高考数学高三模拟考试试卷压轴题高三文科数学参考答案

高考数学高三模拟考试试卷压轴题

高三文科数学参考答案

1. 【答案】D

2. 【答案】C

3. 【答案】D

4. 【答案】B

5. 【答案】A

6. 【答案】C．

7. 【答案】B

8. 【答案】C

9. 【答案】D 10.【答案】B 11. 【答案】A 12.【答案】A

13. 答案为：53 14. 答案为：． 15. 答案为：． 16．①②④ 17. 解：（1）因为55sin ,43==

A C π

所以552sin 1cos 2=-=A A

由已知得A B -=4π. 所以A A A B sin 4

cos cos 4sin )4sin(sin πππ-=-= 10

10552225222=?-?=……………………………………………………6分 （2）由（1）知4

3π=C 所以22sin =C 且1010sin =B . 由正弦定理得5

10sin sin ==C A c a . 又因为105-=-a c ，所以10,5==a c .

所以2

5101051021sin 21=??==?B ac S ABC ………………………………12分 18.解析：(1) 补充完成的频率分布直方图如下：

……………………3分

估计该电影院观看此部电影的观众年龄的平均数为

0.0522.50.227.50.3532.50.337.50.142.5?+?+?+?+?………………5分

33.5=……………………………………………………………………………6分

(2) 年龄属于)30,25[和)45,40[的分别有4人，2人，………………………8分

分别记为A1，A2，A3，A4，B1，B2

则从中随机抽取两人的所有可能情况有 (A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15种，………………………10分

其中，两人属于同一年龄组的有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A3，A4)，(B1，B2)共7种，………………………………………………………11分

∴所求的概率为157．………………………………………………………12分 19. 解答： 解：（Ⅰ）∵△ABD 中，E 、F 分别是AB ，BD 的中点，

∴EF ∥AD ．…（1分） ∵AD ⊥BD ，∴EF ⊥BD ．…（2分） ∵△BCD 中，CB=CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD ．…（3分） ∵CF ∩EF=F ，∴BD ⊥面EFC ．…（5分） ∵BD ?面BDC ，∴平面EFC ⊥平面BCD ．…（6分）

（Ⅱ）∵面ABD ⊥面BCD ，面ABD ∩面BCD=BD ，AD ⊥BD ，

∴AD ⊥面BCD ，得AD 是三棱锥A ﹣BCD 的高．…（8分） ∵BD=BC=1且CB=CD ，∴△BCD 是正三角形．…（10分）

因此，

， ∴三棱锥B ﹣ADC 的体积为

．…（12分）

20. 解：（Ⅰ）由题意74

c a =①，28a =②， …………2分 又222a b c =+③，由①②③解得：4,3a b ==，

所以求椭圆C 的标准方程为22

1169

x y +=.…………4分 （Ⅱ）设直线l 方程为()y k x m =-（0k ≠），且1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AQ BQ 、的斜率分别为12,k k ，

将()y k x m =-代入22

1169

x y +=得： 22222(916)32161440k x k mx k m +-+-=，

由韦达定理可得：2221212223216144,916916k m k m x x x x k k

-+=?=++. …………7分 由120k k +=得，12120y y x n x n

+=--，将1122(),()y k x m y k x m =-=-代入，整理得： 即12122()()20.x x m n x x mn -+++=…………10分

将

2221212223216144,916916k m k m x x x x k k -+=?=++代入，整理可解得16.mn =…………12分 21. 解答： 解：（Ⅰ）∵f （x ）=xlnx ．

∴f ′（x ）=1+lnx ，

当x ∈（0，）时，f ′（x ）＜0；当x ∈（，+∞）时，f ′（x ）＞0．

所以函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（Ⅱ）由于x＞0，f（x）＞kx﹣恒成立，

∴k

构造函数k（x）=lnx+．

∴k′（x）=﹣=．

令k′（x）=0，解得x=，

当x∈（0，）时，k′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，k′（x）＞0．∴函数k（x）在点x=处取得最小值，即k（）=1﹣ln2．

