高等数学复习题
一.单项选择题：
1．下列函数对中,相同的一对是( B )
(A) 211
x x -+ 与1x - (B) 2cos x x 2与1-s i n (C) ln x e x 与 (D) sin(arcsinx)与x
2. 2()sin()f x x x =-是( A ) (A) 有界函数 (B) 周期函数 (C) 奇函数 (D) 偶函数
3. f(x)是偶函数且恒为正,g(x)是奇函数,则偶函数是( C ) (A) ()()f x g x - (B) ()()f x g x ? (C)
()
()
xf x g x (D) [()]xf g x 4. 已知函数1 0
() 1 x 0 x x f x +
≥?
,则 [(1)]f f x -=( A )
(A) 1 01 x 0 x x +
≥? (B) 11 x 1
x x
5. 0
lim ()x x f x →存在是()f x 在0x x =处连续的( A )
(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件 6. 设)(0x f '存在,则h
h x f h x f h )
()(lim
000
--+→ =（ C ）
A. )(0x f ';
B. )2(0x f ';
C. )(20x f ';
D. -)(0x f ' 7. 函数)(x f 在点0x 可导是在点0x 连续的（ A ）
A. 充分条件；
B. 必要条件；
C. 充分必要条件；
D. 既非充分条件也非必要条件
8．若函数)(x f y =满足条件（ D ），则在),(b a 内至少存在一点)(b a <<ξξ，使下式成立 a
b a f b f f --=
')
()()(ξ
A.在),(b a 内连续
B.在),(b a 内可导
C.在),(b a 内连续，在),(b a 内可导
D.在],[b a 内连续，在),(b a 内可导． 9．点0x 是函数)(x f 的驻点，则一定有（ C ） A ）0x 是极值点；B ）0x 是不可导的点；C ）0)(0='x f ；D ）0)(0=x f 10．2
3
62(01)y x x =-曲线在区间，的特性是（ A ）
（A ）单调递增，凹 （B ）单调递增，凸 （C ）单调递减，凹 （D ）单调递减，凸
11．函数32
x y =在[-1，2]上没有（ A ）．（A ） 极大值（B ） 极小值 （C ） 最大值（D ）最小值 12．设函数)(x f 在),(b a 内连续，),(0b a x ∈，且0)()(00=''='x f x f ，则函数在0x x =处（ D ）． （A ） 取得极大值 （B ）取得极小值 （C ）一定有拐点))(,(00x f x （D ）可能有极值，也可能有拐点
13、设12(),()F x F x 是区间I 内连续函数()f x 的两个不同的原函数，且()0f x ≠,则在区间I 内必有（ A ）
（A ）12()()F x F x C -=；
（B ）12()()F x F x C ?=；（C ）12()()F x CF x =； （D ）12()()F x F x C +=
14、若'
()(),F x f x =则()dF x ?
=（ D ） （A ）()f x ； （B ）()F x ；（C ）()f x C +； （D ）()F x C +
15、()f x 在某区间内具备了条件（ B ）就可保证它的原函数一定存在 （A ）有极限存在； （B ）连续；（C ）有界； （D ）有有限个间断点
16．2ln x
dx x =?（ B ） （A ）11ln x C x x ++; （B ）11ln x C x x --+; （C ）11ln x C x x -+； （D ）11
ln x C x x
-++
17．
10(41)dx
x =+?（ C ）
（A ）
9119(41)C x ++； （B ）91136(41)C x ++；（C ）91136(41)C x -++； （D ）11
11
36(41)
C x -++ 18、平面点集22{(,)|14}x y x y <+≤是（ C ）。 A 开集 B. 闭集 C. 有界集 D. 无界集 19、
()
(,)lim
.x y →= A A. 2 B. 1 C. 0 D. 不存在。
20.设22
sin (),z
z ax by x y ?=+=??则( B ).
22
A. 2() . 2a 2(). 2() D. asin2(ax+by)
a con ax by B bcon ax by C
b con ax by +++ 21、以下结论成立的是（ C ）。 A.0000(,)(,)(,)(,)f x y x y f x y x y 在点存在偏导数，则在点连续； B. .0000(,)(,)(,)(,)f x y x y f x y x y 在点存在偏导数，则在点可微； C. .0000(,)(,)(,)(,)f x y x y f x y x y 在点可微，则在点存在偏导数且连续。
D ．设2222(,),f f f f
f x y x y y x x y y x
????????????的两个混合偏导数存在，则＝。
22.微分方程3
()1y y '''=的阶数为( B ) (A) 一 (B)二 (C)三 (D)五
23.容易验证：y wx y wx w 120==>cos ,sin ()是二阶微分方程''+=y w y 2
0的解，试指出下列哪个函数是方程的
通解。（式中C C 12,为任意常数）（ A ）
（A ）y C wx C wx =+12cos sin （B ）y C wx wx =+12cos sin
（C ）y C wx C wx =+112cos sin （D ）y C wx C wx =+12
2cos sin
二、填空题
1. 已知f(x)的定义域是[0,1],则函数(ln )f x 的定义域为 [1,e].
2. 试例举一个非初等函数的例子 y=[x].
