二次函数最值及根的分布
二次函数教学目标：
1．掌握二次函数的图像及性质
2．能够求出二次函数在某个区间上的最值
3．能够利用二次函数研究一元二次方程的实根的分布
教学重难点：
重点：二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的灵活转化
难点：二次函数跟的分布及二次函数的应用
知识要点：
二次函数最值问题：
二次函数的区间最值问题，核心是对函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论．一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况．
!
设2
()(0)
f x ax bx c a
=++≠，求f x()在x m n
∈[]
，上的最大值与最小值．
分析：将f x()配方，得对称轴方程x
b
a
=-
2
当a>0时，抛物线开口向上
若必在顶点取得最小值，离对称轴较远端点处取得最大值；
若
当a>0时，抛物线开口向上，此时函数在[]
m n
，上具有单调性，故在离对称轴x
b
a
=-
2
较远端点处取得最大值，较近端点处取得最小值．当a<0时，如上，作图可得结论，对二次函数的区间最值结合函数图象总结如下：
当a>0时
?
?
?
??
?
?
+
<
-
+
≥
-
=
)
)(
(
2
1
2
)
(
)
)(
(
2
1
2
)
(
)
(
2
1
max
如图
如图
，
，
n
m
a
b
n
f
n
m
a
b
m
f
x
f
?
?
?
?
?
?
?
?
?
<
-
≤
-
≤
-
>
-
=
)
(
2
)
(
)
(
2
)
2
(
)
(
2
)
(
)
(
5
4
3
min
如图
如图
如图
，
，
，
m
a
b
m
f
n
a
b
m
a
b
f
n
a
b
n
f
x
f
;
当a <0时
???
?
?????
<-≤-≤->-=)(2)()(2)2()(2)()(876max 如图如图如图，，，m a b m f n a b m a b f n a b n f x f f x f m b a m n f n b a m n ()()()()()()()min =-≥+-<+??
???
??，，如图如图212212910
@
24b ac ?=-
0?> 0?= 0?<
2y ax bx c =++的图
象（0a >）
方程2
0ax bx c ++=的解
2
142b b ac x a -+-=，
2
242b b ac
x a
---=
!
02b x a
=-
无解
20ax bx c ++>的解
2x x <或1x x > 0x x ≠
x R ∈ ~
20ax bx c ++<的解
21x x x <<
?
?
一元二次方程2
0ax bx c ++=（0a >）根的分布：（用《最值归纳》资料的总结）
根的分布
[
12x x k
<<
12k x x <<
21x k x <<
图象
充要条件
()020
b k a f k ?>???
-?? 或1212
0()()0()()0x k x k x k x k ?>??
-+-? ()0
20
b k a f k ?>???
->??>?? ；
或1212
0()()0()()0x k x k x k x k ?>??
-+->??-+->?
()0 或12 ()()0x k x k ?>??-+->? 根 的分布 1122k x x k <<< 11223k x k x k <<<< 两根有且仅有一根在()12,k k 内 图象 、 充要条件 ()()120f k f k ?< 或1121()022f k k k b k a =???+<- k k k 2k 1k 2 k 1 k 3 k 2 k 1 k 典型例题 * 一、求二次函数在闭区间上的值域 （一）正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值．对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键．此类问题包括以下四种情形：（ 1）轴定，区间定；（2）轴定，区间动；（3）轴动，区间定；（4）轴动，区间动． 1．轴定区间定 例1．已知函数2 ()2tan 1,[f x x x x θ=+-∈-，当6 π θ=- 时，求函数f(x)的最大值 与最小值． 解析：6 π θ=- 时， 24()(3 f x x =- 所以x = min 4 ();13 f x x =-=-时，max ()f x =． 2．轴定区间动 例2．求函数2 43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值． 解析：对称轴2x = （1）当2t <即2t >时，()2 min 43y f t t t ==-+； ? （2）当21t t ≤≤+即12t ≤≤时，()min 21y f ==-； （3）当21t >+即1t <时，()2 min 12y f t t t =+=- 3．轴动区间定 例3．求函数)(a x x y --=在]1,1[-∈x 上的最大值． 