直线与圆相切、弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习）

复习要求 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．

直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

[难点正本疑点清源]

1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”

是从不同的方面和思路来判断的．

2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法

几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________．

2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________．

3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一直线与圆的位置关系

例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12.

(1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点；

(2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．

题型二圆的切线问题

例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4.

(1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值；

(3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值．

探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

已知点A(1，a)，圆x 2＋y 2＝4. （a>0）若过点A 的圆的切线只有一条，

求a 的值及切线方程；

方法与技巧

1．过圆上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法

先求切点与圆心连线的斜率k ，由垂直关系知切线斜率为－1

k ，由点斜式方程可求切线方

程．若切线斜率不存在，则由图形写出切线方程x ＝x 0. 2．过圆外一点(x 0，y 0)的圆的切线方程的求法

(1)几何方法：当斜率存在时，设为k ，切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即kx －y ＋y 0－kx 0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，即可得出切线方程．

(2)代数方法：设切线方程为y －y 0＝k(x －x 0)，即y ＝kx －kx 0＋y 0，代入圆方程，得一个关于x 的一元二次方程，由Δ＝0，求得k ，切线方程即可求出． 3．圆的弦长的求法

(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则????l 22＝r 2－d 2

. (2)代数法：设直线与圆相交于A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)两点,两点间距离公式。 失误与防范

1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为－1列方程来简化运算．

2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．

基础训练

1．若过点A(a，a)可作圆x2＋y2－2ax＋a2＋2a－3＝0的两条切线，则实数a的取值范围为______________．

2．若直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，则a＝___________．

3．设m，n∈R，若直线(m＋1)x＋(n＋1)y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－1)2＝1相切，则m＋n 的取值范围是____________．

4．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为________．

5．设直线ax－y＋3＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a＝________.

6．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的取值范围是______________．

直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞ 0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且 倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线 AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析：

[练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线 l 与圆C 交于A ，B 两点， 设弦心距为d ，圆的半 径为r ，弦长为|AB |， 则有? ????|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程 与圆的方程联立，设直线与圆的两交 点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB | ＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝ 1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问 题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直 线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆 内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；

直线与圆-韦达定理

1直线:m 360x y ++=,过)0,1(-A 的动直线l 与直线m 相两点,M 是PQ 中点. (Ⅰ)l 与m 垂直时,求证:l 过圆心 C ;(求直线l 的方程;(Ⅲ)设t =AN AM ?,试问t 是否为定值 2（Ⅰ）求圆O 的方程；（Ⅱ）若直线l ：3y kx =+与圆O 交于上是否存在一点Q ，使得OB OA OQ +=，若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由． 3．圆2 2 :(1)5C x y +-=，直线:10l mx y m -+-=（1） 求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点A 、B ；（2） 求弦AB 的中点M 的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；（3） 若定点P （1，1）满足2PB AP =，求直线l 的方程。

4．圆C 经过点A （－2,0），B （0,2），且圆心C 在直线y ＝x 上，又直线l ：y ＝kx ＋1与圆C 相交于P 、Q 两点．（1）求圆C 的方程；（2）若2OP PQ ?=-，求实数k 的值； （3）过点(0,4)作动直线m 交圆C 于E ，F 两点．试问：在以EF 为直径的所有圆中，是否存在这样的圆P ，使得圆P 经过点(2,0)M 5．如图，圆C ：0)1(2 2 =+-++-a ay y x a x ．（Ⅰ）若圆C 与x 轴相切，求圆C 的方程；（Ⅱ）已知1>a ，圆C 与x 轴相交于两点,M N （点M 在点N 的左侧）．过点M 任作一条直线与圆O ：42 2 =+y x 相交于两点,A B ．问：是否存在实数a ，使得 BNM ANM ∠=∠？

6．（14分） 已知方程0422 2 =+--+m y x y x . （1）若此方程表示圆，求m 的取值范围； （2）若（1）中的圆与直线042=-+y x 相交于M ，N 两点，且OM ⊥ON （O 为坐标原点）求m 的值； （3）在（2）的条件下，求以MN 为直径的圆的方程. 7．圆0122:2 2 =+--+y x y x C ，直线kx y l =:，直线l 与圆C 交于点M 的坐标为(0,)b ，且满足MA MB ⊥．（1）当1=b 时，求k 的值； （2时，求k 的取值范围． 8．圆C ：2 2 (3)(3)9x y -+-=，直线1:l y kx =与圆C 交于P 、Q 两个不同的点，M 为P 、Q 的中点．（Ⅰ）已知(3,0)A ，若0AP AQ ?=，求实数k 的值；（Ⅱ）求点M 的轨迹方程；（Ⅲ）若直线1l 与2:10l x y ++=的交点为N ，求证：||||OM ON ?为定值．

