考纲要求:
1.能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
2.研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有:(1)两点都不可到达;(2)两点不相通的距离;(3)两点间可视但有一点不可到达. 基础知识回顾: 1.仰角和俯角
在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫仰角,目标视线在水平视线下方时叫俯角.(如图(a )).
图(a ) 图(b )
2.方位角:从某点的指北方向线起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角.如B 点的方位角为α(如图(b )).
3.方向角:正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角,通常表达为北(南)偏东(西)××度. 4.
a sin A =
b sin B =c
sin C
=2R ,其中R 是三角形外接圆的半径. 由正弦定理可以变形:(1) a ∶b ∶c =sin A ∶sin B ∶sin C ;(2) a =2Rsin A ,b =2Rsin B ,c =2Rsin C . 5.余弦定理:a 2
=b 2
+c 2
-2bccos A ,b 2
=a 2
+c 2
-2accos B ,c 2
=a 2
+b 2
-2abcos C .
变形:cos A =b 2+c 2-a 22bc ,cos B =a 2+c 2-b 22ac ,cos C =a 2+b 2-c 2
2ab
.
6.在△ABC 中,已知a ,b 和A 解三角形时,解的情况
7.(1)S =12a ·h a (h a 表示a 边上的高).(2)S =12absinC =12acsinB =12bcsinA =abc
4R
.
(3)S =1
2r (a +b +c )(r 为内切圆半径).
应用举例:
类型一、测量高度问题
【例1】【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】如图,一山顶有一信号塔CD (CD 所在的直线与地平面垂直),在山脚A 处测得塔尖C 的仰角为α,沿倾斜角为θ的山坡向上前进l 米后到达B 处,测得
C 的仰角为β.
(1)求BC 的长;
(2)若24l =, 45α=, 75β=, 30θ=,求信号塔CD 的高度.
【答案】(1) ()()
sin sin BC l αθβα-=
-;(2) 24-
【例2】 要测量电视塔AB 的高度,在C 点测得塔顶A 的仰角是45°,在D 点测得塔顶A 的仰角是30°,并测得水平面上的∠BCD =120°,CD =40 m ,求电视塔的高度.
【答案】10 6
【解析】如图,设电视塔AB高为x m,则在Rt△ABC中,由∠ACB=45°得BC=x.
在Rt△ADB中,∠ADB=30°,则BD=3x.
在△BDC中,由余弦定理得,BD2=BC2+CD2-2BC·CD·cos120°,
即(3x)2=x2+402-2·x·40·cos120°,解得x=40,所以电视塔高为40 m.
点评:求解高度问题应注意的3个问题
类型二、测量距离问题
研究测量距离问题,解决此问题的方法是:选择合适的辅助测量点,构造三角形,将问题转化为求某个三角形的边长问题,从而利用正、余弦定理求解.常见的命题角度有:(1)两点都不可到达;(2)两点不相通的距离;(3)两点间可视但有一点不可到达.
【例3】【江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试】如图,三个警亭有直道相通,已知在
的正北方向6千米处,在的正东方向千米处.
(1)警员甲从出发,沿行至点处,此时,求的距离;
(2)警员甲从出发沿前往,警员乙从出发沿前往,两人同时出发,甲的速度为3千米/小时,乙的速度为6千米/小时.两人通过专用对讲机保持联系,乙到达后原地等待,直到甲到达时任务结束.若对讲机的有效通话距离不超过9千米,试问两人通过对讲机能保持联系的总时长?
【答案】(1);(2)
【解析】分析:(1)在中,,,,然后由正弦定理可得BP,(2)甲从C到A,需要4小时,乙从A到B需要1小时.设甲、乙之间的距离为,要保持通话则需要.
当时,当时,分别求得对应的时长在求和即得到结论.
解:(1)在中,,,
由正弦定理,,
即,
故的距离是9-3千米.
,
即,解得,又
所以,
时长为3小时.
3+=(小时).
答:两人通过对讲机能保持联系的总时长是小时.
点睛:考查正弦定理解三角形的应用以及对实际应用的分析问题和解决的能力,属于中档题.
【例4】【上海市2018年5月高考模练习(一)】钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土,如图:点分
别表示钓鱼岛、南小岛、黄尾屿,点在点的北偏东方向,点在点的南偏西方向,点在点的南偏东方向,且两点的距离约为3海里.
