直角三角形的边角关系试卷

直角三角形的边角关系单元测试题

一、。认真填一填！请把你认为正确的结论填在题中的横线上。（每题3分，满分24分）

1．等腰直角三角形的一个锐角的余弦值等于 。 2．在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA=3/5，cosA= 3．比较下列三角函数值的大小：sin400 cos400 4、化简：

sin 30tan 60sin 60?

-?=?

。 5．若A ∠是锐角，cosA >

2

3

，则∠A 应满足 。 6．小芳为了测量旗杆高度，在距棋杆底部6米处测得顶端的仰角是600，已知小芳的身高是1米5，则旗杆高 米。

7、某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转．某一指令规定：机器人先向正前方行走１米，然后左转45°.若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了 米．

8、已知菱形ABCD 的边长为6，∠A=600，如果点P 是菱形内一点，且PB=PD=23，那么AP 的长为

二．你一定能选对！请把下列各题中惟一正确答案的代号填在题后的括号内（每题3分，满分24分）

9、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，那么cosB 的长是（ ） A.4/5 B.3/5 C.3/4 D.4/3

10、已知等边△ABC 的边长为2，则其面积为 （ ） A.2 B.

3 C.23 D.43

11．在ABC ?中∠C=900，2∠A=∠B ，∠A:∠B:∠C 对边分别为a 、b 、c ，则a ：b ：c 等于（ ）

A ．1:2:1

B ．

C ．2

D ．1:

12、在Rt △ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2倍，那么锐角A 的正弦值（ ）

A.扩大2倍

B.缩小2倍

C.扩大4倍

D.没有变化 13、某人沿着倾斜角α为的斜坡前进了100米，则他上升的最大高度是（ ） A.

αsin 100米 B.100sin α米 C.α

cos 100

米 D.100cos α米 14、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ）

A 600

B 900

C 1200

D 1500

15、如图，已知正方形ABCD 的边长为2，如果将线段BD 绕着点B 旋转后，点D 落在CB 的延长线上的D ′处，那么tan ∠BAD ′等于（ ）

A.1

B.2

C.2

2

D.22

(第15题图) (第16题图)

16、如图，CD 是平面镜，光线从A 出发经CD 上点E 发射后照射到B 点。若入射角为α，AC ⊥CD ，BD ⊥CD ，垂足分别为C 、D ，且AC=3，BD=6，CD=11则tan α的值为（ ） A.

311 B.113 C.119 D.9

11

三．计算题（每题4分，共16分）

17、2 cos 230°－2 sin 60°·cos 45° 18、

;45tan 2

1

60cos 30sin 45cos ?

+??

-?

19、如图，在矩形ABCD 中，CE ⊥BD 于点E ，BE=2，DE=8，则tan ∠ACE 的值为（ ）

20．如图，在Rt ABC ?中，90BCA ∠=?，CD 是中线，6,5BC CD ==，求AC 的长和tan ACD ∠的值。

四、解答题（每题5分，共20分）

B

A B C D E

D

21、如图，在300m 高的峭壁上测得一塔的塔顶与塔基的俯角分别为30°和60°，则塔高CD 为（ ）

22．某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2米，坡角为450（如图所示）。，求挖土多少立方米。

23、如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 均为锐角，其对边分别为b 、c ，求证：

B b sin =C

c

sin .

24、居民楼的采光是人们购买楼房时关心的一个重要问题。冬至是一年中太阳相对地球北半球位置最低的时刻，只要此时楼房的最低层能菜到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射。某地区冬至时阳光与地面所成的角约为30°，如图所示。 现有A 、B 、C 、D 四种设计方案提供的居民甲楼的高H(米)与两楼间距L(米)的数据，如下表所示。仅就图中居民楼乙的采光问题，你认为哪种方案设计较为合理，并说明理由(参考数据3=1.732)

D C B

A B A

C

五、解答题（每题8分，共16分）

25、一艘渔船在A 处观测到东北方向有一小岛C ，已知小岛C 周围4.5海里范围内是水产养殖场.渔船沿北偏东30°方向航行10海里到达B 处，在B 处测得小岛C 在北偏东60°方向，这时渔船改变航线向正东(即BD)方向航行，这艘渔船是否有进入养殖场的危险？

26、如图，为测得峰顶A 到河面B 的高度h ，当游船行至C 处时测得峰顶A 的仰角为α，前进m 米至D 处时测得峰顶A 的仰角为β(此时C 、D 、B 三点在同一直线上).

