
【答案】D
【解析】333
00011(())arctan 133lim lim lim ,3,3
k k k x x x x x x o x x
x x c k c x x x →→→--+-===∴== （2）曲面2
cos()0x xy yz x +++=在点(0,1,1)-处的切平面方程为（ ） （A ）2x y z -+=- （B ）2x y z ++= （C ）23x y z -+=- （D ）0x y z --= 【答案】A
【解析】设2
(,,)cos()F x y z x xy yz x =+++， 则(,,)2sin()1(0,1,1)1x x F x y z x y xy F =-+?-=；
(,,)sin()(0,1,1)1y y F x y z x xy z F =-+?-=-；
(,,)(0,1,1)1z z F x y z y F =?-=，
所以该曲面在点(0,1,1)-处的切平面方程为(1)(1)0x y z --++=， 化简得2x y z -+=-，选A
（3）设()1
(),[0,1]2f x x x =-∈，102()sin (1,2,...)n b f x n xdx n π==?，令1
()sin n n S x b n x π∞==∑，则
9
()4S -=（ ）
（A ）34
（B ）14
（C ）1
4-
（D ）3
4
-
【答案】C
【解析】根据题意，将函数在[1,1]-上奇延拓1,012()1,102x x f x x x ?-<
=??----<
，它的傅里叶级数为()S x 它
是以2为周期的，则当(1,1)x ∈-且()f x 在x 处连续时，()()S x f x =
，因此
99
1
111()(2)()(
)()44
4444
S S S S f -
=-+=
-=-=-=- （4）设222222
221234
:1,:2,:22,:22,l x y l x y l x y l x y +=+=+=+=为四条逆时针的平面曲线，记33
()(2)(1,2,3,4)63i
i l y x I y dx x dy i =++-=?，则()i MAX I =( )
（A ）1I （B ）2I （C ）3I
（D ）4I 【答案】D
【解析】33
()(2)(1,2,3,4)63i i l y x I y dx x dy i =++-=?
2
2
(1)2i
D y x
dxdy =--??
利用二重积分的几何意义，比较积分区域以及函数的正负，在区域14,D D 上函数为正值，则区域大，积分大，所以41I I >，在4D 之外函数值为负，因此4243,I I I I >>，故选D 。 （5）设矩阵A,B,C 均为n 阶矩阵，若AB C =，且C 可逆，则（ ） （A ）矩阵C 的行向量组与矩阵A 的行向量组等价 （B ）矩阵C 的列向量组与矩阵A 的列向量组等价 （C ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的行向量组等价 （D ）矩阵C 的行向量组与矩阵B 的列向量组等价 【答案】（B ）
【解析】由AB C =可知C 的列向量组可以由A 的列向量组线性表示，又B 可逆，故有1
-=CB A ，从而A 的列向量组也可以由C 的列向量组线性表示，故根据向量组等价的定义可知正确选项为（B ）。
（6）矩阵1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??
?
?
?
?
?相似的充分必要条件为
（A ）0,2a b == （B ）为任意常数b a ,0= （C ）0,2==b a
（D ）为任意常数b a ,2= 【答案】(B)
【解析】由于1111a a b a a ?? ? ? ???为实对称矩阵，故一定可以相似对角化，从而1111a a b a a ?? ? ? ???与2000b 0000??
?
? ?
??相似的
充分必要条件为1111a a b a a ??
?
? ???
的特征值为0,,2b 。
又21
1
[()(2)2]1
1
a E A a
b
a b a a
λλλλλλλ----=---=------，从而为任意常数b a ,0=。
（7）设123X X X ，，是随机变量，且22
123~N(0,1)~N(~(5,3)X N ，X 0,2），X ,
{22}(1,2,3),j j P P X j =-≤≤=则（ ）
（A ）123P P P >>
（B ）213P P P >> （C ）312P P P >> （D ）132P P P >> 【答案】（A ） 【解析】由()()()221
2
30,1,0,2,5,3X N X N X N 知，
{}{}()111222221p P X P X =-≤≤=≤=Φ-，
{}{}()222222211p P X P X =-≤≤=≤=Φ-，故12p p >.
由根据()23
5,3X N 及概率密度的对称性知，123p p p >>，故选（A ）
（8）设随机变量~(),~(1,),X t n Y F n 给定(00.5),a a <<常数c 满足{}P X c a >=,则2
{}P Y c >=（ ） （A ）α （B ）1α- （C ）2α （D ）12α- 【答案】（C ）
【解析】由~(),~(1,)X t n Y F n 得，2
Y X =，故{}{}
{}2222P Y c P X c P X c X c a >=>=<->=或
二、填空题(9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上)． (9)设函数()f x 由方程(1)
x y y x e --=确定，则1
lim (()1)n n f n
→∞
-= ．
【答案】1
【解析】0
1()1
lim (()1)lim
(0)n x f x n f f n x
→∞
→-'-== 由(1)
x y y x e
--=，当0x =时，1y =
方程两边取对数ln()(1)y x x y -=- 两边同时对x 求导，得
()1
1(1)y y xy y x
''-=--- 将0x =，1y =代入上式，得(0)1f '=
(10)已知321x x y e xe =-，22x x y e xe =-，23x
y xe =-是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，该
方程的通解为y = ． 【答案】3212x
x x y C e C e xe =+-