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沙漏模型

沙漏模型
沙漏模型

沙漏模型

【1】在正方形ABCD中,DE=CE,BF:FD=2:3,那么,

CG:GF= AC:FM=

【2】在正方形ABCD中,DG:GC=2:1,BE:EC=1:3,那么,

AD:EF= AD:CF= DH:HE=

【3】在正方形ABCD中,DM:MC=1:2,BF:FC=1:2,AE=ED,那么,EM:MN= ED:CN= DG:GF= ED:FN=

【4】在正方形ABCD中,BF=FC,DE:EC=4:1,那么,

AH:HF= BG:GD= AG:GE=

【5】在长方形ABCD中,3BF=FC,AD:ED=2:1,那么,

AE:BF= AG:GF= HF:HD=

BG:GE= DR:RC= ER:RB=

【6】正方形ABCD的边长为4,正方形CEFH的边长为6,那么

BN:NF= HM:ME= FM:MB=

【7】在长方形ABCD中,△EFD的面积为15,△DFC的面积为35,那么

ED:BC= DF:FB= △ABE的面积=

【8】已知长方形ABCD的面积为120,且△ABF的面积是30,△ADE的面积是40,那么,BF:FC= DE:EC=

【9】如图,边长为1正方形ABCD中,BE=2EC,CF=FD,求三角形AEG的面积。(07年人大附考题)

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【10】2CF=BD,3BE=CE,长方形ABCD的面积为1,求阴影部分面积?

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【11】正方形ABCD的边长为4,正方形CEFH的边长为6,那么△HMF的面积是多少?

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【12】如图AE=ED,CF=3BF,GD=2CG,长方形ABCD的面积为1,求阴影部分面积?

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【13】如图AG=2HD,1.5GC=GD,长方形ABCD的面积为1,求阴影部分面积?

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()

第二步:用( )求线段比。

【14】如图AE=2EB ,AF=FD ,长方形ABCD 的面积为1,求阴影部分面积?

第一步:求阴影部分面积,利用( )转化为求线段比:( ) 第二步:用( )求线段比。

【15】如图AE=ED ,DG=2CG ,长方形ABCD 的面积为1,求阴影部分面积?

第一步:求阴影部分面积,利用( )转化为求线段比:( ) 第二步:用( )求线段比。

【16】如图7 -24所示,正方形ABCD 的面积为120.E 、F 分别是BC 和DF 的中点,DE 与BF 交于M 点,DE 与AF 交于Ⅳ点,那么阴影三角形MFN 的面积为多少?(4)

第一步:求阴影部分面积,利用( )转化为求线段比:( ) 第二步:用( )求线段比。

【17】如图,长方形 ABCD 中,E 、F 、H 分别是 BC 、CD 、AB 的中点,AG GD 2

1 ;HE 、

EF 分别与BG、CG 交于M、N 两点.若三角形EMN 的面积为9,则长方形ABCD 的面积为_______.(80)

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【18】在长方形ABCD中,E为AB的中点,F、G为AD、DC的三等分点,ABCD的面积为140,求阴影部分的面积。(16)

第一步:求阴影部分面积,利用()转化为求线段比:()第二步:用()求线段比。

【19】若CE=2BE,且阴影部分的面积为42,求长方形ABCD的面积。(240)

小学奥数几何五大模型

几何五大模型 一、五大模型简介 (1)等积变换模型 1、等底等高的两个三角形面积相等; 2、两个三角形高相等,面积之比等于底之比,如图①所示, S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 3、两个三角形底相等,面积在之比等于高之比,如图②所示,S[sub]1[/sub]:S[sub]2[/sub]=a:b; 4、在一组平行线之间的等积变形,如图③所示, S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub];反之,如果 S[sub]△ACD[/sub]=S[sub]△BCD[/sub], 则可知直线AB平行于CD。 例、如图,三角形ABC的面积是24,D、E、F分别是BC、AC、AD的中点,求三角形DEF的面积。

(2)鸟头(共角)定理模型 1、两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫共角三角形; 2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。 如图下图三角形ABC中,D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点 则有:S[sub]△ABC[/sub]:S[sub]△ADE[/sub]=(AB×AC):(AD×AE) 我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理!

