高三数学第二轮复习专题2
专题2 函数（2）
江苏省木渎高级中学 潘振嵘
一、填空题
例1 已知函数3
()3()f x x ax a =-∈R ，若直线0=++m y x 对任意的m ∈R 都不是曲线)(x f y =的切线，则a 的取值范围是 ．
答：1,3??-∞ ???
提示：∵2
()33f x x a '=-，不等式()1f x '≠-对任意x 都成立，∴131,3
a a ->-<．
例2 设曲线()1x
y ax e =-在点()01,A x y 处的切线为1l ，曲线()1x
y x e -=-在点
()02,B x y 处的切线为2l ，
若存在030,2x ??
∈????
，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围是 ． 答：31,2
??????
提示：直线1l ，2l 的斜率分别为()0101x
k ax a e =+-，()0
202x k x e
-=-．
由题设得()()1200121k k ax a x =+--=-在30,2??
????上有解，∴()()0
00
3
21x a x x -=-+．
令0333,2t x ??=-∈--???
?，则()()131,4
1425t
a t t t t
??
=
=∈??++??++．
例3 已知函数()y f x =上任一点()()
00,x f x 处的切线斜率()()2
0031k x x =-+，则该函数的单调递减区间为 ． 答：(),3-∞
提示：由()()()2
310f x x x '=-+<得3x <．
例4 已知函数()()sin 2cos x f x bx b x =-∈+R 在20,
3π
?? ???为增函数，2,3ππ??
???
为减函数，则b = ． 答：0b = 提示：()()
2
2cos 1
2cos x f x b x +'=-+，由题设得203
f π
??
'=
???
，∴0b =．经检验满足．
例5 已知函数()()2
1ln 202
f x x ax x a =--≠存在单调递减区间，则实数a 的取值范围为 ． 答：()
()1,00,-+∞
提示：2121
()2ax x f x ax x x
+-'=--=-．
∵函数()f x 存在单调递减区间，∴()0f x '<在()0,+∞上有解．
从而22
111211a x x x ??????
>-=-- ? ? ???????
，∴1a >-．又0a ≠，∴10a -<<或0a >．
例6 已知函数()4
3
2
2f x x ax x b =+++，其中,a b ∈R ．若函数()f x 仅在0x =处
有极值，则a 的取值范围是 ． 答：88,33
??
-????
提示：()()
2434f x x x ax '=++，显然0x =不是方程2
4340x ax ++=的根．为使()
f x 仅在0x =处有极值，必须24340x ax ++≥成立，即有2
9640a ?=-≤．解得
88
33
a -≤≤．这时，(0)f
b =是唯一极值．
例7 若函数()f x 满足()f x ＝()f x π-，且当(,)22
x ππ
∈-时，()sin f x x x =+，
则(1),(2),(3)f f f 的大小关系为 ．
答：(3)(1)(2)f f f <<
提示：由()f x ＝()f x π-，得函数()f x 的图象关于直线2
x π=对称．
又当(,)22x ππ
∈-
时，()1cos 0f x x '=+>恒成立，∴()f x 在,22ππ??
- ???
上为增函数． ∵(2)(2)f f π=-，(3)(3)f f π=-，且03122
π
ππ<-<<-<，
∴(3)(1)(2)f f f ππ-<<-)，即(3)(1)(2)f f f <<．
例8 若函数()()320f x ax ax a =++≠满足()()11,11f f -><，则方程()1f x =的实数解的个数为 个．
答：1
提示：设()()1g x f x =-，则由题设知()()110g g -<，∴()()1g x f x =-在()1,1-内至少有一个零点．又()()
()223310g x ax a a x a '=+=+≠，易知0a >时，()g x 单调递增；0a <时，()g x 单调递减．∴()g x 仅有一个零点，即方程()1f x =仅有一根．
例9 如图，从点()10,0P 作x 轴的垂线交曲线x
y e =于点()10,1Q ，曲线在1Q 点处
的切线与x 轴交于点2P ．现从2P 作x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：1P ，1Q ；2P ，2Q ；…；n P ，n Q ，则
1
n
k k
k P Q
==∑ ．
答：11
n e e e ---
提示：设点1k P -的坐标是()1(,0)2k x k -≥， ∵x y e =，∴x
y e '=，∴曲线在点1
11(,)k x k k Q x e ---处
的切线方程是1
11()k k x x k y e
e x x ----=-．令0y =，则11k k x x -=-（2k n ≤≤）．
∵10x =，∴(1)k x k =--，∴(1)k
x k k k P Q e
e --==．
∴1
n
k k
k P Q
==∑12
(1)
1111n k e e e e
e -------=+++
+=-11
n e e e --=-．
例10 如图，用一块形状为半椭圆14
2
2
=+y x )0(≥y 的铁皮截取一个以短轴BC 为底的
等腰梯形ABCD ，记所得等腰梯形ABCD 的面积为S ，则S 的最大值是 ．
答：
2
3
3 提示：设2AD x =， 则
(
)(
)1
2221012
S x x x =?+?=+<<．
记()()(
)()2
2
41101f x x x
x =+-<<，
则()()()28112f x x x '=+-．令()0f x '=，得12
x =． 当102x <<
时，()0f x '>，()f x 单调递增；当1
12
x <<时，()0f x '<，()f x 单调递减．∴当1
2
x =时，()f x 取最大值，即S
=
例11 已知函数()3111,0,,36221,,1.
1
2x x f x x x x ???
-+∈??????
=????∈ ??+???函数()sin 226g x a x a π=-+，其中
0a >．若存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是 ． 答：14,23
??????
提示：当10,2x ??∈????时，()10,6f x ??∈????；当1,12x ??
∈ ???时，()()
322
4601x x f x x +'=>+，()f x 单调递增，∴()1,16f x ??
∈ ???
．综上，当[]0,1x ∈时，()[]0,1f x ∈．又当[]0,1x ∈时，
x
0,66x π
π??
∈????
，∵0>a ，故)(x g 为单调增函数，∴]232,22[)(a a x g --∈． ∵存在[]12,0,1x x ∈，使得()()12f x g x =成立，∴)(x f 的值域F 与)(x g 的值域G 满足
F G ≠?．若F
G =?，则0232<-a 或122>-a ，解得34>a 或2
1