【随堂优化训练】2014年数学(人教A版)必修5课后作业：第2章 数列

第二章 数列

2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法

1．下列说法不正确的是( ) A ．数列可以用图象来表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列的项不能相等

D ．数列可以用一群孤立的点表示 2．关于以下4个数列： (1)－1,1，－1,1，…； (2)1,3,5,7，…； (3)12，13，14，1

5，…； (4)－27,9，－3,1. 正确的叙述是( )

A ．(1)(2)是无穷数列，(3)(4)是有穷数列

B ．(2)(3)是无穷数列，(1)(4)是有穷数列

C ．(1)(2)(3)是无穷数列，(4)是有穷数列

D ．(2)是无穷数列，(1)(3)(4)是有穷数列 3．已知数列{n 2＋n }，那么( ) A ．0是数列中的一项 B ．21是数列中的一项 C ．702是数列中的一项 D ．以上答案都不对

4．已知数列{a n }的前4项为1，3，5，7，则数列{a n }的通项公式可能为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝2n －1 C ．a n ＝2n ＋1 D ．a n ＝2n ＋1

5．已知数列1，3，7，15，…，2n －1，…，那么63是该数列的第几项( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

6．在数列1,1,2,3,5,8,13，x,34,55，…中，x 的值是( ) A ．19 B ．20 C ．21 D ．22 7．图K2-1-1是关于星星的图案构成的一个数列，请写出这个数列的一个通项公式．

图K2-1-1

8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，另一个数列{b n }可用b n ＝a n ＋1

a n

表示，则{b n }

的通项公式为__________．

9．已知数列{a n }的前4项分别为1,0,1,0，则下列各式可作为数列{a n }的通项公式的个数有( )

①a n ＝12[1＋(－1)n ＋

1]；

②a n ＝sin 2n π

2；

③a n ＝12

[1＋(－1)n ＋

1]＋(n －1)(n －2)；

④a n ＝1－cos n π2，(n ∈N *)；

⑤a n ＝?

????

1 (n 为正偶数)，0 (n 为正奇数)；

⑥a n ＝1－(－1)n ＋

1

2

.

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

10．已知数列的通项公式为a n ＝4n 2＋3n

，试问：110和16

27是不是它的项？如果是，是第几

项？

2．1.2 数列的递推公式

1．在数列{a n }中，a n ＋1＝a n ＋2，且a 1＝1，则a 4＝( ) A ．8 B ．6 C ．9 D ．7

2．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( ) A.?

????

a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋n (n ∈N *) B.?????

a 1＝1，a n ＝a n －1＋n (n ∈N *

，n ≥2) C.?????

a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋(n ＋1) (n ∈N *

，n ≥2) D.?????

a 1＝1，a n ＝a n －1＋(n －1) (n ∈N *)

3．已知数列{a n }满足a 1＞0，且a n ＋1＝1

2

a n ，则数列{a n }是( )

A ．递增数列

B ．递减数列

C ．常数列

D ．摆动数列

4．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10＝( ) A ．－165 B ．－33 C ．－30 D ．－21

5．数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝tan n π

3

，则a 2＝( )

A.2 33 B ．－2 33

C ．2 3

D ．－2 3

6．(2014年浙江宁波模拟)设a ∈R ，数列{(n －a )2}(n ∈N *)是递增数列，则a 的取值范

围是( )

A ．a ≤0

B ．a <1

C ．a ≤1

D ．a <3

2

7．已知数列{a n }，a n ＝1n (n ＋2)

(n ∈N *)，求1

120是这个数列的第几项．

8．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln ????1＋1

n ，则a n ＝( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n

C ．2＋n ln n

D ．1＋n ＋ln n 9．在图K2-1-2中，(1)(2)(3)，…是由花盆摆成的图案．

图K2-1-2

根据图中花盆摆放的规律，猜想第4个图形中花盆数为__________，记第n 个图形中的花盆数为a n ，当n >1时，a n 与a n －1的递推关系为__________．