直线与双曲线的相交弦问题

直线与双曲线的相交弦问题 直线与双曲线相交的弦长公式 ①221212()()AB x x y y = -+- ②]4))[(1(1212212122x x x x k x x k AB -++=-?+= ③221121222 111(1)[()4]AB y y y y y y k k =+-=+?+-一、已知双曲线方程和直线方程求弦长 例1、 过双曲线1322 =-y x 的左焦点1F ，作倾斜角为6 π 的弦AB ，求AB ；⑵AB F 2?的面积（2F 为双曲线的右焦点）。 1、求直线1y x =+被双曲线2 2 14 y x -=截得的弦长； 2、过双曲线1449162 2=-y x 的右焦点作倾斜角为 3 π 的弦AB ，求弦长AB ；

3、已知斜率为2的直线L 被双曲线22 154 x y -=截得的弦长为52，求直线L 的方程； 4、过双曲线12 2 =-y x 的左焦点2F ，作倾斜角为3 π 的直线与双曲线相交于B A ,两点，求： （1）弦长AB （2）△AB F 1?的周长（2F 为双曲线的右焦点） 二、已知弦长求双曲线方程 5、 已知焦点在x 轴上的双曲线上一点P ，到双曲线两个焦点的距离分别为4和8，直线2-=x y 被双曲线截得的弦长为220，求此双曲线的标准方程． 6、已知倾斜角为4 π的直线l 被双曲线6042 2=-y x 截得的弦长28=AB ，求直线l 的方程．

例2、 已知双曲线方程为332 2 =-y x ，求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程． 解圆锥曲线与直线相交所得的中点弦问题，一般不求直线与圆锥曲线的交点坐标，而是利用根与系数的关系或“平方差法”求解．此时，若已知点在双曲线的内部，则中点弦一定存在，所求出的直线可不检验，若已知点在双曲线的外部，中点弦可能存在，也可能不存在，因而对所求直线必须进行检验，以免增解，若用待定系数法时，只需求出k 值对判别式△>0进行验证即可． 例3、 双曲线方程为3322 =-y x . 问：以定点B(1,1)为中点的弦存在吗若存在，求出其所在直线的方程；若不存在，请说明理由．

直线与圆相交弦长问题

二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由???? ? Ax ＋By ＋C ＝0x －a 2 ＋y －b 2 ＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心 距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ? ?|AB |22＋ d 2 ＝r 2 ， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2 ＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两 点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ??|AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是 A (x 1 ，y 1 )，B (x 2 ，y 2 )，则|AB | ＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2 |x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)．

圆与直线方程较难题(供参考)

1、 已知两定点A （-2，0），B （1，0），如果动点P 满足条件|PA|=2|PB|，则点P 的轨迹所 包围的图形的面积等于多少 2、 设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长之比为3：1；③圆 心到直线:20l x y -=的距离为55 ，求该圆的方程． 3、 已知圆C 与两坐标轴的正半轴都相切，圆心C 到直线y=-x 的距离等于 2． （1）求圆C 的方程； （2）若直线 l ：xm+yn=1（m ＞2，n ＞2）与圆C 相切，求mn 的最小值． 4、 在平面直角坐标系xoy 中，以C （1，-2）为圆心的圆与直线 x+y+32+1=0相切． （I ） 求圆C 的方程；（II ）是否存在斜率为1的直线l ，使得以l 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆过原点，若存在，求出此直线方程，若不存在，请说明理由． 5、 已知圆C ：x 2+（y-2）2=5，直线l ：mx-y+1=0．（1）求证：对m ∈R ，直线l 与圆C 总 有两个不同交点；（2）若圆C 与直线相交于点A 和点B ，求弦AB 的中点M 的轨迹方程． 6、 一动圆被两条直线x+2y=0，x-2y=0截得的弦长分别为6和2，求动圆圆心的轨迹方程． 7、 求过圆x 2+y 2+2x-4y+1=0和直线2x+y+4=0的交点，且面积最小的圆方程． 8、 已知过点A （-1，0）的动直线l 与圆C ：x 2+（y-3）2=4相交于P ，Q 两点，M 是PQ 中点，l 与直线m ：x+3y+6=0相交于N ． （1）求证：当l 与m 垂直时，l 必过圆心C ； （2）当 PQ=23时，求直线l 的方程； （3）探索 ?AM AN 是否与直线l 的倾斜角有关？． 9、 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线 l ：y=43x-12 ，被圆M 所截的弦长为 3，且圆心M 在直线l 的下方． （I ）求圆M 的方程； （II ）设A （0，t ），B （0，t+6）（-5≤t ≤-2），若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值 10、 1、（2011?陕西）如图，设P 是圆2x +2 y =25上的动点， 点D 是P 在x 轴上的摄影，M 为PD 上一点，且|MD|= 45|PD| （Ⅰ）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程 （Ⅱ）求过点（3，0）且斜率为 45的直线被C 所截线段的长度． 11、 已知圆C ：2(1)x ++2y =8． （1）求过点Q （3，0）的圆C 的切线l 的方程； （2）如图定点A （1，0），M 为圆C 上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足 AM =2AP ，NP ?AM =0，求N 点的轨迹方程