3. 函数1ln(2)y x =++的反函数为 1
2x y e
-=-.
4. 已知(sin )cos 12x f x =+,则
(cos )2x
f =
1-cosx. 5. y = cot , 2
x y u v v ===复合而成.
6. 已知 35lim(1)x x k e x →∞-= ,则k= 53-.
7. 0sin 2lim sin 5x x
x →=25
.
8. 曲线x y 2=上点(0,1)处的切线方程为012ln =--x y
9. 设)2(sin x f y =具有二阶导数,则y ''=)2(sin 2sin 4)2(sin 2cos 42x f x x f x '-''
10. x e y 3-=,)(n y =x n e 3)3(-- 11．32(13),(,)y ax bx a b =+=设曲线以点，为拐点则数组39
()22
-，
12．函数21)(+-=x x f 的最小值点是x = 1 ．13．函数12+=ax y 在),0(∞+内单调增加，则a >0． 14．极限=-→x
x
x 1ln lim
1 -1 ． 15．()f x 的全体原函数 称为()f x 的不定积分。
16、函数2222ln(1)(2)z x y x y =+---的定义域为_______________.221 2.x y <+<
17设(1,1),|____.y x
z z e x ?==?则
e - 18设3,________.z z z xy x x y
??=++=??则 x+y+3z 19、设2
2
cos(),____________.z
z x y x
?=+=?则
222sin().x x y +－
20、设_______________.u du ==则22323.2()
xdx y dy
x y ++
21、一曲线上点(,)x y 的切线自切点到纵坐标轴间的切线段有定长2，则曲线应满足的微分方程x xy 224+'=()。 22、镭的衰变速度与它的现存量m 成正比（比例系数为k ），已知在时刻镭的存量为m 0，则镭的量m 与时间t 应满足的微分方程初值问题是
d d ,(m
t
km m m k t =-==00是比例系数）。 三.计算题 （一）求极限
1.lim )
x x x →+∞
解:原式= 2212
x x ==
2. 2211lim (1)x x x x →-+- 解:因为 221(1)lim 01x x x x →-=-+ 所以 22
11
lim (1)x x x x →-+=∞-
3. 2
lim(1sin )x
x x →- 解:原式=12sin 12sin ()2sin sin 0
lim(1sin )
[lim(1sin )
]
x x
x x
x x
x x x x e -
--
--→→-=-=
4. 21lim(
)x x x x →∞
+ 解:原式=22211
lim[(1)][lim(1)]x x x x e x x
→∞→∞+=+=
5． 2
e e 1cos lim
0-+--→x x
x x 解：2
e e 1cos lim
0-+--→x x
x x =x
x
x x -→--e e sin lim
0 =2
1
e e cos lim
0-=+--→x
x
x x
6． ???
??--→x x x x ln 11lim 1 解：??? ??--→x x x
x ln 11lim 1＝1ln 1lim (1)ln x x x x x x →--＋ ＝x x x x 11ln 11ln lim 1-
+-+→ ＝1ln ln lim
1
-+→x x x x x x ＝11ln 1ln lim 1+++→x x x ＝2
1
（二） 求导数
1. (
)2
2ln x
a x y ++= ; 解：[]
2
2
2
2
2
22
211)ln(x
a x
a x x a x x a x y +=
++++
=
'
++
='
2. x
e y 1
cos
= 解：x x x x e x x x e x e x e y 1
cos 21cos 1cos 1cos 1sin 111sin 1cos ='??? ??-='???
??='???
? ??='
3. x x y tan sec 1+= 解：x x x x x x x x x x x x x x y tan sec sec )tan (sec sec tan sec )tan (sec )tan (sec tan sec 12
22+-=++-=+'+-='
??
?
??+=' 4. 2
2
11arctan x
x y +-= 解：4222
22
22222222212)1()1(2)1(2111111111111arctan x x
x x x x x x x x x x x x x y +-=+--+-???
?
??+-+='????
??+-?
??? ??+-+='????
?
?+-=' 52,,1.x x u dz z u e v e v dx ===-设,求 解：22222
1(1)()(2).(1)x x x x
x dz z du z dv u e e e e dx u dx v dx v v e ??+=+=+--=??-
6. sin
(1,1), (1,1).x y x y
u con u u y x
=设，求 解：2211sin sin , sin sin .x y x y y x y x x y x y u con con u con con y y x x y x y y x x y x
=
+=-- (1,1)1, (1,1) 1. x y u u ==-
（三）．求下列函数不定积分和定积分
1. ?--x x e
e dx 解 C e e de e dx e e e e dx x x x x x x x x ++-=---=-???-|11|ln 2111122
)1(121)1ln(22
2?
++-++=x d x x x x
2. 25sin cos x xdx ?
解：??=x xd x xdx x sin cos sin cos sin 4252
?-=x d x x sin )sin 1(sin 222?+-=x d x x x sin )sin sin 2(sin 642C x x x ++-=753sin 71sin 52sin 31.
3.ln(x dx ?
解：dx x x ?
++)1ln(2dx x
x x
x x
x x x )11(11)1ln(2
2
2
++
++-++=?
dx x x x x x ?