10．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，a 1＝1，S n ＝n 2

·a n ，求数列{a n }的通项公式．

2.2 等差数列

2．2.1 等差数列的定义及通项公式

1．设数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )是一个函数，则它的定义域是( ) A ．非负整数 B ．N *的子集 C ．N *

D ．N *或{1,2,3，…，n }

2．在等差数列{a n }中，a 1＝21，a 7＝18，则公差d ＝( ) A.12 B.13

C ．－12

D ．－13

3．已知数列{a n }，对任意的n ∈N *，点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，则{a n }为( ) A ．公差为2的等差数列 B ．公差为1的等差数列 C ．公差为－2的等差数列 D ．非等差数列

4．在等差数列{a n }中，a 1＝1，公差d ＝3，若a n ＝2014，则n ＝( ) A ．669 B ．665 C ．671 D ．672

5．一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前6项均为正数，第7项起为负数，则它的公差是( )

A ．－2

B ．－3

C ．－4

D ．－5

6．在等差数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝21，d ＝2，则n ＝________. 7．在等差数列{a n }中，a 3＝7，a 5＝a 2＋6，求a 6.

8．一个三角形的三个内角A ，B ，C 成等差数列，则sin(A ＋C )＝( )

A ．－12 B.12

C ．－32 D.3

2

9．在1和2之间插入2个数，使它们与1,2组成等差数列，则该数列的公差为______．

10．在公差不为零的等差数列{a n }中，a 1，a 2为方程x 2－a 3x ＋a 4＝0的根，求数列{a n }的通项公式．

1．(2013年上海)在等差数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝30，则a 2＋a 3＝________. 2．已知{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d ＝( )

A ．－2

B ．－1

2

C.1

2

D ．2 3．若{a n }是等差数列，a 3，a 10是方程x 2－3x －5＝0的两根，则a 5＋a 8＝( ) A ．3 B ．－5 C ．－2 D ．－3

4．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13

＝( )

A ．120

B ．105

C ．90

D ．75

5．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则a 20＝( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．7

6．在等差数列{a n }中，若a 7＝m, a 14＝n ，则a 21＝________.

7．四个数a ，x ，b,2x 成等差数列，求a

b

的值．

8．等差数列{a n }的各项均为正数，若a 3a 5＋a 3a 8＋a 5a 10＋a 8a 10＝64，则a 1＋a 12＝________.

9．(2014年上海模拟)函数f (x )＝A sin ?

???ωx ＋π

6(ω>0)的图象与x 轴的交点的横坐标构成一个公差为π

2

的等差数列，要得到函数g (x )＝A sin ωx 的图象，只要将f (x )的图象向右平移

________个单位．

10．第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．

(1)试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式； (2)如图K2-2-1,2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？

图K2-2-1

2．3.1等差数列的前n项和

1．记等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝4，S4＝20，则该数列的公差d＝() A．2 B．3

C．6 D．7

2．(2013年安徽)设S n为等差数列{a n}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝() A．－6 B．－4 C．－2 D．2

3．设S n是等差数列{a n}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，则S7＝()

A．13 B．35

C．49 D．63

4．等差数列{a n}各项都是负数，且a23＋a28＋2a3a8＝9，则它的前10项和S10＝() A．－15B．－13C．－11D．－9

5．设数列{a n}是公差为d的等差数列，前n项和为S n.当首项a1与公差d变化时，若a4＋a8＋a9是一个定值，则下列各数中也是定值的是()

A．S9B．S11

C．S13D．S15

6．在等差数列{a n}中，公差d＝2, S20＝60，则S21＝()

A．100 B．84

C．66 D．62

7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S9＝72，求a2＋a4＋a9的值．

8．等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a m－1＋a m＋1－a2m＝0，S2m－1＝38，则m＝() A．38 B．20

C．10 D．9

9．在等差数列{a n}，{b n}中，若a1＝25，b1＝75，a100＋b100＝100，则数列{a n＋b n}的前100项之和为____________．

10．已知一个等差数列的前4项之和为21，末4项之和为67，前n项和为286，求该数列的项数n.