直线与圆相交弦长问题

. - 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝A 2＋B 2＜r ； 性质2：由? ?? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27， 求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截 y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法

. - (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2，即|AB |＝2 r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将 直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝ x 1－x 2 2＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d ＝|Aa ＋Bb ＋C | A 2＋B 2＜r ； 性质2：由??? ?? Ax ＋By ＋C ＝0 x －a 2＋y －b 2＝r 2 消元得 到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦 心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有? ?? ?? |AB |22＋d 2＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点 P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2 ＝2 2.∵r ＝2 2， ∴|BC |＝ 8－ ? ?? ??? 222＝302，∴|AB |＝2|BC |＝ 30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得 2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ 1＋1[x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ 30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0.

直线与圆锥曲线中的弦长问题

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程

3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点？ 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+>=+b a b y a x 的离心率为3 6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |= 3，求的b 值.

2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值 3.直线01=--kx y 与椭圆152 2=+m y x 恒有公共点，求m 的取值范围？ 4.若直线 2+=kx y 与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围？ 【关卡2 中点弦问题】 笔 记

直线与圆相切、弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习） 复习要求 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想． 直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. [难点正本疑点清源] 1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法” 是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． 1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________． 2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________． 3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________

题型一直线与圆的位置关系 例1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长． (2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________．

题型二圆的切线问题 例2已知点M(3,1)，直线ax－y＋4＝0及圆(x－1)2＋(y－2)2＝4. (1)求过M点的圆的切线方程；(2)若直线ax－y＋4＝0与圆相切，求a的值； (3)若直线ax－y＋4＝0与圆相交于A，B两点，且弦AB的长为23，求a的值． 探究提高求过一点的圆的切线方程，首先要判断此点是否在圆上．若在圆上，该点为切点；若不在圆上，切线应该有两条，设切线的点斜式方程，用待定系数法求解．注意，需考虑无斜率的情况．求弦长问题，要充分运用圆的几何性质．

直线与圆相切.弦长问题(学生)

直线与圆相切.弦长问题(学生) 直线与圆的位置关系（复习） 复习要求 1. 会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系；2. 掌握圆的几何 性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会 用代数法处理几何问题的思想． 直线与圆的位置关系：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0 (A2＋B 2≠0) ，圆：(x－a) 2 ＋(y－b) 2＝r 2 (r>0)， d 为圆心(a，b) 到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消 元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. [难点正本疑点清源] 1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几 何法”是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离) 、弦长的一半及半径构成直角三角形 计算． 1. ．若圆x 2＋y 2＝1与直线y ＝kx ＋2没有公共点，则实数k 的取值范围为 __________． 2．从圆x 2－2x ＋y 2－2y ＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________． 3．(2019·重庆) 过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________ 题型一直线与圆的位置关系 例1 已知直线l ：y ＝kx ＋1，圆C ：(x－1) 2＋(y＋1) 2＝12. (1)试证明：不论k 为何实数，直线l 和圆C 总有两个交点； (2)求直线l 被圆C 截得的最短弦长． (2019·安徽改编) 若直线x －y ＋1＝0与圆(x－a) 2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是__________． 题型二圆的切线问题 例2 已知点M(3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x－1) 2＋(y－2) 2＝4.