(1)求两点间的距离;(精确到0.01)
(2)某一时刻,我国一渔船在点处因故障抛锚发出求教信号.一艘国舰艇正从点正东10海里的点处以
18海里/小时的速度接近渔船,其航线为 (直线行进),而我东海某渔政船正位于点南偏西方向20海里的点处,收到信号后赶往救助,其航线为先向正北航行8海里至点处,再折向点直线航行,航速为22海里/小时.渔政船能否先于国舰艇赶到进行救助?说明理由.
【答案】(1)14.25(2)渔政船能先于国舰艇赶到进行救助.
【例5】如图所示,A,B两点在一条河的两岸,测量者在A的同侧,且B点不可到达,要测出AB的距离,其方法在A所在的岸边选定一点C,可以测出AC的距离m,再借助仪器,测出∠ACB=α,∠CAB=β,在△ABC中,运用正弦定理就可以求出AB.若测出AC=60 m,∠BAC=75°,∠BCA=45°,则A,B两点间的距离为________m.
【答案】200 7 m.
点评:求距离问题的2个注意事项
(1)选定或确定要创建的三角形,首先确定所求量所在的三角形,若其他量已知则直接求解;若有未知量,则把未知量放在另一确定三角形中求解.
(2)确定用正弦定理还是余弦定理,如果都可用,就选择更便于计算的定理.
类型三、测量角度问题
【例6】【河北省邯郸市2017-2018学年高二下学期期末考试】如图,某军舰艇位于岛的的正西方处,且与岛的相距12海里.经过侦察发现,国际海盗船以10海里/小时的速度从岛屿出发沿北偏东30°方向逃窜,同时,该军舰艇从处出发沿北偏东的方向匀速追赶国际海盗船,恰好用2小时追上.
(1)求该军舰艇的速度.
(2)求的值.
【答案】(1)14海里/小时;(2).
点睛:与解三角形相关的实际问题中,我们常常碰到方位角、俯角、仰角等,注意它们的差别.另外,把实际问题抽象为解三角形问题时,注意分析三角形的哪些量是已知的,要求的哪些量,这样才能确定用什么定理去解决.
【例7】如图,位于A处的信息中心获悉:在其正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险,在原地等待营救.信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C处的乙船,现乙船朝北偏东θ的方向
沿直线CB 前往B 处救援,求cos θ的值. 【答案】
2114
.
点评:解决测量角度问题的3个注意事项
(1)测量角度时,首先应明确方位角及方向角的含义. (2)求角的大小时,先在三角形中求出其正弦或余弦值.
(3)在解应用题时,要根据题意正确画出示意图,通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题,解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点. 方法、规律归纳: 1.三角形中常见的结论
(1)A +B +C =π. (2)在△ABC 中,A >B ?a >b ?sinA >sinB ?cosA <cosB . (3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.
(4)三角形内的诱导公式: sin (A +B )=sin C ;cos (A +B )=-cos C ;
tan (A +B )=-tan C ;sin
A +B
2=cos C 2;cos A +B 2=sin C 2
. (6)在△ABC 中,A ,B ,C 成等差数列的充要条件是B =60° .
(7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ,B ,C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列. 2.判定三角形形状的两种常用途径
(1)通过正弦定理和余弦定理,化边为角,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断. (2)利用正弦定理、余弦定理化角为边,通过代数恒等变换,求出边与边之间的关系进行判断. 3.三角形面积公式的应用原则
(1)对于面积公式S =12absin C =12acsin B =1
2bcsin A ,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.
(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 实战演练:
1.【东北师大附中、哈尔滨师大附中、辽宁省实验中学2017届高三下学期第四次联合模拟考试】如图,一条巡逻船由南向北行驶,在A 处测得山顶P 在北偏东()
001515BAC ∠=方向上,匀速向北航行20分钟到
达B 处,测得山顶P 位于北偏东060方向上,此时测得山顶P 的仰角060,若山高为 (1)船的航行速度是每小时多少千米?
(2)若该船继续航行10分钟到达D 处,问此时山顶位于D 处的南偏东什么方向?
【答案】(1)航行速度是每小时)
6
1千米.(2)山顶位于D 处南偏东0135.
