测量学需要的公式

测 量 员 手 簿

一、测量工作的基本原则

布局上：由整体到局部

精度上：由高级到低级

次序上：先控制后细部

所有测量工作都必须遵循以上原则，也是测量的工作次序。

二、控制测量的程序

由整体到局部

由高级到低级

先控制后细部

三、确定地面点位的三个基本要素

水平距离：S

水平夹角：β

高 差：h

称为三个基本观测量

在测量过程中应遵循“随时检查、杜绝错误”的原则。

测量的三项基本工作：距离测量、角度测量、高差测量。

坐标系统：国家三角测量采用1980年西安坐标系统。

平面坐标系统：国家三角测量平面坐标系统采用高斯--克吕

格平面坐标系统.

三 角 函 数

邻边与斜边的比叫做余弦，记作cos cos=邻边/斜边对边与邻边的比叫做正切，记作tan tan=对边/邻边对边与斜边的比叫做正弦，记作sin sin=对边/斜边

弧 度（rad)

已知弧度计算弧长的公式： 已知弧度÷（180°÷π）×半径已知弧长计算弧度的公式： 已知弧长÷半径×（180°÷π）

象限角（R）及方位角（α）

象限角：直线与X轴的夹角（R=0～90°）

象限角R AB=arctan(ΔX AB2+ΔY AB2)

方位角：从标准方向起，顺时针量到直线所成的夹角。从0°～360°

方位角αAB=该角所在的象限加上相应的数值（如下）Array

当增量x正；y正，那就是在第一象限

控 制 测 量

小地区控制测量

1.相关的概念：

控制网：就是在测区内选择一些有控制意义的点（称为控制点）构成的几何图形。

按功能分为：平面控制网、高程控制网。

按规模分为: 国家控制网、城市控制网、小区域控制网和图根控制网。

国家控制网分为：一、二、三、四等4个级别。

2.平面控制

导线测量就是测量导线各边长和各转折角，然后根据已知数据和观测值计算各导线点

的平面坐标。

（1）附合导线：起始于一个高级控制点，最后附和到另一个高级控制点的导线，称为附和导线。

（2）闭合导线：起、止于同一已知高级点，中间通过一系列

施 工 测 量

施工测量的一些基本概念：

施工测量的目的:把图纸上设计的建筑物，构造物的平面位置和高程按设计和施工的要求以一定的精度放样（测设）到相应

的地点，用以指导和衔接各施工阶段和工种间的施工。

施工测量主要内容包括：

1.施工前建立与工程相适应的施工控制网。

2.建（构)筑物的放样及构件与设备安装的测量工作。

3.检查与验收

4.变形观测工作

施工测量的特点：

1.施工测量是直接为工程施工服务的，故必须与施工组织计划相协调。

2.施工测量的精度主要取决于建（构）筑物的大小、性质、用途、材料和施工方法等因素。

3.施工测量的质量将直接影响筑物的正确性，故施工测量应建立健全检查制度。

建筑施工测量

1.施工坐标系与坐标系的转换

施工坐标（xp′；yp′)转换为测量坐标（xp；yp)

