高考函数题型总结：零点问题总结

高中函数专题——零点（看图像交点）

2018年

【2018新课标1理】已知函数， .若存在2个零点，则a 的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】令，∴，，

当，∴，

当x﹥0时，∴在（0，+∞）

∴。

【2018?新课标Ⅲ】函数在的零点个数为________．

【答案】3

【解析】，因为

则共三个零点，填3

【2018?浙江理】已知λ∈R ，函数f (x )= ，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是

________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是________． 【答案】(1,4)；

【解析】 由题意得 或 ，所以 或 ，即 ，

不等式f (x )<0的解集是

当

时，

，此时

，即在 上有两个零点；

当4≤λ 时，

，由

在

上只能有一个零点得

1<3≤λ .综上， 的取值范围为

.

【2018?天津理】已知 a>0 ，函数

若关于 x 的方程 f(x)=ax 恰有2个互

异的实数解，则 a 的取值范围是________. 【答案】（4,8）

【解析】∵

∴

=0与

=0要么无根，要么有同号根，同号根时在范围内.

则 ?4

2017年

【2017?新课标Ⅲ理11】已知函数f （x ）=x 2

﹣2x+a （e x ﹣1

+e

﹣x+1

a=（ ）

A ．﹣

21 B ．31 C ．2

1

D ．1 【答案】 C 【解析】因为f （x ）=x 2

﹣2x+a （e x ﹣1

+e

﹣x+1

）=﹣1+（x ﹣1）2+a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）=0， 所以函数f （x ）有唯一零点等价于方程1﹣（x ﹣1）2

=a （e

x ﹣1

+

1-e

1

x ）有唯一解，

等价于函数y=1﹣（x ﹣1）2的图象与y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）的图象只有一个交点． ①当a=0时，f （x ）=x 2

﹣2x ≥﹣1，此时有两个零点，矛盾；

②当a ＜0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2

在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1

+

1

-e 1

x ）的图象的最高点为B （1，2a ）， 由于2a ＜0＜1，此时函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象与y=a （e

x ﹣1

+

1-e

1

x ）的图象有两个交点，矛盾； ③当a ＞0时，由于y=1﹣（x ﹣1）2

在（﹣∞，1）上递增、在（1，+∞）上递减， 且y=a （e

x ﹣1

+

1

-e 1

x ）在（﹣∞，1）上递减、在（1，+∞）上递增， 所以函数y=1﹣（x ﹣1）2

的图象的最高点为A （1，1），y=a （e x ﹣1

+

1-e

1

x ）的图象的最低点为B （1，2a ）， 由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即2a=1，即a=2

1

，符合条件； 综上所述，a=

2

1， 【2017年山东理】已知当x ∈[0,1]时，函数y=(mx-1)2

的图象与y=x +m 的图象有且只有一个交点，则正实数m 的取值范围是( )

A.(0,1]∪[23,+∞)

B.(0,1]∪[3,+∞)

C. (0,2]∪[23,+∞)

D. (0, 2]∪[3,+∞) 【答案】B 【解析】当0＜m ≤1时，1

m ≥1，y=(mx-1)2在[0,1]上单调递减，且y=(mx-1)2∈[(m-1)2，1]，y=x +m 在x ∈[0,1]上单调递增，且y=x +m ∈[m ，1+m]，此时有且仅有一个交点；当m ＞1时，0＜1

m ＜1，y=(mx-1)2

在[1

m ,1]上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需（m-1）2≥1+m m ≥3.故选B.

2016年

【2016山东文理15】——有三个不同的根=图像有三个不同的交点

已知函数f （x ）=

，其中m ＞0，若存在实数b ，使得关于x 的方程f （x ）=b

m 的取值范围是 ． 【答案】 （3，+∞）

【解析】解：当m ＞0时，函数f （x ）=

的图象如下：

∵x＞m时，f（x）=x2﹣2mx+4m=（x﹣m）2+4m﹣m2＞4m﹣m2，

∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，

必须4m﹣m2＜m（m＞0），即m2＞3m（m＞0），解得m＞3，

∴m的取值范围是（3，+∞），

【2016天津理8】已知函数f（x）=（a＞0，且a≠1）在R上单调递减，且

关于x的方程|f（x）|=2﹣a的取值范围是（）

A．（0，] B．[，] C．[，]∪{} D．[，）∪{}

【答案】 C

【解析】y=loga（x+1）+在[0，+∞）递减，则0＜a＜1，

函数f（x）在R上单调递减，则：；

解得，；

由图象可知，在[0，+∞）上，|f（x）|=2﹣x有且仅有一个解，

故在（﹣∞，0）上，|f（x）|=2﹣x同样有且仅有一个解，

当3a＞2即a＞时，联立|x2+（4a﹣3）+3a|=2﹣x，

则△=（4a﹣2）2﹣4（3a﹣2）=0，解得a=或1（舍去），

当1≤3a≤2时，由图象可知，符合条件，综上：a的取值范围为[，]∪{}，

【2016天津文14】已知函数f （x ）=（a ＞0，且a ≠1）在R 上单调递减，且

关于x 的方程|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 ． 【答案】[，）

【解析】解：∵f （x ）是R 上的单调递减函数，

∴y=x 2

+（4a ﹣3）x+3a 在（﹣∞．，0）上单调递减，y=log a （x+1）+1在（0，+∞）上单调递减， 且f （x ）在（﹣∞，0）上的最小值大于或等于f （0）．

∴，解得≤a ≤．作出y=|f （x ）|和y=2﹣的函数草图如图所示：

∵|f （x ）|=2﹣恰有两个不相等的实数解，∴3a ＜2，即a ．

综上，

．

2015年

【2015北京理】——分界点已知图形分别画了考虑 设函数f （x ）=

，

①若a=1，则f （x ）的最小值为 ；②若f （x a 的取值范围是 ．

【答案】①﹣1，②

2

1

≤a ＜1，或a ≥2 【解析】：①当a=1时，f （x ）=

，

当x ＜1时，f （x ）=2x

﹣1为增函数，f （x ）＞﹣1，

当x ＞1时，f （x ）=4（x ﹣1）（x ﹣2）=4（x 2

﹣3x+2）=4（x ﹣）2

﹣1， 当1＜x ＜时，函数单调递减，当x ＞时，函数单调递增， 故当x=时，f （x ）min =f （）=﹣1，

②设h （x ）=2x

﹣a ，g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ） 若在x ＜1时，h （x ）=与x 轴有一个交点，

