范后宏教授报告--复数,多值函数,辐角原理

复变函数的指数式与三角函数的再认识

复变函数的指数式与三角函数的再认识 关于复变三角函数和指数式如何取值，一直以来都是一个模糊概念，因为这些东西太抽象，所以绞尽脑汁总算有点眉目，说出来和大家共同讨论。 在实数域里，三角函数和指数函数都对应有具体值，并且在其定义域内都可以求导。然而在复数域里三角函数和指数式没有明确的值与其对号入座，因此更加的不可思议的神秘，然而数学家们为了分析研究它做出了很大的努力，得到了很了不起的一些成就，欧拉公式建立了指数式和三角函数的纽带，复变函数的泰勒公式，自然对数在复变函数领域的研究都起到了桥梁作用，等等。 三角函数及指数函数值的确立及其它们内在的联系规律的发现或建立，在现实生活中都有重要的应用，涉及到电学，力学，热力学，流体等各个方面。 我们转入正题，要想使复变函数的三角函数和指数函数有意义，我们首先必须确定它们的具体函数值，函数值都没有又何谈函数呢？我们知道实数域的初等函数在其定义域内是可以求导的，那么复变函数也应该满足这个要求，其次怎么去求这个值，得有个思路，要合情 合理。首先我们以自然数e 开始，我们知道它是个无理数n n n e ??? ??+=∞ →11lim ，我们分析这样 的一个式n n x ?? ? ??+1，x 为实数，n 趋于无穷大的实数，我们把它做一下变形： x x x n x n x x n x x n n e x n x n n x n x =? ????? ? ?+?? ????? ? ?+??? ? ??+???? ??+?∞→??11lim 1111 那么当上式中x 是复数z 时也应该上面形式的极限，即： z n z n e n z =??? ??+∞→1lim 首先我们分析i z =，我们有n n n i n z ?? ? ??+=??? ??+11，然而由复数的乘法我们有： n n n n Arctg i n Arctg n n i ????????? ? ?+?? ? ?? +=??? ??+1sin 1cos 1112 2 我们知道当n 趋于无穷大时n n Arctg n 1 1lim =∞ →，于是 () ()1 sin 1cos 1sin 1cos lim 1sin 1cos 11lim 1sin 1cos 11lim 212122 22i i e i n n Arctg i n Arctg n n n n n n n n n +=+=+??? ??+=????????? ? ?+??? ?? +∞ ? ∞→∞ → 我们做如下一个变形：

三角函数与复数专题训练

专题四 三角函数与复数 【考点聚焦】 考点1：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与函数y =sin x 图象的关系以及根据图象写出函数的解析式 考点2：三角函数的定义域和值域、最大值和最小值； 考点3：三角函数的单调区间、最小正周期和三角函数图象的对称轴问题； 考点4：和、差、倍、半、、诱导公式、和差化积和积化和差公式、万能公式、同角的三角函数关系式； 考点5：三角形中的内角和定理、正弦定理、余弦定理； 【自我检测】 1． 同角三角函数基本关系式：＿＿＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿. 2． 诱导公式是指α的三角函数与－α，180oα±,90oα±,270oα±,360o－α， k 360o+α(k ∈Z)三角函数之间关系：奇变偶不变，符号看象限. 3． 两角和与差的三角函数：sin(α±β)=_______________________; cos (α±β)=________________________;tan (α±β)=_________________________. 4． 二倍角公式：sin2α=__________;cos2α=_________=__________=___________ tan 2α=_____________. 5． 半角公式：sin 2 α=_______，cos 2 α=_______,tan 2 α =________=________=______. 6． 万能公式sin α=_____________,cos α=_____________,tan α=_____________. 7． 三角函数的图象与性质： 问题1：三角函数的图象问题 关于三角函数的图象问题，要掌握函数图象的平移变化、压缩变化，重点要掌握函数