如图连接BE,根据等积变化模型知,S[sub]△ADE[/sub]: S[sub]△ABE[/sub]=AD:AB、S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△CBE[/sub]=AE:CE,所以S[sub]△ABE[/sub]: S[sub]△ABC[/sub]=S[sub]△ABE[/sub]: (S[sub]△ABE[/sub]+S[sub]△CBE[/sub])=AE:AC ,因此S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABC[/su b]=(S[sub]△ADE[/sub]:S[sub]△ABE[/sub])×(S[sub]△ABE[/sub]:S[sub]△ABC[/sub])=(AD:AB)×(AE:AC)。 例、如图在ΔABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且AB:AD=5:2,AE:EC=3:2, △ADE的面积为12平方厘米,求ΔABC的面积。

小学奥数-几何五大模型

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:。 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD 中,16AB =,10AD =,4BE =,那么FC 的长 度是多少? 【解析】 图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB 平行于CD , 所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4 10814 FC =?=+. 【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米,AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大? 【解析】 有一个金字塔模型,所以::DE AB DC AC =,:1540:60DE =,所以10DE =厘米。 【例 3】 如图,DE 平行BC ,若:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=, 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△, 任意四边形、梯形与相似模型

【小奥】2016同步讲义-五年级春季(共15讲)-第08讲-沙漏与金字塔(2)

一、 沙漏与金字塔(五下) 如图,太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑,如图1所示,我们将图形抽象成三角形,如图2所示.观察一下, 这个图形与生活中的什么东西比较像?对了,沙漏!今天,就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识. 沙漏有一个必要条件:线段AB 平行于线段CD ,如图2所示.大沙漏中,我们总结出了如下性质: AB AO BO DC DO CO == . 这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系,简称沙漏. 在沙漏模型中,各线段的长度有比例关系,各区域的面积也有比例关系.如图所示, 如果沙漏形的上下底之比为:a b ,四个三角形的面积之比为22 :::a ab ab b . 太阳 纸片 桌面上的太阳 D C B A O 图1 图2 第8讲 沙漏与金字塔 知识点

我们发现,沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成,且相交线的交点在平行线之间.如果交点在两条平行线的同一侧,就会构成一种新的模型,我们形象的称之为金字塔模型.在金字塔模型中也有相应的比例关系. 一、 沙漏与金字塔认识 1、如图,AB 与CD 垂直,交点为O .已知4AO =,3CO =,5AC =,15BD =.求△BOD 的面积. 【答 案 】 54 【 解析】 由沙漏模型知, 1 3AC AO CO BD OB OD ===,所以3412OB =?=,339OD =?=.又因为△BOD A O D C B 2a 2 1a 1a 1b 2b 2b 1b 1c 1c 2c 2c 沙漏模型 金字塔模型 111 222 a b c a b c == 11 22 a b a b = 11112122 a b c a a b b c ==++ ab ab 2a 2b 例题

金字塔模型与沙漏模型

金字塔模型与沙漏模型 ADAE DEAF ①AB=AC=BC=AG 2 2 ②S△ADE:S△ABC=AF:AG 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变他们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1)相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似 比; (2)相似三角形面积的比等于它们相似比的平方; (3)连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线; 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如果三边分别对应A,B,C 和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。 判定方法 定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 预备定理 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这 是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与 线段成比例的证明) 1判定定理 常用的判定定理有以下6条: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个 三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两 个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)(SSS)

判定定理4:两个三角形三边对应平行,则个两三角形相似。(简叙为:三边对应平行, 两个三角形相似。) 判定定理5:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条 直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。(简叙为:斜边与直角边对应成比例,两个 直角三角形相似。)(HL) 判定定理6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。 相似的判定定理与全等三角形基本相等,因为全等三角形是特殊的相似三角形。 一定相似 符合下面的情况中的任何一种的两个(或多个)三角形一定相似: 1.两个全等的三角形 全等三角形是特殊的相似三角形,相似比为1:1。 补充:如果△ABC∽△A‘B’C‘,∴AB/A’B‘=AC/A’C‘=BC/B'C’ =K 当K=1时,这两个三角形全等。(K为它们的比值)2.任意 一个顶角或底角相等的两个等腰三角形 两个等腰三角形,如果其中的任意一个顶角或底角相等,那么这两个等腰三 角形相似。 3.两个等边三角形 两个等边三角形,三个内角都是60度,且边边相等,所以相似。 4.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形 由于斜边的高形成两个直角,再加上一个公共的角,所以相似。 2性质定理 (1)相似三角形的对应角相等。 (2)相似三角形的对应边成比例。 (3)相似三角形的对应高线的比,对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。 (4)相似三角形的周长比等于相似比。 (5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。[1] 由(5)可得:相似比等于面积比的算术平方根。 3定理推论 推论一:顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。 推论二:腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。 推论三:有一个锐角相等的两个直角三角形相似。 推论四:直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。 推论五:如果一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部 分成比例,那么这两个三角形相似。 性质

