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《概率论》期末考试试题A卷和答案

07级《概率论》期末考试试题A 卷及答案

一、 填空题(满分15分):

1.一部五卷的文集,按任意次序放到书架上,则“第一卷及第五卷出现在旁边”的概率为

10

1

。 解答:10

1

!5!321=?=

p 2.设,)(,)(,)(r B A P q B P p A P =?==则=)(B A P q r - 。 解答:q r B P B A P B B A P B A P B A P -=-?=-?=-=)()()])[()()( 3.设随机变量ξ的分布列为 ,...2,1,0,3)(===k a

k X P k

则a =

3

2

. 解答:32233

1113

10

=?=-?==

=a a a a k

k 4.设随机变量为ξ与η,已知D ξ=25,D η=36,4.0,=ηξρ, 则D(ξ-η)= 37 . 解答:

37

4.065236252)(),cov()

,cov(2)(,,=???-+=-+=-=

-+=-ηξηξρηξηξηξη

ξηξρηξηξηξD D D D D D D D D D

5. 设随机变量ξ服从几何分布,...2,1,)(1

===-k p q

k P k ξ。则ξ的特征函数

=)(t f ξ 。

()()

.1)(:1

1

1

1

it it k k it it

k k itk it qe

pe qe pe

p q

e e E t

f -====∑∑∞

=--∞

ξ解 二、 单项选择题(满分15分):

1.设.A 、B 、C 为三个事件,用A 、B 、C 的运算关系表示“三个事件至多一个发生”为( ④ ).

① C B A ??. ② C B A C B A C B A ++

③ ABC -Ω. ④ C B A C B A C B A C B A +++ 2.下列函数中,( )可以作为连续型随机变量的分布函数.

①.()??

???≥<=010

x x e x F x

②()??

???≥<=-010

x x e x G x

③()?

??≥-<=Φ0100

x e x x x

④()?

??≥+<=-0100

x e x x H x

3.下面是几个随机变量的概率分布,其中期望不存在的为(② )。

①n k p p p k n k P k

n k ,...,1,0,10,)1()(=<<-?

??

? ??==-ξ . ②,...2,1,3

1

)3)1((==-=k k P k k k

ξ. ③..2,1,0,0,!

)(=>=

=-k e k k P k

λλξλ .

④. ,...2,1,10 ,)1()(1

=<<-==-k p p p k P k ξ

4.设),(ηξ服从二维正态分布);,;,(2

22

121r a a N σσ,0=r 是ηξ,独立的( ③ )。 ①充分但不必要条件 . ②必要但不充分条件.

③充分且必要条件 . ④.既不充分也不必要条件.

5. 设随机变量21ξξ、为相互独立的随机变量,下面给出的分布中不具有再生性的为( ③ )。

① 二项分布 ②. 泊松分布 ③均匀分布. ④ 正态分布

三、(满分20分)

(1)把长度为a 的线段,任意折成三折,求此三线段能构成三角形的概率。

解:设y x 、分别表示其中二条线段的长度,第三条线段的长度为)(y x a +-,则

{}a y x a y a x y x ≤+<≤≤≤≤=Ω0,0,0),(,

又设

A =“三条线段能构成一个三角形”

={}

x y x a y y y x a x y x a y x y x >+-+>+-++->+)(,)(),(),( =()?

??

?

??<<>

+2,2

,2,a y a x a y x y x ,

A 的面积为8

)2(212

2a a =

?,则 41

2

81)(22

==Ω=a

a

A A P 的面积的面积。

(2)炮战中,在距目标250米,200米,150米处射击的概率分别为0.1、0.7、0.2,而在各处射击时命中目标的概率分别为0.05、0.1、0.2,现在已知目标被击毁,求击毁目标的炮弹是由距目标250米处射出的概率。

解:设A 表示“目标被击中”,1B 表示“炮弹距目标250米射出”,2B 表示“炮弹距目标200米射出”,3B 表示“炮弹距目标150米射出”,

23

1

2.02.01.07.005.01.005.01.0)

()()

()()(3

1

111=

?+?+??=

=

∑=i i

i

B A P B P B A P B P A B P =0.043 四、(满分16分)设ηξ,的密度函数为

()其他

1

00

8,<<

?=y x xy

y x p

求:(1)求ηξ,的边际密度函数;(2)ηξ,是否相互独立?为什么?(3)()

y x p ;(4)ηE 。

解:(1)

()

.

100

4)(,

100141

00

8),()(3

2

1

其他

同理其他其他

<

?=<

??-=<

+∞

-y y y p x x x x ydy

x dy y x p x p x

ηξ

(2).)()(),(不独立与,故因为ηξηξy p x p y x p = (3)当10<

()其它

其它y

x y

x

y x y xy y x p <

??=00

200482

3

(4)5

45

44)(10

51

4=

=

==

??

+∞

-y dy y dy y yp E ηη 五、(满分8分)若ξ服从指数分布,其密度为

??

?≤>=-0

00

)(x x e x p x

λλ

求η=

)(y F η。

《概率论》期末考试试题A卷和答案

解:

《概率论》期末考试试题A卷和答案

2

2

2

2000()

())0

00()0

000

100

0y y x y

y P y F y P y y y p x dx

y y y e dx e y y ηλλξλ-->?<=<=?

≤??>?=?≤????>>-??==??≤≤????

??

六、(满分18分)

(1)若随机事件A 与B 互斥,且0)(>B P ,证明:

)

()

(1)(B P A P B A P -

= 证明:由A 与B 互斥,从而0)(=AB P

()1()()()()

()1()()()

P AB P A P B P AB P A P A B P B P B P B --+=

==-

(2).设{

}k ξ是独立随机变量序列,且 {}

,...2,1,2

1

3==

±=k k P k ξ 证明{

}k ξ服从大数定律. 证明:

{}).

(01

111)(1,,

2

1)(21)(,021)(213

132********

232

2312312

313

1∞→→=??≤===?-+===-+?=∑∑∑===n n n n n k n D n D n k k k E D k k E n k n k k n

k k k k k k ξξξξξξ独立时当 故{

}k ξ满足马尔可夫条件,从而{}k ξ服从大数定律. 七、(满分8分)设随机变量n ξξξ,...,,21相互独立、同分布,且

n i D E i i ,...,2,1,,2=+∞<==σξμξ,

1

1n

n k k n ζξ==∑,

求:(1),n n E D ζζ;(2)i ξ与ζ的相关系数r 。(3)用特征函数法证明2221

1n P

k k n ξσμ=??

→+∑ 解:(1)

n

D E 2σζμζ=

=

(2)k

i k i k i =≠??

?=2

),cov(σ

ξξ

n n n n k k i n

k k i i 2

1

1),cov(1),cov(1),cov(σξξξξζξ===∑∑==

n

n

n

D D r i i 1),cov(2

=

?

=

=

σ

σσζ

ξζξ。