直线与圆中的最值问题

二、弦长公式:直线与二次曲线相交所得的弦长 1直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 1122(,),(,)A x y B x y ,则它的弦长 12AB x =-= 12y y =- 注:实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为 1212()y y x x -=-k ，运用韦达定理来进行计算. 2当直线斜率不存在是,则12AB y y =-. 三、过两圆C 1: x 2 + y 2 +D 1x +E 1y +F 1 = 0和C 2: x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2 = 0的交点的圆系方程，一般设为 x 2+y 2 +D 1x +E 1y +F 1+λ(x 2 + y 2 +D 2x +E 2y +F 2) = 0 (λ为参数)此方程不包括圆C 2. 四、对称问题1和最小，化异侧 2差最大，化同侧 例题分析 1、如果实数y x ,满足等式22(2)3x y -+=， （1）求 y x 的最大值和最小值;（2）求y x -的最大值与最小值；（3）求22x y +的最大值与最小值. 2、已知两定点(3,5)A -，(2,15)B ，动点P 在直线3440x y -+=上，当 PA ＋PB 取最小值时，这个最小值为（）.A ．B ．362 C ．D ．5+ 3、已知点)8,3(-A 、)2,2(B ，点P 是x 轴上的点，求当PB AP +最小时的点P 的坐标． 直线与圆

【解答】如图示：,考虑代数式的几何意义: ⑴y x 即圆上的点与原点所在直线的斜率.当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值，即y x 取得最大值与最小值； ⑵y x -即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距； ⑶22x y +即圆上的点到原点距离的平方. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小；当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大. 解（1）设(,)P x y 为圆22(2)3x y -+=上一点.y x 的几何意义为直线OP 的斜率，设y k x =，则直线OP 的方程为y kx =.当直线OP 与圆相切时，斜率取最大值与最小值. ∵圆心到直线y kx =的距离 d = =，=即k =直线OP 与圆 相切.∴y x 的最大值为3，最小值为（2）令y x b -=，即y x b =+，求y x -的最大值与最小值即过圆上点，且斜率为1的直线在y 轴上截距的最大值与最小值. 当直线与圆相切时，截距取得最大值与最小值.∵圆心到直线y x b =+的距离 d == =2b =时，直线OP 与圆相切.∴y x -2，最小值为2. （3）要22x y +的最大值与最小值，即求圆上的点到原点距离的平方的最大值与最小值. 当点位于圆与x 轴的左交点时，点到原点的距离最小； 当点位于圆与x 轴的右交点时，点到原点的距离最大； ∵左交点坐标为(2，右交点坐标为(2 的最大值与最小值分别为22 ∴22x y +的最大值与最小值分别为7+，7-2【分析】先求出点A 关于直线3440x y -+=的对称点'A ，连接A '和B 交直线于点P ，根据三角形的两边之和大于第三边可知，此时PA ＋PB 取值最小，最小值为|'|A B .根据两点间的距离公式即可求得最小值。

直线与圆锥曲线中的弦长问题

直线与圆锥曲线中的弦 长问题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

第四讲 直线与圆锥曲线中的弦长问题 【关卡1 一般弦的计算问题】 笔 记 1.直曲联立韦达定理法（优化的弦长公式） 2.直线与圆锥曲线的位置关系的判断 代数法 几何法 例 题 1.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为，且 e =，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， （1）求椭圆的方程； （2）弦AB 的长度. 2.已知椭圆1422=+y x 以及直线m x y += （1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围 （2）求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程 3.已知直线3+=kx y 与椭圆12 22 =+y x ，试判断k 的取值范围，使得直线与椭圆分别有两个交点，一个交点和没有交点 4.已知椭圆1222=+y x ，),(00y x P ，1202020≤+>=+b a b y a x 的离心率为3 6，设过椭圆的右焦点且倾斜角为45°的直线l 和椭圆交于A,B 两点,当|AB |=3，求的b 值. 2.已知椭圆G:14 22 =+y x ，过点（m ，0）作圆122=+y x 的切线l 交椭圆G 于A 、B 两点 （1）求椭圆的焦点坐标和离心率； （2）将|AB |表示成m 的函数，并求|AB |的最大值

