高一数学必修5数列经典例题(裂项相消法)

1（2014?成都模拟）等比数列{a n}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，a32=9a2a6，（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设b n=log3a1+log3a2+…+log3a n，求数列{}的前n项和．

2（2013?江西）正项数列{a n}满足﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0．

（1）求数列{a n}的通项公式a n；

（2）令b n=，求数列{b n}的前n项和T n．

3.（2013?山东）设等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4=4S2，a2n=2a n+1．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{b n}满足=1﹣，n∈N*，求{b n}的前n项和T n．

答案：

1.解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a32=9a2a6有a32=9a42，∴q2=．

由条件可知各项均为正数，故q=．

由2a1+3a2=1有2a1+3a1q=1，∴a1=．

故数列{a n}的通项式为a n=．

（Ⅱ）b n=++…+=﹣（1+2+…+n）=﹣，

故=﹣=﹣2（﹣）

则++…+=﹣2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]=﹣，

∴数列{}的前n项和为﹣．

2.解：（1）由正项数列{a n}满足：﹣（2n﹣1）a n﹣2n=0，

可有（a n﹣2n）（a n+1）=0

∴a n=2n．

（2）∵a n=2n，b n=，

∴b n=

=

=，

T n=

=

=．

数列{b n}的前n项和T n为．

3.解：（Ⅰ）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S4=4S2，a2n=2a n+1有：，

解有a1=1，d=2．

∴a n=2n﹣1，n∈N*．

（Ⅱ）由已知++…+=1﹣，n∈N*，有：

当n=1时，=，

当n≥2时，=（1﹣）﹣（1﹣）=，∴，n=1时符合．

∴=，n∈N*

由（Ⅰ）知，a n=2n﹣1，n∈N*．

∴b n=，n∈N*．

又T n=+++…+，

∴T n=++…++，

两式相减有：T n=+（++…+）﹣

=﹣﹣

∴T n=3﹣．