高考数学一轮总复习6.7数学归纳法练习

—

解析 当 n = k +1 时，等式左边=1 + 3+ 5+-+ (2k + 1) + (2k + 3) = (k + 1) + (2k +

第七节数学归纳法

时间：45分钟分值：100分

［基 ［础|必| |做

一、选择题

111

1

1.已知 f (n ) = '+

+

+???+=,则(

)

n n +1 n + 2

n

1 1

A. f (n )中共有 n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+ 3

2 3 1 1

B. f (n )中共有 n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3

1 1

C. f (n )中共有 n 2

— n 项，当 n = 2 时，f (2) = -+-

2

1 1 1

D. f (n )中共有 n —n + 1 项，当 n = 2 时，f (2) = - + 3+ 4 2 1 1 1 解析 总项数为n —n + 1, f (2) = 2+ 3+ 4.故选D.

答案 D

2?用数学归纳法证明不等式

1 1 1 127 *

1 + - + 4 +…+ 2一1>64(n € N)成立，其初始值至少应取

( ) A. 7 C. 9

B. 8 D. 10

解析

1 1 1 1 +

2+ 4+…+ 产=

1 1 —

2 127 1>64， 1--

整理得2n

>128，解得n >7. ???初始值至少应取 8.

答案 B

3.用数学归纳法证明等式 1 + 3 + 5+-+ (2n + 1) = (n + 1)2

(n € N *)的过程中，第二步

假设n = k 时等式成立，则当 n = k + 1时应得到(

) 2

A. 1+ 3 + 5+-+ (2 k + 1) = k

B. 1 + 3 + 5+???+

(2 k + 3) = (k + 2)

C. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 1) = (k + 2)

D. 1 + 3 + 5+- + (2 k + 3) = (k + 3)

答案 B

4?某个命题与自然数 n 有关，若n = k (k € N)时命题成立，那么可推得当n = k +1时该 命题也成立?现已知当 n =5时，该命题不成立，那么可推得 (

)

A. 当n = 6时，该命题不成立

B. 当n = 6时，该命题成立

C. 当n = 4时，该命题不成立

D. 当n = 4时，该命题成立

解析 因为当n = k 时命题成立可推出 n = k + 1时成立，所以n = 5时命题不成立，则n =4时命题也一定不成立.

答案 C

5?在数列｛a n ｝中，a i =扌，且S = n (2n — 1)勿，通过求a 2, a 3,a 4,猜想a n 的表达式为( )

1

B.

~2n + 1

1

2n — 1

2n +1

1

2n + 1

2n + 2 1

解析由 a 1 = 3, S= n (2 n — 1)a n , 得 S 2= 2(2 x 2— 1)a 2, 即 a 1+ a 2 = 6a 2.

二 a 2 =—=丄,S a = 3(2 x 3— 1)a 3,即〔+丄 + a s = 15a s .二 &3=丄=丄，同理可得 a 4

15 3x5 3 15 3

35 5X7

1

=7X9 .

答案 C 6.

下列代数式(其中k € N *)能被9整除的是

(

)

A. 6 + 6 ?7k

B. 2 + 7

k —1

— k +1

k

C. 2(2 + 7 )

D. 3(2 + 7)

解析(1)当k = 1时，显然只有3(2 + 7k

)能被9整除.

(2)假设当k = n (n € N)时，命题成立，即3(2 + 7n

)能被9整除，那么3(2 + 7n +1

) = 21(2

+ 7n

) — 36.

这就是说，k = n + 1时命题也成立.

A.

1

n — 1 n + 1

由(1)(2)可知，命题对任意 k € N *都成立.故选 D. 答案 D 二、填空题

7. 用数学归纳法证明"当 n 为正奇数时，x n

+ y n

能被x + y 整除”，当第二步假设 n =

2k — 1( k € N *)命题为真时，进而需证 n = _________ 时，命题亦真.

解析 t n 为正奇数，假设n = 2k — 1成立后，需证明的应为 n = 2k + 1时成立.

答案 2k +1

&若 f (n ) = 11 2 3

+ 22

+ 32

+…+ (2 n )2

,贝 U f (k + 1)与 f (k )的递推关系是 _________________ .