圆锥曲线中的弦长问题知识讲解

圆锥曲线中的弦长问题 知识点：圆锥曲线的弦 1.直线被圆锥曲线截得的线段称为圆锥曲线的弦。 当直线的斜率存在时，直线与圆锥曲线相交于 ， 两 点， 把直线方程代入曲线方程中，消元后所得一元二次方程为.则 弦长公式： 其中 当存在且不为零时, 弦长公式还可以写成： 注意：当直线的斜率不存在时，不能用弦长公式解决问题 ， 2.焦点弦：若弦过圆锥曲线的焦点叫焦点弦； 抛物线的焦点弦公式，其中为过焦点的直线 的倾斜角. 3.通径：若焦点弦垂直于焦点所在的圆锥曲线的对称轴，此时焦点弦也叫通径. 抛物线的通径 二、例题： 1、若椭圆19 362 2=+y x 的弦被点()2,4平分，则此弦所在直线的斜率为 A 、2 B 、 -2 C 、 31 D 、2 1 - 2、已知抛物线32+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于 A 、3 B 、4 C 、23 D 、24 3、过抛物线px y 22=()0>p 的焦点F 作倾斜角为?45的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，则P= 4、求直线23+ =x y 被曲线2 2 1x y =截得的线段的长

5、过原点且倾斜角为60?的直线被圆学 22 40x y y +-=所截得的弦长为 科网（A ）3 （B ）2 （C ）6（D ）23 6、已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +m y 2 =1恒有公共点，则实数m 的取值范围是 A.（0，1） B.（0，5） C.［1，5）∪（5，+∞） D.［1，5） 7、已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为22且6 3 e = ，过椭圆C 32l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 8、过点()4,1P 作抛物线2 8y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 9、已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程。

高中数学专题讲义-直线与圆相交

【例1】 直线323y x =+与圆心为D 的圆33cos 13sin x y θ θ ?=+??=+??[)()02πθ∈，交与A 、B 两 点，则直线AD 与BD 的倾斜角之和为（ ） A ．7π6 B ．5π4 C ．4π3 D ．5π 3 【例2】 若()2,1P -为圆()2 2125x y -+=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程 为 ． 【例3】 直线250x y -+=与圆228x y +=相交于A 、B 两点，则AB =________． 【例4】 已知P 是圆22:(5)(5)16O x y -+-=上的一点，关于点(5,0)A 的对称点是Q ，将 半径OP 绕圆心O 依逆时针方向旋转90o 到OR ，求RQ 的最值． 【例5】 直线3y kx =+与圆()()2 2 324x y -+-=相交于M ，N 两点，若23MN ≥，则 k 的取值范围是 A ．304?? -????， B ．[) 304? ?-∞-+∞ ???，∪， C ．3333?? - ????， D ．205??-????， 【例6】 直线21ax by +=与圆221x y +=相交于A ，B 两点（其中,a b 是实数），且AOB ?是直角三角形（O 是坐标原点），则点(),P a b 与点()0,1之间距离的最大值为 典例分析 板块四.直线与圆相交

（ ） A ．21+ B ．2 C ．2 D ．21- 【例7】 直线20x y ++=截圆224x y +=所得劣弧所对圆心角为（ ） A ． π6 B ．π3 C ．π2 D ．2π3 【例8】 圆224x y +=被直线 3230x y +-=截得的劣弧所对的圆心角的大小 为 ． 【例9】 已知直线(:22 l y k x =+()0k ≠与圆O ：2 24x y +=相交于A ，B 两点，O 为坐 标原点，AOB ?的面积为S ． ⑴试将S 表示为k 的函数()S k ，并求出它的义域；⑵求S 的最大值，并求出此时的k 值． 【例10】 经过点(2,3)P -作圆22(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所 在直线方程为（ ） A ．50x y --= B ．50x y -+= C ．50x y ++= D ．50x y +-= 【例11】 某圆拱桥的水面跨度是20m ，拱高为4m ，现有一船宽9m ，在水面以上部分高3m ， 故通行无阻．近日水位暴涨了1.5m ，为此，必须加重船载，降低船身．当船身至少应降低 m 时，船才能通过桥洞．（结果精确到0.01m ） 【例12】 过点()2,0P 与圆22230x y y ++-=相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直 线方程是_________． 【例13】 若直线220(,0)ax by a b -+=>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11 a b +的最小值为____________．