所以a ＞0，并且当x=1时，h （1）=2﹣a ＞0，所以0＜a ＜2，

而函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有一个交点，所以2a ≥1，且a ＜1， 所以

2

1

≤a ＜1， 若函数h （x ）=2x

﹣a 在x ＜1时，与x 轴没有交点， 则函数g （x ）=4（x ﹣a ）（x ﹣2a ）有两个交点，

当a ≤0时，h （x ）与x 轴无交点，g （x ）无交点，所以不满足题意（舍去），

当h （1）=2﹣a ≤时，即a ≥2时，g （x ）的两个交点为x 1=a ，x 2=2a ，都是满足题意的， 综上所述a 的取值范围是

2

1

≤a ＜1，或a ≥2． 【2015湖南理】——分界点未知，图像画在同一个图中，两个图形的交点，往往是参数的分界点，从而精准确定a 的取值范围

已知函数f （x ）=若存在实数b ，使函数g （x ）=f （x ）﹣b a 的取值范围

是 ． 【答案】{a|a ＜0或a ＞1}

【解析】∵g （x ）=f （x ）﹣b 有两个零点，

∴f （x ）=b 有两个零点，即y=f （x ）与y=b 的图象有两个交点， 由x 3

=x 2

可得，x=0或x=1

①当a ＞1时，函数f （x ）的图象如图所示，此时存在b ，满足题意，故a ＞1满足题意

②当a=1时，由于函数f （x ）在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当0＜a ＜1时，函数f （x ）单调递增，故不符合题意

④a=0时，f （x ）单调递增，故不符合题意

⑤当a ＜0时，函数y=f （x ）的图象如图所示，此时存在b 使得，y=f （x ）与y=b 有两个交点

综上可得，a ＜0或a ＞1 答案为：{a|a ＜0或a ＞1}

【2015天津理】已知函数f （x ）=

，函数g （x ）=b ﹣f （2﹣x ），其中b ∈R ，若函数

y=f （x ）﹣g （x b 的取值范围是（ ） A ．（

47，+∞）B ．（﹣∞，47）C ．（0，47）D ．（4

7

，2） 【答案】 D 【解析】∵g （x ）=b ﹣f （2﹣x ）， ∴y=f （x ）﹣g （x ）=f （x ）﹣b+f （2﹣x ），

由f （x ）﹣b+f （2﹣x ）=0，得f （x ）+f （2﹣x ）=b ， 设h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）， 若x ≤0，则﹣x ≥0，2﹣x ≥2， 则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2+x+x 2

， 若0≤x ≤2，则﹣2≤﹣x ≤0，0≤2﹣x ≤2，

则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2， 若x ＞2，﹣x ＜0，2﹣x ＜0，

则h （x ）=f （x ）+f （2﹣x ）=（x ﹣2）2

+2﹣|2﹣x|=x 2

﹣5x+8．

即h （x ）=，

作出函数h （x ）的图象如图：

当x ≤0时，h （x ）=2+x+x 2

=（x+

21）2+47≥4

7， 当x ＞2时，h （x ）=x 2﹣5x+8=（x ﹣）2+47≥4

7， 故当b=4

7

时，h （x ）=b ，有两个交点，

当b=2时，h （x ）=b ，有无数个交点，

由图象知要使函数y=f （x ）﹣g （x ）恰有4个零点， 即h （x ）=b 恰有4个根，则满足

4

7

＜b ＜2，

【2015?安徽理】设x 3

+ax+b=0，其中a ，b 的是 （写出所有正确条件的编号）

①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b ＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2． 【答案】 ①③④⑤

【解析】设f （x ）=x 3

+ax+b ，f'（x ）=3x 2

+a ，

①a=﹣3，b=﹣3时，令f'（x ）=3x 2

﹣3=0，解得x=±1，x=1时f （1）=﹣5，f （﹣1）=﹣1； 并且x ＞1或者x ＜﹣1时f'（x ）＞0，

所以f （x ）在（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）都是增函数，

所以函数图象与x 轴只有一个交点，故x 3

+ax+b=0仅有一个实根；如图

②a=﹣3，b=2时，令f'（x）=3x2﹣3=0，解得x=±1，x=1时f（1）=0，f（﹣1）=4；如图

③a=﹣3，b＞2时，函数f（x）=x3﹣3x+b，f（1）=﹣2+b＞0，函数图象形状如图②，所以方程x3+ax+b=0只有一个根；

④a=0，b=2时，函数f（x）=x3+2，f'（x）=3x2≥0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；

⑤a=1，b=2时，函数f（x）=x3+x+2，f'（x）=3x2+1＞0恒成立，故原函数在R上是增函数；故方程方程x3+ax+b=0只有一个根；

综上满足使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．

【2015?安徽理】）

A．y=cosx B．y=sinx C．y=lnx D．y=x2+1

【答案】 A

【解析】对于A，定义域为R，并且cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；

对于B，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数，由无数个零点；

对于C，定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数，有一个零点；

对于D，定义域为R，为偶函数，都是没有零点；

【2015?湖北理】函数f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|为．

【答案】2【解析】函数f（x）的定义域为：{x|x＞﹣1}．

f（x）=4cos2cos（﹣x）﹣2sinx﹣|ln（x+1）|

=2sinx﹣|ln（x+1）|

=sin2x﹣|ln（x+1）|，

分别画出函数y=sin2x，y=|ln（x+1）|的图象，由函数的图象可知，交点个数为2．

所以函数的零点有2个．故答案为：2．

【2015?天津（文）】已知函数f（x）=，函数g（x）=3﹣f（2﹣x），则函数y=f（x）

﹣g（x）的零点个数为（）

A.2

B.3

C.4

D.5

【答案】A

【解析】∵g（x）=3﹣f（2﹣x），

∴y=f（x）﹣g（x）=f（x）﹣3+f（2﹣x），

由f（x）﹣3+f（2﹣x）=0，得f（x）+f（2﹣x）=3，

设h（x）=f（x）+f（2﹣x），

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若x≤0，则﹣x≥0，2﹣x≥2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2+x+x2，

若0≤x≤2，则﹣2≤x≤0，0≤2﹣x≤2，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=2﹣x+2﹣|2﹣x|=2﹣x+2﹣2+x=2，若x＞2，﹣x＜0，2﹣x＜0，则h（x）=f（x）+f（2﹣x）=（x﹣2）2+2﹣|2﹣x|=x2﹣5x+8．