+-++=2
21)1ln()1(121)1ln(22
2?
++-++=x d x x x x
4.
?
41
ln dx x 解
:4
2
2
2
1
1
1
2ln ln t t tdt tdt =??? =2
2
1
2ln 1
t t
tdt -?=2
32ln 4-
5.5
1
?
2,,1.x x u dz z u e v e v dx
=
==-设,求 解
:
21591
112t x =-====?
?
=2
222221(1)()(2).(1)
x x x x
x dz z du z dv u e e e e dx u dx v dx v v e ??+=+=+--=??- 四、解答题
1、设 sin 3
()0 3x x x x π?π?
求(),(),(2)6
4ππ
???-
-, 解
: 1(), () (2)0624ππ???=-=-= 2、设
2
sin 0() 0
x x x f x a x x
lim ()lim sin 0x x f x x x →→== 而 ++
2
lim ()lim()x x f x a x a →→=+= 要使()f x 在(,)-∞+∞内连续,则0a =
3．求由抛物线轴所围成）处的切线和，及其在点（y 011y 2
x -=的平面图形的面积。 解：（图略）先求）处的切线方程：
，在点（011y 2
x -= 因为相切的切线方程是与故过点所以2
1)0,1(,2)1(,2x y y x y -=-='-=' y-0=-2(x-1),即y=-2x+2.
所求图形的面积是A=dx x dx x x 2
1
1
2
)1()]1()22[??
-=
--+-=。3
1|)1(31103=-x 4．计算曲线y=lnx
x ≤≤的一段弧的长度
3
2
2
333
22
222
3
2
(2)
(4)
111
(6)
11
1113
1ln()|1ln(8)
2122
t
s
dx
x
t
dt dt dt
t t
t
t
==
=
-+
==+
--
-
=+=+
+
?
???
解：分
分
分
。分
5、求
22
sin xsin yd d
D
x y
??，其中D：0,0
x y
ππ
≤≤≤≤。
解：222222
000
sin xsin yd d sin xdx sin yd[sin xdx] D
x y y
πππ
==
?????
22
11
[(sin2)]
244
x
x
π
π
=-=。
6、求??
D
y
x
y
x
d
d
2
，其中D为1
=
xy，x
y=及2
=
x所围成的区域。画出积分区域的草图，交点分别为
（1，1），（2，
2
1
），（2，2）
??
D
y
x
y
x
d
d
2?
?=x
x
y
y
x
x1
2
2
1
d
d?-
=2
11
d
)
(x
y
x x
x
?+
-
=2
1
2)d
1
(x
x2
1
3
)
3
(
x
x+
-
=3
4
=
。
7、求微分方程
d
d
y
x
xy xe x
+=-
222的通解。
解：
d
d
y
x
xy xe x
+=-
222
故通解为:()
y e C xe e x
x x x
=+?
--
?
222
2d ; 即: 2
2
()x
y x C e-
=+
8、求微分方程20
x x x
''''''
+-=的通解
解：因为20
x x x
''''''
+-=对应的特征方程为
3220,
r r r
+-=即()()
210
r r r
+-=
特征根为
123
0,2,1
r r r
==-=
所以，20
x x x
''''''
+-=的通解为2
123
x x
y c c e c e
-
=++
大一下学期高等数学考试题
大一下学期高等数学考试 题 This manuscript was revised by the office on December 10, 2020.
一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为() 、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） . C． D. 4、二次积分交换次序后为（） . . 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在 处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值
C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。
四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题(6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、A 2、C 3、C 4、B 5、A 6、D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4、 5、6、07、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 当，即在x轴上方时，线积分与路径无关，选择由（0，1）到（2，1）则
高数期末考试试题及答案[1]
北京邮电大学2009-2010学年第二学期《高等数学》（下）期末试题（A2） 1．极限2 221lim 1x x y x y x +→∞→??+= ? ? ?2e ． 2．设()2y z x y x ?=++，其中?具有连续二阶偏导数， 则2z x y ???=2x ()''21()ln 1y x y x y x ?-+++． 3．曲面arctan()z xy =在点(1,1,)4 P π处的法线方程为 4112 2 1 1 1 z x y π ---= = -． 4．函数z (,,)21f x y z z e xy =-++在点（2,1,0 ）处的方向导数的最大值为 5．设2x u v z y u vz ?=-++?=+? 确定u=u(x,y,z),v=(x,y,z),则u x ?=?12z zu -+． 6．幂函数21 (1)9n n n x ∞ =-∑的收敛区域是 (2,4)- ． 7．设2 ,10 ()1,01x x f x x x --<≤?=?-<≤?，是周期为2的周期函数，则其傅里叶级数 在点x=4处收敛于 12 ． 8．设2222y z R ++=∑：x 外侧，则2223/2 ()xdydz ydzdx zdxdy x y z ++=++∑ ??4π． 9．已知22A=y +2z +xy ,=x +y +z ,i j k B i j k ，则div (A )B ? =3224x y z x z ---． 10．设L 为取正向的圆周x 2+y 2=9，则曲线积分 2 (22)(4)L xy y dx x x dy -+-?= 18π- ．（用格林公式易） 二（8分）．将函数f(x)= 2 12565x x x ---在点x 0=2处展开成泰勒级数，并指出其收敛域． 解：若用泰勒级数 2() 0000 000''()()()()()()'()()2! ! n n f x x x f x x x f x f x f x x x n --=+-++++
00020 高等数学(一)自考历年真题