所以)
2
1AB =,
船的航行速度是每小时)
6
1千米.
(2)在BCD ?中,由余弦定理得: CD =
在BCD ?中,由正弦定理得:
sin sin sin 2
CD B CDB DBC CDB =?∠=∠∠,
所以,山顶位于D 处南偏东0135.
2.【江苏省盐城中学2018届高三上学期期末考试】我校为丰富师生课余活动,计划在一块直角三角形ABC 的空地上修建一个占地面积为S (平方米)的AMPN 矩形健身场地,如图,点M 在AC 上,点N 在AB 上,且P 点在斜边BC 上,已知60ACB ∠=?, 30AC =米, AM x =米, []
10,20x ∈.设矩形AMPN
元,再把矩形AMPN 以外(阴影部分)铺上草坪,元(k 为正常数)
(1)试用x 表示S ,并求S 的取值范围; (2)求总造价T 关于面积S 的函数()T f S =;
(3)如何选取AM ,使总造价T 最低(不要求求出最低造价)
【答案】(1) S ≤选取AM 的长为12米或18米时总造价T 最低
137T =,又ABC ?的面积为即草坪造价)
2T S =
,写出总造价即可;
(3)根
≥.
(2)矩形AMPN 健身场地造价137T =
又ABC ?的面积为即草坪造价)
2T S =
,
由总造价12,25,T T T T k S S ?
=+∴=≤≤???
(3)
S
+
≥
=
S =时等号成立,此时,()30x -=12x =或18x = 答:选取AM 的长为12米或18米时总造价T 最低.
3.【江西省南昌市2018届高三第一轮复习训练题数学(四)】(Ⅰ)利用正余弦函数的定义和向量知识证明: ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;
(Ⅱ)如下三图,四边形ABCD 是由两个斜边长为x 的直角三角形拼成,其面积为1, 89,31.BAD BAC ∠=∠= TUV ?是斜边长为x 的直角三角形,
63,.TUV TV y ∠==
四边形PQRS 是平行四边形,其中,,,PQ y PS x QPS a ==∠=其面积为2,求a 的值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)89或91.
(Ⅱ) 在图1中可得cos31,sin31,sin32,cos32.AB x BC x AD x CD x ==== 再由四边形的面积为1, 222114
1sin62sin6444cos26cos28
x x x =
+?=
+
由()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+
()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- 得()()1
cos cos cos cos 2αβαβαβ??=
++-?
? 20000
42
cos cos 2cos
cos ,22cos26cos28cos1cos27A B A B x αβ+-===
+
x =
在图2中得
y =
在图3中得2
2sin sin sin sin89sin91cos1
xy a a a ==?== 又8991.a =或
4.在一水域上建一个演艺广场.演艺广场由看台Ⅰ,看台Ⅱ,三角形水域ABC ,及矩形表演台BCDE 四个部分构成(如图).看台Ⅰ,看台Ⅱ是分别以AB , AC 为直径的两个半圆形区域,且看台Ⅰ的面积是
看台Ⅱ的面积的3倍;矩形表演台BCDE 中, 10CD =米;三角形水域ABC 的面积为.设BAC θ∠=. (Ⅰ)当6
π
θ=
时,求BC 的长;
(Ⅱ)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价.
【答案】(Ⅰ)40;(Ⅱ)120万元.
(
)
800
40
423cos sin θ
θ
=- ,即()800
23cos 4042
3cos 40sin sin BC θ
θ
θθ
-=-=
所以 23cos 40
sin BC θθ-= , ()0,θπ∈. 当6πθ=时, 23cos 4040sin BC θ
θ
-==
点睛:本题主要考查了根据实际问题建立数学模型,以及运用函数、导数的知识解决实际问题的能力.利用导数求函数的最值是解决本题的关键.属于中档题.一般解决实际应用题目先要读懂题目构建数学模型,再用数学知识解决其中的问题。
5.【江苏省如东高级中学2018届高三上学期期中考试】某综艺频道举行某个水上娱乐游戏,如图,固定在水面上点O 处的某种设备产生水波圈,水波圈生产t 秒时的半径r (单位: m )满足23
43
r t =
; AB 是铺设在水面上的浮桥,浮桥的宽度忽略不计,浮桥两端,A B 固定在水岸边.游戏规定:当点O 处刚产生水波圈时,游戏参与者(视为一个点)与此同时从浮桥的A 端跑向B 端;若该参与者通过浮桥AB 的过程中,
从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,则认定该参与者在这个游戏中过关;否则认定在这个游戏中不过关,已知tan 2AOB ∠=-, 6OA m =,浮桥AB 的某个桥墩处点M 到直线,OA OB 的距
离分别为2,
5
m m ,且4AM m
【答案】(1)3s ;(2)见解析.