即h（x）=，作出函数h（x）的图象如图：

当y=3时，两个函数有2个交点，故函数y=f（x）﹣g（x）的零点个数为2个，

【2015?湖南（文）】若函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，则实数b的取值范围是

【答案】0＜b＜2

【解析】由函数f（x）=|2x﹣2|﹣b有两个零点，可得|2x﹣2|=b有两个零点，

从而可得函数y=|2x﹣2|函数y=b的图象有两个交点，

结合函数的图象可得，0＜b＜2时符合条件，

【2015?湖北（文）】函数的零点个数为．

【答案】2

【解析】f（x）=2sinxcosx﹣x2=sin2x﹣x2，由f（x）=0得sin2x=x2，

作出函数y=sin2x和y=x2的图象如图：

由图象可知，两个函数的图象有2个不同的交点，即函数f（x）的零点个数为2个，

【2015?安徽（文）】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）

A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx

【答案】D

【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；

对于B，是偶函数，但是不存在零点；

对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；

对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；

2014年

【2014新课标1】已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x x0＞0，则a的取值范围是（）

A．（2，+∞） B．（1，+∞） C．（﹣∞，﹣2） D．（﹣∞，﹣1）

【答案】C【解析】当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；

当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：

∵x →+∞，f （x ）→+∞，而f （0）=1＞0，∴存在x ＜0，使得f （x ）=0，不符合条件：f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，应舍去． 当a ＜0时，f ′（x ）=3ax 2

﹣6x=3ax =0，解得x=0或x=＜0，列表如下：

（﹣∞，

0 而f （0）=1＞0，x →+∞时，f （x ）→﹣∞，∴存在x 0＞0，使得f （x 0）=0， ∵f （x ）存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，∴极小值

=

，化为a 2

＞4，∵

a ＜0，∴a ＜﹣2．综上可知：a 的取值范围是（﹣∞，﹣2）．

【2014?江苏理13】已知f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2

﹣2x+2

1

|，

若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]，则实数a 的取值范围是 ．

【答案】（0，）【解析】f （x ）是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3）时，f （x ）=|x 2﹣2x+

2

1|，若函数y=f （x ）﹣a 在区间[﹣3，4]上有10个零点（互不相同），在同一坐标系中画出函数f （x ）与y=a 的图象如图：由图象可知

．

【2014?天津理】——难

已知函数f （x ）=|x 2

+3x|，x ∈R ，若方程f （x ）﹣a|x ﹣1|=0a 的取值范围为 ．

【答案】 （0，1）∪（9，+∞）

【解析】由y=f （x ）﹣a|x ﹣1|=0得f （x ）=a|x ﹣1|， 作出函数y=f （x ），y=g （x ）=a|x ﹣1|的图象， 当a ≤0，不满足条件； 则a ＞0，此时g （x ）=a|x ﹣1|=

，

当﹣3＜x ＜0时，f （x ）=﹣x 2

﹣3x ，g （x ）=﹣a （x ﹣1），

当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时﹣x 2

﹣3x=﹣a （x ﹣1），即x 2

+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2

﹣4a=0，即a 2

﹣10a+9=0，解得a=1或a=9，

当a=9时，g （x ）=﹣9（x ﹣1），g （0）=9，此时不成立，∴此时a=1， 要使两个函数有四个零点，则此时0＜a ＜1，

若a ＞1，此时g （x ）=﹣a （x ﹣1）与f （x ），有两个交点，

此时只需要当x ＞1时，f （x ）=g （x ）有两个不同的零点即可，即x 2

+3x=a （x ﹣1），整理得x 2

+（3﹣a ）x+a=0， 则由△=（3﹣a ）2

﹣4a ＞0，即a 2

﹣10a+9＞0，解得a ＜1（舍去）或a ＞9， 综上a 的取值范围是（0，1）∪（9，+∞），故答案为：（0，1）∪（9，+∞）

【2014山东理8】已知函数()12+-=x x f ，()kx x g =.若方程()()f x g x =数k 的取值范围是（ ）

A.），（2

1

B.），（12

1

C.）

，（21

D.），（∞+2

【答案】 B

【解析】画出()f x 的图象最低点是()2,1，()g x kx =过原点和()2,1时斜率最小为

1

2

，斜率最大时()g x 的斜率与()1f x x =-的斜率一致.所以k 的取值范围是），（12

1.

【2014?重庆文】已知函数f （x ）=

，且g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m 在（﹣1，

1]内有且仅有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(﹣，﹣2]∪（0，

21

] B ．（﹣，﹣2]∪（0，

21

]

C ．（﹣，﹣2]∪（0，]

D ．（﹣

，﹣2]∪（0，

]

【答案】 A

【解析】：由g （x ）=f （x ）﹣mx ﹣m=0，即f （x ）=m （x+1）， 分别作出函数f （x ）和y=g （x ）=m （x+1）的图象如图： 由图象可知f （1）=1，g （x ）表示过定点A （﹣1，0）的直线， 当g （x ）过（1，1）时，m ═

21此时两个函数有两个交点，此时满足条件的m 的取值范围是0＜m ≤2

1

， 当g （x ）过（0，﹣2）时，g （0）=﹣2，解得m=﹣2，此时两个函数有两个交点， 当g （x ）与f （x ）相切时，两个函数只有一个交点， 此时，即m （x+1）2

+3（x+1）﹣1=0， 当m=0时，x=

，只有1解，

当m ≠0，由△=9+4m=0得m=﹣，此时直线和f （x ）相切， ∴要使函数有两个零点，则﹣＜m ≤﹣2或0＜m ≤，

【2014?湖北】已知f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2

﹣3x ，则函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为（ ）

A ．{1，3}

B ．{﹣3，﹣1，1，3}

C ．{2﹣，1，3}

D ．{﹣2﹣，1，3}

【答案】D

【解析】∵f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f （x ）=x 2

﹣3x ，

令x ＜0，则﹣x ＞0， ∴f （﹣x ）=x 2

+3x=﹣f （x ） ∴f （x ）=﹣x 2﹣3x ， ∴

∵g （x ）=f （x ）﹣x+3 ∴g （x ）=

令g （x ）=0， 当x ≥0时，x 2﹣4x+3=0，解得x=1，或x=3， 当x ＜0时，﹣x 2

﹣4x+3=0，解得x=﹣2﹣

，

∴函数g （x ）=f （x ）﹣x+3的零点的集合为{﹣2﹣

，1，3}

【2014?北京6】已知函数f （x ）=﹣log 2x ，在下列区间中，包含f （x ）零点的区间是（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，4） D ．（4，+∞） 【答案】D