向量、三角函数和解三角形、复数、函数测试试卷

阶段性考试试卷 姓名： 分数： 一、选择题（每题5分，共13题，65分） 1．若命题1)1(log ),,0(:2≥+ +∞∈?x x x p ，命题01,:0200≤+-∈?x x R x q ，则下列命题为真命题的是( ) A.p q ∨ B.p q ∧ C.()p q ?∨ D.()()p q ?∧? 2．已知函数 ，则不等式f （x ）≤5的解集为（ ） A ．[﹣1，1] B ．（﹣∞，﹣2]∪（0，4） C ．[﹣2，4] D ．（﹣∞，﹣2]∪[0，4] 3．设复数z 满足 11z i z +=-,则的z 虚部为（ ） A ．i - B ．i C ．1 D ．1- 4．函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，且在区间]0,(-∞上是减函数，则不等式)1()(ln f x f -<的解集为( ) A.()+∞,e B.??? ??+∞,1 e C.??? ??e e ,1 D.?? ? ??e 1,0 5．已知函数2 ()(1)x f x e x =-+（e 为自然对数的底），则()f x 的大致图象是（ ） 6． 对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．a b a b -≤- C ．() 2 2a b a b +=+ D ．()() 22a b a b a b +-=- 7．若()f x 是定义在(),-∞+∞上的偶函数，[)()1212,0,x x x x ?∈+∞≠，有()() 2121 0f x f x x x -<-，则（ ） A ．()()()213f f f -<< B ．()()()123f f f <-< C ．()()()312f f f << D ．()()()321f f f <-< 8．已知函数()sin()(0,||)2 f x x π ω?ω?=+>< 的最小正周期为π，且其图像向左平移 3 π 个单位后得到函数 ()cos g x x ω=的图象，则函数()f x 的图象（ ） A ．关于直线12 x π =对称 B ．关于直线512 x π = 对称 C ．关于点( ,0)12 π 对称 D ．关于点5( ,0)12 π 对称

最优控制理论课程总结

《最优控制理论》 课程总结 姓名：肖凯文 班级：自动化1002班 学号：0909100902 任课老师：彭辉

摘要：最优控制理论是现代控制理论的核心，控制理论的发展来源于控制对象的要求。尽50年来，科学技术的迅速发展，对许多被控对象，如宇宙飞船、导弹、卫星、和现代工业设备的生产过程等的性能提出了更高的要求，在许多情况下要求系统的某种性能指标为最优。这就要求人们对控制问题都必须从最优控制的角度去进行研究分析和设计。最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使某一性能指标达到最优值[1]。 关键字：最优控制理论，现代控制理论，时域数学模型，频域数学模型，控制率Abstract： The Optimal Control Theory is the core of the Modern Control Theory，the development of control theory comes from the requires of the controlled objects.During the 50 years， the rapid development of the scientific technology puts more stricter requires forward to mang controlled objects，such as the spacecraft，the guide missile，the satellite，the productive process of modern industrial facilities，and so on，and requests some performance indexes that will be best in mang cases.To the control problem，it requests people to research ,analyse，and devise from the point of view of the Optimal Control Theory. There are mang major problems of the Optimal Control Theory studying,such as the building the time domain’s model or the frenquency domain’s model according to the controlled objects,controlling a control law with admitting, making the controlled objects to work according to the scheduled requires, and making the performance index to reseach to a best optimal value. Keywords: The Optimal Control Theroy， The Modern Control Theroy， The Time Domaint’s Model， The Frequency domain’s Model，The Control Law

14.求复数的辐角、辐角主值

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b∈R）表示成r （cosθ+ i sinθ）的形式叫复数z的三角形式。即z=r（cosθ+ i sinθ） 其中z r =θ为复数z的辐角。 ②非零复数z辐角θ的多值性。 为终边的角θ叫复数z=a+bi的辐角 因此复数z的辐角是θ+2kπ（k∈z） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z的辐角主值。

定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

何量z z z z z 1221→ -=对应于 与复数z 2－z 1对应的向量为oz → 显然oz ∥z 1z 2 则arg z 1=∠xoz 1=θ1 arg z 2=∠xoz 2=θ2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→

已知三角函数值求角知识讲解

【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin x =，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin x =知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 4π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

