2020-2021深圳华侨城中学九年级数学下期中第一次模拟试卷及答案
2020-2021深圳华侨城中学九年级数学下期中第一次模拟试卷及答案一、选择题
1．若点A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）都在反比例函数
1
y
x
=-的图象上，并且
x1＜0＜x2＜x3，则下列各式中正确的是（）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
2．已知线段a、b，求作线段x，使
2
2b
x
a
=，正确的作法是（）
A．
B．
C．
D．
3．如图，已知直线a∥b∥c，直线m、n与直线a、b、c分别交于点A、C、E、B、D、F，AC=4，CE=6，BD=3，则BF=（）
A．7B．7.5C．8D．8.5
4．如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y=3
x
（x
＞0）、y=k
x
（x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（）
A ．﹣1
B ．1
C ．12
-
D ．
12
5．如图，在同一平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k
x
与一次函数y ＝kx ﹣1（k 为常数，且k ＞0）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．如图，ABC △与ADE 相似，且ADE B ∠=∠，则下列比例式中正确的是（ ）
A ．
AE AD
BE DC
= B ．
AE AB
AB AC
= C ．
AD AB
AC AE
= D ．
AE DE
AC BC
= 7．如图所示，在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，E 为OD 的中点，连接AE 并延长交DC 于点F ，则DF ：FC=（ ）
A ．1：3
B ．1：4
C ．2：3
D ．1：2
8．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（ ）
A ．五丈
B ．四丈五尺
C ．一丈
D ．五尺
9．如图，BC 是半圆O 的直径，D ，E 是BC 上两点，连接BD ，CE 并延长交于点
A ，连接OD ，OE ，如果70A ∠?＝，那么DOE ∠的度数为（ ）
A ．35?
B ．38?
C ．40?
D ．42?
10．如图，在△ABC 中，AC ＝8，∠ABC ＝60°，∠C ＝45°，AD ⊥BC ，垂足为D ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AE 的长为
A ．
42
B ．22
C ．
82
D ．32
11．如图，将一个Rt △ABC 形状的楔子从木桩的底端点P 处沿水平方向打入木桩底下，使木桩向上运动，已知楔子斜面的倾斜角为20°，若楔子沿水平方向前移8cm （如箭头所示），则木桩上升了（ ）
A ．8tan20°
B ．
C ．8sin20°
D ．8cos20°
12．在反比例函数4
y x
=
的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题
13．如图，已知AD 为ABC ?的角平分线，DE AB ∥，如果
2
3AE EC =，那么AE AB
=______.
14．小刚身高1.7m ，测得他站立在阳光下的影子长为0.85m ，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为1.1m ，那么小刚举起的手臂超出头顶的高度为________m ． 15．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点.此时，竹竿与这一点距离相距6m ，与树相距
15m ，则树的高度为_________m.
16．已知一个反比例函数的图象经过点(2,3)--，则这个反比例函数的表达式为________. 17．如图，Rt ABC 中，90ACB ∠=?，直线EF BD ，交AB 于点E ，交AC 于点G ，交
AD 于点F ，
若13AEG
EBCG S S 四边形，=则CF
AD
= ．
18．在ABC ?中，若45B ∠=，102AB =，55AC =ABC ?的面积是______． 19．如图，l 1∥l 2∥l 3，AB=
2
5
AC ，DF=10，那么DE=_________________.
20．已知线段a ＝2厘米，c ＝8厘米，则线段a 和c 的比例中项b 是______厘米．
三、解答题
21．如图，在ABC ?中，AB AC =,以AC 边为直径作⊙O 交BC 边于点D ,过点D 作
DE AB ⊥于点E ，ED 、AC 的延长线交于点F .
（1）求证：EF 是⊙O 的切线； （2）若
,且
,求⊙O 的半径与线段
的长.