【解析】∵f （x ）=﹣log 2x ， ∴f （2）=2＞0，f （4）=﹣

2

1

＜0，满足f （2）f （4）＜0， ∴f （x ）在区间（2，4）内必有零点。

2013年

【2013湖南理5)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2

－4x ＋5的图象的交点个数为( )．

A ．3

B ．2

C ．1

D ．0 【答案】B

【解析】设f (x )与g (x )图象的交点坐标为(x ，y )，

则y ＝2ln x ，y ＝x 2

－4x ＋5，联立得2ln x ＝x 2

－4x ＋5，令h (x )＝x 2

－4x ＋5－2ln x (x ＞0)，

由h ′(x )＝2x －4－

2

x

＝0得x 1＝1+x 2＝1舍)．

当h ′(x )＜0时，即x ∈(0,1+时，h (x )单调递减；

当h ′(x )＞0，即x ∈(1)时，h (x )单调递增． 又∵h (1)＝2＞0，h (2)＝1－2ln 2＜0，h (4)＝5－2ln 4＞0， ∴h (x )与x 轴必有两个交点，故答案为B ．

【2013重庆理6】若a＜b＜c，则函数f(x)＝(x－a)·(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间( )．

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

【答案】A

【解析】由题意a＜b＜c，可得f(a)＝(a－b)(a－c)＞0，f(b)＝(b－c)(b－a)＜0，f(c)＝(c－a)(c－b)＞0.显然f(a)·f(b)＜0，f(b)·f(c)＜0，所以该函数在(a，b)和(b，c)上均有零点，故选A．

【2013湖南文6】函数f(x)＝ln x的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为( )．A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】利用图象知，有两个交点．故选C．

【2013天津文】8)设函数f(x)＝e x＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )．A．g(a)＜0＜f(b) B．f(b)＜0＜g(a) C．0＜g(a)＜f(b) D．f(b)＜g(a)＜0

【答案】A

【解析】由f(a)＝e a＋a－2＝0得0＜a＜1.

由g(b)＝ln b＋b2－3＝0得1＜b＜2.

因为g(a)＝ln a＋a2－3＜0，f(b)＝e b＋b－2＞0，

所以f(b)＞0＞g(a)，故选A.

2012年

【2012辽宁理】设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）

=x3．又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）﹣f（x）在）A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B【解析】因为当x∈[0，1]时，f（x）=x3．

所以当x∈[1，2]时2﹣x∈[0，1]，f（x）=f（2﹣x）=（2﹣x）3，

当x∈[0，]时，g（x）=xcos（πx）；当x∈[]时，g（x）=﹣xcosπx，

注意到函数f （x ）、g （x ）都是偶函数，且f （0）=g （0），f （1）=g （1）=1， g （）=g （）=0，作出函数f （x ）、g （x ）的草图， 函数h （x ）除了0、1这两个零点之外，

分别在区间[﹣，0]，[0，]，[，1]，[1，]上各有一个零点．共有6个零点，

【2012湖北理】9．函数2()cos f x x x =在区间[0,4]

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

【答案】C 【解析】0)(=x f ，则0=x 或0cos 2

=x ，Z k k x ∈+

=,2

2

π

π，又[]4,0∈x ，4

,3,2,1,0=k 所以共有6个解.选C.

【2012天津理】已知函数y=的图象与函数y=kx ﹣2k 的取值范围

是 ．

【答案】 （0，1）∪（1，4） 【解析】y=

=

=

函数y=kx ﹣2的图象恒过点（0，﹣2） 在同一个坐标系下画出函数y=

的图象与函数y=kx ﹣2的图象

结合图象可实数k 的取值范围是（0，1）∪（1，4）

【2012大纲理】已知函数y=x 3

﹣3x+c 的图象与x c=（ ） A ．﹣2或2 B ．﹣9或3 C ．﹣1或1 D ．﹣3或1 【答案】A 【解析】求导函数可得y ′=3（x+1）（x ﹣1）， 令y ′＞0，可得x ＞1或x ＜﹣1；令y ′＜0，可得﹣1＜x ＜1； ∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减， ∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值． ∵函数y=x 3

﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0． ∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0， ∴c=﹣2或2．

【2012北京（文）】函数f （x ）＝x

12

1x 2??

- ???

的零点个数为

A.0

B.1

C.2

D.3 【答案】B

【解析】该题表面上看考查的是零点问题，实质上是函数图像问题（单调性）的变式，所涉及的函数为幂

函数和指数函数. 函数f （x ）＝x 12

1x 2??

- ???

的零点，即令f(x)=0,可得x x )21(21

=，在坐标系中分别画出这

两个函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个.

【2012天津（文）】函数3

()22x f x x =+-在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A.0 B.1 C .2 D .3 【答案】B

【解析】解法1：因为(0)1021f =+-=-，3

(1)2228f =+-=，即(0)(1)0f f <且函数()f x 在()

0,1内连续不断，故()f x 在()0,1内的零点个数是1.

解法2：设3

122,2,x y y x ==-在同一坐标系中作出两函数的图像如图所示：可知B 正确.

【2012湖南（文）】设定义在R 上的函数f(x)是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是f(x)的导函数，当

[]0,x π∈时，0＜f(x)＜1；当x ∈（0，π） 且x ≠

2

π

时 ，()()02x f x π'->，则函数y=f(x)-sinx 在[-2

π，2π] 上的零点个数为（ ） A .2 B .4 C.5 D. 8 【答案】Ｂ

【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠

2

π

时 ，()()02x f x π'->，知

0,()0,()2x f x f x π??'∈

'∈> ???