复数与平面向量三角函数的联系习题精选

复数与平面向量、三角函数的联系 习题精选（三） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列命题中，正确的是 A.任何两个复数都不能比较它们的大小 B.复数的模都是正实数 C.模相等且方向相同的向量，不管它们的起点在哪里，都是相等的向量 D.复数集C 与复平面内所有向量组成的集合一一对应 2.复数z =（a 2 －2a +3）－(a 2 －a +2 1 )i (a ∈R )在复平面内对应点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若(x －2)+yi 和3+i 是共轭复数，则实数x 、y 的值是 A.x =3且y =3 B.x =5且y =1 C.x =5且y =－1 D.x =－1且y =1 4.下面四个式子中，正确的是 A.3i >2i B.|3+2i |>|－4－i | C.|2－i |>2 D.i 2 >－i 5.已知z 1=x +yi ,z 2=－x －yi (x ,y ∈R ).若z 1=z 2，则z 1在复平面上的对应点一定位于 A.虚轴上 B.虚轴的负半轴上 C.实轴上 D.坐标原点 6.设z 1，z 2∈C ,且z 1z 2≠0,A =z 1z 2+z 2z 1,B =z 1z 1+z 2z 2,则A 与B 之间 A.不能比较大小 B.A ≤B C.A ≥B D.A =B 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 7.设复数z 满足关系式z +|z |=2+i ,则z =___________. 8.如果复数z =3+ai 满足条件|z －2|<2，则实数a 的取值范围为___________. 9.满足条件{x |x 2 +1=0,x ∈R }M {m ||log 3m +4i |=5,m >0}的所有集合M 的个数是______

复数与三角函数的联系

课 题：研究性学习课题：复数与三角函数的联系 教学目的：了解复数的三角形式及相关概念，并探究其运算 教学重点：化复数为三角形式． 教学难点：复数辐角主值的探求 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ） 则P 与原点的距离||r OP == =>2．比值r y 叫做α的正弦 记作： r y =αsin 比值r x 叫做α的余弦 记作： r x =αcos 3．复平面内的点(,)Z a b ←???→一一对应平面向量OZ uuu r 4. 复数z a bi =+←???→一一对应平面向量OZ uuu r 二、讲解新课： １．复数的模：||||||z a bi OZ =+==u u u r 2. 复数z a bi =+的辐角θ及辐角主值：以x 轴的非 负半轴为始边、以OZ 所在射线为终边的角在[0,2)π内的辐角就叫做辐角主值，记为argz 当+∈R a 时，=a arg 0 ，=-)arg(a π，=)arg(ai 2 π ，=-)arg(ai 23π 3. 复数的三角形式：(cos sin )z a bi r i θθ=+=+ 其中22b a r += ，r a =θcos ， r b =θsin ；

复数的三角形式的特征：①模r ≥0；②同一个辐角θ的余弦与正弦；③ θcos 与θsin i 之间用加号连结 4. 复数的三角形式的乘法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则12121212(cos()sin(z z r r i θθθθ=+++ 5. 复数的三角形式的乘方(棣美弗定理)： 若(cos sin )z a bi r i θθ=+=+，则(cos sin )n n z r n i n θθ=+ 6. 复数的三角形式的除法： 若11112222(cos sin ),(cos sin )z r i z r i θθθθ=+=+， 则11212122 (cos()sin(r z z i r θθθθ÷=-+- 7. 复数代数形式开平方和三角形式开高次方的运算： ①复数z a bi =+开平方，只要令其平方根为x yi +， 由2 ()x yi a bi +=+222x y a xy b ?-=??=?，解出,x y 有两组解 ②复数(cos sin )z r i θθ=+的n 方根为： 22 sin ),(0,1,,1)k k i k n n n πθπθ+++=-L 共有n 个值 三、讲解范例： 例 化下列复数为三角形式：①z=3+i ;②z=1-i ③z=-1 解：①z=3+i 2(cos sin )66 i ππ =+; ②z=1-i 77sin )44i ππ=+ ③z=-1cos sin i ππ=+ 例2下列复数中那些是三角形式？那些不是？为什么？ （1）)4sin 4(cos 21ππi - ；（2）)3 sin 3(cos 21ππi +-；

