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2016年浙江省高中数学竞赛

2016年浙江省高中数学竞赛
2016年浙江省高中数学竞赛

2016年浙江省高中数学竞赛

一、填空题(每题6分,共90分)

1.曲线()()2

220x y a x y ++?-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是__________.2.函数()234sin sin 2sin cos 22x x f x x x ??=-+- ??

?的最小正周期为___________.3.设双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ,点A 是过2F 且倾斜角为4π的直线与双曲线的一个交点.若12

F F A 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为________.4.已知正三棱锥S ABC -,底面是边长为1的正三角形,侧棱长为2.若过直线AB 的截面,将正三棱锥的体积分成两个相等的部分,则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为___.

5.已知,a b R ∈,函数()f x ax b =-.若对任意[]1,1x ∈-,有()01f x ≤≤,则3122

a b a b +++-的取值范围为_________________.6.已知向量,OA OB 垂直,且24OA OB == .若[]0,1t ∈,则()5112

t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为_______________.

7.设集合(*,,

M x y x y N ???

?==∈??????

,则集合M 中元素个数为_______.8.记[]x 为不超过x 的最大整数.若集合()[][]{},1S x y x y x y =

++-≤,则集合S 所表示

的平面区域的面积为____________.9.设()f x 是定义在R 上的奇函数.若对任意实数x ,有()()2f x f x +=-,且当[]0,1x ∈

时,()2f x x =,则(f =__________.

10.已知数列{}{},n n a b 满足:()*11111,2,,23n n n n n a b a b b a b n N ++=-==-=-∈,则20152016b b +=__________.

11.设a R ∈,方程2x a a --=恰有三个不同的根,则a =__________.

12.已知两个底面重合的正四面体A OBC -和D OBC -,,M N 分别为ADC 与BDC

的重心.记,,c OA a OB b OC === ,若点P 满足,2OP xa yb zc MP PN =++= ,则实数x =_________,y =_________,z =__________.

13.在ABC 中,5,,412B C AC π

π===,AC 的中点为D .若长度为3的线段PQ (P

在Q 的左侧)在直线BC 上滑动,则AP DQ +的最小值为____________.

14.若关于,x y 的方程组33sin sin cos cos x m y x m y

?=??=??有实数解,则正实数m 的取值范围为_________.15.已知,,a b c 为互不相等的整数,则()()22224a b c

a b c ++-++的最小值为_________.

二、解答题16.(20分)设函数()()

()22537,f x x k ak x a k R =--++∈.已知对于任意的[]0,2k ∈,若12,x x 满足[][]12,,2,4x k k a x k a k a ∈+∈++,则()()12f x f x ≥,求正实数a 的最大值.

17.(20分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,经过点163,5P ?? ???,离心率为35,过椭圆C 的右焦点作斜率为k 的直线l ,交椭圆于,A B 两点,记,PA PB 的斜率为12,k k .

(1)求椭圆的标准方程;(2)若120k k +=,求实数k 的值.

2015年浙江省高中数学竞赛试卷含参考答案

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分) 1.“a =2, 2b =”是“曲线C :22 221(,,0)x y a b R ab a b +=∈≠经过点 ( ) 2,1”的( A ). A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件 D .既不充分也不必要条件 答案:A. 解答:当a =2, 2b =曲线C :22 221x y a b +=经过 ( ) 2,1;当曲线C :22 221x y a b +=经过 点 ( ) 2,1时,即有 2 221 1a b +=,显然2,2a b =-=-也满足上式。所以“a =2, 2b =”是“曲线C :22 221x y a b +=经过点 ( ) 2,1”的充分不必要条件。 2.已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2m m m ++,则实数m 的取值范围为( B ). A . 1m > B . 312m << C .3 32 m << D .3m > 答案:B. 解答:由题意可知: 222 (1)2(2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+??+>++++?解得3 12m <<。 3. 如图,在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,M 为BB 1的中点, 则二面角M -CD 1-A 的余弦值为( C ). A . 36 B . 1 2 C . 3 3 D .63 答案:C. 解答:以D 为坐标原点,1,,DA DC DD 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,则 11 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M ,且平面 1ACD 的法向量为 1n = (1,1,1),平面1MCD 法向量为2(1,2,2)n =- 。因此123 cos ,3 n n <>= ,即二面角第3题图 M C 1 B 1D 1 A 1 C D A B

2016年浙江省高考数学理科试题及答案

绝密★启用前 2016年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷) 理科数学 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页。满分150分。考试用时120分钟。考试结束后,将将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项: 1. 答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上。 2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。答案写在试卷上无效。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置,不能写在试卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。 4. 填空题直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第I卷(共40分) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的。 1.已知集合P=错误!未找到引用源。,Q=错误!未找到引用源。,则P错误!未找到引用源。= A.[2,3] B.(-2,3] C.[1,2) D.错误!未找到引用源。 2.已知互相垂直的平面错误!未找到引用源。交于直线l,若直线m,n满足错误!未找到引用源。,则 A.错误!未找到引用源。 B.错误!未找到引用源。 C.错误!未找到引用源。 D.错误!未找到引用源。 3.在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域错误! 未找到引用源。中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=