22．如图，在△ABC 中，∠B=90°，AB=4，BC=2，以AC 为边作△ACE ，∠ACE=90°，AC=CE ，延长BC 至点D ，使CD=5，连接DE ．求证：△ABC ∽△CED ．
23．如图，已知反比例函数y ＝k
x
的图象经过点A (4，m )，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2. (1)求k 和m 的值；
(2)若点C (x ，y )也在反比例函数y ＝k
x
的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取值范围．
24．如图，一次函数y＝kx+2的图象与反比例函数y＝m
x
的图象交于点P，点P在第一象
限．P A⊥x轴于点A，PB⊥y轴于点B．一次函数的图象分别交x轴、y轴于点C、D，且
S△PBD＝4，
1
2 OC
OA
．
（1）求点D的坐标；
（2）求一次函数与反比例函数的解析式；
（3）根据图象写出当x＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．
25．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，Q是CD上的点，且∠AQP=90０，求证：△ADQ∽△QCP．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据x1＜0＜x2＜x3即可得出结论．
【详解】
∵反比例函数y=﹣1
x
中k=﹣1＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每
一象限内，y随x的增大而增大．
∵x1＜0＜x2＜x3，∴B、C两点在第四象限，A点在第二象限，∴y2＜y3＜y1．
故选B．
【点睛】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．本题也可以通过图象法求解．
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
对题中给出的等式进行变形，先作出已知线段a、b和2b，再根据平行线分线段成比例定理作出平行线，被截得的线段即为所求线段x．
【详解】
解：由题意，
2
2b x
a =
∴
2
a b
b x =，
∵线段x没法先作出，
根据平行线分线段成比例定理，只有C符合．故选C．
3．B
解析：B
【解析】
【分析】
由直线a∥b∥c，根据平行线分线段成比例定理，即可得AC BD
CE DF
=，又由AC=4，
CE=6，BD=3，即可求得DF的长，则可求得答案．【详解】
解：∵a∥b∥c，
∴AC BD CE DF
=，
∵AC=4，CE=6，BD=3，
∴43
6DF =，
解得：DF=9
2
，
∴
9
37.5
2
BF BD DF
=+=+=．
故选B．
考点：平行线分线段成比例．
4．A
解析：A
【解析】
【分析】连接OC、OB，如图，由于BC∥x轴，根据三角形面积公式得到S△ACB=S△OCB，
再利用反比例函数系数k的几何意义得到1
2
×|3|+
1
2
?|k|=2，然后解关于k的绝对值方程可得
到满足条件的k的值．
【详解】连接OC、OB，如图，∵BC∥x轴，
∴S△ACB=S△OCB，
而S△OCB=1
2
×|3|+
1
2
?|k|，
∴1
2
×|3|+
1
2
?|k|=2，
而k＜0，∴k=﹣1，故选A．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数y=k
x
图象中任取一点，
过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积
是1
2
|k|，且保持不变．
5．B
解析：B
【解析】
当k＞0时，直线从左往右上升，双曲线分别在第一、三象限，故A、C选项错误；∵一次函数y=kx-1与y轴交于负半轴，
∴D选项错误，B选项正确，
故选B．
6．D
解析：D 【解析】 【分析】
利用相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例，可得结论. 【详解】
由题意可得，A ABC DE ∽△△，所以AE DE
AC BC
=， 故选D . 【点睛】
在书写两个三角形相似时，注意顶点的位置要对应，即若ABC A B C '''∽△△，则说明点A 的对应点为点'A ，点B 的对应点B '，点C 的对应点为点C '.
