单元综合测试三(第三章)
时间:90分钟 分值:150分
第Ⅰ卷(选择题,共60分)
一、选择题(每小题5分,共60分)
1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(1
2)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1
D .2
解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(1
2)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B
2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos x
D .y ′=cos 2x +cos x
解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x .
答案:C
3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1)
D .(1,+∞)
解析:f ′(x )=3-3x 2>0?x ∈(-1,1).
答案:C
4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( )
A .14
B .4
C .10
D .6
解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t ,
所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14.
答案:A
5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π
2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )
A .-2
B .-1
C .1
D .2
解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π
2)=1, ∴k =-a
2=-1,a =2. 答案:D
6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )
A .1
B .3
C .-4
D .-8
解析:
如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2), ∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,
∴??
?
42=2y 1, ①(-2)2=2y 2, ②
∴??
?
y 1=8,y 2=2,
∴P (4,8),Q (-2,2).
又∵抛物线可化为y =1
2x 2,∴y ′=x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x =4=4,
∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x =-2=-2.
∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.
联立??
?
y =4x -8,y =-2x -2,
解得x =1,y =-4.
∴点A的纵坐标为-4. 答案:C
7.若函数y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,-
3
3),(
3
3,+∞),
则a的取值范围是()
A.a>0 B.-11 D.0 解析:依题意y′=a(3x2-1)>0的解集为(-∞,- 3 3),( 3 3 ,+ ∞),故a>0. 答案:A 8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是() A.0≤a≤21 B.a=0或a=7 C.a<0或a>21 D.a=0或a=21 解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.故选A. 答案:A 9.已知函数f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是() A.0 B.10 C.18 D.20 解析:f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=±1,所以1,-1为函数f(x)的极值点,因为f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2) =2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以t≥20,从而t的最小值为20. 答案:D 10.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是() A.?x∈R,f(x)≤f(x0) B.-x0是f(-x)的极小值点 C.-x0是-f(x)的极小值点 D.-x0是-f(-x)的极小值点 解析:取函数f(x)=x3-x,则x=- 3 3 为f(x)的极大值点,但 f(3)>f(- 3 3),∴排除A.取函数f(x)=-(x-1) 2,则x=1是f(x)的极大 值点,f(-x)=-(x+1)2,-1不是f(-x)的极小值点,∴排除B;-f(x)=(x-1)2,-1不是-f(x)的极小值点,∴排除C.故选D. 答案:D 11.若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则() A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b) C.af(a) 解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0, ∴g(x)在R上是增函数, 又a>b,∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b). 答案:B 12.设函数f (x )满足x 2 f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 2 8,则x >0时, f (x )( ) A .有极大值,无极小值 B .有极小值,无极大值 C .既有极大值又有极小值 D .既无极大值也无极小值 解析:由题意知f ′(x )=e x x 3-2f (x )x =e x -2x 2 f (x )x 3 .令g (x )=e x -2x 2 f (x ),则 g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2(x 2f ′(x )+2xf (x ))=e x -2e x x =e x ? ?? ??1-2x .由g ′(x )=0得x =2,当x =2时,g (x )min =e 2-2×22×e 2 8=0,即g (x )≥0,则当x >0时,f ′(x )=g (x ) x 3≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值. 答案:D 第Ⅱ卷(非选择题,共90分) 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________. 解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5. 又P (-2,6+c ),∴6+c -2 =-5. ∴c =4. 