2015年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷(含答案)

2015年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 一、填空题(本题共10小题,满分70分,每小题7分.要求直接将答案写在横线上.) 1.已知点P (4,1)在函数f (x )=log a (x -b ) (b >0)的图象上,则ab 的最大值是 . 解:由题意知,log a (4-b )=1,即a +b =4,且a >0,a ≠1,b >0,从而ab ≤(a +b )24=4, 当a =b =2时,ab 的最大值是4. 2.函数f (x )=3sin(2x -π4)在x =43π 24 处的值是 . 解:2x -π4=43π12-π4=40π12=10π3=2π+4π3,所以f (43π24)=3sin 4π3=-3 2. 3.若不等式|ax +1|≤3的解集为{x |-2≤x ≤1},则实数a 的值是 . 解:设函数f (x )=|ax +1|,则f (-2)= f (1)=3,故a =2. 4.第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球,第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球,从两个口袋里各取出一球,取出的球颜色相同的概率是 . 解:有两类情况:同为白球的概率是3×1025×25=30625,同为红球的概率是7×625×25=42 625 ,所求的 概率是72 625 . 5.在平面直角坐标系xOy 中,设焦距为2c 的椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)与椭圆x 2b 2+y 2 c 2=1有相同 的离心率e ,则e 的值是 . 解:若c >b ,则c 2a 2=c 2-b 2c 2,得a =b ,矛盾,因此c <b ,且有c 2a 2=b 2-c 2 b 2,解得e =-1+52 . 6.如图,在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,对角线B 1D 与平面A 1BC 1交于E 点.记四棱锥E -ABCD 的体积为V 1,长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为V 2,则V 1 V 2的值是 . (第6题图) A 1

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题

全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题 说明: 1. 评阅试卷时, 请依据本评分标准. 选择题、填空题只设6分和0分两档. 其他各题 的评阅, 请严格按照本评分标准规定的评分档次给分, 不要再增加其他中间档次. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步骤正确, 在评卷时可参照本 评分标准适当划分评分档次, 3分为一个档次, 不要再增加其他中间档次. 一.选择题 (本题满分36分, 每小题6分) 1. 函数 ()y f x = 的图像按向量 ( ,2)4 a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24 y x π =++. 那么 ()y f x = 的解析式为 A. sin y x = B. cos y x = C. sin 2y x =+ D. cos 4y x =+ 答: [ ] 2. 如果二次方程 2 0(,x px q p q --=∈N*) 的正根小于3, 那么这样的二次方程有 A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 答: [ ] 3. 设 0a b >>, 那么 2 1 () a b a b + - 的最小值是 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 答: [ ] 4. 设四棱锥 P ABCD - 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥, 使得 截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α A. 不存在 B. 只有1个 C. 恰有4个 D. 有无数多个 答: [ ] 5. 设数列 {}n a : 01212,16,1663n n n a a a a a ++===-, n ∈N*, 则 2005a 被 64 除的余数为 A. 0 B. 2 C. 16 D. 48 答: [ ] 6. 一条走廊宽 2 m, 长 8 m, 用 6 种颜色的 1?1 m 2 的整块地砖来铺设(每块地砖 都是单色的, 每种颜色的地砖都足够多), 要求相邻的两块地砖颜色不同, 那么所有的不同 拼色方法有 A. 8 30个 B. 7 3025?个 C. 7 3020?个 D. 7 3021?个 答: [ ] 二.填空题 (本题满分36分, 每小题6分) 7. 设向量 OA 绕点 O 逆时针旋转 2 π 得向量 OB , 且 2(7,9)OA OB +=, 则 向量 OB =

江苏省高中数学竞赛校本教材[全套](共30讲,含详细答案)-苏教版

江苏省高中数学竞赛校本教材[全套] (共30讲,含详细答案)-苏教版 目录 §1数学方法选讲(1) (1) §2数学方法选讲(2) (11) §3集合 (22) §4函数的性质 (30) §5二次函数(1) (41) §6二次函数(2) (55) §7指、对数函数,幂函数 (63) §8函数方程 (73) §9三角恒等式与三角不等式 (76) §10向量与向量方法 (85) §11数列 (95) §12递推数列 (102) §13数学归纳法 (105) §14不等式的证明 (111) §15不等式的应用 (122) §16排列,组合 (130) §17二项式定理与多项式 (134) §18直线和圆,圆锥曲线 (143)