试题解析:(1)建立如图所示的直角坐标系,则()6,0A , 直线OB 的方程为20x y +=.
设()0,2M x =
,解得03x =或05x =-.
当03x =时, 4AM =<,符合;
当05x =-时, 4AM =>,不符合. 所以03x =,直线AM 的方程为23120x y +-=. 由20,{
23120x y x y +=+-=解得3,
{ 6
x y =-=即()3,6B -.
所以AB =
=.
所以,该游戏参与者从浮桥A 端跑到B 3
s =.
()0,2t ∈时()0f t '>, ()f t 在()0,2上为增函数, ()2,3t ∈时()0f t '<, ()f t 在()2,3上为减函数,
故当2t s =时, ()f t 取得最大值()2f . 由于()16
203
f =-
<,所以[]0,3t ∈时, r OP <恒成立. 即该游戏参与者通过浮桥AB 的过程中,从点O 处发出的水波圈始终没能到达此人跑动时的位置,所以该参与者在这个游戏中过关.
点晴:本题考查的是函数模型的应用。解决函数模型应用的解答题,要注意以下几点:①读懂实际背景,将实际问题转化为函数模型.②对涉及的相关公式,记忆要准确.③在求解的过程中计算要正确.另外需要熟练掌握求解方程、不等式、函数最值的方法,才能快速正确地求解.
6.【上海市长宁、嘉定区2018届高三第一次质量调研(一模)】一根长为L 的铁棒AB 欲通过如图所示的直角走廊,已知走廊的宽2AC BD == m .
(1)设BOD θ∠=,试将L 表示为θ的函数; (2)求L 的最小值,并说明此最小值的实际意义. 【答案】(1)见解析(2)见解析
(2
)设sin cos 4x πθθθ?
?
=+=+
??
?
, 0,
2πθ??
∈ ??
?
,则(
x ∈, 所以, 21sin cos 2x θθ-=,此时()241
x
L x x =-.
任取1x
、(2x ∈,且12x x <, ()()()()()
121212
122222
121241441111
x x x x x x L x L x x x x x +-=
-=----, 因为1x
、(
2x ∈,且12x x <,所以()()
22
12110x x -->, ()1212410x x x x +>,
故()()120L x L x ->,即()L x
在(
x ∈
时是减函数,所以min L =L
最小值的实际意义是:在拐弯时,铁棒的长度不能超过m ,否则,铁棒无法通过.也就说,能够
通过这个直角走廊的铁棒的最大长度为m .
点睛:单调性定义法证明时,作差后一定要变形到位,一般为几个因式相乘的形式,然后判断差的正负作出结论.
7.【河南省中原名校(豫南九校)2018届高三上学期第四次质量考评】海中一小岛C
的周围()
8n
mile 内有暗礁,海轮由西向东航行至A 处测得小岛C 位于北偏东75?,航行8nmile 后,于B 处测得小岛C 在北偏东60?(如图所示).
(1)如果这艘海轮不改变航向,有没有触礁的危险?请说明理由.
(2)如果有触礁的危险,这艘海轮在B 处改变航向为东偏南α(0α>)方向航行,求α的最小值. 附: tan7523?=+
【答案】(1)海轮有触礁的危险;(2)15°
试题解析:解:(1)如图1,过点C 作直线AB 的垂线,交直线AB 于点D . 由已知得15A ∠=?, 30CBD ∠=?, 15ACB ∠=?, ∴8AB BC nmile ==.
∴在Rt BCD ?中, sin CD AB CBD =?∠= 1
842
nmile nmile ?=. 又4838<,∴海轮由触礁的危险.
8.【福建省福清市校际联盟2018届高三上学期期中考试】如图,点在城的南偏西的方向上,现有一辆汽车在点处沿公路向城直线行驶,公路的走向是城的南偏东.开始时,汽车到的距离为9,汽车前进6到达点时,到的距离缩短了4.