金字塔模型与沙漏模型精编版

金字塔模型与沙漏模型 ① AD AB =AE AC =DE BC =AF AG ② S △ADE :S △ABC =AF 2:AG 2 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变他们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; (2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方; (3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线; 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如果三边分别对应A,B,C 和a ,b ,c :那么:A/a=B/b=C/c ,即三边边长对应比例相同。 判定方法 定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 预备定理 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明) 1判定定理 常用的判定定理有以下6条: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。)(AA ) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)(SAS ) 判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)(SSS )

几何第25讲_沙漏模型(学生版)A4

相似三角形模型,就是形状相同,大小不同的三角形.沙漏模型是特殊的相似三角形. 1 . AD AE DE AF AB AC BC AG == = (对应线段之比等于相似比) 2.2 2::ADE ABC S S AF AG =(面积比等于相似比的平方) 重难点:寻找平行线,进而找到沙漏模型,利用沙漏模型解决线段比例关系或图形的面积比例关系. 几何第25讲_沙漏模型 F G A C B D E 沙漏模型

题模一:简单沙漏模型 例1.1.1如图,DC 平行AB ,AC 和DB 交于点O ,AB :DC =3:2,则DO :OB =__________. 例1.1.2如图所示,AC 与BD 平行,AB 与CD 垂直,交点为O .已知2AO =,4OB =,3OC =,则△OBD 的面积是△AOC 面积的__________倍. 例1.1.3如图,AD 平行BC ,AC 与BD 交于点O ,AD 长12厘米,BC 长20厘米,BO 比OD 长4厘米,那么BD 长__________厘米. 题模二:梯形沙漏 例1.2.1如图,梯形ABCD 的上底AD 长为3厘米,下底BC 长为9厘米,而三角形ABO 的面积为12平方厘米.则梯形ABCD 的面积为多少平方厘米? 例1.2.2梯形ABCD 的面积是100,上底和下底的比是2:3,那么三角形ABO 的面积是多少? A B C D O A D B C O

例1.2.3如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC 、BD 交于O ,已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是____________平方厘米. 题模三:构造沙漏 例1.3.1如图所示,已知长方形ABCD 中,△FDC 的面积为4,△FDE 的面积为2,则阴影四边形AEFB 的面积为多少? 例1.3.2如图,已知平行四边形ABCD 的面积为72,E 点是BC 上靠近B 点的三等分点,则图中阴影部分的面积为____________. 例1.3.3如图,长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块.已知其中3块面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形OFBC 的面积为__________平方厘米. O A B D C F A B D C E 4 ? 2 A B C O D E

几何模型(小学奥数必会6大模型)

模型一:等高模型 定义:三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积。如果固定三角形的底(或高)不变,另一者变大(小)n 倍,三角形的面积也就变大(小)n 倍。 六种基本类型: 两个三角形高相等,面积比等于底之比;两个三角形底相等,面积比等于高之比公式: DC BD S S ADC ABD =??;FC ED S S ABC ABD =?? 其中,BC=EF 且两三角形的高相等公式: 1=??DEF ABC S S 夹在一组平行线之间的等积变形公式: 1==???ABD ABC BCD ACD S S

等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可看作特殊的平行四边形)公式: 1=CDEF ABCD S S 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 公式:ABCD EDC S S 2 1 =? 两个平行四边形高相等,面积比等于他们底的比公式: EF AB S S DEFG ABCD =例题:长方形ABCD 的面积为36cm 2,E 、F 、G 为各边中点,H 为AD 边上任意一点,问阴影部分面积是多少?