§19立体图形,空间向量 (161) §20平面几何证明 (173) §21平面几何名定理 (180) §22几何变换 (186) §23抽屉原理 (194) §24容斥原理 (205) §25奇数偶数 (214) §26整除 (222) §27同余 (230) §28高斯函数 (238) §29覆盖 (245) §29涂色问题 (256) §30组合数学选讲 (265) §1数学方法选讲(1) 同学们在阅读课外读物的时候,或在听老师讲课的时候,书上的例题或老师讲解的例题他都能听懂,但一遇到没有见过面的问题就不知从何处入手。看来,要提高解决问题的能力,要能在竞赛中有所作为,首先得提高分析问题的能力,这就需要学习一些重要的数学思想方法。 例题讲解 一、从简单情况考虑 华罗庚先生曾经指出:善于―退‖,足够的―退‖,退到最原始而又不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍。从简单情况考虑,就是一种以退为进的一种解题策略。 1. 两人坐在一张长方形桌子旁,相继轮流在桌子上放入同样大小的硬币。条件是硬币一定要平放在桌子上,后放的硬币不能压在先放的硬币上,直到桌子上再也放不下一枚硬币为止。谁放入了最后一枚硬币谁获胜。问:先放的人有没有必定取胜的策略?

江苏省高中数学竞赛试卷

2008年江苏省高中数学竞赛试卷 一、选择题(本题满分30分,每小题6分) 1.如果实数m ,n ,x ,y 满足a n m =+2 2,b y x =+2 2 ,其中a ,b 为常数,那么mx +ny 的 最大值为 ( ) A .2 b a + B .ab C .22 2b a + D .2 2 2b a + 2.设)(x f y =为指数函数x a y =.在P (1,1),Q (1,2),M (2,3),?? ? ??41,21N 四点中,函数)(x f y =与其反函数)(1 x f y -=的图像的公共点只可能是 ( ) A .P B .Q C .M D .N 3.在如图的表格中,如果每格填上一个数后,每一横行成等差数列,每一纵列成等比 数 列,那么z y x ++的值为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4.如果111C B A ?的三个内角的余弦值分别是 222C B A ?的三个内角的正弦值,那么 ( ) A .111C B A ?与222C B A ?都是锐角三角形 B .111 C B A ?是锐角三角形,222C B A ?是钝角三角形 C .111C B A ?是钝角三角形,222C B A ?是锐角三角形 D .111C B A ?与222C B A ?都是钝角三角形 5.设a ,b 是夹角为30°的异面直线,则满足条件“α?a ,β?b ,且βα⊥”的平面α,β ( ) A .不存在 B .有且只有一对 C .有且只有两对 D .有无数对 二、填空题(本题满分50分,每小题10分) 6.设集合[]{}{} 222 <==-=x x B x x x A 和,其中符号[]x 表示不大于x 的最大整数,则 A B =___________________. 7.同时投掷三颗骰子,于少有一颗骰子掷出6点的概率是P =____________(结果要求写 成既约分数). 8.已知点O 在ABC ?内部,022=++OC OB OA .OCB ABC ??与的面积之比为 _________________. 9.与圆0422=-+x y x 外切,且与y 轴相切的动圆圆心的轨迹方程为 ________________________. 10.在ABC ?中,若tan A tan B =tan A tan C +tanctan B ,则 2 2 2c b a +=______________. 1 2 0.5 1 x y z

2016年浙江省高中数学竞赛卷

2016年浙江省高中数学竞赛卷 一、选择题(每题6分,共48分) 1.曲线22(2)()0x y a x y ++-=为平面上交于一点的三条直线的充要条件是 ( ) A.0a = B.1a = C.1a =- D.a R ∈ 2.函数3 2()4sin sin 2(sin cos )22 x x f x x x =-+-的最小周期 ( ) A.2π B. 2 π C.23 π D.π 3.设双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左右焦点分别为1F 、2F , 点A 是过2F 且倾斜角为4 π 的直线与双曲线的一个交点.若12F F A 为等腰直角三角形,则双曲线的离心率为 ( ) A. 1 2 1 C. 1 2 1 4.已知正三棱锥S ABC -,底面是边长为1的正三角形,侧棱长为2.若过直线AB 的截面,将正三棱锥的体积分成两个相等的部分,则截面与底面所成二面角的平面角的余弦值为( ) A. 10 B. 15 C. 15 D. 15 5.已知,a b R ∈,函数()f x ax b =-.若对任意[1,1]x ∈-,有0()1f x ≤≤,则 3122 a b a b +++-的取值范围为 ( ) A.1 [,0]2 - B.4 [,0]5 - C.12[,]27 - D.42[,]57 - 6.已知向量OA ,OB 垂直,且|||| 2O A O B == .若[0,1]t ∈,则5|||(1)|12 t AB AO BO t BA -+-- 的最小值为 ( ) A. B.26 C. D.24 7.设集合*{(,)| ,,} M x y x y N ==∈,则集合M 中的元素个数为 ( ) A.0 B.1 C.2 D.3 8.记[]x 为不超过x 的最大正数,若集合{(,)||[]||[]|1}S x y x y x y =++-≤,则集合S 所表示的平面区域的面积为 ( ) A. 5 2 B.3 C. 9 2 D.4