(Ⅰ)求的面积;
(Ⅱ)汽车还要行驶多远才能到达城.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).
试题解析:
(Ⅰ)在中,由于,由余弦定理得
,
则,
从而.
9.【江苏省仪征中学2018届高三10月学情检测】如图,一块弓形余布料EMF,点M为弧EF的中点,其所
在圆O的半径为4 dm(圆心O在弓形EMF内),∠EOF=2
3
π
.将弓形余布料裁剪成尽可能大的矩形ABCD(不
计损耗), AD∥EF,且点A、D在弧EF上,设∠AOD=2θ.(1)求矩形ABCD的面积S关于θ的函数关系式;
(2)当矩形ABCD的面积最大时,求cosθ的值.
【答案】(1)
()
162cos1,0
3
{
322,
32
sin
S
sin
π
θθθ
ππ
θθ
+<<
=
≤<
(2) cosθ
(2) 当0<θ<时,求导,得S ′=16[cos θ(2cos θ+1)+sin θ(-2sin θ)] =16(4cos 2
θ+cos θ-2). 令S ′=0,得cos θ=. 记区间0
3π??
??
?
内余弦值等于的角为θ0(唯一存在),
列表: 03??
又当≤θ<时,S =32sin2θ是单调减函数,所以当θ=θ0,即cos θ时,矩形铁片的面积最大.
点睛:在处理应用题时要先读懂题目的意思,找出一些数量关系,根据问题列出所需解析式,本题结合实际情况需要进行分类讨论,不同裁剪方法得出不同的面积表达式,再运用导数求得最值。
10.【江苏省泰州中学2018届高三10月月考】如图,摩天轮的半径OA 为50m ,它的最低点A 距地面的高度忽略不计.地上有一长度为240m 的景观带MN ,它与摩天轮在同一竖直平面内,且60AM m =.点P 从
实用标准
—tanC。
例 1 ? (1 )在 ABC 中,已知 A 32.00 , B 81.80 因为 00 v B v 1800,所以 B 640,或 B 1160. c as nC 空啤 30(cm). sin A s in400 ②当B 1160时, 点评:应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时,可能有两解的情形; 对于解三角形中的复杂运算可使用计算器 题型2 :三角形面积 2 , AC 2 , AB 3,求tan A 的值和 ABC 的面积。 2 (2 )在 ABC 中,已知 a 20 cm , b 28 cm , 40°,解三角形(角度精确到 10,边长精确 到 1cm ) o 解:(1 )根据三角形内角和定理, C 1800 (A B) 1800 (32.00 81.80) 66.20 ; 根据正弦定理,b asinB 42.9sin81.80 si nA 眾厂 80.1(cm); 根据正弦定理,c 聲C 丝9也彰 74.1(cm). sin 32.0 (2 )根据正弦定理, s"B 舸 A 28sin4°0 a 20 0.8999. ,a 42.9 cm ,解三角形; ①当 B 640 时, C 1800 (A B) 1800 (40° 640) 760, C 1800 (A B) 1800 (400 116。)240 , c asinC si nA 呼 13(cm). sin 40 (2) 解法一:先解三角方程,求出角 A 的值。 例2 ?在ABC 中, sin A cos A
si nA cos A j2cos(A 45 )-—, 2 1 cos(A 45 )-. 又 0 A 180 , A 45o 60o , A 105.° o o 1 \/3 L tan A tan(45 60 ) 一字 2 J3, 1 73 42 si nA sin105 sing5 60) sin4 5 co$60 cos45 si n60 ——-—. 1 1 /2 洽 n S ABC AC AB si nA 2 3 近 46)。 2 2 4 4 解法二:由sin A cos A 计算它的对偶关系式 si nA cos A 的值。 v 2 — si nA cos A —— ① 2 2 1 (si nA cos A)2 2 1 2sin Acos A — 2 Q0o A 180o , si nA 0,cos A 0. 1 另解(si n2A —) 2 2 3 (s in A cos A) 1 2 sin Acos A —, *'6 _ si nA cos A — ② 2 $2 J6 ①+②得sin A --------------- 。 4 ①-②得 cosA <6 。 4 u 而丄 A si nA J 2 J 6 4 c 匚 从而 tan A l l 2 ~3。 cosA 4 v2 v 6