2012年10月高等教育自学考试《高等数学（一）》试题 课程代码：00020 一、单项选择题(本大题共5小题，每小题2分，共10分) 1．在区间),0(+∞内，下列函数无界的是（ B ）。 A ．x sin B ．x x sin C ．x x cos sin + D ．)2cos(+x 2．已知极限2 211lim e x bx x =?? ? ??+∞ →，则=b （ D ）。 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．设函数)(x f 二阶可导，则极限=?? ? ???-?-→?bx x x x f x x f )(')2('lim 000（ C ）。 A ．)(''0x f - B ．)(''0x f C ．)(''20x f - D ．)(''20x f 4．函数 C x F dx x f +=?)()(，则=?xdx x f cos )(sin （ C ）。 A ．C x x F +sin )(sin B ． C x x f +sin )(sin C ．C x F +)(sin D ．C x f +)(sin 5．函数),(y x f z =在点),(00y x 处偏导数存在，则该函数在点),(00y x 处必（ A ）。 A ．有定义 B ．极限存在 C ．连续 D ．可微 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 6．已知函数x x x f +=12)(，则复合函数=)]([x f f x x 314+。 7．极限()=?+∞→x x x 1 sin 1ln lim 0 。 8．某产品产量为q 时总成本2 200 1200)(q q C +=，则100=q 时的边际成本为 1 。 9．极限=-→x x x x ln 1 lim 1 1 。 10．设函数x x y +=1sin 的铅直渐近线为1-=x 。 11．已知直线l 与X 轴平行且与曲线x e x y -=相切，则切点坐标为 （0，-1） 。 12．函数)1ln()(2x x f +=在区间[-1，2]上最小值为 0 。 13．设函数? = Φx tdt t x 20 cos )(，则=Φ)('x x x 2cos 4。 14．求函数)arcsin(22y x z +=的定义域为122≤+y x 。 15．设函数)(2e x z +=，则 =??) 0,1(y z 4 。 三、计算题（一）（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 16．求极限x x x x sin 11lim 0--+→。 解：原极限x x x x x sin )11(2lim 0 -++=→ （3分） =1. （5分） 17．已知函数)(x f 可导，且)(sin )(,)0('x f x g a f ==，求)0('g 。 解：x x f x g cos )(sin ')('=， （3分） a f g ==)0(')0('。 （5分） 18．设函数)0(1>=x x y x ，求dy 。 19．设函数)(x f 在区间I 上二阶可导，且0)(''>x f ，判断曲线) (x f e y =在区间I 上的凹 凸性。
高等数学下册期末考试题及答案
高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ；
高等数学A(一)期末试题及答案
大学2013～2014学年第一学期课程考试试卷（A 卷） 课 程 考试时间 ………………注：请将答案全部答在答题纸上，直接答在试卷上无效。……………… 一、填空题（每小题2分，共10分） (1) =-∞→x x x )11(lim e 1 ． (2) 设)tan(2x x y +=，则=dy dx x x x )(sec )21(22++ ． (3) 曲线36223+++=x x x y 的拐点是 )6,1(- . (4) =-? 10211dx x 2π . (5) =?∞ +121dx x 1 ． 二、选择题（每小题2分，共10分） (1) =∞→x x x 2sin lim (A) (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 21. (2) 设x x x f tan )(=，则0=x 是函数)(x f 的(A) (A) 可去间断点. (B) 跳跃间断点. (C) 第二类间断点. (D) 连续点. (3) 当0→x 时，下列变量中与x 是等价无穷小的是(B) (A) x 3sin . (B) 1-x e . (C) x cos . (D) x +1. (4) 函数)(x f 在0x 点可导是它在该点连续的(C) (A) 充分必要条件. (B) 必要条件. (C) 充分条件. (D) 以上都不对. (5) 设)(x f 在),(∞+-∞内有连续的导数，则下列等式正确的是(D) (A) ?=')()(x f dx x f . (B) C x f dx x f dx d +=?)()(. (C) )0()())((0f x f dt t f x -='?. (D) )())((0x f dt t f x ='?. 三、计算下列极限、导数（每小题6分，共18分） (1) 213lim 21-++--→x x x x x .解： )13)(2()13)(13(lim 213lim 2121x x x x x x x x x x x x x x ++--+++-+--=-++--→→ 6 2)13)(2(1lim 2)13)(2)(1(22lim 11-=++-+-=++-+--=→→x x x x x x x x x x
高等数学复习题及答案完整版
高等数学复习题及答案 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】
一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的 括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列函数中为奇函数的是（ B ） A.()2x x e e f x -+= B.()2 x x e e f x --= C.3()cos f x x x =- D.5()sin f x x x = 答案：B 知识点：函数奇偶性 解：()()2x x e e f x f x -+-==故()2x x e e f x -+=为偶函数()()2 x x e e f x f x ---==-，故()2 x x e e f x --=为奇函数()()33()cos cos f x x x x x -=---=--，故3()cos f x x x =-为非奇非偶函数 ()()5 5()sin sin ()f x x x x x f x -=--==，故5()sin f x x x =为偶函数 2.当0x +→时，下列变量为无穷小量的是（ C ） A.1 e x B.ln x C.x sin 1x D.1sin x x
答案：C 知识点： 无穷小量 解：1 lim e x x +→=+∞ 3.设函数f (x )=2ln(1), 0,, 0x x x x +≥??