2.3.2等差数列前n项和的性质

1．在等差数列{a n}中，S10＝120，那么a1＋a10＝()

A．12 B．24 C．36 D．48

2．已知等差数列{a n}，a n＝2n－19，那么这个数列的前n项和S n()

A．有最小值且是整数

B．有最小值且是分数

C．有最大值且是整数

D．有最大值且是分数

3．在等差数列{a n}中，a1＋a7＝42，a10－a3＝21，则前10项的和S10＝()

A．720 B．257

C．255 D．不确定

4．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：

①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5，其中结果为确定常数的是()

A．②③⑤B．①②⑤

C．②③④D．③④⑤

5．等差数列{a n}前n项和为S n，满足S20＝S40，则下列结论中正确的是()

A．S30是S n中的最大值

B．S30是S n中的最小值

C．S30＝0

D．S60＝0

6．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S12＞0，S13＜0，则S1，S2，S3，…，S12中值最大的是()

A．S5B．S6

C．S7D．S8

7．若等差数列{a n}的前n项和为S n，且a3＝－13，a2＝3，求S n的最大值．

8．等差数列{a n}的首项a1＝－5，它的前11项的平均值为5，若从中抽去一项，余下的10项的平均值为4.6，则抽去的是()

A．a6B．a8

C．a10D．a11

9．若在等差数列{a n}中，S10＝100，S20＝110，则S40＝()

A．130 B．30

C．－140 D．－170

10．已知数列{a n}的前n项和是S n＝32n－n2，求数列{|a n|}的前n项和S n′.

2.4 等比数列

2．4.1 等比数列的定义及通项公式

1．已知等比数列的通项公式为a n ＝2n ，则a 1，q 分别为( ) A ．2,2 B ．2,1 C ．1,2 D ．1,1

2．在等比数列{a n }中，若a 2＝3，a 5＝24，则数列{a n }的通项公式为( ) A.32·2n B.32

·2n －2 C ．3·2n －2

D ．3·2n －1

3．2与4的等比中项是( ) A ．2 2 B ．－2 2 C ．±2 2 D ．不存在

4．已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 2

5，a 2＝1，则a 1＝( ) A.12 B.22 C. 2 D ．2

5．(2013年江西)等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第4项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24

6．若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16

7．有四个数，前三个数成等比数列，其和为19，后三个数成等差数列，其和为12，求这四个数．

8．在等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝16，则a 3＝( ) A ．±4 B ．4 C ．－4 D ．8 9．(2014年广东肇庆一模)已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 5＝________.

10．在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝???

?1＋1n 2·a n (n ∈N *

)．证明：数列????

??a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式．

1．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1, a 4＝8，则a 5＝( ) A ．16 B ．16或－16 C ．32 D ．32或－32

2．已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A ．5 2 B ．7 C ．6 D ．4 2

3．若两数的等差中项为6，等比中项为5，则以这两数为两根的一元二次方程为( ) A ．x 2－6x ＋25＝0 B ．x 2＋12x ＋25＝0 C ．x 2＋6x －25＝0 D ．x 2－12x ＋25＝0

4．(2012年广东茂名一模)在等比数列{a n }中，若a 3，a 9是方程3x 2－11x ＋9＝0的两根，则a 6的值是( )

A ．3

B ．±3

C ．±3

D ．以上答案都不对

5．已知{a n }是等比数列，且a 1a 9＝64，a 3＋a 7＝20，则a 11＝( ) A ．1 B ．64 C ．64或1 D ．±1

6．等比数列{a n }满足a 1a 5＝1

2

，则a 2a 23a 4＝________. 7．在等比数列{a n }中，a 7a 11＝6，a 4＋a 14＝5，求a 20

a 10

的值．

8．设数列{a n }是等比数列，且a 5a 6＝81，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝__________. 9．2，x ，y ，z,162是成等比数列的5个正整数，则y ＝( ) A ．54 B ．27 C ．18 D ．±18

10．已知数列{a n }与等比数列{b n }满足b n ＝2a n ，n ∈N *. (1)判断{a n }是什么数列，并证明；

(2)若a 8＋a 13＝1

2

，求b 1·b 2·…·b 20的值．

2．5.1 等比数列的前n 项和

1．(2014年广东清远一模)在等比数列{a n }(n ∈N *)中，若a 1＝1，a 4＝1

8

，则该数列的前

5项和为( )

A ．2－????123

B ．2－???