2.建筑基线：建筑场地的施工控制基准线，即在建筑场地布置的一条或几条轴线，用以作为施工场地的控制。

3.建筑基线的布设要求：

（1）尽可能靠近拟建的主要建筑物，并与其主要轴线平行。（2）基线点不少于3个

（3）尽可能与施工场地的建筑红线联系

（4）点的选位应通视良好，能长期保存

4.建筑施工的高程控制测量一般采用水准测量的方法，应与国家高程控制系统相联系，以便建立统一的高程系统。

5.多层建筑物的轴线投测：（1）吊垂球法 （2）经纬仪投测法

多层建筑物的高程传递：（1）利用皮数杆传递高程 （2）利用钢尺直接丈量导 线 测 量

导线测量外业： 选点、 测距、 测角

内业： 目的：计算各导线点的坐标

要求：评定导线测量的精度，合理分配测量误差。符合导线

1.方位角的推算方法：α前=α后-β右+180°

α前=α后-β左-180°

α终=α始 - ∑β右 + n×180°α终=α始 - ∑β左 - n×180°αAB

3.坐标增量的计算：△X=D·cosα ； △Y=D·sinα

4.坐标增量闭合差的计算与调整：?x=∑△x-理论值 ?y=∑△y-理论值

导线全长闭合差及相对闭合差：?D=√?x2+?y2 ；K=?D/∑D=1/∑D/?dν△Xi=-?x/∑D·Di ； ν△Yi=-?y/∑D·Di

△xi′=△xi+ν△xi ；

△yi′=△yi+ν△yi

5.坐标计算：xi+1=xi+△x′ yi+1=yi+△y′

闭合导线

1.角度闭合差?β的计算与调整：?β=∑β测 - ∑β理=∑β测-(n-2)·180°

2.坐标方位角的计算：沿导线前进方向：

α前=α后+β左-180° 或 α前=α后-β右+180°

3.坐标增量的计算：△X=D·cosα △Y=D·sinα

4.坐标增量闭合差的计算及其调整：

?x=∑△x-0 ?y=∑△y-0

调整原则：反号与边长成比例分配

ν△xi=-?x/∑D·Di ν△yi=-?y/∑D·Di

5.坐标的计算：

根据起始点的已知坐标和改正后的坐标增量，依次计算各点的坐标。支导线

支导线：从一已知点控制点开始，既不附合到来另一已知点，又不回到原来起始点的。

缺点是没有图形自行检核条件，因此发生错误不易发现。一般只能用在无法布设附合或闭合导线的少数特殊情况，并且要对

前方交会β1

β3

步步有检查，层层有校核前方交会直接算出待定点坐标的公式：

余切公式

xp=xAcotβ+xBcotα+(yB-yA)/cotα+cotβ

yp=yAcotβ+yBcotα+(xA-xB)/cotα+cotβ

正切公式

xp=xAtanα+xBtanβ+(yB-yA)tanαtanβ

/ tanα+tanβ

yp=yAtanα+yBtanβ+(xA-xB)tanαtanβ

/ tanα+tanβ

后方交会

后方交会：在待定点上观测三个已知的水平方向值Ra、Rb、Rc（用以计算夹角α、β、γ），计算待定点P的坐标。

具体的计算方法看教程

圆 曲 线

圆曲线的主点参数计算：

1.已知参数：JD里程 交点的里程桩号

α 路线转角

R 圆曲线的设计半径

Lo 曲线详细测设时整桩间距，按圆曲线半径R大小选取

2.主点的定位参数：

切线长：T=Rtan·α/2 曲线长：L=απR/180°外距：E=R(sec·α/2-1) 切曲线：D=2T-L

A

P

B α

β

γ前方交会

A

B

C

P

γα

β

后方交会

主桩号计算：ZY桩号 = JD里程 - T

YZ桩号 = ZY里程 + L

QZ桩号 = YZ里程 - L/2

JD桩号 = QZ里程 + D/2

3.求圆曲线上任意一点Li的坐标(第一种公式）

φi=180°/πR·Li

xi=Rsinφi yi=R-Rcosφi

式中：Li 圆曲线上第i个中桩离开ZY或YZ的弧长。

φi 与Li相对应的圆心角。

求圆曲线上任意一点Li的坐标(第二种公式）：φ

180°/πxi = Rsinφi yi = R(1-cosφi）

注：计算外距的公式在5800计算器上的输入方法：R×((1÷cos(α÷2))-1)缓 和 曲 线

缓和曲线是一种从曲率无穷大逐渐变化到一定值（1/R)的一种曲线形式。

缓和曲线的参数计算：

1.已知参数：路线的转角： α

圆曲线的半径： R

缓和曲线的长度： Li

曲线加桩的整桩间距 L O 及 JD 的里程。

2.缓和曲线要素：

回旋线参数：C=R×L S

切线角：缓和曲线上任意一点i的切线与ZH点或HZ点切线的夹

角βi,为缓和曲线的切线角。

缓和曲线上任意一点的切线角为：βi=Li2/2RL S·（180°/π）