因此所求的k的取值范围是（﹣∞，1﹣ln2）．

22. 解答：解：（Ⅰ）∵数列{an}的前n项和为Sn，

且Sn=n（n+1）（n∈N*），

∴a1=S1=1×（1+1）=2，

an=Sn﹣Sn﹣1=n（n+1）﹣（n﹣1）n

=（n2+n）﹣（n2﹣n）

=2n．

（Ⅱ）∵an=2n，∴bn===，∴Tn=（+…+）

=

=．

高考理科数学试题及答案 （考试时间：120分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的。 1.31i i

+=+（） A ．12i + B ．12i - C ．2i + D ．2i -

2. 设集合{}1,2,4A =，{}240x x x m B =-+=．若{}1A B =，则B =（）

A ．{}1,3-

B ．{}1,0

C ．{}1,3

D ．{}1,5

3. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百

八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）

A ．1盏

B ．3盏

C ．5盏

D ．9盏

4. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某

几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部

分所得，则该几何体的体积为（）

A ．90π

B ．63π

C ．42π

D ．36π

5. 设x ，y 满足约束条件2330233030x y x y y +-≤??-+≥??+≥?

，则2z x y =+的最小值是（）

A ．15-

B ．9-

C ．1

D ．9

6. 安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共

有（）

A ．12种

B ．18种

C ．24种

D ．36种

7. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，

2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家

说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则（）

A ．乙可以知道四人的成绩

B ．丁可以知道四人的成绩

C ．乙、丁可以知道对方的成绩

D ．乙、丁可以知道自己的成绩8. 执行右面的程序框图，如果输入的1a =-，则输出的

S =（）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

9. 若双曲线C:22221x y a b -=（0a >，0b >）的一条渐 近线被圆()2224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的

离心率为（）

A ．2

B ．3

C ．2

D ．

23 10. 若2x =-是函数21`()(1)x f x x ax e -=+-的极值点，则()f x 的极小值为（）

A.1-

B.32e --

C.35e -

D.1

11. 已知直三棱柱111C C AB -A B 中，C 120∠AB =，2AB =，1C CC 1B ==，则异面直线1AB

与1C B 所成角的余弦值为（）

A ．

32 B ．155 C ．105

D ．33 12. 已知ABC ?是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则()PA PB PC ?+的最小值是（）

A.2-

B.32-

C. 43

- D.1-

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13. 一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽

到的二等品件数，则D X =．

14. 函数()23sin 3cos 4

f x x x =+-（0,2x π??∈????

）的最大值是． 15. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则

11n k k S ==∑． 16. 已知F 是抛物线C:28y x =的焦点，M 是C 上一点，F M 的延长线交y 轴于点N ．若M 为

F N 的中点，则F N =．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、解答过程或演算步骤。第17~21题为必做题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,已知2

sin()8sin 2

B A

C +=． (1)求cos B

(2)若6a c += , ABC ?面积为2,求.b

18.（12分） 淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：

1. 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A 表示事件：旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖

法的箱产量不低于50kg,估计A 的概率；

2. 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法

新养殖法

3.根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

P （

） 0.050 0.010 0.001 k 3.841

6.635 10.828 2

2

()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19.（12分）

如图，四棱锥PABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，

o 1,90,2

AB BC AD BAD ABC ==∠=∠= E 是PD 的中点.

（1）证明：直线//CE 平面PAB

（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD

所

成锐角为o 45 ，求二面角MABD 的余弦值

20. （12分） 设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2

212

x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =.

（1） 求点P 的轨迹方程；

（2）设点Q 在直线x=3上，且1OP PQ ?=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F.

21.（12分）

已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.