，时,为增函数

又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出

sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

【2012湖北（文）】函数()cos 2f x x x =在区间上[]0,2π的零点的个数为 ( ) A ．2 B ．3 C ．4 D.5

【答案】D 【解析】由()cos 20==f x x x ，得0=x 或cos20=x ；其中，由cos20=x ，得

()π22x k k π=+

∈Z ，故()ππ24k x k =+∈Z .又因为[]0,2πx ∈，所以π3π5π7π

,,,4444

x =.所以零点的个数为145+=个.故选D.

x

y

o

2π

2π

-1

1

-sin y x

=()

y f x =

2011年

【2011?陕西理】函数f （x ）=

﹣cosx 在[0，+∞）内 （ ）

A ．没有零点

B ．有且仅有一个零点

C ．有且仅有两个零点

D ．有无穷多个零点 【答案】B 【解析】f ′（x ）=+sinx

①当x ∈[0．π）时，

＞0且sinx ＞0，故f ′（x ）＞0

∴函数在[0，π）上为单调增 取x=

＜0，而

＞0

可得函数在区间（0，π）有唯一零点 ②当x ≥π时，

＞1且cosx ≤1

故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点 综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点

【2011?山东理】已知函数f （x ）=log a x+x ﹣b （a ＞0，且a ≠1）．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1），n ∈N *

，则n= ． 【答案】2 【解析】设函数y=log a x ，m=﹣x+b

根据2＜a ＜3＜b ＜4，对于函数y=log a x 在x=2时，一定得到一个值小于1， 在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间， ∴函数f （x ）的零点x 0∈（n ，n+1）时，n=2。

【2011?天津理8】对实数a 和b ，定义运算“?”：,1,,1.a a b

a b b a b -≤??=?

->

?设函数()()()

222f x x x x =-?-，x ∈R ．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取

值范围是( )． A ．()

3,21,2??-∞-- ??? B ．(]3,21,4?

?-∞--- ??

?

函数应用、零点、二分法知识点和练习

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x =≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数()f x 零点的个数。即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区

专题复习之--函数零点问题

专题复习之--函数零点问题 （一）零点所在区间问题（存在性，根的分布） 1.函数()lg 3f x x x =+-的零点所在区间为（ ） A ．(0，1) B ．(1，2) C ．(2，3) D ．(3，+∞) 变式：函数b x a x f x -+=)(的零点))(1,(0Z n n n x ∈+∈，其中常数b a ,满足 23,32==b a ， 则=n （ ） A. 0 B.1 C.2- D.1- 2.已知a 是实数，函数2 ()223f x ax x a =+--，如果函数()y f x =在区间[]11-，上有零点，则a 的取值范围是____________． （二）零点个数问题（重点，常用数形结合） 3.函数()44f x x x = ++-的零点有 个. 4.讨论函数2()1f x x a =--的零点个数. 5.若存在区间[,]a b ,使函数[]()2(,)f x k x x a b =+ +∈的值域是[,]a b ,则实数k 的范围 是__________. 6. 已知偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =-,且当10<≤x 时，x x f =)(,则x x f lg )(=的零点个数是________. 7.（选作思考）函数f （x ）=234 20122013123420122013x x x x x x ??+-+-+-+ ?? ? cos2x 在区间[-3，3]上的零点的个数为_________.

（三）复合函数与分段函数零点问题（由里及外，画图分析） 8.已知函数???<≥=) 0()-(log )0(3)(3x x x x f x ，函数)()()()(2R t t x f x f x g ∈++=.关于)(x g 的 零点，下列判断不正确．．． 的是（ ） A.若)(,41x g t =有一个零点 B.若)(,4 12-x g t <<有两个零点 C.若)(,2-x g t =有三个零点 D.若)(,2-x g t <有四个零点 变式一：设定义域为R 的函数1251,0()44,0 x x f x x x x -?-≥?=?++0)()-2(0) x x f x x x x ?=?-≤? 则关于x 的函数1)(3-)(2y 2+=x f x f 的零点的个数为______. 变式三：已知函数(0)()lg()(0) x e x f x x x ?≥=?-0 B. b >-2且c <0 C. b <-2且c =0 D. b 2c=0≥-且

人教版高中数学必修一-第三章-函数的应用知识点总结

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结（详细） 第三章函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f(x),使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点。（实质上是函数y=f(x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f(x)=0 有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的，并且有f(a)f(b)<0,那么函数y=f(x)在区间（a,b）至少有一个零点c，使得f( c)=0,此时c也是方程f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1）（代数法）求方程f(x)=0 的实数根； （2）（几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)． 1）△＞0，方程f(x)=0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2）△＝0，方程f(x)=0有两相等实根（二重根），二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0，方程f(x)=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤: ⑴确定区间[a,b],验证f(a)f(b)<0，给定精确度ε； ⑵求区间(a,b)的中点c;

函数的零点与方程的解教学讲义

函数的零点与方程的解教学讲义 必备知识·探新知 基础知识 知识点1 函数的零点 (1)函数f (x )的零点是使f (x )＝0的__实数x __. (2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系． 思考1：(1)函数的零点是点吗？ (2)函数的零点个数、函数的图象与x 轴的交点个数、方程f (x )＝0根的个数有什么关系？ 提示：(1)不是，是使f (x )＝0的实数x ，是方程f (x )＝0的根． (2)相等． 知识点2 函数的零点存在定理 (1)条件：函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是__连续不断的曲线__，f (a )f (b )<0； (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 也就是f (x )＝0的根． 思考2：(1)函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，f (a )f (b )<0时，能否判断函数在区间(a ，b )上的零点个数？ (2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )上有零点，是不是一定有f (a )f (b )<0? 提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数． (2)不一定，如f (x )＝x 2在区间(－1,1)上有零点0，但是f (－1)f (1)＝1×1＝1>0. 基础自测 1．函数f (x )＝4x －6的零点是( C ) A ．2 3 B ．(3 2，0) C ．3 2 D ．－32 [解析] 令4x －6＝0，得x ＝32，∴函数f (x )＝4x －6的零点是3 2 . 2．(2020·广州荔湾区高一期末测试)函数f (x )＝x －2＋log 2x ，则f (x )的零点所在区间为( B )

函数与函数的零点知识点总结

函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域

函数的零点问题(讲解)

函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 【教学重点】理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学方法】发现、合作、讲解、演练相结合?

一、引例 (1 ).函数f(x)=eJχ-2的零点所在的一个区间是( ). A. -2,一1 B. -1,0 C. 0,1 D. 1,2 解法一：代数解法 解：(1).因为 f O =e°0-2「1 ：：0 , f 1 =e11-2=e-1 O , 所以函数f X =e x的零点所在的一个区间是0,1 .故选C. 二、基础知识回顾 1.函数零点概念 对函数V ,把使f X =0的实数X叫做函数y = f X的零点. 2.零点存在性定理：如果函数y = f χ在区间∣a,b ］上的图象是连续不断一条曲线，并且有f(a)'f(b)<0，那么，函数y = f(x)在区间a,b内有零点.即存在c? a,b ,使得f c =0，这个C也就是方程f X =0的根. 么在1 2,2 1上函数f X =X有零点吗？ 问题2：函数f(x) = x2-6χ+ 8 在区间［1,31,〔0,1】，［1,5】

有零点吗？ 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗？ 解法二：几何解法 (1). f X i；=I e X χ-2可化为e x = ^ X 2 . 画出函数y = e x和节-2的图象，可观察得出C正确.