(1)用含α、β和m 的式子表示h ；

(2)当α=45°，β=60°，m=50米时，求h 的值.(化简即可)

D

答 案

一、。认真填一填！ 1、2/2 2、4/5 3、<

4、-3

23 5、00∠A ∠300 6、63 7、8

8、23 或 43

二、你一定能选对

9 -16： A 、B 、C 、D 、B 、A 、B 、D 三、计算题 17、

2

6

3- 18、

2

12-

19、 3/4 20、 8 3/4 四、解答题

21、200m 22、开挖的立方2400立方米， 23、过A 作BC 垂线

24、根据题意：tan30°=

L H =33=0.5773，设计合理的楼房应满足：L

H ≤0.5773，∵对于A 方案：1812=0.6667>0.5773，对于B 方案：25

15

=0.6>0.5773，对于C 方

案：28

16

=0.5714<0.5773，对于D 方案：3018=0.6>0.5773.∴C 方案较为合理.

五、解答题

25、AB=BC=10海里，最短距离是5海里，大于4.5海里，这艘渔船没有进入养殖场的危险

26、(1)h=α

ββ

αtan tan tan tan -??m (2) 75+253 米

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式 解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形： 在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理 （ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边 所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理） 内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平 方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也 成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几 何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理） 内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所 在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理 内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与 三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三 角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是 外接圆半径） 余弦定理 内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边 的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定 理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

初中数学竞赛专题训练之例题及三角形边角不等关系

A. B. 33 C. 39 D. 15 C A B C P 图 8-2 图 8-1 D A A. 4cm 10cm B. 5cm 10cm C. 4cm 2 3cm D. 5cm 2 3cm a C. D. 初中数学竞赛专项训练（8） （命题及三角形边角不等关系） 一、选择题： 1、如图 8-1，已知 AB ＝10，P 是线段 AB 上任意一点，在 AB 的同侧分别以 AP 和 PB 为边作两个等边三 角形 APC 和 BPD ，则线段 CD 的长度的最小值是 （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 5( 5 - 1) 2、如图 8-2，四边形 ABCD 中∠A ＝60°，∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝8，AB ＝7， 则 BC ＋CD 等于 （ ） A. 6 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 3 3 3、如图 8-3，在梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝3，BC ＝9，AB ＝6，CD ＝4，若 EF ∥BC ，且梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等，则 EF 的长为 （ ） 45 7 5 5 2 C D A D D E F B 图 8-3 4、已知△ABC 的三个内角为 A 、B 、C 且α ＝A+B ，β ＝C+A ，γ ＝C+B ，则α 、β 、γ 中，锐角的个数 最多为 （ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 5、如图 8-4，矩形 ABCD 的长 AD ＝9cm ，宽 AB ＝3cm ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，那么折叠后 DE 的长和折痕 EF 的长分别为 （ ） E A D B F C B C C 图 8-4 6、一个三角形的三边长分别为 a ，a ，b ，另一个三角形的三边长分别为 a ，b ，b ，其中 a>b ，若两个三角 形的最小内角相等，则 的值等于 （ ） b A. 3 + 1 2 B. 5 + 1 2 3 + 2 2 5 + 2 2 7、在凸 10 边形的所有内角中，锐角的个数最多是 （ ） A. 0 B. 1 C. 3 D. 5 8、若函数 y = kx (k > 0) 与函数 y = 1 x 的图象相交于 A ，C 两点，AB 垂直 x 轴于 B ，则△ABC 的面积为 （ ） A. 1 B. 2 C. k D. k 2 二、填空题 1、若四边形的一组对边中点的连线的长为 d ，另一组对边的长分别为 a ，b ，则 d 与 ＿＿＿＿＿＿ a + b 2 的大小关系是＿