答案:4 14.如果函数f (x )=x 3-6bx +3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线,则实数b 的取值范围是________. 解析:存在与x 轴平行的切线,即f ′(x )=3x 2-6b =0有解,∵x ∈(0,1),∴b =x 22∈(0,1 2). 答案:{b |0 2} 15.已知a ≤4x 3+4x 2+1对任意x ∈[-1,1]都成立,则实数a 的取值范围是________. 解析:设f (x )=4x 3+4x 2+1,则f ′(x )=12x 2+8x =4x (3x +2),令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-23.又f (-1)=1, f (-23)=43 27,f (0)=1,f (1)=9,故f (x )在[-1,1]上的最小值为1,故a ≤1. 答案:(-∞,1] 16.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,若?x ∈R ,恒有f (x )≥0,则f (1)f ′(0) 的最小值是________. 解析:二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x )=2ax +b ,由f ′(0)>0,得b >0, 又对?x ∈R ,恒有f (x )≥0,则a >0, 且Δ=b 2-4ac ≤0,故c >0, 所以f (1)f ′(0)=a +b +c b =a b +c b +1 ≥2 ac b 2+1≥2 ac 4ac +1=2, 所以f (1)f ′(0)的最小值为2. 答案:2 三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分) 17.(10分)已知函数f (x )=ln(2x +a )+x 2 ,且f ′(0)=2 3. (1)求f (x )的解析式; (2)求曲线f (x )在x =-1处的切线方程. 解:(1)∵f (x )=ln(2x +a )+x 2, ∴f ′(x )=12x +a ·(2x +a )′+2x =2 2x +a +2x . 又∵f ′(0)=23,∴2a =2 3,解得a =3. 故f (x )=ln(2x +3)+x 2. (2)由(1)知f ′(x )=2 2x +3+2x =4x 2+6x +22x +3, 且f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, f ′(-1)=4×(-1)2+6×(-1)+2 2(-1)+3 =0, 因此曲线f (x )在(-1,1)处的切线方程是y -1=0(x +1),即y =1. 18.(12分)已知函数f (x )=13x 3 +ax +b (a ,b ∈R )在x =2处取得极小值-43. (1)求函数f (x )的增区间; (2)若f (x )≤m 2 +m +10 3对x ∈[-4,3]恒成立,求实数m 的取值范围. 解:(1)由已知得f (2)=-43,f ′(2)=0,又f ′(x )=x 2 +a ,所以83+2a +b =-43,4+a =0,所以a =-4,b =4,则f (x )=13x 3 -4x +4,令f ′(x )=x 2-4>0,得x <-2或x >2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+∞). (2)f (-4)=-43,f (-2)=283,f (2)=-4 3,f (3)=1,则当x ∈[-4,3]时,f (x )的最大值为283,故要使f (x )≤m 2 +m +103对∈[-4,3]恒成立,只要283≤m 2+m +103, 所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤-3. 19.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4. (1)求a ,b 的值; (2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4. 由已知得f (0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b -4=4,所以a =4,b =4. (2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x (x +2)-2x -4=4(x +2)(e x -1 2). 令f ′(x )=0,得x =-ln2或x =-2. 从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln2)时,f ′(x )<0. 故f (x )在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减. 当x =-2时,函数f (x )取得极大值, 极大值为f (-2)=4(1-e -2). 20.(12分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ). (1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值. 解:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-a x . (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2 x (x >0), 所以f (1)=1,f ′(1)=-1,所以y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0. (2)由f ′(x )=1-a x =x -a x ,x >0可知: ①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f (x )无极值; ②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a; 因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0, 所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x =a处取得极小值a-a ln a,无极大值. 21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克,根据市场调查,当16≤x ≤24时,这种食品日供应量p 万千克,日需量q 万千克近似地满足关系:p =2(x +4t -14)(t >0),q =24+8ln 20 x .当p =q 时的市场价格称为市场平衡价格. (1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域; (2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克? 解:(1)由p =q 得2(x +4t -14) =24+8ln 20 x (16≤x ≤24,t >0), 即t =132-14x +ln 20 x (16≤x ≤24). ∵t ′=-14-1 x <0,∴t 是x 的减函数. ∴t min =132-14×24+ln 2024=12+ln 2024=12+ln 56; t max =132-14×16+ln 2016=52+ln 54, ∴值域为???? ??1 2+ln 56,52+ln 54. (2)由(1)知t =132-14x +ln 20 x (16≤x ≤24). 