2018年浙江省杭州市高考数学一联考试卷(理科)含有答案精解

2016年浙江省杭州市高考数学一模试卷(理科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分. 1.(5分)设集合A={x|x2﹣2x≥0},B={x|﹣1<x≤2},则(?R A)∩B=() A.{x|﹣1≤x≤0}B.{x|0<x<2}C.{x|﹣1<x<0}D.{x|﹣1<x≤0} 2.(5分)若sinx﹣2cosx=,则tanx=() A.B.C.2 D.﹣2 3.(5分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的侧面PAB的面积是() A.B.2 C.D. 4.(5分)命题:“?x0∈R,x02+1>0或x0>sinx0”的否定是() A.?x∈R,x2+1≤0且x≤sinx B.?x∈R,x2+1≤0或x≤sinx C.?x0∈R,x+1≤0且x0>sinx0 D.?x0∈R,x+1≤0或x0≤sinx0 5.(5分)设x,满足f(a)f(b)f(c)<0(0<a<b<c),若函数f(x) 存在零点x0,则() A.x0<a B.x0>a C.x0<c D.x0>c 6.(5分)设点P为有公共焦点F1、F2的椭圆M和双曲线Г的一个交点,且cos∠F1PF2=,椭圆M的离心率为e1,双曲线Г的离心率为e2.若e2=2e1,则e1=()A.B.C.D. 7.(5分)在Rt△ABC中,∠C是直角,CA=4,CB=3,△ABC的内切圆交CA,CB于点D,E,点P是图中阴影区域内的一点(不包含边界).若=x+y,则x+y的值可以是()

A.1 B.2 C.4 D.8 8.(5分)记S n是各项均为正数的等差数列{a n}的前n项和,若a1≥1,则() A.S2m S2n≥S m+n2,lnS2m lnS2n≤ln2S m+n B.S2m S2n≤S m+n2,lnS2m lnS2n≤ln2S m+n C.S2m S2n≥S m+n2,lnS2m lnS2n≥ln2S m+n D.S2m S2n≤S m+n2,lnS2m lnS2n≥ln2S m+n 二、填空题:本题7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分. 9.(4分)设ln2=a,ln3=b,则e a+e b=.(其中e为自然对数的底数) 10.(6分)设函数f(x)=﹣ln(﹣x+1);g(x)=,则g(﹣2)=;函数y=g(x)+1的零点是. 11.(6分)设实数x,y满足不等式组,若z=2x+y,则z的最大值等于,z的 最小值等于. 12.(6分)设直线l1:(m+1)x﹣(m﹣3)y﹣8=0(m∈R),则直线l1恒过定点;若过原点作直线l2∥l1,则当直线l1与l2的距离最大时,直线l2的方程为. 13.(6分)如图,△ABC是等腰直角三角形,AB=AC,∠BCD=90°,且BC=CD=3.将△ABC沿BC的边翻折,设点A在平面BCD上的射影为点M,若点M在△BCD内部(含边界),则点M的轨迹的最大长度等于;在翻折过程中,当点M位于线段BD上时,直线AB和CD所成的角的余弦值等于. 14.(4分)设x>0,y>0,且(x﹣)2=,则当x+取最小值时,x2+=.

2019年浙江省高中数学竞赛试卷

2019年浙江省高中数学竞赛试卷 说明:本试卷分为A 卷和B 卷:A 卷由本试卷的22题组成,即10道选择题,7道填空题、3道解答题和2道附加题;B 卷由本试卷的前20题组成,即10道选择题,7道填空题和3道解答题。 一、选择题(本大题共有10小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题5分,共50分) 1. 化简三角有理式x x x x x x x x 22662244cos sin 2cos sin cos sin sin cos ++++的值为( A ) A. 1 B. sin cos x x + C. sin cos x x D. 1+sin cos x x 解答为 A 。 22442222sin cos )(sin cos sin cos )2sin cos x x x x x x x x ++-+分母=( 4422s i n c o s s i n c o s x x x x =++ 。 2. 若2:(10,:2p x x q x ++≥≥-,则p 是q 的( B ) A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 解答为 B 。p 成立3x ?≥-,所以p 成立,推不出q 一定成立。 3. 集合P={363,=+++∈x x R x x },则集合R C P 为( D ) A. {6,3}x x x <>或 B. {6,3}x x x <>-或 C. {6,3}x x x <->或 D. {6,3}x x x <->-或 解答:D 。 画数轴,由绝对值的几何意义可得63x -≤≤-, {}63,{6,3}R P x x C P x x x =-≤≤-=<->-或。 4. 设a ,b 为两个相互垂直的单位向量。已知OP =a ,OQ =b ,OR =r a +k b . 若△PQR 为等边三角形,则k ,r 的取值为( C ) A .k r == B .k r == C .12k r == D .1122 k r -±-±==解答.C. P Q Q R P R ==,