三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 1、 A+B+C=π ， 2C = 2 π-( 2A + 2 B ) 2、 sinC=sin(A+B)， cosC=-cos(A+B) sin 2 C =cos( 2 A +2 B )， cos 2 C =sin( 2 A + 2 B )， tan 2 C =cot( 2 A + 2 B ) sin2C=-sin2(A+B)， cos2C=cos2(A+B) 3、 三角形面积公式 S ?= 12 absinC= 12 bcsinA= 12 casinB p= 12 （a+b+c ） 4、 正弦定理sin sin sin a b c A B C = = =2R sinA ?sinB ? sinC ?a = b ? c sinA= 2a R ，sinB=2b R ，sinC= 2c R a=2RsinA ， b=2RsinB ， c=2RsinC 适用类型：AAS →S ，SSA →A (2,1,0解) 5、余弦定理2222cos a b c bc A =+- 2 2 2 co s 2b c a A b c +-= 适用类型：SSS →A ，SAS →S ，AAS →S(2,1,0解) 5、 判定三角形是锐角直角钝角三角形 设c 为三角形的最大边 2c <2a +2b ??ABC 是锐角三角形 2 c =2 a +2 b ??ABC 是直角三角形 2 c >2 a +2 b ??ABC 是钝角三角形 6、 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC cotAcotB+cotBcotC+cotCcotA=1 tan 2 A tan 2 B +tan 2 B tan 2 C +tan 2 C tan 2 A =1 7* 、若三角形三内角成等差数列，则B=3 π 三边成等差数列，则0

直角三角形的边角关系(习题及答案)

直角三角形的边角关系（习题） ?要点回顾 1.默写特殊角的三角函数值： 2.三角函数值的大小只与角度的有关，跟所在的三角形 放缩（大小）没有关系． 3.计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在 中研究，常利用或两种方式进行处理．?例题示范 例：如图，在△ABC 中，∠B=37°，∠C=67.5°，AB=10，求BC 的长．（结果精确到0.1，参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan67.5°≈2.41） 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D， 由题意AB=10，∠B=37°，∠C=67.5° 在Rt△ABD 中，AB=10，∠B=37°， sin B =AD ，cos B = BD AB AB ∴AD=6，BD=8 在Rt△ADC 中，AD=6，∠C=67.5°，tan C = AD CD ∴CD=2.49 ∴BC=BD+CD=8+2.49=10.49≈10.5 即BC 的长约为10.5． ①得出结论； ②解直角三角形； ③准备条件． 1

2 ?巩固练习 1.在Rt△ABC 中，如果各边长度都扩大为原来的2 倍，那么锐 角A 的正弦值（） A．扩大2 倍B．缩小2 倍C．没有变化D．不确定2.在Rt△ABC 中，若∠C=90°，AC=3，BC=5，则sin A 的值为 （） A. 3 5 B. 4 5 C． 5 34 34 D． 3 34 34 3.在△ABC 中，∠A，∠B 均为锐角，且 ?1 ?2 sin A - + - cos B ? ?? = 0 ，则这个三角形是（）A．等腰三角形B．直角三角形 C．钝角三角形D．等边三角形 4.若∠A 为锐角，且cos A 的值大于 1 ，则∠A（） 2 A．大于30°B．小于30° C．大于60°D．小于60° 5.已知β为锐角，且 3 A．30?≤β≤60? C．30?≤β< 60? ≤tan β< ，则β的取值范围是（） B．30?<β≤60? D．β< 30? 6.如图，在矩形ABCD 中，DE⊥AC，垂足为E，设∠ADE=α， 若cosα= 3 ，AB=4，则AD 的长为（） 5 A．3 B． 16 3 C． 20 3 D． 16 5 第6 题图第7 题图 7.如图，在菱形ABCD 中，DE⊥AB，若cos A = 3 ，BE=2，则 5 tan∠DBE= ． 2 3 2 3 3

三角形三边关系(带答案)

【考点训练】三角形三边关系-2 一、选择题（共10小题） 1．（2011?青海）某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形， 4．（2012?长沙）现有3cm，4cm，7cm，9cm长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可 二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值） 11．（2007?安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_________．12．（2004?云南）已知三角形其中两边a=3，b=5，则第三边c的取值范围为_________．