()5.135.418185 .4368 1 2118362 121 362 1 2121=-=-=∴=?=??=+=++=?=++= ++∴=++==== ∴===∴=???????????????????????????BEF BEF BEF DGH BFH BEH CDH BCH ABH DGH BFH BEH CDH BCH ABH ABCD CDH DGH BCH BFH ABH BEH CGH DGH CFH BFH BEH AEH S S BF BE S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S S EB AE HC BH 阴影阴影,,,,同理,、如图,连接

金字塔模型与沙漏模型

金字塔模型与沙漏模型文件管理序列号:[K8UY-K9IO69-O6M243-OL889-F88688]

金字塔模型与沙漏模型 ①AD AB = AE AC = DE BC = AF AG ② S△ADE:S△ABC =AF2:AG2 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变他们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; (2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方; (3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线; 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如果三边分别对应A,B,C和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。 判定方法 定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 预备定理

平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明)1判定定理 常用的判定定理有以下6条: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)(SAS) 判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)(SSS)判定定理4:两个三角形三边对应平行,则个两三角形相似。(简叙为:三边对应平行,两个三角形相似。) 判定定理5:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似。(简叙为:斜边与直角边对应成比例,两个直角三角形相似。)(HL)判定定理6:如果两个三角形全等,那么这两个三角形相似(相似比为1:1)(简叙为:全等三角形相似)。 相似的判定定理与全等三角形基本相等,因为全等三角形是特殊的相似三角形。

高斯小学奥数五年级下册含答案第13讲_沙漏与金字塔

第十三讲沙漏与金字塔 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 观察故事中的第4幅图,太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑,如图1所示,我们将图形抽象成三角形,如图2所示.观察一下,这个图形与生活中的什么东西比较像?对了,沙漏!今天,就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识.

沙漏有一个必要条件:线段AB 平行于线段CD ,如图2所示.在沙漏中,我们总结出了如下性质: 这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系,简称沙漏. 例题1. 如图所示,梯形ABCD 的面积是 36,下底长是上底长的2倍,阴影三角形的面积是多少? 分析:图中给出的是一个梯形,梯形的上底和下底是平行的,你能找到平行线间的沙漏吗?如何利用这个沙漏呢? 练习1. 如图所示,梯形的面积是48平方厘米,下底是上底的3倍,求阴影部分的面积. 图2 A C 图1 A B C

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 在沙漏模型中,各线段的长度有比例关系,各区域的面积也有比例关系.如图所示,如果沙漏形的上下底之比为a :b ,四个三角形的面积之比为a 2:ab :ab :b 2. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 例题2. 如图,平行四边形ABCD 的面积是90.已知E 点是AB 上靠近A 点的三等分点,求阴影部分的面积. 分析:图中有没有沙漏形?它的上底与下底之比是多少? 练习2. 如图,正方形ABCD 的边长是6,E 点是BC 的中点.求△AOD 的面积. - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 寻找沙漏的时候,一定把握住一点:平行线.题目中如果出现了平行线,那么只要找到平行线间的相交线就可以找到沙漏.同学们在做题的过程中一定要用心体会这一点. 小故事 沙漏 沙漏也叫做沙钟,是一种测量时间的装置.西方沙漏由两个玻璃球和一个狭窄的连接管道组成.利用上面的玻璃球的沙子穿过狭窄管道流入底部玻璃球所花费的时间来对时间进行测量.一旦所有的沙子都已流到底部玻璃球,该沙漏就可 A B C D E O A B C D E O

蝴蝶模型和沙漏模型训练题答案

蝴蝶模型&沙漏模型训练题参考答案 1、 已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形,且正方形ABCD 的边长为10厘米,那么图中阴影 三角形BFD 的面积为多少平方厘米 ? 【分析】 连接FC ,有FC 平行BD ,设BF 与DC 连接于O ,那么在梯形蝴蝶中有 1 ===50 2 DFO BCO DCB ABCD S S S S S ???=阴影 2、图中的四边形土地总面积为52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? 7 6 【分析】 7 6E D C B A 在图形中标A 、B 、C 、D 、E 有 :6:7:5213391821 ABE BCE ADE DCE ADE DCE ADE DCE S S S S S S S S ????????==+=-===, 最大的三角形面积是21公顷 3、如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是多少平方厘米?