2 2 2

解析?/ f (k ) = 1 + 2 +…+ (2 k ),

f (k + 1) = 12

+ 22

+???+ (2 k )2

+ (2 k + 1)2

+ (2 k + 2)2

,

??? f (k + 1) = f (k ) + (2 k +1)2

+ (2k + 2)2

.

答案 f (k + 1) = f (k ) + (2k + 1) + (2 k + 2)

9?在数列｛a n ｝中，a 1= 1,且S, S+ 1,2S 成等差数列($表示数列｛a n ｝的前n 项和)，则

S, S 3, S 4分别为 ___________ ，由此猜想S= ___________ .

解析 由$, S+1,2$成等差数列，得 2$+1= S+ 2S ,

T S = a 1 = 1 ,? 2S +1= S+ 2.

3 令 n =1,贝U 2S = S+ 2= 1 + 2= 3,「. S =空

7

15

同理，分别令n = 2, n = 3,可求得S 3= 4, $= ~. 1 2 3

, 2 — 1 3 2 — 1 7 2 — 1

由 s = 1 = 2。, S = 2= 21

, S = 4= 2 ,

—.11 .

2 一 1

S= ￡ = ，猜想 S n =

-1

三、解答题

10?用数学归纳法证明：

1

1 + 3 + 5 +…+ (2n — 1) = $n (4n — 1).

3

证明 (1)当n = 1时，左边=12

= 1,

1

右边=3X 1 X (4 — 1) = 1 ,等式成立.

1

⑵ 假设当 n = k (k € N)时等式成立，即

12

+ 32

+ 52

+…+ (2 k —1)2

= -k (4 k 2

— 1).

3

则当 n = k + 1 时，12

+ 32

+ 5 + …+ (2k — 1)2

+ (2k +1)2

1 2 2 1 2 2

=3k (4 k — 1) + (2 k + 1) = §k (4k — 1) + 4k + 4k + 1

4

15 2 — 1 3 7 15 2n

— 1

答案2 4, E 2n — 1

=3k [4( k + 1)2

- 1] - 3k ? 4(2 k + 1) + 4k 2

+ 4k + 1 3 3

1 1

=3k [4( k + 1)2

- 1] + 3(12 k 2

+ 12k + 3 - 8k 2

- 4k ) 3 3 1 2 1 2

=§k [4( k + 1) - 1] + §[4( k + 1) - 1]

1 2

=3(k +1)[4( k +1) -1] ? 即当n = k + 1时等式也成立.

由(1) , (2)可知，对一切n € N *，等式都成立. 11.数列｛a n ｝满足 S= 2n -a n ( n € N). (1) 计算a 1, a 2, a 3, a 4,并由此猜想通项公式 a n ；

(2) 用数学归纳法证明(1)中的猜想.

解 (1)当 n = 1 时，a 1 = S = 2 — a 1，— a = 1. 当 n = 2 时，勿+ Q = $= 2x 2-比，.?.a 2

= 2.

当 n = 3 时，a 1+ a? + a 3= S 3= 2x 3— a 3,

囲［优［演

I

［练

当n = 4时，

15 /. a =—. a 1+ a + a 3+ a 4= S= 2 x 4 — a 4,

由此猜想a n =

尹(n € N *).

⑵证明：①当n = 1时，a 1= 1，结论成立.

②假设n = k (k >1且k € N *)时，结论成立，即 k .

2 - 1 a k

= g k -1 ,

那么 n = k + 1(k >1 且 k € N *)时,

a k +1 = S k +1 — S k = 2( k + 1) — a k +1 — 2k + a k

=2 + a k — a k +1.

k

k +1

2 — 1 2 — 1

2a k +1 = 2 + a k = 2 + 2~ 1 = ~2'^—~

k + 1

2 - 1

a k +1 =

,

、n

由①②可知，对n € N , a n = 茅1都成立.

7

1 ?对于不等式 WVS

⑴当n = 1时，；12

+ 1<1 + 1，不等式成立.