最优控制习题参考解答

§2.6 习题 2.2 解： ()()()()()()0 120 010 01 22J J x t x t x x t x x dt x x x t x dt x t xdt αααδαδααδαδααδδδδ===?= +???? ?? ?? =+++? ??=++???? = +?? ? 已知0.1x t δ=， 当0.1x t δ=， ()12 10.1212J t t t dt δ= += ? 当0.2x t δ=， ()12 10.226 J t t t dt δ=+= ? 2.4 解： ()10 ,,t t J L x x t dt = ? L = ()()00L 0 ,f f d L dt x x t x x t x ????-=???? ==??? 欧拉方程：横截条件：x

?0d x x c c x a dt ?? =→=→=±= ? 令 设()()( )()* 000 111x b x t at b x t t x a ?=→=?=+→→=? =→=?? ， ()*1x t = 1* J ?==? ，最短曲线为()* x t t = 2.5 解： 2122 L x x =+ ， ()4f t ψ=，()14x =， ()4f x t = ()()()()00L 0 ,,0 f T f f t d L dt x x L t x x t t L x x ψψ????-=???? ????==+-= ? ???? ? 欧拉方程：横截条件：x ()*211222dx x t c x t t c t c dt ? =→=+→=++ ， ()* 12x t t c = + 又由横截条件得： ()()2* 164f f x t x t =→= ()()() 122 121114 424f f f f f x c c x t t c t c x t t c ?=++=???=++=??=+=?? ()()*21* 25696269f t x t t t c x t t c =??=-+??→=-→??=-??? =? 520 150021502 3 J x x dt ?=+ =-? ， 极值轨线为()* 2 69x t t t =-+

已知三角函数值求角知识讲解

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42 π=，所以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=． （2）在R 上符合条件的角是所有与 54 π终边相同的角和所有与74π 终边相同的角．因此x 的取值集合为

最优控制应用概述

最优控制的应用概述 1.引言 最优控制是现代控制理论的重要组成部分，它研究的主要问题是：在满足一定约束条件下，寻求最优控制策略，使得性能指标取极大值或极小值。最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力、物力和财力等资源为最少。 最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，基本内容和常用方法包括动态规划、最大值原理和变分法。这方面的开创性工作主要是由贝尔曼（R.E.Bellman）提出的“动态规划”和庞特里亚金等人提出的“极大值原理”，到了60年代，卡尔曼（Kalman）等人又提出了可控制性及可观测性概念，建立了最优估计理论。这方面的先期工作应该追溯到维纳（N.Wiener）等人奠基的控制论（Cybernetics）。最优控制理论的实现离不开最优化技术。控制系统最优化问题，包括性能指标的合理选择以及最优化控制系统的设计，而性能指标在很大程度上决定了最优控制性能和最优控制形式。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。 2.最优控制问题 所谓最优控制问题，就是指 在给定条件下，对给定系统确定 一种控制规律，使该系统能在规 定的性能指标下具有最优值。也 就是说最优控制就是要寻找容 许的控制作用（规律）使动态系 统（受控系统）从初始状态转移 到某种要求的终端状态，且保证 所规定的性能指标（目标函数）图1 最优控制问题示意图 达到最大（小）值。 最优控制问题的示意图如图1所示。其本质乃是一变分学问题。经典变分理论只能解决一类简单的最优控制问题。为满足工程实践的需要，20世纪50年代中期，出现了现代变分理论。最常用的方法就是极大值原理和动态规划。最优控制在被控对象参数已知的情况下，已成为设计复杂系统的有效方法之一。

高考数学第一轮复习求复数的辐角、辐角主值专项练习

求复数的辐角、辐角主值 知识要点： 一、基础知识 1）复数的三角形式 ①定义：复数z=a+bi （a,b ∈R ）表示成r （cos θ+ i sin θ）的形式叫复数z 的三角形式。即z=r （cos θ+ i sin θ） 其中z r = θ为复数z 的辐角。 ②非零复数z 辐角θ的多值性。 以ox 轴正半轴为始边，向量oz →所在的射线为终边的角θ 叫复数z=a+bi 的辐角 因此复数z 的辐角是θ+2k π（k ∈z ） ③辐角主值 表示法；用arg z 表示复数z 的辐角主值。 定义：适合[0，2π）的角θ叫辐角主值 02≤