13．（2007?柳州）如果三角形的两条边长分别为23cm和10cm，第三边与其中一边的长相等，那么第三边的长为_________cm． 14．（2006?连云港）如图，∠BAC=30°，AB=10．现请你给定线段BC的长，使构成△ABC能惟一确定．你认为BC的长可以是_________． 15．（2005?泸州）一个等腰三角形的两边分别为8cm和6cm，则它的周长为_________cm． 16．（2007?贵阳）在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是_________． 17．（2006?梧州）△ABC的边长均为整数，且最大边的边长为7，那么这样的三角形共有_________个． 18．（2004?芜湖）已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________． 19．（2004?玉溪）已知一个梯形的两底长分别是4和8，一腰长为5，若另一腰长为x，则x的取值范围是_________． 20．（2004?嘉兴）小华要从长度分别为5cm、6cm、11cm、16cm的四根小木棒中选出三根摆成一个三角形，那么他选的三根木棒的长度分别是：_________，_________，_________（单位：cm）． 三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷） 21．已知三角形的三边互不相等，且有两边长分别为5和7，第三边长为正整数． （1）请写出一个三角形符合上述条件的第三边长． （2）若符合上述条件的三角形共有n个，求n的值． （3）试求出（2）中这n个三角形的周长为偶数的三角形所占的比例． 22．如果一个三角形的各边长均为整数，周长大于4且不大于10，请写出所有满足条件的三角形的三边长． 23．一个三角形的边长分别为x，x，24﹣2x， （1）求x可能的取值范围； （2）如果x是整数，那么x可取哪些值？ 24．已知三角形的三边长分别为2，x﹣3，4，求x的取值范围． 25．三角形的三边长分别为（11﹣2x）m、（2x2﹣3x）cm、（﹣x2+6x﹣2）cm

(完整word版)沪科版八年级数学三角形中的边角关系

三角形中的边角关系 知识点 一、 边 1、基本概念（三角形的定义、 边、 顶点、 △、 Rt △） 2、按边对三角形的分类：≠?? ?????? 不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形 ☆3、三边关系： （1）任意两边之和大于第三边 （2）任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角 1、基本概念（ 内角、外角、∠ ） 2、按角对三角形的分类：???? ???? 锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形 3、三角形的内角和 （1）三角形三个内角和等于180° （2)直角三角形的两个锐角互余 （3）一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角） 三、线 1、中线 (1) 定义 （2） 重心 （3）中线是线段 （4） 表述方法 2、高线 （1）定义 （2）垂心 (3）高是线段，垂线是直线 （4）表示方法 （5）3种高的画法 3、角平分线 （1）定义 (2)外心 （3）画法 （4）表示方法 四、数三角形的个数 （1）图形的形成过程 （2）三角形的大小顺序 （3）按某一条边沿着一定的方向 （4）固定一个顶点，按照一定的顺序不断变换另外两个顶点去数 基础练习 1、图中有____个三角形；其中以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有______________；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________. 2、用集合来表示“用边长把三角形分类”，下面集合正确的是（ ） A B C D 3、若三角形的三边长分别为3,4，x -1，则x 的取值范围是_________________________

(完整)直角三角形的边角关系知识点,推荐文档

直角三角形的边角关系知识考点 知识讲解: 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，∠C 为直角，则锐角A 的各三角 函数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ， 即sinA ＝a c (2)角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ， 即cosA ＝b c (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作t an A ， 即t an A ＝a b (4)角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作 c ot A ， 即c ot A ＝b a 2.直角三角形中的边角关系 (1)三边之间的关系：a 2＋b 2＝c 2 (2)锐角之间的关系：A ＋B ＝90° (3)边角之间的关系： sinA ＝cosB ＝a c ， cosA ＝sinB ＝b c t an A ＝c ot B ＝a b ， cot A ＝t an B ＝b a

3.三角函数的关系 (1)同角的三角函数的关系 1)平方关系：sinA 2＋cosA 2＝1 2)倒数关系：t an A·c ot A ＝1 3)商的关系：t an A ＝sinA cosA ，c ot A ＝cosA sinA (2)互为余角的函数之间的关系 sin(90°－A)＝cosA ， cos(90°－A)＝sinA t an (90°－A)＝c ot A ， cot (90°－A)＝t an A 4．一些特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° sin α 0 1 cos α 1 0 tan α 0 1 ----- cot α ----- 1

三角形边长的计算公式

解三角形 解直角三角形（斜三角形特殊情况）： 勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形： 在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法： 已知条件定理应用一般解法 一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案

2020-2021中考数学复习《直角三角形的边角关系》专项综合练习及答案 一、直角三角形的边角关系 1．（6分）某海域有A ，B 两个港口，B 港口在A 港口北偏西30°方向上，距A 港口60海里，有一艘船从A 港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处，求该船与B 港口之间的距离即CB 的长（结果保留根号）． 【答案】． 【解析】 试题分析：作AD ⊥BC 于D ，于是有∠ABD=45°，得到AD=BD=，求出∠C=60°，根据 正切的定义求出CD 的长，得到答案． 试题解析：作AD ⊥BC 于D ，∵∠EAB=30°，AE ∥BF ，∴∠FBA=30°，又∠FBC=75°，∴∠ABD=45°，又AB=60，∴AD=BD= ，∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°，∠ABC=45°， ∴∠C=60°，在Rt △ACD 中，∠C=60°，AD=，则tanC= ，∴CD= =， ∴BC= ．故该船与B 港口之间的距离CB 的长为 海里． 考点：解直角三角形的应用-方向角问题． 2．如图，反比例函数() 0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象相交于A (1,a ),B 两点，点C 在第四象限，CA ∥y 轴，90ABC ∠=?. (1)求k 的值及点B 的坐标； (2)求tanC 的值.