?124 C ．2－????125

D ．2－???

?126 2．在等比数列{a n }中，a 1＝1, 前3项和S 3＝3，则公比q ＝( ) A ．1 B ．－2

C ．1或－2

D ．－1或2

3．在1和16之间插入3个正数a ，b ，c ，使1，a ，b ，c,16成等比数列，则这个等比数列所有项的和为( )

A ．28

B ．29

C ．30

D ．31

4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，已知3S 3＝a 4－2,3S 2＝a 3－2，则公比q ＝( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －

1，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A.31

2 B ．62 C.341

2

D ．682 6．(2013年北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝__________.

7．在等比数列中{a n }中，已知a 1＝1，a 4＝8，求： (1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .

8．等比数列{a n }的公比q ＞0, 已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝______.

9．已知a ≠0，则S ＝1＋a ＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝____________________.

10．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .

2.5.2 等比数列前n 项和的性质

1．在等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项和S 3＝21，则公比q 的值为( )

A ．1

B ．－1

2

C ．1或－12

D ．－1或1

2

2．在公比为整数的等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18, a 2＋a 3＝12，则这个数列的前8项之和S 8＝( )

A ．513

B ．512 C.225

8

D ．510 3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝( ) A ．80 B ．30 C ．26 D ．16

4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9

S 6

＝( )

A ．2 B.7

3

C.8

3

D ．3 5．某工厂去年产值为a ，计划5年内每年比上一年产值增长10%，从今年起5年内这个工厂的总产值是( )

A ．1.14a

B ．1.15a

C ．10(1.15－1)a

D ．11(1.15－1)a

6．等比数列{a n }的各项均为正数，且a 5a 6＋a 4a 7＝18，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10

＝( )

A ．12

B ．10

C ．8

D ．2＋log 35

7．设等比数列{a n }的公比q ＝2，前n 项和为S n ，求S 4

a 2

.

8．在等比数列{a n }中，S n 是其前n 项和，若S 6＝48，S 12＝60，则S 18＝________.

9．一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1

＝________.

10．项数为偶数的等比数列的所有项之和等于它的偶数项之和的4倍，第2项与第4项之积为第3 项与第4项之和的9倍，求该数列的通项公式．

2.6 数列求和

1．在等差数列{a n }中，公差d ≠0，a 1≠d ，S 20＝10m ，那么下列各式中与m 相等的是( ) A ．a 3＋a 5 B ．a 2＋2a 10 C ．a 20＋d D ．a 9＋a 12

2．设等比数列{a }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝2S 9，则数列的公比q ＝( )

A.12 B ．－12 D 3．数列{a n }的通项公式为a n ＝1

n ＋n ＋1

，若S n ＝9，则n ＝( )

A ．9

B ．10

C ．99

D ．100

4．在等比数列{a n }中，a n >a n ＋1，且a 7·a 14＝6，a 4＋a 17＝5，则a 17

a 4

＝( )

A.32

B.23

C.1

6

D ．6 5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列????

??

1a n ·

a n ＋1的前100项和为( )

A.100101

B.99101

C.99100

D.101100

6．公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10＝( )

A ．18

B ．24

C ．60

D ．90

7．求数列11×3，12×4，13×5，…，1

n (n ＋2)

，…的前n 项和S n .

8．数列1，12，12，13，13，13，14，14，14，1

4，…的前100项的和为( )

A ．13914

B ．131114

C ．14114

D ．14314

9．数列{a n }是等差数列，公差d >0，S n 是{a n }的前n 项和．已知a 2a 3＝40，S 4＝26. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)令b n ＝1

a n ·a n ＋1

，求数列{b n }前n 项和T n .