2019年高考试题汇编:解三角形 1.(2019?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a sin A﹣b sin B=4c sin C,cos A=﹣,则=() A.6B.5C.4D.3 2.(2019?北京)如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β,图中阴影区域的面积的最大值为() A.4β+4cosβB.4β+4sinβC.2β+2cosβD.2β+2sinβ 3.(2019?新课标II)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知b sin A+a cos B=0,则B=. 4.(2019?浙江)在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=. 5.(2019?新课标II)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若b=6,a=2c,B =,则△ABC的面积为. 6.(2019?天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3c sin B =4a sin C. (Ⅰ)求cos B的值; (Ⅱ)求sin(2B+)的值. 7.(2019?新课标Ⅰ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.设(sin B﹣sin C)2=sin2A﹣sin B sin C. (1)求A; (2)若a+b=2c,求sin C. 8.(2019?江苏)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c. (1)若a=3c,b=,cos B=,求c的值; (2)若=,求sin(B+)的值. 9.(2019?北京)在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cos B=﹣. (Ⅰ)求b,c的值;(Ⅱ)求sin(B﹣C)的值. 10.(2019?新课标Ⅲ)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c.已知a sin=b sin A. (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,且c=1,求△ABC面积的取值范围.
专题21 解三角形(知识梳理) 一、知识点 1、正弦定理:R C c B b A a 2sin sin sin ===。 (其中R 为ABC ?的外接圆的半径) 正弦定理的变形公式:①A R a sin 2?=,B R b sin 2?=,C R c sin 2?=; ②R a A 2sin =,R b B 2sin =,R c C 2sin =; ③C B A c b a sin :sin :sin ::=; ④C c B b A a C B A c b a sin sin sin sin sin sin ===++++; 2、三角形面积定理:A bc B ac C ab S ABC sin 21sin 21sin 21?=?=?= ?; r c b a S ABC )(2 121++=?=?高底; (其中r 为ABC ?的内切圆的半径) 3、余弦定理:A bc c b a cos 22 22?-+=?bc a c b A 2cos 2 22-+=; B ac c a b cos 22 22?-+=?ac b c a B 2cos 2 22-+=; C ab b a c cos 22 22?-+=?ab c b a C 2cos 2 22-+=; 4、射影定理:B c C b a cos cos ?+?=,A c C a b cos cos ?+?=,A b B a c cos cos ?+?= 5、设a 、b 、c 是ABC ?的角A 、B 、C 的对边,则:①若222c b a =+,则 90=C ; ②若222c b a >+,则 90
2020年高考数学三角函数与解三角形大题精做 例题一:在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知(),2a c b =-m ,()cos ,cos C A =n ,且⊥m n . (1)求角A 的大小; (2)若5b c +=,ABC △a . 例题二:如图,在ABC △中,π 4A ∠=,4AB =,BC =点D 在AC 边上,且1cos 3 ADB ∠=-. (1)求BD 的长; (2)求BCD △的面积. 例题三: ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知()2cos cos 0a c B b A ++=.
(1)求B ; (2)若3b =,ABC △的周长为3+ABC △的面积. 例题四:已知函数()22 cos cos sin f x x x x x =+-. (1)求函数()y f x =的最小正周期以及单调递增区间; (2)已知ABC △的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若()1f C =,2c =,()sin sin 2sin 2C B A A +-=,求ABC △的面积.