7．D
解析：D 【解析】
解：在平行四边形ABCD 中，AB ∥DC ，则△DFE ∽△BAE ，∴DF ：AB =DE ：EB ．∵O 为
对角线的交点，∴DO =BO ．又∵E 为OD 的中点，∴DE =
1
4
DB ，则DE ：EB =1：3，∴DF ：AB =1：3．∵DC =AB ，∴DF ：DC =1：3，∴DF ：FC =1：2．故选D ．
8．B
解析：B 【解析】
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】设竹竿的长度为x 尺，
∵竹竿的影长=一丈五尺=15尺，标杆长=一尺五寸=1.5尺，影长五寸=0.5尺， ∴
1.5150.5
x =， 解得x=45（尺）， 故选B ．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
9．C
解析：C 【解析】 【分析】
连接CD ，由圆周角定理得出∠BDC=90°，求出∠ACD=90°-∠A=20°，再由圆周角定理得出∠DOE=2∠ACD=40°即可， 【详解】
连接CD ，如图所示：
∵BC 是半圆O 的直径， ∴∠BDC=90°， ∴∠ADC=90°， ∴∠ACD=90°-∠A=20°， ∴∠DOE=2∠ACD=40°， 故选C ． 【点睛】
本题考查了圆周角定理、直角三角形的性质；熟练掌握圆周角定理是解题的关键．
10．C
解析：C 【解析】 【分析】
由已知可知△ADC 是等腰直角三角形，根据斜边AC=8可得2，在Rt △ABD 中，由∠B=60°，可得BD=
tan 60AD ?46
，再由BE 平分∠ABC ，可得∠EBD=30°，从而可求
得DE 长，再根据AE=AD-DE 即可 【详解】 ∵AD ⊥BC ，
∴△ADC 是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC ， ∵AC=8， ∴2，
在Rt △ABD 中，∠B=60°，∴BD=
tan 60AD ?423
46
，
∵BE 平分∠ABC ，∴∠EBD=30°， ∴46342， ∴AE=AD-DE=282
4233
=
， 故选C. 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键.
11．A
解析：A 【解析】 【分析】
根据已知，运用直角三角形和三角函数得到上升的高度为：8tan20°． 【详解】
设木桩上升了h 米，
∴由已知图形可得：tan20°
=8
h
， ∴木桩上升的高度h =8tan20° 故选B.
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据反比例函数k
y x
=中k 的几何意义，过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|解答即可． 【详解】
解：A 、图形面积为|k|=4； B 、阴影是梯形，面积为6；
C 、
D 面积均为两个三角形面积之和，为2×（1
2
|k|）=4．
故选B ． 【点睛】
主要考查了反比例函数k
y x
=
中k 的几何意义，即过双曲线上任意一点引x 轴、y 轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k 的几何意义．图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S 的关系即S=
1
2
|k|． 二、填空题
13．【解析】【分析】由证得【详解】∵∴△CED∽△CAB∴∵∴∵为的角平分线∴∠ADE=∠BAD=∠DAE∴故填：【点睛】此题考查相似三角形的判定与性质根据平行线证得三角形相似由此得到边的比值关系推导出
解析：3
5
【解析】 【分析】 由DE AB ∥证得 【详解】 ∵DE AB ∥， ∴△CED ∽△CAB, ∴DE CE
AB AC
=
, ∵2
3AE EC =, ∴
3
5
DE CE AB AC ==, ∵AD 为ABC ?的角平分线，DE AB ∥, ∴∠ADE=∠BAD=∠DAE,
∴
AE AB =
3
5
DE CE AB AC ==, 故填：35.
【点睛】
此题考查相似三角形的判定与性质，根据平行线证得三角形相似，由此得到边的比值关系，推导出
AE
AB
的值. 14．5【解析】【分析】根据同一时刻身长和影长成比例求出举起手臂之后的身高与身高做差即可解题【详解】解：设举起手臂之后的身高为x 由题可得：17:085=x ：11解得x=22则小刚举起的手臂超出头顶的高度为
解析：5 【解析】 【分析】
根据同一时刻身长和影长成比例,求出举起手臂之后的身高,与身高做差即可解题. 【详解】
解：设举起手臂之后的身高为x 由题可得：1.7:0.85=x ：1.1,解得x=2.2,
则小刚举起的手臂超出头顶的高度为2.2-1.7=0.5m 【点睛】
本题考查了比例尺的实际应用,属于简单题,明确同一时刻的升高和影长是成比例的是解题关键.