解析：函数4)2(22a a x y +--=图象的对称轴方程为2a x =，应分121≤≤-a ，12 - ， 12 >a 即22≤≤-a ，2-a 这三种情形讨论，下列三图分别为 （1）2- （2 ）a ≤-22≤；由图可知max ()()2 a f x f = （3）2>a 时；由图可知max ()(1)f x f = ∴???????>≤≤--<-=2,)1(22,)2(2 ,)1(a f a a f a f y 最大；即???????>-≤≤--<+-=2 ,122,42,)1(2a a a a a a y 最大 4．轴动区间动(略) < 例4．已知24()(0),y a x a a =->，求22 (3)u x y =-+的最小值． 解析：将2 4()y a x a =-代入u 中，得 ①，即时， ②，即 时， 所以 （二）、逆向型 是指已知二次函数在某区间上的最值，求函数或区间中的参数值． 例5．已知函数2 ()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值． & 解析：2 ()(1)1,[3,2]f x a x a x =++-∈- （1）若0,()1,a f x ==，不合题意． （2）若0,a >则max ()(2)81f x f a ==+ 由814a +=，得38 a = ； （3）若0a <时，则max ()(1)1f x f a =-=- 由14a -=，得3a =-． 综上知3 8 a =或3a =-． 例6．已知函数2 ()2 x f x x =-+在区间[,]m n 上的值域是[3,3]m n ，求m ，n 的值． 解析：方法一：讨论对称轴 中1与, ,2 m n m n +的位置关系． 。 ①若，则max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==?? ==? 解得 ②若12m n n +≤<，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f m m ==?? ==?，无解 ③若12m n m +≤<，则max min ()(1)3()()3f x f n f x f n m ==??==?，无解 ④若 ，则max min ()()3()()3f x f m n f x f n m ==?? ==?，无解 综上，4,0m n =-= 方法二：由2 11()(1)22f x x =--+，知113,,26 n n ≤≤，则[,](,1]m n ?-∞，f(x)在[,]m n 上 递增． 所以max min ()()3()()3f x f n n f x f m m ==?? ==? 解得4,0m n =-= 评注：方法二利用闭区间上的最值不超过整个定义域上的最值，缩小了m ，n 的取值范围，避开了繁难的分类讨论，解题过程简洁、明了． < 例7．已知函数2 1 sin sin 42 a y x a x =-+- +的最大值为2，求a 的值 ． 解析：令sin t x =，问题就转二次函数的区间最值问题． 令sin t x =，[1,1]t ∈-，∴2 21()(2)2 4a y t a a =--+ -+，对称轴为2 a t =， ①当112a -≤≤，即22a -≤≤时，2 max 1(2)24y a a =-+=，得2a =-或3a =（舍去）． ②当12a >，即2a >时，函数22 1()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递增， 由max 111242y a a =-+-+=，得10 3 a =． ③当 12a <-，即2a <-时，函数221 ()(2)24 a y t a a =--+-+在[1,1]-单调递减，由max 11 1242 y a a =---+=，得2a =-（舍去） ． 综上可得：a 的值为2a =-或10 3 a =． 二、根的分布 ~ 例8．(1)方程2 240x ax -+=的两根均大于1，求实数a 的范围． (2)方程2 240x ax -+=的两根一者大于1，一者小于1求实数a 的范围． (3)方程2 240x ax -+=的两根一者在(0,1)内，一者在（6，8）内，求实数a 的范围． 解析：令2 ()24f x x ax =-+ （1）由0 12 (1)0 a f ?≥??? >??>??或 1212 0(1)(1)0(1)(1)0x x x x ?≥??-+->??-->?得：522a ≤<； （2）由(1)0f <或120(1)(1)0 x x ?>?? -- 2a >； （3）由(0)0 (1)0 (6)0 (8)0 f f f f >?? ??得：101734a <<． 例9．关于x 的方程9(4)340x x a ++?+=有实根，求实数a 的取值范围． 解析：令3x t =（0t >）， 原方程有实根等价于方程2 (4)40t a t +++=有正根． 令2 ()(4)4f t t a t =+++，则()f t 恒过(0,4)点． ? 方法一：0402 a ?≥?? ?+->??得：8a ≤- 方法二：要使方程2(4)40t a t +++=有正根，则方程2 (4)40t a t +++=的较大根大于0即可； 故由00?≥?>得：8a ≤- 例10．