10．(2013年湖南)设S n为数列{a n}的前n项和，已知a1≠0,2a n－a1＝S1·S n，n∈N*.

(1)求a1，a2，并求数列{a n}的通项公式；

(2)求数列{na n}的前n项和．

第二章 数列

2．1 数列的概念与简单表示法 2．1.1 数列的概念及表示方法

1．C 2.C 3.C 4.A 5.C 6.C 7.a n ＝n (n ＋1)

2

8．b n ＝n ＋2

n 9.C

10．解：设110是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n ＝1

10

，即n 2＋3n －40＝0，(n ＋8)(n －5)

＝0.∴n ＝－8(舍去)，n ＝5.

∴1

10

是数列{a n }中的第5项． 同理设1627是数列{a n }中的项，∴a n ＝4n 2＋3n ＝1627，

即4n 2＋12n －27＝0，(2n －3)(2n ＋9)＝0.

∴n ＝32(舍去)或n ＝－9

2(舍去)．

∴16

27不是数列{a n }中的项．

2．1.2 数列的递推公式

1．D 2.B 3.B 4.C 5.D 6.D 7．解：依题意，得120＝n (n ＋2)．

∴n 2＋2n －120＝0，即(n ＋12)(n －10)＝0. ∴n ＝－12(舍去)，或n ＝10. ∴1

120

是数列{a n }的第10项． 8．A 解析：a 2＝a 1＋ln2，a 3＝a 2＋ln 32，a 4＝a 3＋ln 4

3，…，a n －1＝a n －2＋ln n －1n －2，a n

＝1

n a -＋ln n n －1，故a n ＝a 1＋ln2＋ln 32＋ln 43＋…＋ln n －1n －2＋ln n

n －1

＝a 1＋

ln ?

????2×32×43×…×n －1n －2×n n －1＝a 1＋ln n ＝2＋ln n . 9．37 a n －a n －1＝6(n －1) 10．解：∵a 1＝1，S n ＝n 2·a n ， ∴当n ≥2时，S n －1＝(n －1)2·a n －1.

∴a n ＝S n －S n －1＝n 2a n －(n －1)2a n －1?a n a n －1＝n －1

n ＋1

.

∴a n ＝a n a n －1· a n －1a n －2·a n －2a n －3

·…· a 3a 2·a 2

a 1·a 1

＝n －1n ＋1· n －2n ·n －3n －1·…· 24·13·1＝2n (n ＋1)

.

显然当n ＝1时，2n (n ＋1)＝1，∴a n ＝2

n (n ＋1)

，n ∈N *.

2．2 等差数列

2．2.1 等差数列的定义及通项公式

1．D 2.A 3.A 4.D 5.C 6.10 7.13 8.D 9.13

10．解：根据韦达定理，得?????

a 1＋a 2＝a 3，

a 1·a 2＝a 4.

即????? a 1＋a 1＋d ＝a 1＋2d ，a 1·(a 1＋d )＝a 1＋3d ，解得?????

a 1＝2，

d ＝2.

故a n ＝a 1＋()n －1d ＝2n .

2．2.2 等差数列的性质 1．15 2.B 3.A 4.B 5.B

6．2n －m 7.13 8.8 9.π

12

10．解：(1)由题意知：举行奥运会的年份构成的数列是一个以1896为首项，4为公差的等差数列．

数列的通项公式为a n ＝1896＋4(n －1)＝1892＋4n (n ∈N *)． (2)假设a n ＝2008，由2008＝1892＋4n ，得n ＝29. 假设a n ＝2050,2050＝1892＋4n 无正整数解．

∴所求通项公式为a n ＝1892＋4n (n ∈N *)，2008年北京奥运会是第29届奥运会，2050年不举行奥运会．

2．3 等差数列的前n 项和 2．3.1 等差数列的前n 项和 1．B 2.A 3.C 4.A 5.C 6.B 7．解：数列{a n }是等差数列， 由S 9＝72，又S 9＝9a 5，∴a 5＝8.