而当x =20时,t =132-14×20+ln 20 20=1.5(元/千克), ∵t 是x 的减函数,∴欲使x ≤20,必须t ≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克. 22.(12分)已知函数f (x )=ln x -12ax 2 -2x . (1)若函数f (x )在x =2处取得极值,求实数a 的值. (2)若函数f (x )在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围. (3)当a =-12时,关于x 的方程f (x )=-1 2x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围. 解:(1)由题意,得f ′(x )=-ax 2+2x -1 x (x >0), 因为x =2时,函数f (x )取得极值,所以f ′(2)=0,解得a =-34,经检验,符合题意. (2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),依题意,f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2 +2x -1≤0在x >0时恒成立,则a ≤1-2x x 2=? ?? ?? 1x -12-1 在x >0时恒成立, 即a ≤? ?? ??? ????1x -12-1min (x >0), 当x =1时,? ?? ??1x -12 -1取最小值-1, 所以a 的取值范围是(-∞,-1]. (3)当a =-12时,f (x )=-1 2x +b , 即14x 2-3 2x +ln x -b =0. 设g (x )=14x 2-3 2x +ln x -b (x >0), 则g ′(x )=(x -2)(x -1) 2x , 当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化情况如下表: 所以g (x )极小值=g (2)=ln2-b -2, g (x )极大值=g (1)=-b -54, 又g (4)=2ln2-b -2, 因为方程g (x )=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则???? ? g (1)≥0,g (2)<0,g (4)≥0, 解得ln2-2 4, 所以实数b 的取值范围是(ln2-2,-5 4). 导数练习题 班 级 姓名 一、选择题 1.当自变量从x 0变到x 1时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A .在区间[x 0,x 1]上的平均变化率 B .在x 0处的变化率 C .在x 1处的变化量 D .在区间[x 0,x 1]上的导数 2.已知函数y =f (x )=x 2 +1,则在x =2,Δx =0.1时,Δy 的值为( ) A .0.40 B .0.41 C .0.43 D .0.44 3.函数f (x )=2x 2-1在区间(1,1+Δx )上的平均变化率Δy Δx 等于( ) A .4 B .4+2Δx C .4+2(Δx )2 D .4x 4.如果质点M 按照规律s =3t 2 运动,则在t =3时的瞬时速度为( ) A . 6 B .18 C .54 D .81 5.已知f (x )=-x 2+10,则f (x )在x =32处的瞬时变化率是( ) A .3 B .-3 C . 2 D .-2 6.设f ′(x 0)=0,则曲线y =f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线( ) A .不存在 B .与x 轴平行或重合 C .与x 轴垂直 D .与x 轴相交但不垂直 7.曲线y =-1 x 在点(1,-1)处的切线方程 为( ) A .y =x -2 B .y =x C .y =x + 2 D .y =-x -2 8.已知曲线y =2x 2上一点A (2,8),则A 处的切线斜率为( ) A .4 B .16 C .8 D .2 9.下列点中,在曲线y =x 2上,且在该点 处的切线倾斜角为π 4的是( ) A .(0,0) B .(2,4) C .(14,1 16) D .(12,1 4) 10.若曲线y =x 2+ax +b 在点(0,b )处的切线方程是x -y +1=0,则( ) A .a =1,b = 1 B .a =-1,b =1 C .a =1,b =- 1 D .a =-1,b =-1 11.已知f (x )=x 2,则f ′(3)=( ) A .0 B .2x C . 6 D .9 12.已知函数f (x )=1 x ,则f ′(-3)=( ) A . 4 B.1 9 C .-14 D .-1 9 13.函数y =x 2 x +3 的导数是( ) 高二数学导数单元测试题(有答案) (一).选择题 (1)曲线32 31y x x =-+在点(1,-1)处的切线方程为( ) A .34y x =- B 。32y x =-+ C 。43y x =-+ D 。45y x =- a (2) 函数y =a x 2 +1的图象与直线y =x 相切,则a = ( ) A . 18 B .41 C .2 1 D .1 (3) 函数13)(2 3 +-=x x x f 是减函数的区间为 ( ) A .),2(+∞ B .)2,(-∞ C .)0,(-∞ D .(0,2) (4) 函数,93)(2 3 -++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值,则a = ( ) A .2 B .3 C .4 D .5 (5) 在函数x x y 83 -=的图象上,其切线的倾斜角小于 4 π 的点中,坐标为整数的点的个数是 ( ) A .3 B .2 C .1 D .0 (6)函数3 ()1f x ax x =++有极值的充要条件是 ( ) A .0a > B .0a ≥ C .0a < D .0a ≤ (7)函数3 ()34f x x x =- ([]0,1x ∈的最大值是( ) A . 1 2 B . -1 C .0 D .1 (8)函数)(x f =x (x -1)(x -2)…(x -100)在x =0处的导数值为( ) A 、0 B 、1002 C 、200 D 、100! (9)曲线313y x x = +在点413?? ???,处的切线与坐标轴围成的三角形面积为( ) A.19 B.29 C.13 D.23 (二).填空题 (1).垂直于直线2x+6y +1=0且与曲线y = x 3 +3x -5相切的直线方程是 。 (2).设 f ( x ) = x 3 - 2 1x 2 -2x +5,当]2,1[-∈x 时,f ( x ) < m 恒成立,则实数m 的取值范围为 . (3).函数y = f ( x ) = x 3+ax 2+bx +a 2 ,在x = 1时,有极值10,则a = ,b = 。 (4).已知函数32 ()45f x x bx ax =+++在3 ,12x x ==-处有极值,那么a = ;b = (5).已知函数3 ()f x x ax =+在R 上有两个极值点,则实数a 的取值范围是 (6).已知函数32 ()33(2)1f x x ax a x =++++ 既有极大值又有极小值,则实数a 的取值导数练习题 含答案
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