例题一:【答案】(1)π3 A =;(2 )a = 【解析】(1)由⊥m n ,可得0?=m n ,即2cos cos cos b A a C c A =+, 即2sin cos sin cos sin cos B A A C C A =+,即()2sin cos sin B A A C =+, ∵()()sin sin πsin A C B B +=-=,∴2sin cos sin B A B =,即()sin 2cos 10B A -=, ∵0πB <<,∴sin 0B ≠,∴1cos 2 A = , ∵0πA <<,∴π3A =. (2 )由ABC S =△ 1sin 2 ABC S bc A ==△,∴4bc =, 又5b c +=,由余弦定理得()22222cos 313a b c bc A b c bc =+-=+-=, ∴a = 例题二:【答案】(1)3;(2 ) 【解析】(1)在ABD △中,∵1cos 3 ADB ∠=-, ∴sin 3ADB ∠=, 由正弦定理sin sin BD AB BAD ADB =∠∠, ∴4sin 3sin AB BAD BD ADB ∠===∠. (2)∵πADB CDB ∠+∠=, ∴()1cos cos πcos 3 CDB ADB ADB ∠=-∠=-∠=. ∴( )sin sin πsin CDB ADB ADB ∠=-∠=∠= ,sin CDB ∠= 在BCD △中,由余弦定理2222cos BC BD CD BD CD CDB =+-??∠, 得21179233 CD CD =+-??,解得4CD =或2CD =-(舍). ∴BCD △ 的面积11sin 3422S BD CD CDB =??∠=??=. 例题三:【答案】(1)2π3 B =;(2 )ABC S =△ 【解析】(1)∵()2cos cos 0a c B b A ++=, ∴()sin 2sin cos sin cos 0A C B B A ++=,()sin cos sin cos 2sin cos 0A B B A C B ++=,
高中数学解三角形和平面向量试题 一、选择题: 1.在△ABC 中,若a = 2 ,23b =,0 30A = , 则B 等于( B ) A .60o B .60o 或 120o C .30o D .30o 或150o 2.△ABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若c =2,b =6,B =120o ,则a 等于( D ) A .6 B .2 C .3 D .2 3.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c, 且2=a ,A=45°,2=b 则sinB=( A ) A . 1 2 B .22 C . 3 2 D .1 4.ABC ?的三内角,,A B C 的对边边长分别为,,a b c ,若5 ,22 a b A B ==,则cos B =( B ) A . 53 B .54 C .55 D .5 6 5.在△ABC 中,若)())((c b b c a c a +=-+,则A ∠=( C ) A .0 90 B .0 60 C .0 120 D .0 150 6.在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B =3ac ,则角B 的值为(D ) A. 6 π B. 3π C.6π或56 π D. 3π或23 π 7. 在△ABC 中, b a B A =--cos 1cos 1,则△AB C 一定是( A ) A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 8.在ABC ?中,角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若角A 、B 、C 依次成等差数列,且a=1, ABC S b ?=则,3等于( C ) A. 2 B. 3 C. 2 3 D. 2 9.已知锐角△ABC 的面积为33,BC=4,CA=3则角C 大小为( B ) A 、75° B 、60° C 、45° D 、30° 10.在200米高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°,则塔高为( A ) A. 3 400 米 B. 33400米 C. 2003米 D. 200米 11.已知A 、B 两地的距离为10km ,B 、C 两地的距离为20km ,现测得0 120ABC ∠=,则A,C 两地 的距离为( D )。 A. 10km B. 103km C. 105km D. 107km 12.已知M 是△ABC 的BC 边上的中点,若向量AB =a ,AC = b ,则向量AM 等于( C ) A . 21(a -b ) B .21(b -a ) C .21( a +b ) D .1 2 -(a +b ) 13.若 ,3) 1( )1, 1(B A -- ,5) (x C 共线,且 BC AB λ=则λ等于( B ) A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 14.已知平面向量),2(),2,1(m -==,且∥,则32+=( C ) A .(-2,-4) B. (-3,-6) C. (-4,-8) D. (-5,-10) 15. 已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1(-+-==与垂直时k 值为 ( C ) A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 16.(2,1),(3,),(2),a b x a b b x ==-⊥r r r r r 若向量若则的值为 ( B ) A .31-或 B.13-或 C .3 D . -1 17. 若|2|= ,2||= 且(-)⊥ ,则与的夹角是 ( B ) (A ) 6π (B )4π (C )3π (D )π12 5 183 =b , a 在 b 方向上的投影是2 3 ,则 b a ?是( B ) A 、3 B 、 29 C 、2 D 、2 1 19.若||1,||2,a b c a b ===+r r r r r ,且c a ⊥r r ,则向量a r 与b r 的夹角为( C ) (A )30° (B )60° (C )120° (D )150°