关于x 的方程2 210ax x ++=至少有一个负根，求实数a 的取值范围． 解析：令2 ()21f x ax x =++，()f x 恒过(0,1)点 方法一： ①0a =时，210x += ?1 02 x =- <成立． ②0a >时，010a ?≥?? ?- ` ③0a <时，恒成立； 综上可知：1a ≤． 方法二： ①0a =时，210x += ?1 02 x =- <成立． ②0a ≠时，要使方程2 210ax x ++=至少有一个负根等价于方程2 210ax x ++=的较小 根小于0 即可．故000a ??>???≥?< 或000a ?? ?≥?<得1a ≤； 综上可知：1a ≤． 例11．已知函数2 2 ()(21)2f x x a x a =--+-与非负轴至少有一个交点，求实数a 的取值范围． 解析：方法一： ①方程()0f x =有一个实根是0，则(0)0f = 得：a = ②方程()0f x =有两个正根，则02102 (0)0 a f ?≥??-? >??>?? 94a <≤； ③方程()0f x =有一个正根一个负根，则(0)0f > 得：a << ； 《 综上可知：94 a ≤≤． 方法二： 考虑命题的对立面：方程()0f x =没有实根或两个负根； ①方程()0f x =没有实根，则0?<得：94 a > ； ②方程()0f x =有两个负根，则02102(0)0 a f ?≥??-? ?? 得a < 故a <9 4 a > ． 因此函数2 2 ()(21)2f x x a x a =--+-与非负轴至少有一个交点实数a 的取值范围是： 94 a ≤≤ ． 例12．关于x 的方程2 10x mx -+=只有较小的根在(1,1)-内，求实数m 的取值范围． 解析：①(1)0f =时，2m =，此时方程为2 210x x -+=，两根121x x ==，不成立； ②由(1)0 (1)0f f ->?? 得2m >； 综上可知：2m >． ~ 例13． 关于x 的方程2 (1)10x m x +-+=在区间[0,2]上有实根，求实数m 的取值范围． 解析：令2 ()(1)1f x x m x =+-+， ①端点：(0)10f =≠；(2)0f =得：32 m =-； ②在开区间(0,2)上 （i ）在(0,2)上仅有一个实根，则(0)(2)0f f ?<得： 32 m <- ； （ii ）在(0,2)上有两个相等的实根，则01022 m ?=?? ?-< (0)0 (2)0 m f f ?>??-?< ?>??得：312m -<<； 综上可知：1m ≤-． 三、恒成立问题 … 此类问题往往可以转化为求函数最值的问题或用参数分离的方法． 例14．已知函数2 ()3f x x ax =++， （1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围； （2）当[2,2]x ∈-时，()f x a ≥恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：（1）当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，即2 30x ax a ++-≥在R 上恒成立， 因此0?≤得：62a -≤≤． （2）[2,2]x ∈-，()f x a ≥恒成立，即[2,2]x ∈-，min ()f x a ≥． 函数2 ()3f x x ax =++的对称轴为：2 a x =-， ①22a - ≤-即4a ≥时，min ()(2)72f x f a a =-=-≥得：7 3a ≥故此时无解； ②22 a -≥即4a ≤-时，min ()(2)72f x f a a ==+≥得：7a ≥-故74a -≤≤-； ③222 a -<-<即44a -<<时，2min ()()324a a f x f a =-=- +≥得：62a -≤≤故42a -<≤； 综上可知：72a -≤≤． 例15．不等式2 (2)2(2)40a x a x -+--<对一切x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围． 解析：①2a =时，40-<，恒成立； ②2a ≠时，满足20 a - 综上可知：22a -<≤． 例16．当(1,2)x ∈，不等式2 40x mx ++<，求实数m 的范围． 解析：方法一：令2 ()4f x x mx =++ ()f x 开口向上故()f x 在[1,2]上的最大值为(1)f 或(2)f ，故(1)0 (2)0 f f ≤?? ≤?得：5m ≤-． 方法二：参数分离法 (1,2)x ∈时，240x mx ++<等价于4 ()m x x <-+（(1,2)x ∈） ， 4 5()4x x -<-+<-， （(1,2)x ∈）, 故5m ≤-． 例16．对满足2p ≤的所有实数p ，求使不等式2 12x px x p ++>+恒成立的x 取值范围． 解析：由题意知，不等2 (1)210x p x x -+-+>对[2,2]p ∈-恒成立， 令2 ()(1)21f p x p x x =-+-+，（看p 作是的函数） 由(2)0 (2)0 f f ->?? >?得：1x <-或3x >．