∴a 2＋a 4＋a 9＝(a 2＋a 9)＋a 4＝(a 5＋a 6)＋a 4＝3a 5＝24. 8．C 解析：∵数列{a n }是等差数列，∴a m －1＋a m ＋1＝2a m .由a m －1＋a m ＋1－a 2m ＝0，

得2a m －a 2m ＝0，∴a m ＝2或a m ＝0(舍去)．又S 2m －1＝38，即(2m －1)(a 1＋a 2m －1)

2＝38，即(2m －1)×2＝38，解得m ＝10.

9．10 000 解析：S 100＝100(a 1＋b 1＋a 100＋b 100)

2

＝50×(25＋75＋100)＝10 000.

10．解：设这个数列为{a n }，则 ?????

a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝21，a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝67.

∴a 1＋a n ＝22. ∵S n ＝n (a 1＋a n )2

＝286，∴n ＝26.

2．3.2 等差数列前n 项和的性质 1．B 2.A 3.C 4.A

5．D 解析：∵{a n }为等差数列，S 20＝S 40，

∴a 21＋a 22＋…＋a 40＝0.S 60＝(a 1＋a 2＋…＋a 20)＋(a 21＋a 22＋…＋a 40)＋(a 41＋a 42＋…＋a 60)＝3(a 21＋a 22＋…＋a 40)＝0.

6．B

7．解：∵a 2＝3，a 3＝－13，∴d ＝a 3－a 2＝－16. ∴a 1＝a 2－d ＝19.

∵a 2>0，a 3>0，且d <0，

∴S n 的最大值为S 2＝a 1＋a 2＝19＋3＝22. 8．B 9.C

10．解：∵a 1＝S 1＝32×1－12＝31， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝33－2n .

又由a n ＞0，得n ＜16.5，即{a n }前16项为正，以后皆负．

∴当n ≤16时，S n ′＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝32n －n 2；

当n ＞16时，S n ′＝a 1＋…＋a 16－a 17－a 18－…－a n ＝S 16－(S n －S 16)＝2S 16－S n ＝512－32n ＋n 2.

∴S n ′＝?

????

32n －n 2

(n ≤16)，

512－32n ＋n 2

(n >16).

2．4 等比数列

2．4.1 等比数列的定义及通项公式 1．A 2.C 3.C 4.B 5.A 6.B

7．解：设所求的四个数分别为a ，x －d ，x ，x ＋d ，

则????

?

(x －d )2

＝ax ， ①a ＋(x －d )＋x ＝19， ②(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝12. ③

解得x ＝4.代入①②，得?

????

(4－d )2

＝4a ，

a －d ＝11.

解得????? a ＝25，d ＝14或?????

a ＝9，

d ＝－2.

故所求四个数为25，－10,4,18或9,6,4,2. 8．B 9.16

10．证明：∵2a n ＋1＝????1＋1

n 2·a n ， ∴a n ＋1＝1

2·????1＋1n 2·a n . ∴a n ＋1()n ＋12＝12·????1＋1n 2

()n ＋12·a n ＝12·a n

n

2. 因此数列????

??a n n 2是以首项为a 112＝1，公比为1

2的等比数列．

∴a n n 2＝1·????12n －1＝12n －1，即a n ＝n

2

2n －1.

2．4.2 等比数列的性质 1．A 2.A 3.D 4.C 5.C 6.14 解析：a 1a 5＝12?a 23＝12，a 2a 23a 4＝a 43＝14. 7．解：因为a 7a 11＝a 4a 14＝6，又a 4＋a 14＝5，

所以????? a 4＝2，a 14＝3或?????

a 4＝3，a 14＝2. 所以a 20a 10＝q 10＝a 14a 4.所以a 20a 10＝32或a 20a 10＝23

.

8．20 解析：log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5a 6)5＝5log 381＝5×4＝20.