直线与圆相切、弦长问题(学生)

直线与圆的位置关系（复习） 复习要求 1.会用代数法或几何法判定点、直线与圆的位置关系； 2.掌握圆的几何性质，通过数形结合法解决圆的切线、直线被圆截得的弦长等直线与圆的综合问题，体会用代数法处理几何问题的思想．

直线与圆的位置关系：设直线l：Ax＋By＋C＝0 (A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2 (r>0)，d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. [难点正本疑点清源] 1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法” 是从不同的方面和思路来判断的． 2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．

1.．若圆x2＋y2＝1与直线y＝kx＋2没有公共点，则实数k的取值范围为__________． 2．从圆x2－2x＋y2－2y＋1＝0外一点P(3,2)向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为________． 3．(2015·重庆)过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________ 题型一直线与圆的位置关系

例 1已知直线l：y＝kx＋1，圆C：(x－1)2＋(y ＋1)2＝12. (1)试证明：不论k为何实数，直线l和圆C总有两个交点； (2)求直线l被圆C截得的最短弦长．

(2015·安徽改编)若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是__________． 题型二圆的切线问题

练习：直线与椭圆相交弦长答案

高二数学阶段练习----直线与椭圆相交弦长参考答案2013-11-28 1.解：设椭圆方程为()22 2210x y a b a b +=>>，由题意知：2a b =，则椭圆方程可化为22 2214x y b b +=，设()()1122,,,A x y B x y . 由222 442 x y b y x ?+=?=+?消去y 得：225161640x x b ++-= 则()()2 222121216164,,1620164165455 b x x x x b b -+=-?=?=--=- AB ∴=5 == ，24,0b ∴=?>满足，∴椭圆方程为221164x y +=. 2. 解：设椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>,由题意知：22 c c e a a ===∴=， 又2222 ,1b a c b =-∴= ，∴椭圆方程为2 214x y +=. (2)设()()1122,,,P x y Q x y ,由2244x y y x m ?+=?=+?消去y 得：2258440x mx m ++-=， 则()()()22221212844,,8204416555 m m x x x x m m m -+=-?=?=--=- PQ ∴=5== =22b =，215,08m ∴=?>满足，4 m ∴=± 3.解： 椭圆离心率2 e =，222,a c ∴=又 22222,a b c b c =+∴=，则椭圆方程可设 为：222212x y c c +=，由题意知：()()()2,0,0,0,,2 AB b F c A a B b k a ∴=-=-，则过点2F

直线与椭圆弦长问题

直线与椭圆弦长问题 1被直线1y x =-截得的弦长为 ． 2．已知点A(0，1)是椭圆x 2＋4y 2 ＝4上的一点，P 是椭圆上的动点，当弦AP 的长度最大时，则点P 的坐标是_________． 3. 已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2=1，圆N ：(x －1)2＋y 2=9，动圆P 与圆M 外切并与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线 C （Ⅰ）求C 的方程； （Ⅱ）l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A ，B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB|. 4．设函数()z f 对一切实数n m ,都有()()()12++=-+n m m n f n m f 成立，且()1f =0，c f =)0(.曲线),(y x C 的参数方程是? ??-=--=θθsin 2cos 1c y c x (.为参数）θ（1）求实数c 的值和曲线),(y x C 的普通方程;（2）若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被曲线),(y x C 截得的弦长为4，求 ab b a 23+的最小值. 5．设1(2,0)F 是椭圆C 的一个焦点，相应准线为8x =，离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）求过另一焦点且倾斜角为045的直线被曲线C 所截得的弦长。 6．已知直线(14)(23)(312)0()k x k y k k R +---+=∈所经过的定点F 恰好是椭圆C 的一个焦点,且椭圆C 上的点到点F 的最大距离为8. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）已知圆22 :1O x y +=,直线:1l mx ny +=.试证明当点(,)P m n 在椭圆C 上运动时,直线l 与圆O 恒相交；并求直线l 被圆O 所截得的弦长的取值范围.