高数2试题及答案(1)
模拟试卷一 一、单项选择题（每题3分，共24分） 1、已知平面π：042=-+-z y x 与直线1 1 1231: -+=+=-z y x L 的位置关系是（ ） （A ）垂直 （B ）平行但直线不在平面上 （C ）不平行也不垂直 （D ）直线在平面上 2、=-+→→1 123lim 0xy xy y x （ ） （A ）不存在 （B ）3 （C ）6 （D ）∞ 3、函数),(y x f z =的两个二阶混合偏导数y x z ???2及x y z ???2在区域D 内连续是这两个二阶混合 偏导数在D 内相等的（ ）条件. （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）非充分且非必要条件 4、设 ??≤+=a y x d 224πσ，这里0 a ，则a =（ ） （A ）4 （B ）2 （C ）1 （D ）0 5、已知 ()()2 y x ydy dx ay x +++为某函数的全微分，则=a （ ） （A ）-1 （B ）0 （C ）2 （D ）1 6、曲线积分=++?L z y x ds 2 22（ ），其中.1 10:222???==++z z y x L （A ） 5 π （B ）52π （C ）53π （D ）54π 7、数项级数 ∑∞ =1 n n a 发散，则级数 ∑∞ =1 n n ka （k 为常数）（ ） （A ）发散 （B ）可能收敛也可能发散 （C ）收敛 （D ）无界 8、微分方程y y x '=''的通解是（ ） （A ）21C x C y += （B ）C x y +=2 （C ）22 1C x C y += （D ）C x y += 2 2 1 二、填空题（每空4分，共20分） 1、设xy e z sin =，则=dz 。
高等数学(下)期末复习题(附答案)
《高等数学（二）》期末复习题 一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=?b a ，则=b （ ） （A ） )4,2,4(-- （B ）(24,4)--， （C ） (4,2,4)- （D ）(4,4,2)--. 2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ?+-=?=? 代表的图形为 ( ) （A ）直线 (B) 抛物线 （C ） 圆 (D)圆柱面 3、设22 ()D I x y dxdy =+?? ，其中区域D 由222x y a +=所围成，则I =（ ） (A) 2240 a d a rdr a π θπ=? ? (B) 2240 2a d a adr a π θπ=? ? (C) 2230 02 3 a d r dr a π θπ=? ? (D) 2240 01 2 a d r rdr a π θπ=? ? 4、 设的弧段为：2 3 0,1≤ ≤=y x L ，则=? L ds 6 （ ） （A ）9 (B) 6 （C ）3 (D) 2 3 5、级数 ∑∞ =-1 1 ) 1(n n n 的敛散性为 （ ） （A ） 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 敛散性不确定 6、二重积分定义式∑??=→?=n i i i i D f d y x f 1 0),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是（ ） （A ）小区间的长度 (B)小区域的面积 (C)小区域的半径 (D)以上结果都不对 7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分??-1 010 d ),(d x y y x f x 等于 ( ) （A ）??-1010 d ),(d x x y x f y (B) ??-1010d ),(d y x y x f y (C) ? ?-x x y x f y 10 1 0d ),(d (D) ?? 1 010 d ),(d x y x f y 8、方程2 2 2z x y =+表示的二次曲面是 ( ) （A ）抛物面 （B ）柱面 （C ）圆锥面 （D ） 椭球面
大一高数期末考试试题
大一高数期末考试试题
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1． 2 1 lim()x x x e x →-= .2 ．()()120051 1x x x x e e dx --+-= ? .3．设函数()y y x =由方程2 1 x y t e dt x +-=? 确定，则 x dy dx == .4. 设()x f 可导， 且1 ()() x tf t dt f x =? ，1)0(=f ，则 ()=x f .5．微分方程044=+'+''y y y 的通解 为 . 二．选择题（共4小题，每小题4分， 共计16分） 1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +- =ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）. （A ）cos2y A x * =; （B ）cos 2y Ax x * =; （C ）cos2sin 2y Ax x Bx x * =+; （D ）x A y 2sin * =.3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,?,则必有()()??≤b a d c dx x f dx x f ;（B ） 若 )(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0b a f x dx ≥?;（C ）若()x f 是 周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有 ()()?? +=T T a a dx x f dx x f 0 ;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则
历年高数复习题
历年高数复习题 This manuscript was revised on November 28, 2020