函数的零点

函数的零点 ■教材：人教版高中数学必修1〖教学设计说明〗 本节课知识点为课程改革后新增内容——通过函数与方程研究进一步探讨函数的性质即函数零点不变性 我所授课的班级为我校普通班学生。班级构成男生较多，思维活跃但落实欠佳，学生的能力一般，属于中等水平。 本节知识在处理过程中主要想通过学生所熟悉的知识入手，引出零点概念——通过功能题组由学生自己总结出1、求函数零点的步骤及2、学生们熟悉的基本初等函数零点情况3、一元高次函数零点的求解方法等——再通过图组引导学生发现并总结出连续函数零点的性质——最后利用零点的性质解决问题。这样的处理方式是想让学生在解决旧问题的过程中收获新知识，并利用新知识解决新问题。在教学中，注意引导学生自主探索，通过抽象、概括形成概念，在这个过程中让学生体会收获知识的快乐，养成学生探求新知的方法和能力。 本节内容希望学生从数、形的双重角度去认识零点，同时还突出零点在作图中的应用。通过PPT 应用，能够使学生在认识上更加直观，同时可以增加课堂的容量。学生热情、活跃，通过多媒体可以使学生增加感性认知。 〖教学设计〗 【教学目标】 （一）知识与技能 理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与

方程根的关系。体验函数零点概念的形成过程，提高数学知识的综合应用能力。 （三）情感态度与价值观 让学生初步体会事物间相互转化的辩证思想，逐步学会用辩证与联系的观点看问题和分析问题。 【教学重点】 【教学难点】 函数零点的应用。 【教学过程】 一、复习引入 请作出函数2 ()23f x x x =--+的草图； 解：解方程得：123,1x x =-= 过与x 轴的交点(3,0),(1,0)-，顶点(1,4)- 函数2 ()23f x x x =--+ (3,0),(1,0)- 令0y = 2230x x --+= 解方程 123,1x x =-= 二、形成概念 零点定义：一般地，如果函数()y f x =在实数α处的值等于零，即()0f α=，则α叫做这个函数的零点。 三、概念深化及应用 练习1：求下列各函数的零点 请学生总结通过这组练习能得到什么结论？ a 、 求函数零点的步骤。 b 、 不是所有的函数都有零点。例如反比例函数就不存在零点。 辅助作图 2 222 51)2)473)444)235)23 6)(23)(1)7)2y x y x y x x y x x y x x y x x x y = =--=-+=-+=--=---=数 形结合

第13招 函数的零点个数问题

【知识要点】 一、方程的根与函数的零点 （1）定义：对于函数()y f x =（x D ∈），把使f(x)=0成立的实数x 叫做函数()y f x =（x D ∈）的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等. （2）函数零点的意义：函数()y f x =的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数()y f x =的图像与x 轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点. （3）零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图像是一条连续不断的曲线，并且有0)()(

函数与函数地零点知识点的总结

函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设 A 、 B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合A 中的任意一个数 x ，在 集合B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应，那么就称 f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x) ， x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集 合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数(一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5) 指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的 x 的值组成的 集合即交集.(7)三角函数正切函数 tan y x 中()2 x k k Z . (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义 . (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法：复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1) 已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)] 的定义域，是指满足 () a g x b 的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)] 的定义域是[a,b], 求f[h(x)] 的定义域，是指在[,]x a b 的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值 域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法3).值域 : 先考虑其定义域3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法；3.2分段函数的值域是各段的并集3.3复合函数的值域

函数应用、零点、二分法知识点和练习

一、方程的根及函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象及x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象及x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它及函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象及x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象及x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象及x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另个函数图像的交点个数就是 函数()f x 零点的个数。即f(x)=g(x)的解集 f(x)的图像和g(x)的图像的交点。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上连续，且()()0f a f b <②在区

二次函数零点分布

一元二次函数零点分布（二次方程根的分布） 教学目标 学会如何通过研究函数的图像，确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学重点 根据函数的图像确定二次函数在给定区间上的零点分布。 教学难点 体会影响二次函数在给定区间上的零点分布的要素。 教学过程 一、探究二次函数零点分布的要素 1、 回想：方程0)3(2 =+-+a x a x 有两个正根，两个负根，一个正根一个负根。 2、 思考：函数2)3()(2 +-+=x a x x f 有两个零点，21,x x ，且()+∞∈,0,21x x 。 若将条件改成()+∞∈,1-,21x x ，又该满足什么条件。 3.探究：二次函数零点分布的要素 二、例题讲解 例1 函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,0,21x x ，求a 范围 【练习1】例1中条件改成()0,,21∞-∈x x

例2函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【总结】一元二次函数两个零点均在一个区 间，如()()),(,,,,-b a m m +∞∞ 。这类问题要 考虑哪些因素。 【练习2】12)(2 ++-=ax x x f 有两个零点21,x x ，且()+∞∈,1-,21x x ，求a 范围 【变式1】练习2中条件改成()1,1-,21∈x x 【变式2】12)(2 ++=ax ax x f 的两个零点()1,1-,21∈x x ，求a 范围