H F G E D C B A 【分析】延长EB 到K ,使BK=CD 。 三角形EGK 与三角形DGC 成比例,DC :EK=2:3,所以DG :GK=2:3,由于三角形DEK=90,所以EGK=90÷3/5=54,所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理,EB :DC=1:2,所以BH :HC=1:2,所以三角形EBH=1/3EBD=10所以,四边形BGHF 的面积是24-10=14平方厘米 H K F G E D C B A 4、如图,ABCD 是平行四边形,面积为72平方厘米,E 、F 分别为边AB 、BC 的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米? 【分析】连接EC ,因为AE 平行于DC ,所以四边形AECD 为梯形,有AE:DC=1:2,所以 :1:4AEG DCG S S ??=, AGD ECG AEG DCG S S S S ?????=?,且有AGD ECG S S ??=,所以:1:2AEG ADG S S ??=,而这两个 三角形高相同,面积比为底的比,即EG :GD=1:2,同理FH :HD=1:2. 有AED AEG AGD S S S ???=+,而111822 AED ABCD S S ?= ??=(平方厘米)有 EG:GD= :AEG AGB S S ??,所以 1 612 AEG AED S S ??= ?=+(平方厘米)

【小奥】2016同步讲义_五年级春季(共15讲)_第08讲_沙漏与金字塔(2)

一、沙漏与金字塔(五下) 如图,太阳照下来在桌面上形成一个圆形的亮斑,如图1所示,我们将图形抽象成三角 形,如图2所示.观察一下,这个图形与生活中的什么东西比较像?对了,沙漏!今天,就让我们来学习一下有关“沙漏”的知识. 沙漏有一个必要条件:线段AB 平行于线段CD ,如图2所示.大沙漏中,我们总结出了如下性质: 这就是我们今天要研究的平行线间的比例关系——即沙漏形三角形间的比例关系,简称沙漏. 在沙漏模型中,各线段的长度有比例关系,各区域的面积也有比例关系.如图所示,如 太阳 纸片 桌面上的太阳 D C B A O 图1 图2 第8讲 沙漏与金字塔 知识点

果沙漏形的上下底之比为:a b ,四个三角形的面积之比为22:::a ab ab b . 我们发现,沙漏模型由一组平行线和一组相交线构成,且相交线的交点在平行线之间.如果交点在两条平行线的同一侧,就会构成一种新的模型,我们形象的称之为金字塔模型.在金字塔模型中也有相应的比例关系. 一、 沙漏与金字塔认识 1、如图,AB 与CD 垂直,交点为O .已知4AO =,3CO =,5AC =,15BD =.求△BOD 的面积. 【答案】 54 【解析】 A O D C B 2 沙漏模型 金字塔模型 111 222 a b c a b c == 11 22 a b a b = 11112122 a b c a a b b c ==++ 例题

由沙漏模型知, 1 3 AC AO CO BD OB OD ===,所以3412OB =?=,339OD =?=.又因为△BOD 中OB 和OD 垂直,所以△BOD 的面积是912254?÷=. 2、如图所示,梯形ABCD 的面积是36,下底长是上底长的2倍,阴影三角形的面积是多少? 【答案】 16 【解析】 由于下底长是上底长的2倍,因此组成该梯形的四个小三角形的面积之比是1:2:2:4,阴影三角形的面积是4 36161224 ?=+++. 3、如图,梯形ABCD 中,:2:5AB CD =.已知△COD 的面积是5,那么梯形的面积是多少? 【答案】 9.8 【解析】 如图所示,梯形中各部分的面积份数.因为△COD 的面积是5,所以梯形的面积是()52541010259.8÷?+++=. A O D C B B A

金字塔模型与沙漏模型

金字塔模型与沙漏模型 ①AD AB = AE AC = DE BC = AF AG ② S△ADE:S△ABC =AF2:AG2 所谓的相似三角形,就就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变她们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1) 相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; (2) 相似三角形面积的比等于它们相似比的平方; (3) 连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线; 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于她所对应的底边长的一半。 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如果三边分别对应A,B,C与a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。 判定方法 定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 预备定理 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。(这就是相似三角形判定的定理,就是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平行线与线段成比例的证明) 1判定定理 常用的判定定理有以下6条: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)(SAS) 判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙为:三边对应成比例,两个三角形相似。)(SSS)