(2)假设当n = k (k € N 且k > 1)时，不等式成立，即

k 2

+ k

■' k + 1—2

+ ―k + 1 = ：'k 2

+ 3k + 2< ,：―k 2

+ 3k + 2—+―k + 2 = '―k + 2 2

= (k + 1) +1,

所以当n = k +1时，不等式成立，则上述证法

( )

A. 过程全部正确

B. n = 1验得不正确

C. 归纳假设不正确

D. 从n = k 到n = k + 1的推理不正确

解析 在n = k + 1时，没用n = k 时的假设，不是数学归纳法.???从 n = k 到n = k + 1 的推理不正确.

答案 D

2.用数学归纳法证明 34n +1

+ 52n + 1

(n € N *)能被8整除时，当n = k + 1时，对于3

4(k +1) +1

+ 5 可变形为(

)

A. 56 ?3 4k +1

+ 25(3

4k +1

+ 52k +1

)

B. 34

?34k +1

+ 52

?5

2k

解析 34(k +1) +1

+ 52(k +1) +1

= 34++1

+ 52

?5

2k +1

=(56 + 25) ^3 4k +1

+ 52

?52k +1

=56 ?3 4k +1

+ 25(3 4k +1

+ 52k +1

).

答案 A 3.

设平面上n 个圆周最多把平面分成 _______ f (n )片(平面区域)，则f (2) =

, f (n )

= _________ .( n 》1, n 是自然数)

解析 易知2个圆周最多把平面分成 4片；n 个圆周最多把平面分成 f (n )片，再放入第

n + 1个圆周，为使得到尽可能多的平面区域， 第n + 1个应与前面n 个都相交且交点均不同，

有n 条公共弦，其端点把第n + 1个圆周分成2n 段，每段都把已知的某一片划分成

2片，即

2

f (n + 1) = f ( n ) + 2n (n 》1)，所以 f (n ) - f (1) = n (n — 1)，而 f (1) = 2，从而 f ( n ) = n —n +

2.

答案 4 n 2

— n +2

4. (2014 ?陕西卷)设函数 f (x ) = ln(1 + x ) , g (x ) = xf '( x ) , x >0,其中 f '( x )是 f (x ) 的导函数.

(1)令 g 1

(x ) = g ( x ), g n + i (x ) = g ( g n (x )) , n €N ,求 g n (x )的表达式;

C.

3绷+1

2k + 1 D. 25(3 4k +1

+ 52k +1

)

⑵ 若f (x ) > ag ( X )恒成立，求实数a 的取值范围.

x

解 由题设得，g ( x ) = i + x (x > 0).

x

x

1 + x

g i (x ) =

, g 2(x ) = g (g i (x ))= —

z\.

1+

弔

x

可得 g n (x )=

. 1 + nx

下面用数学归纳法证明.

x

① 当n = 1时，g(x ) =

，结论成立. I 十x

② 假设n = k 时结论成立， 即 g k (x ) =

^―. 1+ kx

x

g k x

1 + kx x

那么，当 n = k + 1 时，g k

+1( x ) = g (g k

( x ))=

=

=

.即

1 + g k x

x 1 + k +1 x 1 + - :-

1 + kx

结论成立.

由①②可知，结论对 n € N *成立. (2)已知f (x ) > ag (x )恒成立，

ax

即ln(1 + x ) > 恒成立.

1 + x

r

ax

设 0 (x ) = ln(1 + x ) — 1+x (x >0),

亦，， 1 a x +1 — a

即 0 ( x) = —

2

=

2

,

屮 1 + x 1 + x

1 + x

当a wl 时，0'(x ) >0(仅当x = 0, a = 1时等号成立),

??? 0 (x )在［0,+^)上单调递增，又 0 (0) = 0,

??? 0 (x ) >0 在［0,+^)上恒成立，

当 a >1 时，对 x € (0 , a — 1］有 0'( x )<0 ,

? 0 (x )在(0 , a — 1］上单调递减，

x

1 + 2x g 3

(x) = 1 + 3x ，

⑴由已知得, ? a wl 时,

ln(1

ax

1 + x 恒成立(仅当x =0时等号成立).

?0 (a—1)< 0 (0) = 0.

ax

即a>1时，存在x>0，使0 (x)<0，故知ln(1 + x) > 不恒成立,

1十x 综上可知，a的取值范围是（—g, 1].

2

3) = (k + 2).