人教版数学必修2直线与方程知识点专题讲义解答

必修二直线与方程专题讲义

1直线的倾斜角与斜率

(1)直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：

i .与x轴相交；ii . x轴正向；iii .直线向上方向.

②直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.

③倾斜角的范围0°_「：：180°.

④0 _ ：：： 90 , k 二tan 0 ; 90 ：：：：： 180 , k = tan ：：：：0

(2)直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在

②经过两点p(x1, y-i), P2(x2, y2)的直线的斜率公式是k= — (x^ x2).

x2 _ x1

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率

注：过两点R（x i, yj, P2（X2，y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定）

（1 ）若X i = X2且y i式y，直线垂直于x轴，方程为x = X i ；

（2）若X i = X2且y i =丫2，直线垂直于y轴，方程为y =y i ；（3 ）若X i ■■ X2且y i ■■

y2，直线方程可用两点式表示）

3、两条直线平行与垂直的判定

（i）两条直线平行

斜截式：对于两条不重合的直线l i: ^ k i x b-i,l2: ^ k2x b2，则有

11 / /I2 = k i 二k2, b i b2

注：当直线I i,l2的斜率都不存在时，l i与l2的关系为平行

一般

已知l i: A i x B i y G = 0, l2: A2X B2y C2= 0，贝U

式：

l i/ /l2A i B^ A2B i, AC 2= A2C1

注：l i 与12 重合=AB2=ABl,AC2 =A2C i

11 与|2 相父二A i B2 - A2 B = 0

（2）两条直线垂直

斜截

如果两条直线l i, l2斜率存在，设为k i,k2，则h _ 12二kLk2- -i

式：

:两条直线I i,l2垂直的充要条件是斜率之积为-i，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-i，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-i.如果l i,l2中

有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，^与l2互相垂直

般式：已知

l 1

: A 1

x B 1

y C^ 0, l 2 : A 2X

? B 2

y ? C 2

= 0 ,则

I l I l 2：= A l A 2 ' B 1B 2 = 0

4、线段的中点坐标公式

X =

若两点R （x“ y i ）, F 2（X 2, y 2）,且线段R, F 2的中点M 的坐标为（x, y ），则*

y = 5、直线系方程 （i ）过定点的直线系

①斜率为k 且过定点（X 0, y 0）的直线系方程为 y -y 0 =k （x 「x 0）

②过两条直线l i : A i X B i y C^ 0 , I 2 : A 2X B 2y ? C 2 = 0的交点的直线系方程为

A X ? Ey C^ .-（A 2X

B 2

y ，C 2

） =0 （'为参数），其中直线l 2不在直线系中

（2）平行垂直直线系

①平行于已知直线 A X By ^0的直线系A X By C^ 0 ②垂直于已知直线 A X By C = 0的直线系Bx - Ay C^0 6、两条直线的交点

设两条直线的方程是 h ： Ax ? B# ? G = 0 , l 2 : A 2X B 2y ? C 2二0两条直线的交点

Ax + Bw +G = 0

坐标就是方程组丿1 1

的解，

A 2X +

B 2 y +

C 2 = 0

若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；

若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立 7、几种距离 （1）两点间的距离

平面上的两点 F （X i ，yJ F 2（X 2，y 2）间的距离公式 RP ? = $区-xj 2 + （y ? - %）2 特别地，原点0（0,0）与任一点P （X , y ）的距离OP ] =J x 2 +y 2 （2 ）点到直线的距离

X-i X 2

2

% y 2 2

.. . I

A X Q + By 0

+ C

点 P(x °,y °)到直线 l : Ax +By +C =0的距离 d = _.

V A 2 + B 2

(3) 两条平行线间的距离

一

|C 2 — C 1

两条平行线 h : Ax + By +C ! = 0 , l 2 : Ax + By +C 2 = 0 间的距离 d ='

J A 2 + B 2

注：①求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

②求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能

套用公式计算.

8、有关对称冋题 (1 )中心对称

①若点M(x i ，yj 及N(X 2,y 2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得

②直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，禾U 用中点坐标公式求出 它们关于已知点对称的两点坐标，

再由两点式求出直线方程， 或者求出一个对称点， 再利用

l l //l 2，由点斜式得到所求直线方程

(2)轴对称 ①点关于直线的对称

若两点P(x i ，yj 与F 2(X 2,y 2)关于直线l:Ax + By + C=0对称，贝懺段RP ?的中点在 对称轴I 上，而且连接 RP 2的直线垂直于对称轴I 上，由方程组

A （亠）+

B （4）+

C =0

「

2

2

X2

\

n 丿

垃斗占一1

72

X 2-X i

B

可得到点P 关于I 对称的点F 2的坐标(x 2, y 2)(其中 0, x 1

x 2

)

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴 相交；二是已知直线与对称轴平行

.

"x = 2a - x

1

y = 2b _ 比

?

注：①曲线、直线关于一直线y - _x ? b对称的解法：y换x , x换y .例：曲线

f（x, y）=0关于直线y=x-2对称曲线方程是f（y，2,x-2）=0

②曲线C:f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线方程是f （2a 一x,2b 一y）=0

9、直线I上一动点P到两个定点A、B的距离“最值问题”：

（1）在直线I上求一点P,使PA PB取得最小值，

①若点A、B位于直线I的同侧时，作点A （或点B ）关于I的对称点A或B/, 连接A/B （或AB/）交I于P,则点P即为所求点.

②若点A、B位于直线的异侧时，连接AB交于I点P，则P为所求点?

可简记为“同侧对称异侧连”?即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点位

于直线的异侧时，直接连接两点即可

（2）在直线I上求一点P使PA - PB取得最大值，

方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连”

①若点A、B位于直线I的同侧时，连接AB交于I点P，则P为所求点?

②若点A、B位于直线的异侧时，作点 A （或点B ）关于I的对称点A或B/,

连接A/B（或AB/）交I于P,则点P即为所求点.

（3）|PA2+PB2的最值：函数思想“转换成一元二次函数，找对称轴”

10、直线过定点问题

（1）含有一个未知参数，

y = （a -1）x 2a -1 = y = a（x ■ 2） - x 1 （1）

令x ? 2 = 0= x = —2，将x =「2代入(1)式，得y = 3，从而该直线过定点(-2,3)

(2)含有两个未知参数

(3m -n)x (m 2n)y -n =0 = m(3x y) n(-x 2y T) = 0

3x + y = 0 _x +2y _1

1

x = 一—

37，y=7 从而该直线必过定点

(角)