高数试题 一、选择题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.设直线1724 :121x y z l -+-== -，26,:23, x y l y z -=??+=?则l 1 与l 2 的夹角为[ ]. （A ） 2π；（B ）3π；（C ）4π；（D ）6 π. 2.函数 z = xe 2y 在点P (1, 0)出沿从P (1, 0)到Q (2, 1)方向的方向导数为[ ]. 3.函数2222 221sin ,0,(,)0,0,xy x y x y f x y x y ? +≠?+=??+=? 在(0, 0)点[ ]. (A ) 偏导数连续；(B ) 偏导数不存在； (C )偏导数存在但不可微； (D )可微但偏导数不 连续。 4. 积分1 1 x dx =??[ ]. 1111() () () () 3 4 12 24 A B C D 。 5.设是由x 2 + y 2 + z 2 = 1所围成的区域，则三重积分||z e dv Ω =???[ ]. 二、填空题（本大题5小题，每小题4分，共20分） 1.过点(0，2，4)且与两平面x + 2z = 1和y – 3z = 2都平行的直线方程是 2. 设2224, :x y z z ?++=?Γ?=??则2x ds Γ =? 3. 满足微分方程初值问题20d (1)d 1 x x y y e x y =?=+???=? 的解为y ＝ ． 4.设z = ln(1 + x 2 + y 2), 则(1,2)dz = 三、（9分）求微分方程4cos y y x x ''+=的通解． 四、（9分）求函数f (x , y ) = xy 在闭区域x 2 + y 2 1上的最大值和最小值。. 五、（9分）某物体的边界由曲面z = x 2 + y 2和平面z = 0, |x | = a ，|y | = a 围成, 其密度函数为 = x 2 + y 2, 求该物体的质量. 六、（9分）设直线0, :30,x y b L x ay z ++=??+--=?在平面 上，而平面 与曲面z = x 2 + y 2相切于 (1, 2, 5)，求a , b 的值。. 七、（9分）计算曲面积分333()()()x y z dydz x y z dzdx x y z dxdy ∑ ++++++++?? 其中为由圆锥面x 2 + y 2 = z 2与上半球面x 2 + y 2 + z 2 = R 2 (R > 0)围成曲面的外侧.
高数上试题及答案
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()2g x x = （C ）()f x x = 和 ()()2 g x x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数()()sin 42 0ln 10x x f x x a x ?+-≠? =+?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）.
高等数学下册期末考试试题附标准答案75561
高等数学(下册)期末考试试题 考试日期：2012年 院（系）别 班级 学号姓名 成绩 一、填空题：（本题共5小题，每小题4分，满分20分，把答案直接填在题中横线上） 1、已知向量a 、b 满足0a b +=，2a =，2b =，则a b ?=-4． 2、设ln()z x xy =，则32 z x y ?=??-(1/y2)． 3、曲面2 2 9x y z ++=在点(1,2,4)处的切平面方程为 2 (x-1)+4(y-2)+z-4=0． 4、设()f x 是周期为2π的周期函数，它在[,)ππ-上的表达式为()f x x =，则()f x 的傅里叶级数 在3x =处收敛于，在x π=处收敛于． 5、设L 为连接(1,0) 与(0,1)两点的直线段，则 ()L x y ds +=?√2． ※以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级． 二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） 1、求曲线222 222 239 3x y z z x y ?++=??=+??在点0M (1,1,2)-处的切线及法平面方程． 2、求由曲面2222z x y =+及22 6z x y =--所围成的立体体积． 故所求的体积为V dv Ω =???22 2620 20 2(63)6d d dz d πρρθρπρρπ-==-=?? (7) 3、判定级数 1 1 (1) ln n n n n ∞ =+-∑是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ 4、设(,)sin x z f xy y y =+，其中f 具有二阶连续偏导数，求2,z z x x y ?????．
期末高等数学(上)试题及答案(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-233 21216 29124 2、(本小题5分) .d )1(2 2x x x ? +求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞ ?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ． 求dt t dx d x ? +2 21 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ 212 1cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),2 2 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π+20 2 sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分)
设函数由方程所确定求 ．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()() x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) . 8 23 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本 大 题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 222 312 61812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ? +x x x d )1(2 2
高校高数经典期末考试复习题解析
步骤四： 4.1上臂油缸的设计 设液压缸单活塞杆双向运动时的负载力相同,不记执行件质量。液压系统工作压力为P=MPa。 3.1.1 确定液压缸类型和安装方式 根据主机的运动要求,按《机械设计手册4》表23.6—39,选择液压缸类型为单杆活塞式双作用液压缸[4]。 下图为单杆活塞式双作用液压缸示意图： （图3.1.1） 此类液压缸特点为活塞双向运动产生推、拉力。活塞在行程终了时不减速。 将缸体固定，活塞杆运动，按《机械设计手册4》表23.6—40 液压缸的安装方式，选择合适的安装方式[4]。考虑机构的结构要求，上臂起升、下降时液压缸的活塞杆进行伸缩实现运动需求。查《机械设计手册4》表23.6-40 液压缸的安装 (P23-176)选择耳环型安装方式，这种安装方式使液压缸在垂直面内可摆动,满足上臂动作要求[4]。 3.1.2 确定液压缸的主要性能参数和主要尺寸 根据主机的动力分析和运动分析,确定液压缸的主要性能参数和主要