【答案】（1）2k =，()1,2B --；（2）2. 【解析】 【分析】（1）先根据点A 在直线y=2x 上，求得点A 的坐标，再根据点A 在反比例函数 ()0k y k x = ≠ 的图象上，利用待定系数法求得k 的值，再根据点A 、B 关于原点对称即可求得点B 的坐标； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ，根据90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，可得C ABH ∠∠=，再由已知可得AOD ABH ∠∠=，从而得C AOD ∠∠=，求出C tan 即可. 【详解】（1）∵点A (1，a )在2y x =上， ∴a =2，∴ A (1，2)， 把A (1，2)代入 k y x = 得2k =， ∵反比例函数()0k y k x = ≠ 的图象与正比例函数 2y x = 的图象交于A ，B 两点， ∴A B 、 两点关于原点O 中心对称， ∴()1 2B --， ； （2）作BH ⊥AC 于H ，设AC 交x 轴于点D ， ∵ 90ABC ∠=? ， 90BHC ∠=? ，∴C ABH ∠∠=， ∵CA ∥y 轴，∴BH ∥x 轴，∴AOD ABH ∠∠=，∴C AOD ∠∠=， ∴AD 2 2OD 1 tanC tan AOD =∠= ==.

三维计算三角形边角

import java.math.BigDecimal; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; class XYZ{ private String X; private String Y; private String Z; public String getX() { return X; } public void setX(String x) { X = x; } public String getY() { return Y; } public void setY(String y) { Y = y; } public String getZ() { return Z; } public void setZ(String z) { Z = z; } } public class Calum { @SuppressWarnings("unchecked") public List getData(String[] XYZ){ //坐标格式为x,y,z字符串如1,2,3 List list=new ArrayList(); List line=new ArrayList();//储存边长

for(int i=0;i1){ for(int i=0;i

直角三角形边角关系专题复习

页 1 第1讲 解直角三角形专题复习 【知识点梳理】 （一） 三角函数的概念 1、正弦，余弦，正切的概念(及书写规范) 如图，在 ABC Rt ?中，（1）的邻边 的对边 A A A ∠∠= tan ＝ a b （2）斜边 的对边 A A ∠=sin ＝ a c （3）斜边 的邻边A A ∠= cos ＝ b c （二）特殊角的三角函数值 （三）三角函数之间的关系 1、余角关系：在∠A+∠B=90°时 A B C ∠A 的对边 ∠A 的邻边 斜边

页 2 B A cos sin = B A sin cos = 1tan tan =?B A 2、同角关系 sin 2A+cos 2A=1. .cos sin tan A A A = （四）斜坡的坡度 1、仰角、俯角、坡度、坡角和方向角 （1）仰角：视线在水平线上方的角叫仰角． 俯角：视线在水平线下方的角叫俯角． （2）坡度：坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)，用字母i 表示． 坡角：坡面与水平面的夹角叫坡角，用α表示，则有i ＝_tan α 如图所示， l h i ==αtan ，即坡度是坡角的正切值． （3）方向角： 平面上，通过观察点O 作一条水平线(向右为东向)和一条铅垂线(向上为北向)，则从O 点出发的视线与水平线或铅锤线所夹的角，叫做观测的方向角． （五）解三角形及其应用 利用（三角函数）解直角三角形解实际应用题的一般步骤： ① 弄清题中名词术语的意义(如俯角、仰角、坡角、方向角等)，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型； ② 将实际问题中的数量关系归结为直角三角形中元素之间的关系，当有些图形不是直角三角形时，可添加适当的辅助线，把它们分割成直角三角形； ③ 寻求基础直角三角形，并解这个三角形或设未知数进行求解．