（1）求a ；

（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且230()2e f x --<<.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计

22.[选修44：坐标系与参数方程]（10分）

在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．

（1）M 为曲线1C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足||||16OM OP ?=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程；

（2）设点A 的极坐标为(2,)3π

，点B 在曲线2C 上，求OAB ?面积的最大值．

23.[选修45：不等式选讲]（10分）

已知33

0,0,2a b a b >>+=，证明：

（1）33()()4a b a b ++≥；

（2）2a b +≤．

参考答案

1．D

【解析】1是方程240x x m -+=的解，1x =代入方程得3m =

∴2430x x -+=的解为1x =或3x =，∴{}13B =，

3．B

【解析】设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112-=

=-a S ，解得13a =．

4．B

【解析】该几何体可视为一个完整的圆柱减去一个高为6的圆柱的一半．

2211π310π3663π22=-=??-???=V V V 总上

5．A 【解析】目标区域如图所示，当直线-2y =x+z 取到点()63--，时，所求z 最小值为15-．

6．D

【解析】只能是一个人完成2份工作，剩下2人各完成一份工作．

由此把4份工作分成3份再全排得2

343C A 36?=

7．D

【解析】四人所知只有自己看到，老师所说及最后甲说的话．

甲不知自己成绩→乙、丙中必有一优一良，（若为两优，甲会知道自己成绩；两良亦然）→乙看了丙成绩，知自己成绩→丁看甲，甲、丁中也为一优一良，丁知自己成绩．

【解析】0S =，1k =，1a =-代入循环得，7k =时停止循环，3S =．

9．A 【解析】取渐近线b y x a =，化成一般式0bx ay -=，圆心()20，

= 得224c a =，24e =，2e =．

10．C

【解析】M ，N ，P 分别为AB ，1BB ，11B C 中点，则1AB ，1BC 夹角为MN 和NP 夹角或其补角（异面线所成角为π02?? ??

?，）

可知112MN AB =

，1122

NP BC ==， 作BC 中点Q ，则可知PQM △为直角三角形．

1=PQ ，12

MQ AC = ABC △中，2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-??∠

14122172??=+-???-= ???

，=AC

则MQ =

MQP △

中，MP = 则PMN △中，222

cos 2MN NP PM PNM MH NP +-∠=??

222

+-== 又异面线所成角为π02?? ???

，

．

11．A 【解析】()()2121x f x x a x a e -'??=+++-???，

则()()32422101f a a e a -'-=-++-?=?=-????，

则()()211x f x x x e -=--?，()()212x f x x x e -'=+-?，

令()0f x '=，得2x =-或1x =，

当2x <-或1x >时，()0f x '>，

当21x -<<时，()0f x '<，

则()f x 极小值为()11f =-．

12．B

【解析】几何法：

如图，2PB PC PD +=（D 为BC 中点），

则()2PA PB PC PD PA ?+=?， 要使PA PD ?最小，则PA ，PD 方向相反，即P 点在线段AD 上， 则min 22PD PA PA PD ?=-?， 即求PD PA ?最大值，

又323PA PD AD +==?=， 则223324PA PD PA PD ??+?? ??== ? ? ??

???≤， 则min 332242

PD PA ?=-?

=-． 解析法： 建立如图坐标系，以BC 中点为坐标原点，

P D C

B A

∴()03A ，，()10B -，，()10C ，．

设()P x y ，，

()3PA x y =--，，()1PB x y =---，，

()1PC x y =--，，

∴()

222222PA PB PC x y y ?+=-+

223324x y ??????=+-- ? ??????? 则其最小值为33242???-=- ???

，此时0x =，3y =． 13．1.96

【解析】有放回的拿取，是一个二项分布模型，其中0.02=p ，100n =

则()11000.020.98 1.96x D np p =-=??=

14．1

【解析】()23πsin 3cos 042f x x x x ????=+-∈ ????

???， ()231cos 3cos 4

f x x x =-+- 令cos x t =且[]01t ∈，

2134

y t t =-++ 2

31t ??=--+ ? ??? 则当3t =

时，()f x 取最大值1． 15．2+1

n n 【解析】设{}n a 首项为1a ，公差为d ．

则3123a a d =+=

414610S a d =+=

求得11a =，1d =，则n a n =，()12n n n S +=

()()112222122311n k k S n n n n ==++++??-+∑ 111111121223

11n n n n ??=-+-++-+- ?-+?? 122111n n n ??=-= ?++??