直线与圆中的最值问题

直线与圆二、弦长公式: 直线与二次曲线相交所得的弦长 1 直线具有斜率k ,直线与二次曲线的两个交点坐标分别为 A(x 1 , y 1 ),B(x 2 , y 2 ) ,则它的弦长 k2 x1 x2(1 k2 ) (x1 x2 )2 4x1 x21 AB 11k2y 1 y 2 注 :实质上是由两点间距离公式推导出来的,只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为y 1 y 2 k (x 1 x 2 ) ，运用 韦达定理来进行计算 . 2 当直线斜率不存在是,则AB y1 y 2 . 三、过两圆 C1: x2 + y2 +D1x +E1y +F1 = 0 和 C2: x2 + y2 +D2x +E2y +F2 = 0 的交点的圆系方程，一般设为 2222 x +y +D1x +E1y +F1+λ(x + y +D2x +E2y+F2) = 0 (λ为参数 )此方程不包括圆 C2. 四、对称问题 1 和最小，化异侧（两边之和大于第三边，三点共线时取等号即最小值） 2差最大，化同侧（两边之差小于第三边，三点共线时取等号即最大值） 例题分析 1、如果实数x, y满足等式( x2)2y2 3 ， （ 1）求y 的最大值和最小值 ;（2）求y x 的最大值与最小值；（3）求x2y2的最大值与最小值 . x 2、已知两定点 A( 3,5) ， B(2,15)，动点 P 在直线3x 4 y 4 0 上，当 PA ＋ PB 取最小值时，这个 最小值为（）.A．5 13 ． 362．15 5 D ．5102 B C 3、已知点A(3,8) 、 B( 2,2) ，点P是x轴上的点，求当 AP PB 最小时的点P的坐标．

直线与圆相交弦长问题教学内容

精品文档 精品文档 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由? ??? ? Ax ＋By ＋C ＝0(x －a )2＋(y －b )2＝r 2消元得到一元二次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有????|AB |22＋d 2 ＝r 2， 二、典例练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． 解析：法一： 法二： [练习]已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解析： [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析： 三、类题通法 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1)几何法：如图1，直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ， 弦长为|AB |，则有????|AB |22＋d 2＝r 2 ， 即|AB |＝2r 2－d 2. (2)代数法：如图2所示，将直线方程与圆的方程联立，设直 线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝

精品文档 精品文档 1＋1 k 2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k 存在)． 二、直线与圆相交弦长问题 一、知识储备 性质1：直线与圆相交，则圆心到直线的距离d |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2 ＜r ； 性质2：由????? Ax ＋By ＋C ＝0 (x －a )2＋(y －b )2＝r 2 消元得到一元二 次方程的判别式Δ＞0； 性质3：若直线l 与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，半径为r ，弦长为|AB |，则有????|AB |22＋d 2 ＝r 2， 二、典例与练习 [例] 已知圆的方程为x 2＋y 2＝8，圆内有一点P (－1,2)，AB 为过点P 且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长； (2)当弦AB 被点P 平分时，写出直线AB 的方程． [解] (1)法一：(几何法)如图所示，过点O 作OC ⊥AB .由已知条件得直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， ∴直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. ∵圆心为(0,0)， ∴|OC |＝|－1|2＝2 2.∵r ＝22， ∴|BC |＝ 8－?? ? ?222 ＝302，∴|AB |＝2|BC |＝30. 法二：(代数法)当α＝135°时，直线AB 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1，代入x 2＋y 2＝8， 得2x 2－2x －7＝0.∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－7 2 ， ∴|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2| ＝ (1＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝30. (2)如图，当弦AB 被点P 平分时，OP ⊥AB ， ∵k OP ＝－2，∴k AB ＝1 2， ∴直线AB 的方程为y －2＝1 2(x ＋ 1)，即x －2y ＋5＝0. [练习已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程． 解：设圆心坐标为(3m ，m )．∵圆C 和y 轴相切，得圆的半径为3|m |，∴圆心到直线y ＝x 的距离为|2m | 2 ＝2|m |.由半径、弦心距、半弦长的关系得9m 2＝7＋2m 2，∴m ＝±1，∴所求圆C 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. [练习已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． [解] 法一：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，|OC |＝ |AC |2－|AO |2 ＝ 52－42＝3.设点C 坐标 为(a,0)，则|OC |＝|a |＝3， ∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25. 法二：由题意设所求圆的方程为(x －a )2＋y 2＝25. ∵圆截y 轴线段长为8，∴圆过点A (0,4)．代入方程得a 2＋16＝25，∴a ＝±3.∴所求圆的方程为(x ＋