金字塔模型与沙漏模型

金字塔模型与沙漏模型 AD AE DE AF AB=AC=BC=AG ②S △ADE S A ABC =AF: A G 叶心. 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变, 不论大 小怎样改变他们都相似),与相似三角形相关,常用的性质及定理如下: (1)相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; (2)相似三角形面积的比等于它们相似比的平方; (3)连接三角形两边中点的线段我们叫做三角形的中位线; 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于他所对应的底边长的一半。 相似三角形 对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。如果三边分别对应A,B,C 和a,b,c:那么:A/a=B/b=C/c,即三边边长对应比例相同。 判定方法 定义 对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 预备定理 平行于三角形一边的直线截其它两边所在的直线,截得的三角形与原三角形相似。 (这是相似三角形判定的定理,是以下判定方法证明的基础。这个引理的证明方法需要平 行线与线段成比例的证明) 1判定定理 常用的判定定理有以下6条: 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个 三角形相似。(简叙为:两角对应相等,两个三角形相似。)(AA) 判定定理2:如果两个三角形的两组对应边成比例,并且对应的夹角相等,那么这两个 三角形相似。(简叙为:两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似。)(SAS)判定定理3:如果两个三角形的三组对应边成比例,那么这两个三角形相似。(简叙 为:三边对应成比例,两个三角形相似。)(SSS) 判定定理4:两个三角形三边对应平行,则个两三角形相似。(简叙为:三边对应 平行,两个三角形相似。) 判定定理5:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和

小学奥数平面几何五种面积模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边)

小学奥数平面几何五种模型(等积,鸟头,蝶形,相似,共边) 目标:熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似(含金字塔模型和沙漏模型),共边(含燕尾模型和风筝模型), 掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨 一、等积模型 ①等底等高的两个三角形面积相等; ②两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比; 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比; 如右图12::S S a b = ③夹在一组平行线之间的等积变形,如右图ACD BCD S S =△△; 反之,如果ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD . ④等底等高的两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形); ⑤三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半; ⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比;两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比. 二、鸟头定理 两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形. 共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比. 如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上的点如图 ⑴(或D 在BA 的延长线上,E 在AC 上), 则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =??△△ E D C B A E D C B A 图⑴ 图⑵ 三、蝶形定理 任意四边形中的比例关系(“蝶形定理”): ①1243::S S S S =或者1324S S S S ?=?②()()1243::AO OC S S S S =++ 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径.通过构造 b a S 2 S 1 D C B A S 4 S 3 S 2 S 1 O D C B A

沙漏模型

Ian Foster于2001年提出了网格计算协议体系结构,认为网格建设的核心是标准化的协议与服务,并与Internet网络协议进行类比。该结构主要包括以下五个层次。 ?构造层(Fabric): ?连接层(Connectivity): ?资源层(Resource): ?汇集层(Collective): ?应用层(Application): 构造层(Fabric):控制局部的资源。由物理或逻辑实体组成,目的是为上层提供共享的资源。常用的物理资源包括计算资源、存储系统、目录、网络资源等;逻辑资源包括分布式文件系统、分布计算池、计算机群等。构造层组件的功能受高层需求影响,基本功能包括资源查询和资源管理的QoS(Qualities of Service服务质量)保证。 连接层(Connectivity):支持便利安全的通信。该层定义了网格中安全通信与认证授权控制的核心协议。资源间的数据交换和授权认证、安全控制都在这一层控制实现。该层组件提供单点登录、代理委托、同本地安全策略的整合和基于用户的信任策略等功能。 资源层(Resource):共享单一资源。该层建立在连接层的通信和认证协议之上,满足安全会话、资源初始化、资源运行状况监测、资源使用状况统计等需求,通过调用构造层函数来访问和控制局部资源。 汇集层(Collective):协调各种资源。该层将资源层提交的受控资

源汇集在一起,供虚拟组织的应用程序共享和调用。该层组件可以实现各种共享行为,包括目录服务、资源协同、资源监测诊断、数据复制、负荷控制、账户管理等功能。 应用层(Application):为网格上用户的应用程序层。应用层是在虚拟组织环境中存在的。应用程序通过各层的应用程序编程接口(API)调用相应的服务,再通过服务调动网格上的资源来完成任务。为便于网格应用程序的开发,需要构建支持网格计算的大型函数库。五层沙漏结构是目前学术界公认的网格基本体系结构,该结构主要侧重于定性的描述而不是具体的协议定义,因而很容易从整体对网格进行理解。五层沙漏模型以“协议”为中心,强调服务、API和SDK 的重要性,但是并不提供严格的规范,也不提供对全部所需协议的完整罗列,而是对该结构中各部分组件的通用要求进行定义,并且将这些组件形成一定的层次关系,每一层的组件具有相同的特征,上层组件可以在任何一个低层组件的基础之上进行建造。五层沙漏结构根据该结构中各组成部分与共享资源的距离,将对共享资源进行操作、管理和使用的功能分散在五个不同的层次,越往下层就越接近于物理的共享资源,因此该层与特定资源相关的成分就比较多;越往上层就越感觉不到共享资源的细节特征,也就是说上层是更加抽象的共享资源表示,因此就不需要关心与底层资源相关的具体实现问题