15．7【解析】设树的高度为m 由相似可得解得所以树的高度为7m
【解析】
设树的高度为x m ，由相似可得
6157262
x +==，解得7x =，所以树的高度为7m 16．【解析】【分析】把已知点的坐标代入可求出k 值即得到反比例函数的解析式【详解】设这个反比例函数的表达式为了则所以这个反比例函数的表达式为故答案是：【点睛】考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式解题关 解析：6
y x
=
【解析】 【分析】
把已知点的坐标代入可求出k 值，即得到反比例函数的解析式． 【详解】
设这个反比例函数的表达式为了(0)k
y k x
=
≠，则 (2)(3)6k =-?-=，
所以这个反比例函数的表达式为6y x
=. 故答案是：6y x
=. 【点睛】
考查的是用待定系数法求反比例函数的解析式，解题关键是设关系式、再将已知点坐标代入，从而求解即可．
17．【解析】【分析】先证△AEG∽△ABC△AGF∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解【详解】解：
∵EF∥BD∴∠AEG=∠ABC∠AGE=∠ACB∴△AEG∽△ABC 且S△AEG=S 四边形EB 解析：
12
【解析】 【分析】
先证△AEG ∽△ABC ，△AGF ∽△ACD 再利用相似三角形的对应边成比例求解. 【详解】 解：∵EF ∥BD
∴∠AEG=∠ABC ，∠AGE=∠ACB ， ∴△AEG ∽△ABC ，且S △AEG=1
3
S 四边形EBCG ∴S △AEG ：S △ABC =1：4， ∴AG ：AC=1：2，
∴∠AGF=∠ACD ，∠AFG=∠ADC ， ∴△AGF ∽△ACD ，且相似比为1：2， ∴S △AFG ：S △ACD =1：4， ∴S △AFG 1=3
S 四边形FDCG S △AFG 1
=
4
S △ADC ∵AF ：AD=GF ：CD=AG ：AC=1：2 ∵∠ACD=90° ∴AF=CF=DF ∴CF ：AD=1：2．
18．75或25【解析】【分析】过点作于点通过解直角三角形及勾股定理可求出的长进而可得出的长再利用三角形的面积公式即可求出的面积【详解】解：过点作垂足为如图所示在中；在中∴∴或∴或25故答案为：75或25
解析：75或25 【解析】 【分析】
过点A 作AD BC ⊥于点D ，通过解直角三角形及勾股定理可求出AD ，BD ，CD 的长，进而可得出BC 的长，再利用三角形的面积公式即可求出ABC ?的面积． 【详解】
解：过点A 作AD BC ⊥，垂足为D ，如图所示．
在Rt ABD ?中，sin 10AD AB B =?=，cos 10BD AB B =?=； 在Rt ACD ?中，10AD =，55AC =， ∴225CD AC AD =
-=，
∴15BC BD CD =+=或5BC BD CD =-=， ∴1
752
ABC S BC AD ?=
?=或25． 故答案为：75或25．
【点睛】
本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角形的面积，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD ，BC 的长度是解题的关键．
19．【解析】试题解析：：∵l1∥l2∥l3∴∵AB=AC∴∴∵DF=10∴∴DE=4
解析：【解析】
试题解析：：∵l 1∥l 2∥l 3， ∴
AB DE AC DF
＝． ∵AB=2
5
AC ， ∴25
AB AC ＝， ∴
2
5DE DF ＝． ∵DF=10， ∴
2105DE ＝， ∴DE=4．
20．4【解析】∵线段b 是ac 的比例中项∴解得b ＝±4又∵线段是正数∴b ＝4点睛：本题考查了比例中项的概念利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候负数应舍去
解析：4 【解析】
∵线段b 是a 、c 的比例中项，∴216b ac ==，解得b ＝±
4，又∵线段是正数，∴b ＝4． 点睛：本题考查了比例中项的概念，利用比例的基本性质求两条线段的比例中项的时候，负数应舍去．
三、解答题
21．（1）证明参见解析；（2）半径长为15
4
，AE =6. 【解析】 【分析】
（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，连结OD ，则OC OD =，所以
ODC OCD ∠=∠，∵AB AC =，∴B ACD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .由
DE AB ⊥得出OD EF ⊥，于是得出结论；（2）由
3
5
OD AE OF AF ==得到3
5
OD AE OF AF ==，设3OD x =，则5OF x =.26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=，362
AE x =-，由3
63285
x x -
=，解得x 值，进而求出圆的半径及AE
长.