例3函数a x a x x f +-+=)3()(2 有两个零点21,x x ，且0,021>

函数零点分布专题

函数零点专题（高一版） 一、已知函数解析式（不含参）求零点个数 1、基本初等函数模型 例1：若函数31(),()log (1)2x f x g x x ??==- ??? ，则方程()()f x g x =的实数根的根数为 2、复合函数模型 例2：若函数???>≤=0,log 0,2)(2x x x x f x ，则函数[]1)(-=x f f y 的零点个数为 3、周期函数模型 例3：函数()f x 的周期为2，若[]21,1,()x f x x ∈-=，则()y f x =的图像与lg y x =的图像的交点个数为 4、具有对称性的函数模型（求和） 例4：已知函数2221,0()log ,0 x x x f x x x ?--+≤?=?>??，若()f x k =有四个不同的实数根1234,,,x x x x ，则1234x x x x +++的取值范围为 例5：定义在R 上的奇函数()f x ，当0x ≥时，[)[) 12log (1),0,1()13,1,x x f x x x ?+∈?=??--∈+∞?，则关于x 的函数 ()()(01)F x f x a a =-<<的所有零点之和为 二、已知零点个数求参数范围 1、二次函数模型 例6：函数2()2f x x x a =-+在区间(1,3)内有一个零点，则实数a 的取值范围是 .(3,0)A - .(3,1)B - .(1,3)C - .(1,1)D - 2、分段函数模型 例7：已知函数2ln(1),0()2,0 x x f x x x x +>?=?--≤?，若()()g x f x m =-有三个零点，则实数m 的取值范围为 1 .(0,)2A 1.(,1)2 B .(0,1) C (].0,1 D 3、复合函数模型 例8：设函数()21,02,0 gx x f x x x x ?>?=?--≤??，若函数()()2221y f x bf x =++????有8个不同的零点，则实数b 的取值范围是 4、周期函数模型

函数的零点的求法

函数的零点的求法 知识点1.（1）函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点．（2）函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标．即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 2.方法（1）代数法求函数零点：直接求方程0)(=x f 的实数根；（2）几何法求函数零点：对于不能直接求解的超越方程，可以将)()(0)(x h x g x f =?=再分别设)(x g y =，)(x h y =转化为它们的图象交点问题，即：函数)(x g y =与)(x h y =的图象有几个交点，那么方程0)(=x f 就有几个实根，函数)(x f y =就有几个有零点。 1.函数2()cos f x x x =在区间[0,4]上的零点个数为 （ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 2．函数1 21()()2 x f x x =-的零点个数为 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3 ．函数3()=2+2x f x x -在区间(0,1)内的零点个数是 （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4.若0x 是方程式 lg 2x x +=的解，则0x 属于区间 [答]（ ） （A ）（0，1）. （B ）（1，1.25）. （C ）（1.25，1.75） （D ）（1.75，2） 解析：04147lg )47()75.1(,2lg )(<-==-+=f f x x x f 由构造函数 02lg )2(>=f 知0x 属于区间（1.75，2） 5.0x 是函数f(x)=2x + 11x -的一个零点.若1x ∈（1，0x ）， 2x ∈（0x ，+∞） ，则 （A ）f(1x )＜0，f(2x )＜0 （B ）f(1x )＜0，f(2x )＞0 （C ）f(1x )＞0，f(2x )＜0 （D ）f(1x )＞0，f(2x )＞0 6. f （x ）=2x e x +-的零点所在的一个区间是

2 二次函数零点的分布专题训练

二次函数零点的分布专题训练 一、单选题 1．若方程2 (1)230k x x --+=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．43k < B ．43k > C ．4 3k <，且1k ≠ D ．43 k >，且1k ≠ 2．已知函数()2x e f x x =（其中无理数 2.718e =???），关于x 的方程 λ=有四个不等的实根，则实数λ的取值范围是（ ） A ．0,2e ?? ??? B ．()2,+∞ C ．2,2e e ?? ++∞ ??? D ．224,4e e ??++∞ ??? 3．已知函数()10,0 lg ,0 x x f x x x -?≤=?>?，函数()()()()2 4g x f x f x t t R =-+∈，若函数 ()g x 有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．[)3,4 B ．[)lg5,4 C ．[){}3,4lg5? D ．(]3,4- 4．设ln ,0()2020,0 e x x f x x x x ?>?=??≤?，2 ()()(21)()2g x f x m f x =---，若函数()g x 恰有4 个不同的零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．0m < B ．1m < C ．2m > D ．1m 5．函数()() 2 3x f x x e =-，关于x 的方程()()2 10f x mf x -+=恰有四个不同实数根， 则正数m 的取值范围为( ) A ．()0,2 B ．()2,+∞ C ．3360,6e e ?? + ??? D ．336,6e e ?? ++∞ ??? 6．已知()e x f x x =，又2()()()1() g x f x tf x t R =-+∈有四个零点，则实数t 的取值范围是（ ） A ．21,e e ?? ++∞ ??? B ．212,e e ?? + ??? C ．21,2e e ?? +-- ??? D ．21,e e ?? +-∞- ?? ? 7．已知函数1 2,0()21,0 x e x f x x x x -?>?=?--+≤??，关于x 的方程2 3())0() (f f x a x a -+=∈R

高中数学必修一第三章函数的应用知识点总结

高中数学 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、基本初等函数的零点： ①正比例函数(0)y kx k =≠仅有一个零点。 ②反比例函数(0)k y k x = ≠没有零点。 ③一次函数(0)y kx b k =+≠仅有一个零点。 ④二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程20(0)ax bx c a ++=≠有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程20(0)ax bx c a ++=≠无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． ⑤指数函数(0,1)x y a a a =>≠且没有零点。 ⑥对数函数log (0,1)a y x a a =>≠且仅有一个零点1. ⑦幂函数y x α=，当0n >时，仅有一个零点0，当0n ≤时，没有零点。 5、非基本初等函数（不可直接求出零点的较复杂的函数），函数先把()f x 转化成()0f x =，再把复杂的函数拆分成两个我们常见的函数12,y y （基本初等函数），这另 个函数图像的交点个数就是函数()f x 零点的个数。 6、选择题判断区间(),a b 上是否含有零点，只需满足()()0f a f b <。 7、确定零点在某区间(),a b 个数是唯一的条件是:①()f x 在区间上 连续，且()()0f a f b <②在区间(),a b 上单调。 8、函数零点的性质： 从“数”的角度看：即是使0)(=x f 的实数； 从“形”的角度看：即是函数)(x f 的图象与x 轴交点的横坐标；

导数与函数的切线及函数零点问题

广东实验学校2020届高三理科数学寒假作业----导数专题 函数的切线及函数零点问题 1.已知函数f (x)＝a x＋b x(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1). (1)设a＝2，b＝12. ①求方程f (x)＝2的根； ②若对任意x∈R，不等式f (2x)≥mf (x)－6恒成立，求实数m的最大值； (2)若0＜a＜1，b＞1，函数g(x)＝f (x)－2有且只有1个零点，求ab的值. 考点整合 1.求曲线y＝f (x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f (x)过点P的切线方程：求出切线的斜率f ′(x0)，由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率为k，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k ＝f ′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f (x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率f ′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得x0，再由点斜式或两点式写出方程. 2.三次函数的零点分布 三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点x1，x2且x1＜x2的函数f (x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：