arg z 2=∠xoz 2=θ 2 arg z （z 2－z 1）=arg z=∠xoz=θ 3）复数运算的几何意义 主要是三角式乘法、除法等运算中辐角的变化 如z 1=r 1（cos θ1+i sin θ1） z 2=r 2（cos θ2+i sin θ2） ①乘法：z=z 1· z 2=r 1·r 2 [cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)] 如图：其对应的向量分别为oz oz oz 12→→→ 显然积对应的辐角是θ1+θ2 < 1 > 若θ 2 > 0 则由oz 1→逆时针旋转θ2角模变为oz 1→的r 2倍所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 < 2 >若θ2< 0 则由向量oz 1→顺时针旋转θ2角 模变为r 1·r 2所得向量便是积z 1·z 2=z 的向量oz →。 为此，若已知复数z 1的辐角为α，z 2的辐角为β求α+β时便可求出z 1·z 2=z a z 对应的辐角就是α+β这样便可将求“角”的问题转化为求“复数的积”的运算。 ②除法 '=÷==-+-z z z z z r r i 121212 1212[cos()sin()]θθθθ （其中 z 2≠0） 除法对于辐角主要是“相减”（被除数的辐角一除数的辐角）依向量旋转同乘法简述如下： < 1 >θθ210>→ 时顺时针旋转角２oz 。 < 2 >θθ２２时逆时针旋转角<→01oz 。 二、基本方法 求复数的辐角、辐角主值主要介绍以下方法： 1）化复数为三角形式 如 求复数１２（）的辐角，辐角主值cos sin ππ44 -i １２（）＝１２［（－４）＋（－４ ）］cos sin cos sin ππππ44-i i 这样化成三角式 ∴复数的辐角是２k ππ -4（k z ∈） 辐角主值为74 π ∵这个复数对应的点在复平面内第四象限，也可以化三角式为

知识讲解_已知三角函数值求角

已知三角函数值求角 【学习目标】 1、掌握已知三角函数值求角的解题步骤； 2、要求学生初步（了解）理解反正弦，反余弦，反正切函数的意义，会由已知角的正弦值、余弦值、正切值求出[]π2,0范围内的角，并能用反正弦，反余弦，反正切的符号表示角或角的集合 【要点梳理】 要点一：反正弦，反余弦，反正切函数的定义 （1）一般地，对于正弦函数sin y x =，如果已知函数值[](1,1)y y ∈-，那么在,22ππ?? -???? 上有唯一的x 值 和它对应，记为arcsin x y =（其中11,22y x ππ-≤≤-≤≤）．即arcsin y （||1y ≤）表示,22ππ?? -???? 上正弦等于y 的那个角． （2）在区间[]0,π上符合条件cos (11)x y y =-≤≤的角x ，记为arccos x y =． （3）一般地，如果tan ()x y y R =∈，且,22x ππ??∈- ???，那么对每一个正切值y ，在开区间,22ππ?? - ??? 内， 有且只有一个角x ，使tan x y =．符合上述条件的角x ，记为arctan ,(,)22 x y x ππ =∈-． 要点二：已知正弦值、余弦值和正切值，求角 已知角x 的一个三角函数值求角x ，所得的角不一定只有一个，角的个数要根据角的取值范围来确定，这个范围应该在题目中给定，如果在这个范围内有已知三角函数值的角不止一个，解法可以分为以下几步： 第一步，决定角可能是第几象限角. 第二步，如果函数值为正数，则先求出对应的锐角1x ；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角1x . 第三步，如果函数值为负数，则可根据x 可能是第几象限角，得出(0，2π)内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为－1x ＋π；如果它是第三或第四象限角，那么可表示为1x ＋π或－1x ＋2π. 第四步，如果要求(0，2π)以外对应的角，则可利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果. 【典型例题】 类型一：已知正弦值、余弦值，求角 例1．已知sin 2 x =- ，（1）x ∈[]0,2π，（2）x R ∈，求角x . 【思路点拨】因为所给的正弦值是负数，所以先求出其绝对值对应的锐角，然后在求出其他象限的角． 【解析】 （1）由sin 2 x =- 知x 的正弦值是个负值，所以x 是第三象限或第四象限的角．因为sin 42π=，所 以第三象限的那个角是544π ππ+ = ，第四象限的角是7244 ππ π-=．

