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8k专题：导数与不等式(学生版)

专题1：导数与不等式的综合问题

1.（天门、仙桃、潜江市2017届高三上学期期末联合考试）定义在(0,)2

上的函数()f x ，()f x '是它的导函

数，且恒有()tan ()0f x x f x '+< 成立，则( ) A

()()34f ππ> B

()()46ππ> C

．()()36f ππ D

()()36

f ππ

2、（湖北省部分重点中学2017届高三联考）设函数()1,x f x e ax =--对(),0x R f x ?∈≥恒成立. （1）求a 的取值集合；（2）求证：()()111

1ln 1.23n n N n

*++++>+∈ .

3. 已知函数2

1()ln 2(0).2

f x x ax x a =-

-< （1）若函数()f x 在定义域内单调递增，求a 的取值范围；

（2）设各项为正的数列{}n a 满足：*111,ln 2,.n n n a a a a n N +==++∈求证：12-≤n n a

4. 已知函数()x f e x x =-（e 为自然对数的底数）（Ⅰ）求()f x 的最小值；

（Ⅱ）设不等式()f ax x >的解集为P ，且{}|02P x x ?≤≤，求实数a 的取值范围；

（Ⅲ）设n N *

∈，证明：11n

k e k e n =??

?-??

∑。

5. 为正实数，（1）若e

a b >

（2）若b a

a b =且1a <,求证：a=b (3) 若()b a a b a b =≠且a,b 为正整数，求a,b

6、（黄冈市2017）函数()()2

ln 2

a f x x x x x a a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.

（1）求实数a 的取值范围；

（2）记两个极值点为12,x x ，且12x x <，已知0λ>，若不等式112x x e λλ+?>恒成立，求λ的取值范围.

7.已知函数2

1()ln (1)(0).2

f x x ax a x a R a =-

+-∈≠且（1）求函数()f x 的单调递增区间；（2）记函数()y F x =的图象为曲线C ．设点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）

是曲线C 上的不同两点．如果在曲线C 上存在点M （x 0，y 0），使得：①12

x x x +=；②曲线C 在点M

处的切线平行于直线AB ，则称函数F （x ）存在“中值相依切线”，试问f （x ）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．

变式：已知2

()2ln f x x x ax =-- 与x 轴交于1212(,0),(,0)(0)A x B x x x <<

求证：对,(0,1)1,p q p q p q ?∈+=≤且都有'12()0

f px qx +<

8、（荆门市2017届高三元月调考）已知二次函数2()(21)ln f x ax a x x =---（a 为常数，0)a ≠. （Ⅰ）当0a <时，求函数()f x 在区间[1,2]上的最大值；

（Ⅱ）记函数()y f x =图象为曲线C ，设点1122(,),(,)A x y B x y 是曲线C 上不同的两点，点M 为线段AB 的中点，过点M 作x 轴的垂线交曲线C 于点N ．判断曲线C 在点N 处的切线是否平行于直线AB ？并说明理由．

9、（武汉市武昌区2017届高三1月调研）已知函数()()2

11ln 2

f x x a x a x =+-- . （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设0a >，证明：当0x a <<时，()()f a x f a x +<- ；

（Ⅲ）设12,x x 是()f x 的两个零点，证明1202x x f +??

???

导数综合大题分类

导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用. 题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论．（1）单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论． (2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点． (3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值．已知函数f (x )＝x －1 x ，g (x )＝a ln x (a ∈R )． (1)当a ≥－2时，求F (x )＝f (x )－g (x )的单调区间； (2)设h (x )＝f (x )＋g (x )，且h (x )有两个极值点为x 1，x 2，其中x 1∈? ?????0，12，求h (x 1)－h (x 2)的最小值． [审题程序] 第一步：在定义域，依据F ′(x )＝0根的情况对F ′(x )的符号讨论；第二步：整合讨论结果，确定单调区间；第三步：建立x 1、x 2及a 间的关系及取值围；第四步：通过代换转化为关于x 1(或x 2)的函数，求出最小值． [规解答] (1)由题意得F (x )＝x －1 x －a ln x ，其定义域为(0，＋∞)，则F ′(x )＝x 2－ax ＋1 x 2 ，