2016温州初中数学竞赛卷

第 1 页 共 8 页 G F E'C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 (检测范围:初中数学竞赛大纲要求所有内容) 一、单项选择题(本大题分4小题,每题5分,共20分) 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0),若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点,则( ). A .a (x 1-x 2)=d B .a (x 2-x 1)=d C .a (x 1-x 2)2=d D .a (x 1+x 2)2=d 2、如图,ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角 形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当ΔEFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是( ). A .32- B .13+ C .2 D .13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m , 然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°),被称为一次操作.若5次操作后,发现赛车回到出发点,则α为( ). A .72° B .108° C .144° D .以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题(本大题分16小题,每题5分,共80分) 5、如图,在矩形ABCD 中,AB =64,AD =10,连接BD ,DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ,现把BCE ?绕点B 逆时针旋转,记旋转后的BCE ?为''E BC ?,当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时,设交点分别为F ,G ,若BFD ?为等腰三角形,则线段DG 长为 . 6、如图,在平面直角坐标系中,点M 是第一象限内一点,过M 的直线分别交x 轴,y 轴的正半轴于A 、B 两点,且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴,y 轴于C 、D 两点,交直线AB 于点E (位于点M 右下方), 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0

[历年真题]2016年浙江省高考数学试卷(理科)

2016年浙江省高考数学试卷(理科) 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的. 1.(5分)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(?R Q)=()A.[2,3]B.(﹣2,3]C.[1,2)D.(﹣∞,﹣2]∪[1,+∞) 2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则() A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 3.(5分)在平面上,过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影,由区域中的点在直线x+y﹣2=0上的投影构成的线段记为AB,则|AB|=() A.2 B.4 C.3 D.6 4.(5分)命题“?x∈R,?n∈N*,使得n≥x2”的否定形式是() A.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2B.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 C.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2D.?x∈R,?n∈N*,使得n<x2 5.(5分)设函数f(x)=sin2x+bsinx+c,则f(x)的最小正周期() A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关 C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关 6.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n ,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若≠A n +1 d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则() A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列 C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列

年浙江省高中数学竞赛试卷(word版-含答案)

2015年浙江省高中数学竞赛试卷参考答案 一、选择题(本大题共有8小题,每题只有一个正确答案,将正确答案的序号填入题干后的括号里,多选、不选、错选均不得分,每题6分,共48分) 1.“a=2, b=”是“曲线C: 22 22 1(,,0) x y a b R ab a b +=∈≠ 经过点)”的(A). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A. 解答:当a =2, b=曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过);当曲线C:22 22 1 x y a b += 经过点)时,即有22 21 1 a b +=, 显然2, a b =-=也满足上式。所以“a= 2, b=”是“曲线C: 22 22 1 x y a b += 经过点)”的充分不必要条件。 2.已知一个角大于120o的三角形的三边长分别为,1,2 m m m ++,则实数m的取值范围为( B). A.1 m>B.3 1 2 m < 答案:B. 解答:由题意可知: 222 (1)2 (2)(1)(1) m m m m m m m m ++>+ ? ? +>++++ ? 解得 3 1 2 m <<。 3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为BB1的中点, 则二面角M-CD1-A的余弦值为( C ). A. B. 1 2 C. D 答案:C. 解答:以D为坐标原点,1 ,, DA DC DD所在的直线分别为,, x y z轴建立空间直角坐标系,则 1 1 (0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,) 2 D A C D M,且平面 1 ACD的法向量为1 n=(1,1,1),平面 1 MCD法向量为 2 (1,2,2) n=-。因此 12 3 cos,n n <>=即二面角M-CD 第3题图 1 A1