直角三角形的边角关系专题复习

直角三角形的边角关系测试题 1、在Rt △ABC 中，∠A=90o，AB=6，AC=8，则sinB= ，cosC= 2、在△ABC 中，∠B=90o，2 1 cos =C ，则∠C= 】 3、在△ABC 中，∠C=90o，∠A=60o，AC=34，则BC= 4、在△ABC 中，∠C=90o，BC=3，AB=32，则∠A= 5、在△ABC 中，∠C=90o，若tanA= 2 1 ，则sinA= 6、在△ABC 中，若∠C=90o，∠A=45o，则tanA+sinB= 7、如图1，在△ABC 中，∠C=90o，∠B=30o，AD 是∠BAC 的平分线。已知AB=34， 那么AD= # 8、正方形ABCD 中，AM 平分∠BAC 交BC 于M ，AB=2，BM=1，则cos ∠MAC= 9、如果3)20tan(3=?+α，那么锐角α= 10、某校数学课外活动小组的同学测量英雄纪念碑的高，如图2所示，测得的数据为： BC=42m ，倾斜角o?=30α，测得测角仪高CD=1.5m ，则AB= 。（结果保留四位 有效数字） 11、在△ABC 中，∠C=90o，BC=5，AC=12，则tanA=（ ） A 、512 B 、125 C 、513 D 、13 5 12、在Rt △ABC 中，∠C=90o，5 3 cos = A ，AC=6cm ，则BC=（ ）cm A 、8 B 、 C 、 D 、 ! 13、菱形ABCD 的对角线AC=10cm ，BD=6cm ，那么=2tan A （ ） A 、53 B 、54 C 、34 343 D 、34345 14、已知：如图3，梯形ABCD 中，AD 63864238242 3 23 1,23-1,2 3 --3253500 )3sin 2(3tan 2=-+-A B 5 米 353103?+?+?-?45tan 30cos 230tan 330sin ?-?+? -? - ?60tan 45tan 30sin 160cos 45cos 2226—1为平地 上一幢建筑物与铁塔图，题6-2图为其示意图.建筑物AB 与铁塔CD 都垂直于底面，BD=30m ，在A 点测得D 点的俯角为45°，测得C 点的仰角为60°.求铁塔CD 的高度. … 图6-1 图6-2 图2 a C A E B ) 图1 B C D A 图3 图4 图5

直角三角形的边角关系(含答案)

学生做题前请先回答以下问题 问题1：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=________，cosA=________，tanA=________． 问题2：在Rt△ABC中，∠C=90°，锐角A越大，正弦sinA______，余弦cosA______，正切tanA______． 问题3：默写特殊角的三角函数值： 问题4：计算一个角的三角函数值，通常把这个角放在____________中研究，常利用_________或__________两种方式进行处理． 直角三角形的边角关系 一、单选题(共14道，每道7分) 1.式子2cos30°-tan45°-的值是( ) A. B.0 C. D.2 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 2.如果△ABC中，，则下列说法正确的是( ) A.△ABC是直角三角形 B.△ABC是等腰三角形 C.△ABC是等腰直角三角形 D.△ABC是锐角三角形

答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：特殊角的三角函数值 3.已知为锐角，且，那么的取值范围是( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的增减性 4.如图，在Rt△ABC中，tanB=，BC=，则AC等于( )

A.3 B.4 C. D.6 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：解直角三角形 5.在平面直角坐标系中，已知点A（2，1）和点B（3，0），则sin∠AOB的值等于( ) A. B. C. D. 答案：A 解题思路：

试题难度：三颗星知识点：锐角三角函数的定义 6.在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=4，，则斜边上的高为( ) A. B. C. D. 答案：B 解题思路：

直角三角形的边角关系知识点

直角二角形的边角关系知识考点 知识讲解： 1.锐角三角函数的概念 如图，在ABC 中，/ C 为直角，则锐角 A 的各三角函 数的定义如下： (1)角A 的正弦：锐角A 的对边与斜边的比叫做/ A 的正弦，记作sinA , ⑵ 角A 的余弦：锐角A 的邻边与斜边的比叫做/ A 的余弦，记作 cosA , 口口 b 即 cosA = (3)角A 的正切：锐角A 的对边与邻边的比叫做/ A 的正切，记作tanA , 即 tanA =7 b (4) 角A 的余切：锐角A 的邻边与对边的比叫做/ A 的余切，记作cotA , 即 si nA

b 即cotA =- a 2.直角三角形中的边角关系

(1) 三边之间的关系：a 2 + b 2 = c 2 (2) 锐角之间的关系：A + B = 90° (3) 边角之间的关系： sinA = cosB = -, cosA = sinB =2 c c a b tanA = cotB = , cotA = tanB = 3. 三角函数的关系 (1) 同角的三角函数的关系 2) 倒数关系：tan A -c otA = 1 sinA cosA tanA = , cotA =. cosA st nA (2) 互为余角的函数之间的关系 sin(90 ° - A) = cosA , cos(90 ° - A) = sinA tan (90 ° — A) = cotA , cot (90 ° — A) = tanA 4. 一些特殊角的三角函数值 1) 平方关系：sinA 2 + cosA 2 = 1 3) 商的关系:

三角形中的边角关系

三角形基础知识 说明：△ ABC中，角A , B, C的对边分别为a, b, c, p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a, h b, %分别为a, b, c边上的高S^ABC表示面积。 1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形,其中各条线段叫做三角形的边,每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）． 2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中,边和角叫做三角形的基本元素,其中角确定三角形的形状（定形） ,边确定三角形的大小（定量） ,三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公 共边（ASA ）或两角与其中一角的对边（AAS）,这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系． 4．三角形的“线”与“心” ： （1）高线、垂心． （2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理． （3）中垂线、外接圆、外心． （4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理． （5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理． （6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质． 5．三角形的分类： （1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。 （2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 6．等腰三角形的判定与性质、四线合一 7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心） 8．三角形元素之间的关系： （1）角与角的关系： ①内角和定理、 ②外角定理 ③角的性质：范围、关系. ④最大角、最小角. ⑤锐角三角形中任两角的和 （2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边. （“三胞胎” ）（3）边与角的关系：（“三胞胎”） ①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等， 反之也真. ②正弦定理：在一个三角形中,各边和它所对角的正弦之比都相等,都等于该三角形外接圆的 直径.

三角形边角关系教案

14.1 三角形中的边角关系（1） -------边的关系 1.三角形的概念 2.三角形的表示方法及分类 3.三角形三边之间的关系 1．了解三角形的概念，掌握分类思想。 2．经历探索三角形中的三条边之间的关系，感受几何学中基本图形的内涵。 3．让学生养成有条理的思考的习惯，以及说理有据的意识，体会三角形三边关系在现实生活中的实际价值。 三教学重难点： 1.重点：了解三角形的分类，弄清三角形三边关系 2.难点：对两边之差小于第三边的领悟 四教学准备： 1.教师准备：多媒体课件 2.学生准备：四根小木条 五课时安排： 一节课 六教学过程： （一）创设情境，探究新知 1.请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的图形三角形，引入课题 我们在日常生活中几乎随处可见三角形，它简单、有趣，也十分有用。三角形可以帮助我们更好地认识周围的世界，可以帮助我们解决很多实际问题……从这一节课开始我们将学习三角形。 （二）合作交流，探究新知 你能画一个三角形吗? 三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形 3.自学指导： 认真看书67页的内容。注意三角形边的表示方法。 并思考下面问题： （1）知道三角形的顶点,边,角等概念,会用几何符号表示一个三角形; （2）会把三角形按边进行分类,知道每类三角形的特征;

（3）知道等腰三角形的腰,底边,顶角,底角等概念; 依次向学生介绍有关知识 4.巩固练习（多媒体展示） 5.合作探究三角形的三边关系 有这样的四根小棒（6cm、8cm、12cm、18cm）请你任意的取其中的三根，首尾连接，摆成三角形。 （1）有哪几种取法? （2）是不是任意三根都能摆出三角形？若不是，哪些可以？哪些不可以？ （3）用三根什么样的小棒才能拼成三角形呢?你从中发现了什么？ 小组活动：学生自主探索并合作交流满足怎样的数量关系的三根小棒能组成三角形； 我们可以发现这四根小棒中，如果较短的两根的和不大于最长的第三根，就不能组成三角形。 这就是说：三角形中任何两边的和大于第三边 三角形中任意两边的差与第三边有什么关系?你能根据上面的结论,利用不等式的性质加以说明吗? 三角形中任何两边的差小于第三边 6.讲解例题 例1 ：例：一根木棒长为7，另一根木棒长为2，若要围成三角形，那么则第三根木棒长度应在什么范围呢？ 解：设第三条边长为a cm，则 7－2＜a＜7＋2 即5＜a＜9 结论：其它两边之差< 三角形的一边< 其它两边之和 例2：已知：等腰三角形周长为18cm，如果一边长等于4cm，求另两边的长？ 解（1）设等腰三角形的底边长为4 cm，则腰长为x cm。根据题意，得 x+x+4=18 解方程，得 x=7