尺寸 1) 液压缸内径D的计算 根据载荷力的大小和选定的系统压力来计算液压缸内径D 计算公式： =3.57 （3.1） 式中--液压缸内径（m）； --液压缸推力（kM）； --选定的工作压力（MPa）。 其中的计算过程如下： 当高空作业车上下臂处于如下状态时，如图3.1.2。上臂液压缸所受的力最大，即液压缸具备的最大力必须大于此时的力。 ( 图3.1.2) 有: （3.2）
其中:--上臂自重,由计算为7.5310。 --上臂长度，为5.950m。 --高空作业车吊篮最大承受力，由计算知为2.0。 --点到力的垂直距离，由计算得=1.796m。 代入公式(3.2)得: 将,代入式(3.1), 得: 按《机械设计手册4》表23.6-33给出的缸筒内径尺寸系列圆整成 标准值[4]。 表23.6--33 液压缸内径尺寸系列 (摘自GB/T2348—1993) ()
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大一高数试题及答案 一、填空题（每小题１分，共１０分） １．函数 2 2 111arcsin x x y -+ -=的定义域为______________________。 ２．函数 2e x y += 上点（ ０，１ ）处的切线方程是______________。 ３．设ｆ（X ）在0x 可导,且A (x)f'=，则h h x f h x f h ) 3()2(l i m 000--+→ ＝ _____________。 ４．设曲线过（０，１），且其上任意点（x ，y ）的切线斜率为2x ，则该曲线的方程是 ____________。 ５．=-?dx x x 4 1_____________。 ６．=∞→x x x 1 sin lim __________。 ７．设f(x,y)=sin(xy),则fx(x,y)=____________。 ９．微分方程 22 233)(3dx y d x dx y d +的阶数为____________。 ∞ ∞ １０．设级数 ∑ ａn 发散，则级数 ∑ ａn _______________。 n=1 n=1000 二、单项选择题。(１～１０每小题１分，１１～２０每小题２分，共３０分） １．设函数 x x g x x f -== 1)(,1 )(则ｆ［ｇ（ｘ）］＝ （ ） ①x 1 1- ②x 1 1- ③ x -11 ④x
２．11 sin +x x 是 （ ） ①无穷大量 ②无穷小量 ③有界变量 ④无界变量 ３．下列说法正确的是 （ ） ①若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 连续， 则ｆ（ X ）在X ＝Xo 可导 ②若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可导，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不连续 ③若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不可微，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 极限不存在 ④若ｆ（ X ）在 X ＝Xo 不连续，则ｆ（ X ）在X ＝Xo 不可导 ４．若在区间（ａ，ｂ）内恒有 0)(",0)('> ( 大一上学期高数期末考试 一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分) 1. )( 0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f . （A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导. 2. ） 时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x x x βα. （A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小； （B ）()()x x αβ与是 等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小. 3. … 4. 若 ()()()0 2x F x t x f t dt =-?，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且 '>()0f x ，则（ ）. （A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值； （B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值； （C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。 5. ) ( )( , )(2)( )(1 =+=?x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设 （A ）22x （B ）2 2 2x +（C ）1x - （D ）2x +. 二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分） 6. , 7. = +→x x x sin 20 ) 31(lim . 8. ,)(cos 的一个原函数是已知 x f x x =? ?x x x x f d cos )(则 . 9. lim (cos cos cos )→∞ -+++=2 2 2 21 n n n n n n π π ππ . 10. = -+? 2 12 1 2 211 arcsin － dx x x x . 三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分） 11. 设函数=()y y x 由方程 sin()1x y e xy ++=确定，求'()y x 以及'(0)y . 2008-2009学年第一学期期末试题 一、填空题（每题5分，共30分） 1．曲线1ln()y x e x =+的斜渐近线方程是________________________ 2．若函数)(x y y =由2cos()1x y e xy e +-=-确定，则在点(0,1)处的法线方程是________ 3．设()f x 连续，且21 40 ()x f t dt x -=? ，则(8)______f = 4．积分 20 sin n xdx π =? ___________________ 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为_____________ 6 ．曲边三角形y = 0,1y x ==绕x 轴旋转所得的旋转体体积为_________ 二．选择题（每题3分，共15分） 1．当0x +→ ） () A 1- () B () C 1 () D 1-2. 若1()(21)f x x x ??=-???? ，则()f x 在（ ）处不连续 ()A 3x = ()B 2x = ()C 12x = ()D 13 x = 3．