最新小学奥数-几何五大模型(相似模型)

模型四 相似三角形模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 G F E A B C D A B C D E F G ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:。 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD 中,16AB =,10AD =,4BE =,那么FC 的长 度是多少? F E D C B A 【解析】 图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB 平行于CD , 所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4 10814FC =?=+. 任意四边形、梯形与相似模型

【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米,AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大? 60 5040 30 2010 E A D C B 【解析】 有一个金字塔模型,所以::DE AB DC AC =,:1540:60DE =,所以10DE =厘米。 【例 3】 如图,DE 平行BC ,若:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S =△△________。 A E D C B 【解析】 根据金字塔模型 :::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=, 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△, 设4ADE S =△份,则25ABC S =△份,255315BEC S =÷?=△份,所以 :4:15ADE ECB S S =△△。 【例 4】 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==, 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。 E G F A D C B 【解析】 设1ADE S =△份,根据面积比等于相似比的平方, 所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△,因此 4AFG S =△份,9ABC S =△份, 进而有3DEGF S =四边形份,5FGCB S =四边形份,所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形

第九讲 六年级奥数——沙漏模型(教师版)

第九讲 六年级奥数——沙漏模型(教师版) 一、知识储备 沙漏模型 AB ∶CD =AO S △AOB ∶S △COD 根据沙漏模型可得, 二、例题讲解 1、如图,在平行四边形ABCD 中,AB=16厘米,AD=10厘米,BE=4厘米,那么FC 的长度是多少? 8

2、直角三角形ABC 中,AB 平行于DE ,AB=4厘米,BC=6厘米。又知BE:EC=1:3,求三角形CDE 的面积。 6.75 3、如图,ABC ? 中,DE ,FG ,BC 互相平行,FB DF AD ==, 则FGCB DEGF ADE S S S 四边形四边形::?=? 1:3:5 4、如图,边长为8厘米和12厘米的两个正方形并排放在一起,求图中三角形EOF 和三角形GHO 的面积。 16.2 E G F A D C B

5、如图,DE 平行BC ,若3:2:=DB AD ,那么ECB ADE S S ??:=? 4:15 6、如图,梯形ABCD 的面积是36平方厘米,下底长是上底长的2倍,阴影三角形的面积是多少? 16 7、如下图,梯形ABCD 的AB 平行于CD ,对角线AC ,BD 交于O ,已知△AOB 与△BOC 的面积分别为25平方厘米与35平方厘米,那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米? 144 35 25O A B C D A E D C B

8、如图,梯形ABCD 中,△AOB 、△COD 的面积分别为1.2和2.7,求梯形ABCD 的面积。 7.5 9、如图,三角形ABC 中,AB=4AE ,AC=4AD ,ED 与BC 平行,三角形EOD 的面积是1平方厘米.那么三角形AED 的面积是多少平方厘米? 35 10、如图,DEFG 均为各边上的三等分点,线段EG 和DF 把三角形ABC 分成四部分,如果四边形FOGC 的面积是24平方厘米,求三角形ABC 的面积。 281 O D C B A A C D E O

蝴蝶模型和沙漏模型训练题参考答案(完整资料).doc

【最新整理,下载后即可编辑】 蝴蝶模型&沙漏模型训练题参考答案 1、 已知四边形ABCD 和CEFG 都是正方形,且正方形ABCD 的边长为10厘米,那么图中阴影三角形BFD 的面积为多少平方厘米? 【分析】 连接FC ,有FC 平行BD ,设BF 与DC 连接于O ,那么在梯形蝴蝶中有 1 ===50 2 DFO BCO DCB ABCD S S S S S ???=阴影 2、图中的四边形土地总面积为52公顷,两条对角线把它分成了4个小三角形,其中2个小三角形的面积分别是6公顷和7公顷。那么最大的一个三角形的面积是多少公顷? 7 6 【分析】 7 6E D C B A 在图形中标A 、B 、C 、D 、E 有 :6:7:5213391821 ABE BCE ADE DCE ADE DCE ADE DCE S S S S S S S S ????????==+=-===, 最大的三角形面积是21公顷