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷

2017年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷 一、填空题:(本大题共10个小题,共70分,每小题7分.) 1.已知向量()1,3AP =uu u r ,() 3,1PB =-uu r ,则AP uu u r 和AB uu u r 的夹角等于 . 2.已知集合()(){}10A x ax a x =-->,且2A ∈,3A ?,则实数a 的取值范围是 . 3.已知复数22cos sin 33 z i =+ππ,其中i 为虚数单位,则32z z += . 4.在平面直角坐标系xOy 中,设1F ,2F 分别是双曲线22 221x y a b -=(0a >,0b >)的左、右焦点,P 是双曲线右支上一点,M 是2PF 的中点,且2OM PF ⊥,1234PF PF =,则双曲线的离心率为 . 5.定义区间[]12,x x 的长度为21x x -.若函数2log y x =的定义域为[],a b ,值域为[]0,2,则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差为 . 6.若关于x 的二次方程()22120mx m x m +--+=(0m >)的两个互异的根都小于1,则实数m 的取值范围是 . 7.若3tan 43 x =,则sin 4sin 2cos8cos 4cos 4cos 2x x x x x x ++sin sin cos 2cos cos x x x x x += . 8.棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -在空间直角坐标系O xyz -中运动, 其中顶点A 保持在z 轴上,顶点1B 保持在平面xOy 上,则OC 长度的最小值是 . 9.设数列12321,,,,a a a a L 满足:11n n a a +-=(1,2,3,,20n =L ),1a ,7a ,21a 成等比数列.若11a =,219a =,则满足条件的不同数列的个数为 . 10.对于某些正整数n ,分数2237 n n ++不是既约分数,则n 的最小值是 . 二、解答题 (本大题共4小题,每小题20分,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 11.设数列{}n a 满足: ①11a =;②0n a >;③2111 n n n na a na ++=+,*n ∈N . 求证:(1)数列{}n a 是递增数列;

2019学年浙江省高中数学竞赛

2019学年浙江省高中数学竞赛 一、填空题:本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1. 在多项式103)2()1(+-x x 的展开式中6x 的系数为 2. 已知5log )35(log 172+=-a a ,则实数a= 3. 设()b ax x x f ++=2在[]1,0中两个实数根,则b a 22-的取值范围为 4. 设R y x ∈,,且1) sin(sin sin cos cos cos sin 222222=+-+-y x y x y x x x ,则x -y= 5. .已知两个命题,命题P :函数())0(log >=x x x f a 单调递增;命题q :函数)(1)(2R x ax x x g ∈++=.若q p ∨为真命题,q p ∧为假命题,则实数a 的取值范围为 6. 设S 是?? ? ??85,0中所有有理数的集合,对简分数()1,,=∈q p S p q ,定义函数()32,1=+=??? ? ??x f p q p q f 则在S 中根的个数为 7. 已知动点P ,M ,N 分别在x 轴上,圆()()12122=-+-y x 和圆()()34322=-+-y x 上,则PN PM +的最小值 8. 已知棱长为1的正四面体ABC P -,PC 的中点为D ,动点E 在线段AD 上,则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 9. 已知平面向量→a ,→b ,→c ,满足1=→a ,2=→b ,3=→c ,10<<λ,若0=?→→c b ,则→→→---c b a )1(λλ所有取不到值的集合为 10. 已知()???≥-<-=0 ,10,22x x x x x f ,方程()()04212122=*---+-+a x x f x x x f 有三个根321x x x <<.若)(21223x x x x -=-,则实数a= 二、解答题:本大题共5个小题,满分120分,将答案填在答题纸上 11. 设.,2,1,)(3 16)(,32)(2121Λ=+=+=+n x f x x f x x f n n 对每个n ,求x x f n 3)(=的

(完整版)2016年浙江省高考数学试卷(文科)

2016年浙江省高考数学试卷(文科) 一、选择题 1.(5分)已知全集U={1,2,3,4,5,6},集合P={1,3,5},Q={1,2,4},则(?U P)∪Q=() A.{1}B.{3,5}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,5} 2.(5分)已知互相垂直的平面α,β交于直线l,若直线m,n满足m∥α,n⊥β,则() A.m∥l B.m∥n C.n⊥l D.m⊥n 3.(5分)函数y=sinx2的图象是() A.B.C. D. 4.(5分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两 条平行直线间的距离的最小值是() A.B.C.D. 5.(5分)已知a,b>0且a≠1,b≠1,若log a b>1,则() A.(a﹣1)(b﹣1)<0 B.(a﹣1)(a﹣b)>0 C.(b﹣1)(b﹣a)<0 D.(b ﹣1)(b﹣a)>0 6.(5分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

7.(5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤b B.若f(a)≤2b,则a≤b C.若f(a)≥|b|,则a≥b D.若f(a)≥2b,则a≥b 8.(5分)如图,点列{A n}、{B n}分别在某锐角的两边上,且|A n A n+1|=|A n+1A n+2|,A n≠A n+1,n∈N*,|B n B n+1|=|B n+1B n+2|,B n≠B n+1,n∈N*,(P≠Q表示点P与Q不重合)若d n=|A n B n|,S n为△A n B n B n+1的面积,则() A.{S n}是等差数列B.{S n2}是等差数列 C.{d n}是等差数列 D.{d n2}是等差数列 二、填空题 9.(6分)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的表面积是cm2,体积是cm3. 10.(6分)已知a∈R,方程a2x2+(a+2)y2+4x+8y+5a=0表示圆,则圆心坐标是,半径是. 11.(6分)已知2cos2x+sin2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0),则A=,b=.12.(6分)设函数f(x)=x3+3x2+1,已知a≠0,且f(x)﹣f(a)=(x﹣b)(x ﹣a)2,x∈R,则实数a=,b=. 13.(4分)设双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2,若点P在双曲线上, 且△F1PF2为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是. 14.(4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD=,∠ADC=90°,沿直线AC将△ACD翻折成△ACD′,直线AC与BD′所成角的余弦的最大值是. 15.(4分)已知平面向量,,||=1,||=2,=1,若为平面单位向量,则||+||的最大值是. 三、解答题