2021年高考数学复习《导数---泰勒不等式专题》

导数——泰勒不等式专题一、泰勒公式：泰勒公式，也称泰勒展开式，主要是用于求某一个复杂函数在某点的函数值。如果一个函数足够平滑，即若函数)(x f 在包含0x 的某个闭区间],[b a 具有n 各阶导数，且在开区间),(b a 上存在1+n 阶导数，则对],[b a 上任意一点x ，有 ).()(! )()(!2)()(!1)(!0)()(00)(200000x R x x n x f x x x f x x x f x f x f n n n +-++-''+-'+= 其中)(x R n 为泰勒展开式的余项，泰勒展开式也叫泰勒级数. 我们更多的是用泰勒公式在00=x 的特殊形式： )(!) 0(!2) 0( !1)0(!0)0()(2 2x R x n f x f f f x f n n +++''+'+= .以下列举一些常见函数的泰勒公式： ++++=32!31 !21 !11 1x x x e x ① +-+-=+4324 1 3121 )1ln(x x x x x ② +-+-=753!71!51!31sin x x x x x ③ -+-=4 2!41!211cos x x x ④ ++++=-32111x x x x ⑤从中截取片段，就构成了高考数学考察导数的常见不等式： x e x +≥1①； 1ln -≤x x ②； 212 x x e x ++≥③对0≥x 恒成立； x x x x ≤+≤+)1ln(1④对0≥x 恒成立； x x x x ≤≤-sin 63 ⑤对0≥x 恒成立； 2421cos 214 22x x x x +-≤≤-⑥对0≥x 恒成立

(no.1)2013年高中数学教学论文利用导数处理与不等式有关的问题新人教版

本文为自本人珍藏版权所有仅供参考利用导数处理与不等式有关的问题关键词：导数，不等式，单调性，最值。导数是研究函数性质的一种重要工具。例如求函数的单调区间、求最大（小）值、求函数的值域等等。而在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质；因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。一、利用导数证明不等式（一）、利用导数得出函数单调性来证明不等式我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）。因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性,然后再用函数单调性达到证明不等式的目的。即把证明不等式转化为证明函数的单调性。具体有如下几种形式： 1、直接构造函数，然后用导数证明该函数的增减性；再利用函数在它的同一单调递增（减）区间，自变量越大，函数值越大（小），来证明不等式成立。例1：x>0时,求证；x 2x 2 -－ln(1+x)＜0 证明：设f(x)= x 2x 2 -－ln(1+x) (x>0), 则f'(x)= 2x 1x - + ∵x>0,∴f ' (x)<0,故f(x)在（0，+∞）上递减，所以x>0时,f(x)a>e, 求证:a b>b a, (e为自然对数的底) 证：要证a b>b a只需证lna b>lnb a 即证：blna－aln b>0 设f(x)=xlna－alnx (x>a>e)；则f ' (x)=lna－ a x , ∵a>e,x>a ∴lna>1,a x <1,∴f ' (x)>0,因而f(x)在（e, +∞）上递增 ∵b>a,∴f(b)>f(a)；故blna－alnb>alna－alna=0；即blna>alnb 所以a b>b a成立。（注意，此题若以a为自变量构造函数f(x)=blnx－xlnb (e0时 b x,f'(x)0 ln b <<时 b x ln b >，故f(x)在区间（e, b）上的增减性要由 b e ln b 与的大小而定，当然由题可以推测 b e ln b >

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧

利用导数证明不等式的常见题型及解题技巧趣题引入已知函数x x x g ln )(= 设b a <<0，证明：2ln )()2 ( 2)()(0a b b a b g a g -<+-+< 分析：主要考查利用导数证明不等式的能力。证明：1ln )(+='x x g ，设)2 (2)()()(x a g x g a g x F +-+= 2 ln ln )2()(21)2(2)()(''''x a x x a g x g x a g x g x F +-=+-=?+-=' 当a x <<0时 0)(<'x F ，当a x >时 0)(>'x F ，即)(x F 在),0(a x ∈上为减函数，在),(+∞∈a x 上为增函数 ∴0)()(min ==a F x F ，又a b > ∴0)()(=>a F b F ，即0)2 ( 2)()(>+-+b a g b g a g 设2ln )()2 (2)()()(a x x a g x g a g x G --+-+= )ln(ln 2ln 2ln ln )(x a x x a x x G +-=-+-='∴ 当0>x 时，0)(' ∴0)()(=