3、如图,正方形ABCD 的面积是120平方厘米,E 是AB 的中点,F 是BC 的中点,四边形BGHF 的面积是多少平方厘米? H F G E D C B A 【分析】延长EB 到K ,使BK=CD 。 三角形EGK 与三角形DGC 成比例,DC :EK=2:3,所以DG :GK=2:3,由于三角形DEK=90,所以EGK=90÷3/5=54,所以四边形EBFG=EGK-BKF=24。同理,EB :DC=1:2,所以BH :HC=1:2,所以三角形EBH=1/3EBD=10所以,四边形BGHF 的面积是24-10=14平方厘米 H K F G E D C B A 4、如图,ABCD 是平行四边形,面积为72平方厘米,E 、F 分别为边AB 、BC 的中点.则图形中阴影部分的面积为多少平方厘米 ? 【分析】连接EC ,因为AE 平行于DC ,所以四边形AECD 为梯形,有AE:DC=1:2,所以:1:4AEG DCG S S ??=, AGD ECG AEG DCG S S S S ?????=?,且有AGD ECG S S ??=,所以:1:2AEG ADG S S ??=,而这两个三角形高相同,面积比为底的比,即EG :GD=1:2,同理

小学奥数-几何五大模型(相似模型)

模型四 相似三角形 模型 (一)金字塔模型 (二) 沙漏模型 ①AD AE DE AF AB AC BC AG ===; ②22:ADE ABC S S AF AG =△△:。 所谓的相似三角形,就是形状相同,大小不同的三角形(只要其形状不改变,不论大小怎样改变它们都相似),与相似三角形相关的常用的性质及定理如下: ⑴相似三角形的一切对应线段的长度成比例,并且这个比例等于它们的相似比; ⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方; ⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。 三角形中位线定理:三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半。 相似三角形模型,给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具。 在小学奥数里,出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形。 【例 1】 如图,已知在平行四边形ABCD 中,16AB =,10AD =,4BE =,那么FC 的长度是多少? 【解析】 图中有一个沙漏,也有金字塔,但我们用沙漏就能解决问题,因为AB 平行于CD , 所以::4:161:4BF FC BE CD ===,所以4 10814 FC =?=+. 【例 2】 如图,测量小玻璃管口径的量具ABC ,AB 的长为15厘米,AC 被分为60等份。 如果小玻璃管口DE 正好对着量具上20等份处(DE 平行AB ),那么小玻璃管口径DE 是多大? 【解析】 有一个金字塔模型,所以::DE AB DC AC =,:1540:60DE =,所以10DE =厘米。 【例 3】 如图,DE 平行BC ,若:2:3AD DB =,那么:ADE ECB S S =△△________。 【解析】 根据金字塔模型:::2:(23)2:5AD AB AE AC DE BC ===+=, 22:2:54:25ADE ABC S S ==△△, 设4ADE S =△份,则25ABC S =△份,255315BEC S =÷?=△份,所以 :4:15ADE ECB S S =△△。 【例 4】 如图, ABC △中,DE ,FG ,BC 互相平行,AD DF FB ==, 则::ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 。 【解析】 设1ADE S =△份,根据面积比等于相似比的平方, 所以22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,22::1:9ADE ABC S S AD AB ==△△,因此 4AFG S =△份,9ABC S =△份, 进而有3DEGF S =四边形份,5FGCB S =四边形份,所以::1:3:5ADE DEGF FGCB S S S =△四边形四边形 【巩固】如图,DE 平行BC ,且2AD =,5AB =,4AE =,求AC 的长。 【解析】 由金字塔模型得:::2:5AD AB AE AC DE BC ===,所以42510AC =÷?= 【巩固】如图, ABC △中,DE , FG ,MN ,PQ ,BC 互相平行,AD DF FM MP PB ====, 则::::ADE DEGF FGNM MNQP PQCB S S S S S =△四边形四边形四边形四边形 。 【解析】 设1ADE S =△份,22::1:4ADE AFG S S AD AF ==△△,因此4AFG S =△份,进而有 3DEGF S =四边形份,同理有5FGNM S =四边形份,7MNQP S =四边形份,9PQCB S =四边形份. 任意四边形、梯形与相似模型

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