式中：Li 缓和曲线上任意一点i至 ZH 点或 HZ 的曲线长度( m )。

当Li=Ls时，缓和曲线全长Ls所对的中心角即切线，称为缓和曲线角，以βo表示。

即：βo=Ls/2R·（180°/π）

3.缓和曲线上任意一点i的坐标计算：

分别以缓和曲线的起点(ZH)或终点（HZ）为坐标原点，以ZH （或HZ）点的切线方向为x轴，垂直于切线的方向为y轴，则缓和曲线上任意一点i的坐标为：

xi = Li-Li5/40R2 Ls2 yi = Li3/6RLs-

当Li=Ls时，缓和曲线的终点坐标为：

L7/336R3LS3

xo = LS-LS5/40R3 yo = Ls3/6R-

Ls7/336R3圆曲线带有缓和曲线段的主点测设

1.带有缓和曲线段的平曲线有五个主点：

直缓点（ZH） 缓圆（HY） 曲中（QZ） 圆缓

（YH） 缓直（HZ）

2.带有缓和曲线段的平曲线测设时必须满足条件：2βo≤α

3.内移植p和切增值q的计算 ： P=Ls2/24R

曲线测设的元素计算：

q=Ls/2-Ls3/240R2

切线长：Th=(R+p)tan·α/2+q 主曲线长：LY=π/180°αR-Ls

曲线长：Lh=LY + 2Ls 外距：Eh = (R+p)sec·α/2-R 超距：Dh = 2Th - Lh

圆曲线带有缓和曲线段的详细测设

切线支距法

1.缓和曲线段任意点的测设

以ZH(HZ)点为坐标原点，切线方向为x轴，法线方向为y轴，对

于缓和曲线段内任意一点P，其坐标可按下式计算：

X = L-L5/40R2Ls2 Y = L3/6RLs

2.圆曲线部分任意点测设

Xp=Rsin(L/R·180°/π） Yp=R[1-cos(L/R·180°/π） ]

式中：L是待测中桩至坐标原点HY(YH)的曲线长

高程测设

高程系统：

我国国家高程系统：黄海高程系

1956年黄海高程系（水准原点H=72.289米）

我国国家高程基准：

1958年国家高程基准（水准原点H=72.260米）

水准测量的原理： 高差=后视读数-前视读数

h AB=a-b

H B=H A+h AB

h AB=ΔH AB=H B-H A=a-b=-ΔH AB=-h AB

h1=a1=b1 h2=a2-b2 hn=an-bn HAB=∑h=∑a-∑b

常用双面尺：黑白为主尺，起始读数为0 。 红白为副尺，起始读数分别为 4.687 和 4.787

水准路线测量

1.符合水准路线

符合水准路线的高程闭合差为：?h=∑h-(H终-H始)

2.闭合水准路线

高差代数在理论上应等于零，即∑h理=0，由于测量误差的存在，∑h理≠0，则闭合水准路线闭合差?h=∑h测

3.水准支线

支水准路线必须沿同一线路进行往返测，往返测的高差绝对值相等，而符号相反，如不相等，便产生了闭合差：即?h=H往+H 为保证测量的精度，测量规范规定了闭合差的容许范围称为容返

许误差。他随测量等级的不同而有不同的规定。

一般普通图根水准测量的容许高程闭合差为：

平地?h=±40√

L(mm)

山地?h=±12√4.闭合差的分配和高程的计算

当实际的高程闭合差在容许范围之内时，可把闭合差分配到各侧段的高差上。显然，高程测量的误差是随水准路线的长度或测站数的增加而增加，所以分配的原则：

对于闭合与附合水准路线是把闭合差以相反的符号根据各侧段路线的长度或测站数按比例分配到各侧段的高差上。

对于支水准路线，取往返高差的平均值作为观测结果。

姑各侧段高差的改正数为：

角度测量

一、角度测量原理

水平角：地面上从一点出发的两直线之间的夹角在水平面上的投影。

水平角观测原理：把一个作为量角器和投影面的圆盘水平放置，圆心通过地面点O的铅垂线。

竖直角观测原理：同一铅垂面内，观测视线与水平线间的夹角

水平角的测量

1.测回法

观测两个方向的单角：

(1) 先将经纬仪竖盘放在盘左位置(又称正镜位置)，顺时针转动照准部，使望远镜大致瞄准A点上的标杆。然后，拧紧水平制动扳钮，用微动螺旋使望远镜精确地瞄准A点，读取水

平度盘读数A左

(2) 松开水平制动扳钮，顺时针方向转动照准部，用上述

方法精确瞄准B点，读水平度盘读数B左

β左= B左－ A左

按上述程序测量水平角一次，称为上半测回。

(3) 倒转望远镜，使竖盘位于盘右位置，逆时针旋转望远镜精确瞄准B点，读水平度盘读数B右。

(4) 逆时针转动照准部，精确瞄准A点，读取水平度盘读数A右，

则：β右= B右－ A右 称为下半测回

上下半测回称为一个测回,角值差不大于±40″时(J6)：β =（ β左+ β右）/2

几个重要的补充说明

1.水平角的计算永远是右边目标减左边目标，若右边目标读数小于左边目标读数,则先加360°后再减左边目标.