18 解三角形 1.[2018·白城十四中]在ABC △中,内角A ,B ,C 所对的边为a ,b ,c ,60B =?,4a =,其面积S =则c =( ) A .15 B .16 C .20 D .2.[2018·东师附中]在ABC △中,1a =,π6A ∠=,π 4B ∠=,则c =( ) A B C D 3.[2018·长春质检]在ABC △中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若1 cos 2 b a C c =+,则角A 为 ( ) A .60? B .120? C .45? D .135? 4.[2018·大庆实验]ABC △中A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c 其面积222 4 a b c S +-=,则中C 的大小是 ( ) A .30? B .90? C .45? D .135? 5.[2018·银川一中]已知ABC △的内角A ,B , C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos C =,cos cos 2b A a B +=,则ABC △的外接圆面积为( ) A .4π B .8π C .9π D .36π 6.[2018·黄冈模拟]如图所示,设A ,B 两点在河的两岸,一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C , 测出AC 的距离为50m ,45ACB ∠=?,105CAB ∠=?后,就可以计算出A ,B 两点的距离为( ) A .m B .m C . D m 7.[2018·长春实验]在ABC △中,a ,b ,c 分别是A ,B , C 所对的边,若cos 4cos a C c A =-,π 3 B =,a =, 则cos C =( ) 一、选择题
解三角形专题 1.在ABC ?中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,若1,3 a b B π ===,则A = ( ) A. 12π B. 6π C. 3π D. 2 π 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,S 表示ABC ?的面积,若 () 2 2214 S b c a = +-,则A ∠=( ) A. 90? B. 60? C. 45? D. 30? 3.在ABC ?中,若sin 2sin cos A B C =,且 ()()3b c a b c a bc +-++=,则该三角形的形状是( ) A. 直角三角形 B. 钝角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等边三角形 4. 在 中,内角为钝角, , , ,则 ( ) A. B. C. D. 5.在中,若,,则的周长为( )C A . B . C. D . 6. 在锐角中,角、、所对的边分别为,且、、成等差数列, 则面积的取值范围是 7.已知锐角的内角 的对边分别为 ,且 ,则 的最大值为 __________. 8.在中,角,,所对的边分别为,,,且,,则的最小值为 . 9.在 中,内角,,所对的边分别为,,,已知 . (1)求角的大小; (2)若的面积,为边的中点,,求. ABC △23 C π = 3AB =ABC △6sin 33A π?? + + ?? ?6sin 36A π??++ ???33A π??++ ???36A π? ?++ ?? ?ABC ?A B C ,,a b c A B C b =ABC ?ABC ?A B C a b c 2sin cos 2sin sin C B A B =+3c ab =ab
三角函数与解三角形 一、选择题 (2016·7)若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移 12 π个单位长度,则平移后图象的对称轴为( ) A .()26k x k Z ππ =-∈ B .()26k x k Z ππ =+∈ C .()212 k x k Z ππ =-∈ D .()212 k x k Z ππ =+∈ (2016·9)若3 cos( )45 π α-=,则sin 2α =( ) A . 725 B .15 C .1 5 - D .7 25 - (2014·4)钝角三角形ABC 的面积是12 ,AB =1,BC ,则AC =( ) A .5 B C .2 D .1 (2012·9)已知0>ω,函数)4sin()(π ω+ =x x f 在),2(ππ 单调递减,则ω的取值范围是() A. 15 [,]24 B. 13[,]24 C. 1(0,]2 D. (0,2] (2011·5)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x 轴的正半轴重合,终边在直线y =2x 上,则cos2θ =( ) A .45 - B .35 - C .35 D .45 (2011·11)设函数()sin()cos()(0,||)2 f x x x π ω?ω?ω?=+++>< 的最小正周期为π,且()()f x f x -=, 则( ) A .()f x 在(0,)2π 单调递减 B .()f x 在3(,)44 ππ 单调递减 C .()f x 在(0,)2π 单调递增 D .()f x 在3(,)44 ππ 单调递增 二、填空题 (2017·14)函数()23sin 4f x x x =- (0,2x π?? ∈???? )的最大值是 . (2016·13)△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若cos 4 5 A = ,1cos 53C =,a = 1,则b = . (2014·14)函数()sin(2)2sin cos()f x x x ???=+-+的最大值为_________. (2013·15)设θ为第二象限角,若1 tan()42 πθ+=,则sin cos θθ+=_________. (2011·16)在△ABC 中,60,B AC ==o 2AB BC +的最大值为 . 三、解答题