16．6

【解析】28y x =则4p =，焦点为()20F ，

，准线:2l x =-， 如图，M 为F 、N 中点，

故易知线段BM 为梯形AFMC 中位线，

∵2CN =，4AF =，

∴3ME =

又由定义ME MF =，

且MN NF =，

∴6

NF NM MF =+= 17.

【解析】（1）依题得：21cos sin 8sin 84(1cos )22

B B B B -==?=-． ∵22sin cos 1B B +=，

∴2216(1cos )cos 1B B -+=，

∴(17cos 15)(cos 1)0B B --=，

∴15cos 17

B =， （2）由⑴可知8sin 17B =

． ∵2ABC S =△，

∴1sin 22

ac B ?=， ∴182217

ac ?=， ∴172

ac =， ∵15cos 17B =

， l F N M C B A O y x

∴22215217a c b ac +-=， ∴22215a c b +-=， ∴22()215a c ac b +--=， ∴2361715b --=， ∴2b =．

18． 【解析】（1）记：“旧养殖法的箱产量低于50kg ” 为事件B

“新养殖法的箱产量不低于50kg ”为事件C

而()0.04050.03450.02450.01450.0125P B =?+?+?+?+?

0.62=

()0.06850.04650.01050.0085P C =?+?+?+?

0.66=

()()()0.4092P A P B P C ==

（2）

由计算可得2K 的观测值为

()

2

22006266383415.70510010096104k ??-?==???

∵15.705 6.635>

∴()2 6.6350.001P K ≈≥

∴有99%以上的把握产量的养殖方法有关．

（

3）150.2÷=，()0.20.0040.0200.0440.032-++=

80.0320.06817÷=，8

5 2.3517?≈

50 2.3552.35+=，∴中位数为52.35．

19．【解析】 z

y

x

M 'M

O F P

A

B C D E

（1）令PA 中点为F ，连结EF ，BF ，CE ．

∵E ，F 为PD ，PA 中点，∴EF 为PAD △的中位线，∴12

EF AD ∥． 又∵90BAD ABC ∠=∠=?，∴BC AD ∥．

又∵12AB BC AD ==，∴12

BC AD ∥，∴EF BC ∥． ∴四边形BCEF 为平行四边形，∴CE BF ∥．

又∵BF PAB ?面，∴CE PAB 面∥

（2）以AD 中点O 为原点，如图建立空间直角坐标系．

设1AB BC ==，则(000)O ，，，(010)A -，，，(110)B -，，，(100)C ，

，，(010)D ，，， (00P ，．

M 在底面ABCD 上的投影为M '，∴MM BM ''⊥．∵45MBM '∠=?，

∴MBM '△

为等腰直角三角形．

∵POC △为直角三角形，OC =

，∴60PCO ∠=?．

设MM a '=，

CM '=

，

1OM '=．∴100M ??' ? ???，

，．

BM a a '==?

=

．∴11OM

'==． ∴100M ??'

? ??

?，，10M ? ??

2611AM ??=- ? ???，，，(100)AB =，，．设平面ABM 的法向量11(0)m y z =，，． 1160y z +=，∴(062)m =-，， (020)AD =，，，(100)AB =，，．设平面ABD 的法向量为2(00)n z =，，，

(001)n =，，．

∴10cos ,m n

m n m n ?<>==?． ∴二面角M AB D --的余弦值为

10． 20．

【解析】 ⑴设()P x y ，，易知(0)N x ， (0)NP y =，又1022NM NP ?== ??

?， ∴1

2M x y ?? ???

，，又M 在椭圆上． ∴22122x += ???

，即222x y +=． ⑵设点(3)Q Q y -，，()P P P x y ，，(0)Q y ≠，

由已知：()(3)1P P P Q P OP PQ x y y y y ?=?---=，，，

()2

1OP OQ OP OP OQ OP ?-=?-=， ∴2

13OP OQ OP ?=+=，

∴33P Q P Q P P Q x x y y x y y ?+=-+=．

设直线OQ ：3Q

y y x =?-， 因为直线l 与OQ l 垂直．

∴3l Q

k y = 故直线l 方程为3()P P Q y x x y y =

-+， 令0y =，得3()P Q P y y x x -=-，