高中奥林匹克物理竞赛解题方法-三-微元法-针对训练
例18：如图3—17所示，电源的电动热为E ，电容器的
电容为C ，S 是单刀双掷开关，MN 、PQ 是两根位于同
一水平面上的平行光滑长导轨，它们的电阻可以忽略不计，
两导轨间距为L ，导轨处在磁感应强度为B 的均匀磁场
中，磁场方向垂直于两导轨所在的平面并指向图中纸面
向里的方向.L 1和L 2是两根横放在导轨上的导体小棒，
质量分别为m 1和m 2，且21m m <.它们在导轨上滑动
时与导轨保持垂直并接触良好，不计摩擦，两小棒的电阻
相同，开始时两根小棒均静止在导轨上.现将开关S 先合向
1，然后合向2.求：
（1）两根小棒最终速度的大小；
（2）在整个过程中的焦耳热损耗.（当回路中有电流时，该电流所产生的磁场可忽略不计） 解析：当开关S 先合上1时，电源给电容器充电，当开关S 再合上2时，电容器通过导体小棒放电，在放电过程中，导体小棒受到安培力作用，在安培力作用下，两小棒开始运动，运动速度最后均达到最大.
（1）设两小棒最终的速度的大小为v ，则分别为L 1、L 2为研究对象得： 111
1v m v m t F i i -'=? ∑=?v m t F i i 111 ① 同理得： ∑=?v m t F i i 222 ② 由①、②得：v m m t F t F i i i i )(212211+=?+?∑∑
又因为 11Bli F i = 21i i t t ?=? 22Bli F i = i i i =+21
所以 ∑∑∑∑?=?+=?+?i i i i t i BL t i i BL t BLi t BLi )(212211
v m m q Q BL )()(21+=-=
而Q=CE q=CU ′=CBL v
所以解得小棒的最终速度 2221)(L CB m m BLCE v ++= （2）因为总能量守恒，所以热Q v m m C q CE +++=22122)(2
12121 即产生的热量 22122)(2
12121v m m C q CE Q +--=热
)(2)(
)()]
([2121)(2
1)(1212122212
212221212222
2122C L B m m CE m m L CB m m BLCE m m L CB CE v m m CBLv C CE +++=+++--=+--=
针对训练
1．某地强风的风速为v ，设空气的密度为ρ，如果将通过横截面
积为S 的风的动能全部转化为电能，则其电功率为多少？
2．如图3—19所示，山高为H ，山顶A 和水平面上B 点的水平
距离为s.现在修一条冰道ACB ，其中AC 为斜面，冰道光滑，
物体从A 点由静止释放，用最短时间经C 到B ，不计过C 点
的能量损失.问AC 和水平方向的夹角θ多大？最短时间为多少？
3．如图3—21所示，在绳的C 端以速度v 匀速收绳从而拉动低
处的物体M 水平前进，当绳AO 段也水平恰成α角时，物体M 的速度多大？
4，如图3—22所示，质量相等的两个小球A 和B 通过轻绳绕过两个光滑的定滑轮带动C 球上升，某时刻连接C 球的两绳的夹角为θ，设A 、B 两球此时下落的速度为v ，则C 球上升的速度多大？
5．质量为M 的平板小车在光滑的水平面上以v 0向左匀速运动，一质量为m 的小球从高h 处自由下落，与小车碰撞后反弹上升的高度仍为h.设M>>m ，碰撞弹力N>>g ，球与车之间的动摩擦因数为μ，则小球弹起后的水平速度可能是
（ ） A ．gh 2 B ．0 C ．gh 22μ D ．v 0 6．半径为R 的刚性球固定在水平桌面上.有一质量为M 的圆环状均匀弹性细绳圈，原长 2πa ，a =R/2，绳圈的弹性系数为k （绳伸长s 时，绳中弹性张力为ks ）.将绳圈从球的正 上方轻放到球上，并用手扶着绳圈使其保持水平，并最后停留在某个静力平衡位置.考 虑重力，忽略摩擦.
（1）设平衡时弹性绳圈长2πb ，b=a 2，求弹性系数k ；（用M 、R 、g 表示，g 为重力加
速度）
（2）设k=Mg/2π2R，求绳圈的最后平衡位置及长度.
7．一截面呈圆形的细管被弯成大圆环，并固定在竖直平面内，在环内的环底A处有一质量为m、直径比管径略小的小球，小球上连有一根穿过环顶B处管口的轻绳，在外力F作用下小球以恒定速度v沿管壁做半径为R的匀速圆周运动，如图3—23所示.已知小球与管内壁中位于大环外侧
部分的动摩擦因数为μ，而大环内侧部分的管内壁是光滑的.忽略大环内、外侧半径的差别，认为均为R.试求小
球从A点运动到B点过程中F做的功W F.
8．如图3—24，来自质子源的质子（初速度为零），经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流为1.0mA 的细柱形质子流.已知质子电荷e=1.60×10－19C.这束质子
流每秒打到靶上的质子数为
.假设分布在质子源
到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距l 和4l的两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中质子数分别为n1和n2，则n1: n2.
9．如图3—25所示，电量Q均匀分布在一个半径为R的细圆环上，求圆环轴上与环心相距为x的点电荷q所受的力的大小.
10．如图3—26所示，一根均匀带电细线，总电量为Q，弯成半径为R的缺口圆环，在细线的两端处留有很小的
长为△L的空隙，求圆环中心处的场强.
11．如图3—27所示，两根均匀带电的半无穷长平行直导线（它们的电荷线密度为η），端点联线LN垂直于这
两直导线，如图所示.LN的长度为2R.试求在LN的
中点O处的电场强度.
12．如图3—28所示，有一均匀带电的无穷长直导线，
其电荷线密度为η.试求空间任意一点的电场强度.
该点与直导线间垂直距离为r.
13．如图3—29所示，半径为R 的均匀带电半球面，电
荷面密度为δ，求球心O 处的电场强度.
14．如图3—30所示，在光滑的水平面上，有一垂直向
下的匀强磁场分布在宽度为L 的区域内，现有一个边长
为a （a 磁场边界滑过磁场后，速度变为v （v （1）线框在这过程中产生的热量Q ； （2）线框完全进入磁场后的速度v ′. 15．如图3—31所示，在离水平地面h 高的平台上有一相 距L 的光滑轨道，左端接有已充电的电容器，电容为C ， 充电后两端电压为U 1.轨道平面处于垂直向上的磁感应 强度为B 的匀强磁场中.在轨道右端放一质量为m 的金 属棒，当闭合S ，棒离开轨道后电容器的两极电压变为U 2， 求棒落在离平台多远的位置. 16．如图3—32所示，空间有一水平方向的匀强磁场，大小 为B ，一光滑导轨竖直放置，导轨上接有一电容为C 的电 容器，并套一可自由滑动的金属棒，质量为m ，释放后，求 金属棒的加速度a . 答案： 1．321v S ρ 2．θ=60°)223(2h s g h + 3．)cos 1/(x v + 4．2cos /θv 5．CD 6．（1） R Mg 22)12(π+ （2）绳圈掉地上，长度为原长 7．22v m mgR πμ+ 8．6.25×1015,2:1 9．2322)(x R Qqx K + 10．32R l Q K ρ? 11．R k λ2 12．r k λ2 13．σπR 2 14．2),(21 0220v v v v v m +='- 15．g h m u u CBL 2)(21- 16．22L CB m mg a +=