3.(1)研究函数零点问题或方程根问题的思路和方法 研究函数图象的交点、方程的根、函数的零点，归根到底还是研究函数的图象，如单调性、值域、与x轴的交点等，其常用解法如下： ①转化为形如f (x1)·f (x2)＜0的不等式：若y＝f (x)满足f (a)f (b)＜0，则f (x)在(a，b)内至少有一个零点； ②转化为求函数的值域：零点及两函数的交点问题即是方程g(x)＝0有解问题，将方程分离参数后(a＝f (x))转化为求y＝f (x)的值域问题； ③数形结合：将问题转化为y＝f (x)与y＝g(x)的交点问题，利用函数图象位置关系解决问题. (2)研究两条曲线的交点个数的基本方法 ①数形结合法，通过画出两个函数图象，研究图象交点个数得出答案. ②函数与方程法，通过构造函数，研究函数零点的个数得出两曲线交点的个数. 2.已知函数f (x)＝2x3－3x. ①求f (x)在区间[－2，1]上的最大值； ②若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f (x)相切，求t的取值范围.

最新高一数学第三章函数的应用知识点总结

高一数学第三章函数的应用知识点总结 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数))((D x x f y ∈=，把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。 2、函数零点的意义：函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根，亦即函数 )(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。 即：方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点． 3、函数零点的求法： ○ 1 （代数法）求方程0)(=x f 的实数根； ○ 2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间〔a,b 〕上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0,那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c ∈(a,b),使得f(c)=0,这个c 也就是方程f(x)=0的根。 先判定函数单调性，然后证明是否有f （a ）·f(b)<0 4、二次函数的零点： 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y ． （1）△＞０，方程02=++c bx ax 有两不等实根，二次函数的图象与x 轴有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程02=++c bx ax 有两相等实根，二次函数的图象与x 轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程02=++c bx ax 无实根，二次函数的图象与x 轴无交点，二次函数无零点． 5、二分法求方程的近似解或函数的零点 ①确定区间〔a,b 〕，验证f(a)·f(b)＜0，给定精度ε； ②求区间(a,b)的中点c ； ③计算f(c)： 若f(c)=0，则c 就是函数的零点； 若f(a)·f(c)＜0，则令b=c （此时零点x0∈(a,c)）；若f(c)·f(b)＜0，则令a=c （此时零点x0∈(c,b)）； ④判断是否达到精度ε；即若∣a-b ∣＜ε，则得到零点近似值a （或b ）；否则重复步骤②~④．

函数零点存在的典型题

函数零点存在的典型题 函数的零点是函数的一个重要特性，在分析解题思路、探求解题方法中发挥着重要作用。函数的零点即方程的根，也就是函数的图像与x 轴交点的横坐标。主要考查二次函数及其性质，一元二次方程，函数的应用，解不等式等基础知识，考查数形结合，分类与整合的思想方法，以及抽象概括能力，运算求解能力。二次函数的零点情况分如下几种情况：(1)在某个区间上有一个零点，(2)在某个区间上有两个零点，(3)在某个区间上有零点，但没说多少个，(4) 在某个区间上有一个零点，且此零点大于零。例题如下： 例1. 若函数()12 --=x ax x f 在()1,0内有一零点，求a 的取值范围。 分析：把函数的零点问题转化为方程的根。此函数恰有一零点，即方程012 =--x ax 在()1,0内有一个根。可分为以下三种情况： (1)0=a (2)()内有一解，在10,0>?(3),0=?且根在()1,0内 解：由题意得 令012=--x ax ，因为最高次项系数是常数，所以首先要讨论最高次项系数为0的情况。 (1)当0=a 时，解得1-=x ,不在()1,0内，∴不符合题意 (2)方程有两个根，且有一个根在()1,0内，即 ()()? ???>?100f f 241>->a a 2>∴a (3)当方程有两个相等的根时，即0=?，解得41- =a ，解得2-=x ，不在()1,0内。 4 1-≠∴a 综上所述，当函数()12--=x ax x f 在()1,0内有一零点时，2>a 例2．已知a 是实数，函数(),3222 a x ax x f --+=如果函数()x f 在区间[]1,1-上有零点，求a 的取值范围。 分析：函数在区间上有零点，分以下几种情况讨论，首先最高次项系数是常数要讨论常数0=a 时；下面，当0≠a 时，就是二次函数，可分以下情况，有一个零点(即所对应的方程在给定区间上有一个根(在0>?的情况下)或有两个重根)，或两个零点。 解：由题意得 若0=a 时，则函数()32-=x x f ，在区间[]1,1-上没有零点 下面就0≠a 时分三种情况讨论： (1)方程()0=x f 在区间[]1,1-上有重根，此时() 016242=++=?a a ，解得2 73±-=a 当273--=a 时，()x f 0=的重根=x 2 73-[]1,1-∈

高考数学专题函数零点的个数问题

第 10 炼函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数y f x x D ，我们把方程f x 0的实数根x 称 为函数y f x x D 的零点 2、函数零点存在性定理：设函数f x 在闭区间a,b 上连续，且f a f b 0 ， 那么在开区间a,b 内至少有函数f x 的一个零点，即至少有一点x0a,b ，使得 f x 0 。 （1）f x 在a,b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （ 2）零点存在性定理中的几个“不一定” （假设f x 连续） ① 若f a f b 0 ，则f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若f a f b 0 ，那么f x 在a,b 不一定有零点 ③ 若f x 在a,b 有零点，则 f a f b 不一定必须异号 3、若f x 在a,b 上是单调函数且连续，则f a f b 0 f x 在a,b 的零点唯一 4、函数的零点，方程的根，两图像交点之间的联系 设函数为y f x ，则f x 的零点即为满足方程f x 0的根，若f x g x h x , 则方程可转变为g x h x ，即方程的根在坐标系中为g x ,h x 交点的横坐标，其范围和个数可从图像中得到。 由此看来，函数的零点，方程的根，两图像的交点这三者各有特点，且能相互转化，在解决有关根的问题以及已知根的个数求参数范围这些问题时要用到这三者的灵 活转化。（详见方法技巧） 二、方法与技巧： 1、零点存在性定理的应用：若一个方程有解但无法直接求出时，可考虑将方程一边构 造为一个函数，从而利用零点存在性定理将零点确定在一个较小的范围内。例如：对