直角三角形的边角关系(含答案)

第十四章 直角三角形的边角关系 基础知识梳理 1．锐角三角函数． 在Rt △ABC 中，∠C 是直角，如图所示． （1）正切：∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA= A A ∠∠的对边 的邻边 ． （2）正弦：∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= A ∠的对边 邻边 ． （3）余弦：∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA= A ∠的邻边 邻边 ． （4）锐角三角函数：锐角A 的正弦、余弦、正切都叫做∠A 的锐角三角函数． （5）锐角的正弦和余弦之间的关系． 任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值． 即：如果∠A+∠B=90°，那么sinA=cos （90°-A ）=cosB ；cosA=sin （?90?°-?A ）?=sinB ． （6）一些特殊角的三角函数值（如下表）． （7）已知角度可利用科学计算器求得锐角三角函数值；同样，?已知三角函数值也可利用科学计算器求得角度的大小．

（8）三角函数值的变化规律． ①当角度在0°～90°间变化时，正弦值（正切值）随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）． ②当角度在0°～90°间变化时，余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（?或增大）．（9）同角三角函数的关系． ①sin2A+cos2A=1；②tanA=sin cos A A ． 2．运用三角函数解直角三角形． 由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对 边分别为a，b，c． （1）三边之间的关系：a2+b2=c2（勾股定理）． （2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系：sinA=a c ，cosA= b c ，tanA= a b ． 所以，在直角三角形中，只要知道除直角外的两个元素（其中至少有一个是边），?就可以求出其余三个未知元素． 解直角三角形的基本类型题解法如下表所示： （1）尽量使用原始数据，使计算更加准确； （2）不是解直角三角形的问题，添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题； （3）恰当使用方程或方程组的方法解决一些较复杂的解直角三角形的问题； （4）在选用三角函数式时，尽量做乘法，避免做除法，以使运算简便； （5）必要时画出图形，分析已知什么，求什么，它们在哪个三角形中，?应当选用什么关系式进行计算； （6）添加辅助线的过程应书写在解题过程中． 3．解直角三角形的实际问题． 解直角三角形的实际问题涉及到如下概念和术语． （1）坡度、坡角．

初一数学三角形角度的相关计算

[适用年级]：华师七年级 [期 别]：39期 [栏 目]：一点就通 三角形中的角度计算 河南安阳市十六中学 牛书堂 455000 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理 在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角 直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系 已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法 例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。 解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°， 所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=5 7(x-10°),所以有 C B A

2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 (含答案)

2020中考数学专题练习：三角形的边角关系 （含答案） 1．已知在△ABC中，∠A＝70°－∠B，则∠C＝() A．35° B．70° C．110° D．140° 2．已知如图1中的两个三角形全等，则角α的度数是() 图1 A．72° B．60° C．58° D．50° 3．如图2，∠A，∠1，∠2的大小关系是() A．∠A＞∠1＞∠2 B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1 D．∠2＞∠A＞∠1 图2 图3 4．王师傅用四根木条钉成一个四边形木架，如图3.要使这个木架不变形，他至少还要再钉上几根木条() A．0根B．1根C．2根D．3根 5．下列命题中，真命题的是() A．周长相等的锐角三角形都全等 B．周长相等的直角三角形都全等 C．周长相等的钝角三角形都全等 D．周长相等的等腰直角三角形都全等 6．小华在电话中问小明：“已知一个三角形三边长分别是4,9,12，如何求这个三角形的面积？”小明提示说：“可通过作最长边上的高来求解．”小华根据小明的提示作出的图形正确的是() A B C D

7．不一定在三角形内部的线段是() A．三角形的角平分线B．三角形的中线 C．三角形的高D．三角形的中位线 8．用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图3所示，则能说明∠AOC ＝∠BOC的依据是() A．SSS B．ASA C．AAS D．角平分线上的点到角两边的距离相等 图3 图4 9．如图4，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝2 cm，CD⊥AB，在AC上取一点E，使EC＝BC，过点E作EF⊥AC交CD的延长线于点F，若EF＝5 cm，则AE＝________cm. 10．如图5，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB.求证：BD＝CE. 图5 11．如图6，点A，B，D，E在同一直线上，AD＝EB，BC∥DF，∠C＝∠F.求证：AC＝EF. 图6