2017浙江省高中数学竞赛试卷+Word版含答案

2017年浙江省高中数学竞赛 一、填空题:本大题共10个小题,每小题8分,共80分. 1.在多项式310 (1)(2)x x -+的展开式中6x 的系数为 . 2.已知 3)5a -=,则实数a = . 3.设2()f x x ax b =++在[]0,1中有两个实数根,则22a b -的取值范围为 . 4.设x ,y R ∈,且222222sin cos cos cos sin sin 1sin() x x x y x y x y -+-=+,则x y -= . 5.已知两个命题,命题p :函数()log a f x x =(0x >)单调递增;命题q :函数2()1g x x ax =++(x R ∈).若p q ∨为真命题,p q ∧为假命题,则实数a 的取值范围为 . 6.设S 是5 (0,)8中所有有理数的集合,对简分数q S p ∈,(,)1p q =,定义函数1()q q f p p +=,则2()3 f x =在S 中根的个数为 . 7.已知动点P ,M ,N 分别在x 轴上,圆22(1)(2)1x y -+-=和圆22(3)(4)3 x y -+-=上,则||||PM PN +的最小值为 . 8.已知棱长为1的正四面体P ABC -,PC 的中点为D ,动点E 在线段AD 上,则直线BE 与平面ABC 所成的角的取值范围为 . 9.已知平面向量a ,b ,c ,满足||1a =,||2b =,||3c =,01λ<<,若0b c ?=,则|(1)|a b c λλ---所有取不到的值的集合为 . 10.已知22,0, ()1,0,x x f x x x -

浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷含答案

G F E' C' E A D B C 浙江省温州地区2016年初中数学竞赛选拔试卷 (检测范围:初中数学竞赛大纲要求所有内容) 一、单项选择题(本大题分4小题,每题5分,共20分) 1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0),若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点,则( ). A .a (x 1-x 2)=d B .a (x 2-x 1)=d C .a (x 1-x 2)2=d D .a (x 1+x 2)2=d 2、如图,ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M .当ΔEFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是( ). A .32- B .13+ C .2 D .13- 3、一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m ,然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°),被称为一次操作.若5次操作后,发现赛车回到出发点,则α为( ). A .72° B .108° C .144° D .以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题(本大题分16小题,每题5分,共80分) 5、如图,在矩形ABCD 中,AB =64,AD =10,连接BD ,DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ,现把BCE ?绕点B 逆时针旋转,记旋转后的BCE ?为''E BC ?,当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时,设交点分别为F ,G ,若BFD ?为等腰三角形,则线段DG 长为 . 6、如图,在平面直角坐标系中,点M 是第一象限内一点,过M 的直线分别交x 轴,y 轴的正半轴于A 、B 两点,且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴,y 轴于C 、D 两点,交直线AB 于点E (位于点M 右下方), 连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0

(完整版)浙江省高考数学试卷(文科).doc

. 2016 年浙江省高考数学试卷(文科) 一、选择题 1.(5 分)已知全集 U={ 1,2,3,4,5, 6} ,集合 P={ 1,3,5} ,Q={ 1,2,4} , 则( ?U P)∪ Q=() A.{ 1} B.{ 3, 5} C. { 1,2,4,6} D.{ 1,2,3,4,5} 2.(5 分)已知互相垂直的平面α,β交于直线 l,若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥ β,则() A.m∥ l B.m∥ n C.n⊥l D. m⊥n 3.(5 分)函数 y=sinx2的图象是() A.B.C. D. 4.( 5 分)若平面区域,夹在两条斜率为1的平行直线之间,则这两 条平行直线间的距离的最小值是() A.B.C.D. 5.(5 分)已知 a,b>0 且 a≠1,b≠1,若 log a b> 1,则() A.(a﹣1)( b﹣ 1)< 0 B.( a﹣ 1)(a﹣b)> 0 C.(b﹣ 1)(b﹣a)< 0 D .( b ﹣ 1)(b﹣a)> 0 6.(5 分)已知函数f(x)=x2+bx,则“b< 0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