高中三角函数公式大全

高中三角函数公式大全 2009年07月12日 星期日 19:27 三角函数公式 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin(2 A )=2cos 1A - cos(2 A )=2cos 1A + tan(2 A )=A A cos 1cos 1+- cot( 2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2 b a -

sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2 b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -2 1[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 2 1[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2 π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2 π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式 sina=2 )2 (tan 12tan 2a a + cosa=2 2 )2(tan 1)2(tan 1a a +-

复数的三角形式及乘除运算

复数得三角形式及乘除运算 一、主要内容: 复数得三角形式,模与辐角得概念及几何意义,用三角形式进行复数乘除运算及几何意义、 二、学习要求： 1、熟练进行复数得代数形式与三角形式得互化,会求复数得模、辐角及辐角主值、 2、深刻理解复数三角形式得结构特征,熟练运用有关三角公式化复数为三角形式、 3、能够利用复数模及辐角主值得几何意义求它们得范围（最值）、 5、注意多 4、利用复数三角形式熟练进行复数乘除运算,并能根据乘除运算得几何意义解决相关问题、? 种解题方法得灵活运用,体会数形结合、分类讨论等数学思想方法、 三、重点: 复数得代数形式向三角形式得转换，复数模及复数乘除运算几何意义得综合运用、 四、学习建议: １、复数得三角形式就就是彻底解决复数乘、除、乘方与开方问题得桥梁,相比之下，代数形式在这些方面显得有点力不从心,因此,做好代数形式向三角形式得转化就就是非常有必要得、 前面已经学习过了复数得另两种表示、一就就是代数表示,即Z=a+bｉ(a,b∈R)、二就就是几何表示,复数Z 既可以用复平面上得点Ｚ(a,b)表示，也可以用复平面上得向量来表示、现在需要学习复数得三角表示、既用复数Z得模与辐角来表示,设其模为r,辐角为θ，则Z=ｒ(cosθ+isinθ)(r≥0)、 既然这三种方式都可以表示同一个复数,它们之间一定有内在得联系并能够进行互化、 代数形式r=三角形式 Ｚ＝a+ｂｉ(a,ｂ∈R) Z=r(cosθ＋iｓinθ)(r≥0） 复数三角形式得结构特征就就是:模非负,角相同,余弦前,加号连、否则不就就是三角形式、三角形式中θ应就就是复数Ｚ得一个辐角,不一定就就是辐角主值、 五、基础知识 ?１)复数得三角形式 ?①定义:复数z＝a+bi (a，b∈Ｒ)表示成ｒ(cosθ+ iｓiｎθ)得形式叫复数z得三角形式。即z=r(cｏsθ+ i sin θ） 其中θ为复数z得辐角。 ?②非零复数z辐角θ得多值性。 以oｘ轴正半轴为始边,向量所在得射线为终边得角θ叫复数ｚ=a＋bi得辐角 因此复数z得辐角就就是θ＋2ｋ(k∈ｚ) ③辐角主值 表示法;用ａｒｇz表示复数z得辐角主值。 定义:适合[０,２)得角θ叫辐角主值 唯一性：复数z得辐角主值就就是确定得,唯一得。 ④不等于零得复数得模就就是唯一得。 ?⑤z=0时,其辐角就就是任意得。 ⑥复数三角形式中辐角、辐角主值得确定。(求法） ?这就就是复数计算中必定要解决得问题,物别就就是复数三角形式得乘法、除法、乘方、开方等运算，尤其就就是逮美佛定理定理只有对复数三角形式时才能使用。因此复数化三角式就就是复数运算中极为重要得内容（也就就是解题术)复数在化三角式得过程中其模得求法就就是比较容易得。辐角得求法,辐角主值得确定就就是难点,也就就是关键存在，这个专题只简单归纳复数辐角及辐角主值得求法。 ?2)复数得向量表示 ?在复平面内与复数ｚ１、z2对应得点分别为ｚ1、z2（如图） 何量