2.为了获得更为精确的角度值,一般要对一个角测几个测回。每个测回要使零方向处于度盘的不同位置，叫配置度盘。其目的是为了消除度盘刻划不均匀对测角带来的影响。

方向观测法测水平角

(1) 在O点安置仪器，对中、整平。

(2) 选择一个距离适中且影像清晰的方向作为起始方向，设为OA。

(3) 盘左照准A点，并安置水平度盘读数，使其稍大于0°，用测微器读取读数。

(4) 以顺时针方向依次照准B、C、D诸点。最后再照准A，

(5) 倒转望远镜改为盘右，以逆时针方向依次照准A、D、

C、B、A，每次照准时，也是用测微器读取读数。这称为下半

测回，上下两个半测回构成一个测回。

(6) 如需观测多个测回时，为了消减度盘刻度不匀的误

差，每个测回都要改变度盘的位置，即在照准起始方向时，改方向观测法的限差: 1.半测回归零差 2.2C值及其互差

3.测回差

竖直角观测

竖直角的作用:

将倾斜距离换算成水平距离，在三角高程测量中进行三角高差

α

α

=h+i-ν

AB

由竖直角的定义已知，它是倾斜视线与在同一沿垂面内的水平视线所夹的角度。由于水平视线的读数是固定的，所以只要读出倾斜视线的竖盘读数，即可求算出竖直角值。但为了消除仪器误差的影响，同样需要用盘左、盘右观测。其具体观测步骤1.在测站上安置仪器，对中，整平。

2.以盘左照准目标，如果是指标带水准器的仪器，必须用指标微动螺旋使水准器气泡居中，然后读取竖盘读数L，这称为上半测回。

3.将望远镜倒转，以盘右用同样方法照准同一目标，使指标水准器气泡居中后，读取竖盘读数R，这称为下半测回。

三、四等三角测量的基本技术要求

1.三、四等三角网以连续三角网形式或插网形式，在一等或二等控制点下进行加密。

2.三、四等三角网中任意一三角形的内角都不得小于30°，受地形限制等困难地区，个别三角形内角放宽到至少不小于25°施工坐标系与测量坐标系的坐标转换

施工坐标转换为测量坐标 xp=xo+xp′cosα-yp′sinα

yp=yo+xp′sinα+yp′cosα

测量坐标转换为施工坐标 xp′=（xp-xo)cosα+(yp-yo)sinα

yp′=-（xp-xo)sinα+(yp-yo)cosα测量误差的分类

1.粗差：是一种大量级的观测误差，在测量成果中，是不允许粗差存在的。

2.系统误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的数值，正负号保持不变或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。

3.偶然误差：在相同观测条件下，对某量进行一系列观测，若误差的取值有多种可能，其数值和大小都表现出随机性，即大小不等，但统计分析的结果具有一定的统计规律性，这种误差称为偶然误差。

观测值的中误差：测量工作中，用中误差作为衡量观测值精度的标准。

偶然误差的公式：Δi=X-Li (偶然误差=真值-观测值）（真值就好像三角形的内角和为180°）

中误差的公式为：m=±√Δ12+Δ22+Δ32+…+Δn2 / n =±√中误差较小：误差分布比较集中，观测值精度较高。

中误差较大：误差分布比较离散，观测值精度较低。

用改正数计算中误差的公式：

观测值的真值未知时，用似真误差V计算中误差。

设某未知量的观测值为：l1、l2 … ln

则该量的算术平均值为：x=l1+l2 +…+ln/n =[l] /n 得似真误差（改正数）：Vi=[l] /n-li = x-li

观测值的中误差：m=±√[VV]/n-1