. .( 分)已知函数 f ( )满足: x ,x ∈R .( ) 7 5 x f (x )≥ | x| 且 f ( x )≥ 2 .若 ≤ .若 b ,则 a ≤b A f ( a )≤ | b| ,则 a b B f (a )≤ 2 .若 f ( a )≥ | b| ,则 a ≥ b .若 f (a )≥ 2 b ,则 a ≥b C D 8.( 5 分)如图,点列 {A n } 、{ B n } 分别在某锐角的两边上,且 | A n A n +1| =| A n +1A n +2| , n n +1 ,n ∈N * ,| B n n +1 n +1 n +2 , n ≠ n +1 , ∈ * ,(P ≠Q 表示点 P 与 Q 不 A ≠ A B | =| B B | B B n N 重 合 ) 若 d n n n , n 为 △n n n +1 的 面 积 , 则 ( ) =| A B | S A B B A .{ S n } 是等差数列 B . { S n 2 } 是等差数列 C .{ d n } 是等差数列 D .{ d n 2} 是等差数列 二、填空题 9.(6 分)某几何体的三视图如图所示(单位: cm ),则该几何体的表面积是 cm 2,体积是 cm 3. 10.( 6 分)已知 a ∈ R ,方程 a 2 x 2+(a+2)y 2+4x+8y+5a=0 表示圆,则圆心坐标 是 ,半径是 . 11.(6 分)已知 2cos 2x+sin2x=Asin (ωx +φ)+b (A >0),则 A= ,b= . 12.( 6 分)设函数 f (x )=x 3+3x 2+1,已知 a ≠ 0,且 f (x )﹣ f ( a ) =( x ﹣b )(x ﹣ a ) 2,x ∈R ,则实数 a= , b= . 13.(4 分)设双曲线 x 2﹣ =1 的左、右焦点分别为 F 1、F 2,若点 P 在双曲线上, 且△ F 1 2 为锐角三角形,则 | PF 1|+| PF 2| 的取值范围是 . PF 14.(4 分)如图,已知平面四边形 ABCD ,AB=BC=3,CD=1,AD= ,∠ADC=90°,沿直线 AC 将△ ACD 翻折成△ ACD ′,直线 AC 与 BD ′所成角的余弦的最大值 是 . 15.( 4 分)已知平面向量 , ,| | =1,| | =2, =1,若 为平面单位向量, 则 | |+| | 的最大值是 . 三、解答题

2020年全国高中数学联赛浙江赛区预赛试卷(无附参考答案)

2020年全国高中数学联赛浙江省预赛试卷 一、选择题 1. 下列三数32 ,log 1682,log 27124的大小关系是( ) (A)32<log 1682<log 27124 (B)32<log 27124<log 1682 (C)log 27124<32<log 1682 (D)log 27124<log 1682<32 2. 已知两点A (1,2),B (3,1)到直线l 的距离分别是2,则满足条件的直线l 共有( )条 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 3. 设f (n )为正整数n (十进制)的各位上数字的平方之和,比如f (123)=12+22+32 =14,记 f 1(n )=f (n ),f k +1(n )=f (f k (n )),k =1,2,3,…,则f 2020(2020)的值是( ) (A)20 (B)4 (C)42 (D)145 4. 设在xOy 平面上,0<y ≤x 2 ,0≤x ≤1所围成图形的面积为3 1,则集合M ={(x ,y )| |y |-|x | ≤1},N ={(x ,y )| |y |≥x 2 +1}的交集M ∩N 所表示图形的面积是( ) (A)3 1 (B)23 (C)1 (D)43 5. 在正2020边形中,与所有边均不平行的对角线的条数为( ) (A)2020 (B)10032 (C)10032-1003 (D)10032 -1002 6. 设函数f (x )=sin cos sin tan x x x x +++tan cot cos tan x x x x +++sin cos cos cot x x x x +++tan cot sin cot x x x x ++,则f (x )在(0,2 π )内 的最小值是( ) (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 二、填空题 7. 手表的表面在一平面上,整点1,2,3,…,12这12的圆周上.从整点i 到整点(i +1)的向量记作1i i t t +u u u u r ,则1223233412112t t t t t t t t t t t t +++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g L g =____. 8. 设a i ∈R + (i =1,2,…,n ),α,β,γ∈R ,且α+β+γ=0,则对任意x ∈R , ()()()1 111()111n x x x x x x i i i i i i i a a a a a a α αβββγγγα+++=++++++++∑=_____. 9. 在1,2,3,…,2020中随机选取三个数,这三个数能构成递增等差数列的概率等于____. 10. 已知集合A ={(x ,y )| x 2 +y 2 -2x cos α+2(1+sin α)(1-y )=0,α∈R },B ={(x ,y )| y =kx +3, k ∈R }.若A ∩B 为单元素集,则k =______. 11. 设a ,b 为非零实数,x ∈R ,若442222sin cos 1x x a b a b +=+,则20082008 20062006sin cos x x a b +=_____. 12. 2323 ,,111max min{,,,}a b c R a b c a b c + ∈++=______.

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