已知三角函数值求角教案1

已知三角函数值求角教案1 教学目标 1．使学生掌握已知三角函数值求角(给值求角)的方法和步骤． 2．通过启发学生总结给值求角的步骤，培养学生归纳、类比、总结的能力． 3．培养学生严谨的科学态度，促进良好个性品质发展． 教学重点与难点 重点是给值求角的基本方法．难点在于归纳给值求角的基本步骤． 教学过程设计 一、复习引入 师：我们学习了5组诱导公式，如何概括这5组公式？ 生：k·360°＋α(k∈Z)，－α，180°±α，360°－α的三角函数值等于α的同一三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． 师：那么k·360°＋α，……这些角从“形”这一角度看，与α又有什么关系呢？ (这应在诱导公式那一节有所渗透，或曾经留给同学思考过．) 生：角k·360°＋α(k∈Z)的终边与α角的终边相同，180°－α的终边与α的终边关于y轴成轴对称图形，180°＋α的终边与α的终边关于原点成中心对称图形，360°－α和－α终边相同，与α的终边关于x轴成轴对称图形． 师：α是什么样角？ 生：使三角函数有意义的任意角． 师：如果把α看作是锐角，那么k·360°＋α(k∈Z)，180°±α，360°－α各是第几象限角？它们的三角函数值与α的同一三角函数值有什么联系？

生：k·360°＋α(k∈Z)是第一象限角，180°－α是第二象限角，180°＋α是第三象限角，360°－α是第四象限角．这些角的三角函数与α的同一三角函数值相等或互为相反数． (如图1，帮助学生形象思维与记忆．) 师：利用这幅图，记忆诱导公式的符号是不是变得直观了？！那么诱导公式又有什么功能呢？ 生：把任意角的三角函数转化为0°～90°间角的三角函数，然后就可以查表求值了． 师：这些任意角的终边和某个锐角α0的终边有刚才所说的对称关系，那么同一三角函数值之间有没有关系？ 生：有关系，那些角的三角函数值要么等于α0的同一三角函数值，要么等于这个值的相反数，相等还是相反由这些角所在象限决定． 师：可以这样说，这些角的三角函数值的绝对值等于α0的同一三角函数值．每个角α都可通过一个锐角α0求得这个角的三角函数值(当值存在时)，这个值由α唯一确定．那么反过来，知道某个角α的某个三角函数值，要反求α，这个α怎么求？是否唯一？这与我们本节课要研究的知识有关． 二、讲授新课 (板书)已知三角函数值求角． 师：我们先来研究给正弦值求角． (板书) 例1 求满足下列条件的角α的取值集合．

高考艺术类数学复数与三角函数试题

高考艺术类数学复数与三角函数试题 作者:

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2010年高考艺术类数学复习单元训练 复数与三角函数 满分100分 11 .复数 z 满足(1+2i ) z=4+3i,那么 z= 12 .若 z € C ,且(3+z)i=1,贝U z= ______ . ?选择题 (本大题共 10小题，每小题5分，共50分, 每小题都有四个选项, 其中只有一个选项是正 确的) 1 . A. 等于( ) B. (a € R)是纯虚数，则实数a 的值为( B.4 C.-6 C. D.- 2 . A.-2 3 .在复平面内，复数+(1+i) 2对应的点位于 A.第一象限 4.方程 x 2+|x|=0 若复数 B.第二象限 在复数集内的解集是 A .① B ? {0} ( C. ) D.6 ) 第三象限 C ? {0 , i} D. 第四象限 D ? {0 , i , -i} 5.函数 y=sin(2x+) A.向左平移 C.向左平移 的图象可由函数 y=s in2x B. 向右平移 D. 向右平移 的图象经过平移而得到，这一平移过程可以是 A. 函数 f(x)=sin B. 2 X +3COS 2x 的最小正周期是 C. n D.2 n 函数 y= Asin( 3 x+ $ )(0?才0 | < )的部分图像如图，则函数的一个表达式为() A. y=-4s in(x+) B. y=4si n(x-) C. y=-4si n(x-) D. y=4si n(x+) 8 .已知 f(sinx)=sin3x, 则f(cosx)等于() A.-cos3x B.cos3x C.si n3x D.-s in3x 9 . sin a =( VaVn ),tan(=,则n (a -2 B)的值等于() A.- B.- C. D. 10 .计算的值等于( A.1 B.-1 ) C.i D.-i .填空题(共四题，每题 5分)