【详解】
解：（1）已知点D 在圆上，要连半径证垂直，如图2所示，连结OD ，∵AB AC =，∴
B ACD ∠=∠.∵O
C O
D =，∴ODC OCD ∠=∠.∴B ODC ∠=∠，∴OD ∥AB .∵D
E AB ⊥，∴OD E
F ⊥.∴EF 是⊙O 的切线；（2）在Rt ODF ?和Rt AEF ?中，∵35OD AE OF AF ==，∴3
5
OD AE OF AF ==. 设3OD x =，则5OF x =.∴26AB AC OD x ===，358AF x x x =+=.∵32EB =，∴3
62
AE x =-.∴
3
63285
x x -=
，解得x =54，则3x=154,AE=6×54-32=6,∴⊙O 的半径长为154
，AE =6.
22．证明见解析 【解析】 【分析】
由已知易证∠BAC=∠ECD ，在Rt △ABC 中由已知可得2225AB BC +=， 结
合AB=4，CD=5，可证得
AB CE
AC CD
=，由此即可由“两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似”得到△ABC ∽△CED ． 【详解】 ∵ ∠B=90°，AB=4，BC=2，
∴ 2225AC AB BC =
+=
∵ CE=AC ， ∴ 5CE = ∵ CD=5， ∴
AB AC
CE CD
=. ∵ ∠B=90°，∠ACE=90°，
∴ ∠BAC+∠BCA=90°，∠BCA+∠DCE=90°. ∴ ∠BAC=∠DCE.
∴ △ABC ∽△CED.
23．(1) k ＝4， m ＝1；(2)当－3≤x ≤－1时，y 的取值范围为－4≤y ≤－43
. 【解析】 【分析】 【详解】
试题分析：（1）根据反比例函数系数k 的几何意义先得到k 的值，然后把点A 的坐标代入反比例函数解析式，可求出k 的值；
（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y 的值，再根据反比例函数的性质求解． 试题解析：（1）∵△AOB 的面积为2，∴k=4，∴反比例函数解析式为4
y x
=，∵A （4，m ），∴m=
4
4
=1； （2）∵当x=﹣3时，y=﹣
43
； 当x=﹣1时，y=﹣4，又∵反比例函数4
y x
=在x ＜0时，y 随x 的增大而减小，∴当﹣3≤x≤﹣1时，y 的取值范围为﹣4≤y≤﹣
43
． 考点：反比例函数系数k 的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征． 24．（1）D （0,2）； （2）22y x =+；12
y x
=;（3）2x > 【解析】 【分析】
（1）在y=kx+2中，只要x=0得y=2即可得点D 的坐标为（0，2）． （2）由AP ∥OD 得Rt △PAC ∽Rt △DOC ，又
12
OC OA =，可得
1
3OD OC AP AC ==，故AP=6，BD=6-2=4，由S △PBD =4可得BP=2，把P （2，6）分别代入y=kx+2与m
y x
=可得一次函数解析式为y=2x+2反比例函数解析式为12y x
=
； （3）当x ＞0时，一次函数的值大于反比例函数的值的x 的取值范围由图象能直接看出x ＞2． 【详解】
解：（1）在y=kx+2中，令x=0得y=2， ∴点D 的坐标为（0，2） （2）∵AP ∥OD ，
∴∠CDO=∠CPA ，∠COD=∠CAP ， ∴Rt △PAC ∽Rt △DOC ，
∵
1
2
OC
OA
=，即
1
3
OD OC
AP AC
==，
∴
1
3 OD OC AP AC
==
∴AP=6，
又∵BD=6-2=4，
∴由
1
4
2
PBD
S BP BD
=?=，可得BP=2，
∴P（2，6）（4分）把P（2，6）分别代入y=kx+2与
m y
x =
可得一次函数解析式为：y=2x+2，
反比例函数解析式为：
12 y
x =
（3）由图可得x＞2．
【点睛】
考查反比例函数和一次函数解析式的确定、图形的面积求法、相似三角形等知识及综合应用知识、解决问题的能力．有点难度．
25．证明见解析
【解析】
试题分析：本题利用等角的余角相等得出一对相等的角，加上直角得出相似三角形.
试题解析：在Rt△ADQ与Rt△QCP中，
∵∠AQP=90°,
∴∠AQP+∠PQC=90°,
又∵∠PQC+∠QPC=90°,
∴∠AQP=∠QPC，
∴Rt△ADQ∽Rt△QCP.