最新初中数学竞赛试题及答案汇编
全国初中数学竞赛初赛试题汇编
（1998-2018）
目录
1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)
1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)
2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)
2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)
2002年全国初中数学竞赛试题 (15)
2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)
2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)
2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)
2006年全国初中数学竞赛试题 (32)
2007年全国初中数学竞赛试题 (38)
2008年全国初中数学竞赛试题 (46)
2009年全国初中数学竞赛试题 (47)
2010年全国初中数学竞赛试题 (52)
2011年全国初中数学竞赛试题 (57)
2012年全国初中数学竞赛试题 (60)
2013年全国初中数学竞赛试题 (73)
2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)
2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)
2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)
2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)
2018 年初中数学联赛试题 (105)
1998年全国初中数学竞赛试卷
一、选择题：（每小题6分，共30分）
1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（ ） （Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）
c
b c a > 2、如果方程()0012
>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（ ）
（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5
3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（ ） （Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18
4、已知0≠abc ，并且
p b
a
c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（ ）象限 （Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组??
?<-≥-0
80
9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有
（ ）
（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个
二、填空题：（每小题6分，共30分）
6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。
7、已知直线32+-=x y 与抛物线2
x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。
9、已知方程(
)
015132832
2
2
2
=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。
三、解答题：（每小题20分，共60分）
11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F
在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。
12、设抛物线()4
52122
++++=a x a x y 的图象与x 轴
只有一个交点，（1）求
a 的值；（2）求6
18323-+a a 的值。
13、A 市、B 市和C 市有某种机器10台、10台、8台，
现在决定把这些机器支援给D 市18台，E 市10台。已知：从A 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为200元和800元；从B 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为300元和700元；从C 市调运一台机器到D 市、E 市的运费为400元和500元。 （1）设从A 市、B 市各调x 台到D 市，当28台机器调运完毕后，求总运费W （元）关于x （台）的函数关系式，并求W 的最大值和最小值。
（2）设从A 市调x 台到D 市，B 市调y 台到D 市，当28台机器调运完毕后，用x 、y 表示总运费W （元），并求W 的最大值和最小值。
解 答
1．根据不等式性质，选B ．．
A
B
C E
F
2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由
(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，
3．如图3－271，连ED，则
又因为DE是△ABC两边中点连线，所以
故选C．
4．由条件得
三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．
当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．
y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．
综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，
的可以区间，如图3－272．
+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．
6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所
以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所
7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以
8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为
当圆环为50个时，链长为
9．因为a≠0，解得
故a可取1，3或5．
10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，
A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，
所以
11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为
∠ABE＋∠AEB=90°，
∠CED＋∠AEB=90°，
所以∠ABE=∠CED．
于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以
又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以
所以
解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为
∠ABE＋∠AEB＝90°，
∠FEH+∠AEB=90°，
所以∠ABE=∠FEH，
于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为
所以
12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程
有两个相等的实根，于是
(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得
a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，
a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，
a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169
＝987a＋610，
a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610
=2584a＋1597．
又
因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即
(8a+5)(8a-13)=-1．
所以
a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．
13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是
W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)
=-800x＋17200．
W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．
由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．
(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是
W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)
=-500x-300y+17200．
W=-500x-300y+17200，
且
W=-200x-300(x+y)+17200
≥-200×10-300×18＋17200=9800．
当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又
W=-200x-300(x＋y)＋17200
≤-200×0-300×10+17200=14200，
当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．