若()sin cos f x x x x =+，则（ ） ()A (0)f 是极大值，()2f π是极小值， ()B (0)f 是极小值，()2f π 是极大值 ()C (0)f 是极大值，()2f π 也是极大值 ()D (0)f 是极小值，()2 f π 也是极小值 4．设线性无关的函数123,,y y y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解， 12,c c 是任意常数，则该方程的通解为（ ） ()A 11223c y c y y ++， ()B 1122123()c y c y c c y +-+， ()C 1122123(1)c y c y c c y +---， ()D 1122123(1)c y c y c c y ++--， 5．极限2 1 33lim ( )n n i i n n n →∞=-∑可表示为（ ） ()A 2 2 13x dx -? ()B 1 2 03(31)x dx -? ()C 2 2 1 (31)x dx --? () D 1 20 x dx ? 《高等数学一（下）》期末考试模拟试题 一、选择题（本大题共5个小题，每小题4分，满分20分）。 1．函数()3x f x =的一个原函数是 13ln 3 x （ ） A ．正确 B ．不正确 2．定积分 1 1 430 d d x x x x >? ? （ ） A ．正确 B ．不正确 3．（ ）是2 sin x x 的一个原函数 （ ） A ．2 2cos x - B ． 2 2cos x C ．2 1cos 2 x - D ． 21 cos 2 x 4．设函数0 ()sin ,x f x tdt = ? 则()f x '= ( ) A ．sin x B ． sin x - C ．cos x D ． cos x - 5．微分方程x y e '=的通解是（ ） （ ） A ．x y Ce -= B ． x y e C -=+ C ．x y Ce = D ． x y e C =+ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，满分16分）。 1． 21 9dx x =+? ． 2. ()cos ,f x dx x C =-+?,则()f x '= ． 3. 定积分 20 cos d 1sin x x x π =+? ． 4．微分方程440y y y '''-+=的通解为 . 三、计算下列各题（本大题共5个小题，每小题8分，共40分） 1．求不定积分 cos 2cos sin x dx x x -?. 2．求不定积分 ? . 3．已知()f x 的一个原函数是2 x e -,求()xf x dx '?. 4．求定积分 4 x ? . 5．求定积分 1 x xe dx ? 四、（8分）求椭圆22 221x y a b +=绕x 轴旋转构成的旋转体的体积. 五、（8分）求方程2 2 (1)(1)0x y dx y x dy +-+=的通解. 六、（8分）求方程22 sin y y x x x '-=的通解. 05级高数(2-3)下学期期末试题 (A 卷) 专业 ____________ 姓名 ______________ 学号 ________________ 《中山大学授予学士学位工作细则》第六条：“考试作弊不授予学士学位” 一,填空题 (每题4分,共32分) 1. 213______4 x y kx y z k π +-=-==若平面与平面成 角,则 1/4 2. 曲线20 cos ,sin cos ,1t u t x e udu y t t z e = =+=+? 在t = 0处的切线方程为________________ 3. 方程z e xyz =确定隐函数z = f (x,y )则z x ??为____________ 4. ( ),dy f x y dx ?1 交换的积分次序为_________________________ 5．()2221,L x y x y ds +=-=?L 已知是圆周则 _________π- 6. 收敛 7. 设幂级数0 n n n a x ∞ =∑的收敛半径是2,则幂级数 21 n n n a x ∞ +=∑的收敛半径是 8. ()211x y ''+=微分方程的通解是 ()2121 arctan ln 12 y x x c x c =-+++_______________________ 二．计算题 (每题7分,共63分) 1．讨论函数 f ( x, y ) = 221 ,x y + 220x y +≠, f ( 0 , 0 ) = 0 在点（ 0 , 0 ）处的连续性，可导性及可微性。 P 。330 2．求函数2 222z y x u ++=在点)1,1,1(0P 处沿P 0方向的方向导数，其中O 为坐 标原点。 3．2 1 2.1n n n n n ∞ =?? ?+?? ∑判别级数的敛散性 P ．544 4．设u=),(z y xy f +，),(t s f 可微，求du dz f dy f x f dx y f '+??? ??'+'+?'2211. 012 112x y z ---==z z yz x e xy ?=?-211sin ____________1 n n n ∞ =++∑级数的敛散性为 课程名称 高等数学I （A ）解答 一 选择题（4小题，每题4分，共16分） 1． 下列数列收敛的是（ C ）。 (A) n n x n n 1] 1)1[(++-= (B) n n n x )1(-= (C) n x n n 1)1(-= (D) n n x n 1-= 2．已知函数231)(22+--=x x x x f 下列说法正确的是（ B ）。 (A) )(x f 有2个无穷间断点 (B) )(x f 有1个可去间断点，1个无穷间断点 (C) )(x f 有2个第一类间断点 (D) )(x f 有1个无穷间断点，1个跳跃间断点 3．设 ?????>≤=1,1,3 2)(23x x x x x f ，则)(x f 在x =1处的（ B ）。 (A) 左右导数都存在 (B) 左导数存在，右导数不存在 (C) 左导数不存在，右导数存在 (D) 左、右导数都不存在 4．函数 2)4(121++ =x x y 的图形（ B ） (A) 只有水平渐近线 (B) 有一条水平渐近线和一条铅直渐近线 (C) 只有铅直渐近线 (D) 无渐近线 二 填空题（4小题，每题4分，共16分） 1．x x x 23sin lim 0→＝__3/2_________ 2. x x e y x sin ln 2-+=则='y _2e x +1/x －cos x _ 3． 已知隐函数方程：024=-+y xe x 则='y －(4+e y ) / （x e y ） 4． 曲线332x x y +=在 x = 1 处对应的切线方程为： y =11x -6 . 三 解答题（5小题,每题6分，共30分）大一(第一学期)高数期末考试题及答案
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