9．C 解析：由已知，得y ＝2×162＝18. 10．解：(1)数列{a n }是等差数列．证明如下： ∵b n ＝2a n ，∴log 2b n ＝a n .∴a n －1＝log 2b n －1(n ≥2)．

∴a n －a n －1＝log 2b n

b n －1

.

∵数列{b n }为等比数列， ∴b n b n －1为常数，log 2b n b n －1也为常数． ∴数列{a n }为等差数列． (2)∵b n ＝2a n ，

∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝2a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20.

由(1)知：{a n }为等差数列，且a 8＋a 13＝1

2

，

∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 20＝10(a 8＋a 13)＝5. ∴b 1·b 2·b 3·…·b 20＝25＝32.

2．5 等比数列的前n 项和 2．5.1 等比数列的前n 项和

1．B 2.C 3.D 4.B 5.D 6.2 2n ＋

1－2 7．解：(1)由已知a 1＝1，a 4＝8， ∴a 1q 3＝8，易得q ＝2.

∴a 2＝2n －

1.

(2)∵S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n

－1.

8.15

2 9.11或1－a 111－a

10．解：(1)依题意，得a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2) 由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0.

又q ≠0，从而q ＝－1

2

.

(2)由已知，可得a 1－a 1???

?－1

22＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4????1－????－12n 1－???

?－12＝83????

1－????－12n .

2．5.2 等比数列前n 项和的性质 1．C 2.D 3.B 4.B 5.D

6．B 解析：由a 5a 6＋a 4a 7＝18，得a 5a 6＝9.所以log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝log 3(a 1·a 2·…·a 10)＝log 3(a 5·a 6)5＝log 395＝log 3310＝10.

7．解：∵q ＝2，

∴S 4＝a 1(1－24)1－2＝15a 1.

∴S 4a 2＝15a 12a 1＝152

. 8．63 解析：在等比数列{a n }中，(S 12－S 6)2＝S 6·(S 18－S 12)，

∴S 18＝(S 12－S 6)2S 6＋S 12＝(60－48)

2

48

＋60＝63.

9.56

10．解：设数列{a n }共有2n 项，则

(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n )＝4(a 2＋a 4＋…＋a 2n )． 显然q ≠1，且a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1 ＝3(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n )． ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝13

，即q ＝13.

又a 2·a 4＝9(a 3＋a 4)，∴a 21q 4＝9a 1q 2

(1＋q )，∴a 1＝108.

∴a n ＝108·????13n －1＝43n

－4.

2．6 数列求和

1．D 2.D 3.C 4.B

5．A 解析：由a 5＝5，S 5＝15，得a 1＝1，d ＝1，∴a n ＝1＋(n －1)＝n .故

1a n a n ＋1＝

1

n (n ＋1)

＝1n －1n ＋1.又1a 1a 2＋…＋1a 100a 101＝11－12＋12－13＋…＋1100－1101＝1－1101＝100101.故选A. 6．C 解析：由a 24＝a 3a 7，得

(a 1＋3d )2

＝(a 1＋2d )(a 1＋6d )． 则2a 1＋3d ＝0.

再由S 8＝8a 1＋56

2

d ＝32，得2a 1＋7d ＝8.

则d ＝2，a 1＝－3.

所以S 10＝10a 1＋90

2

d ＝60.

7．解：∵1n (n ＋2)＝12?

???1

n －1n ＋2，

∴S n ＝1

2????????1－13＋????12－14＋…＋????1n －1n ＋2 ＝12????1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－12n ＋2－1

2n ＋4.

8．A 解析：由1＋2＋…＋n ＜100，即n (n ＋1)＜200，得n ≤13.当n ＝13时，

n (n ＋1)

2

＝91，∴????1＋12＋12＋13＋13＋13＋…＋113＋114＋114＋…＋114＝13＋914

. 9．解：(1)S 4＝4

2

(a 1＋a 4)＝2(a 2＋a 3)＝26，

又∵a 2a 3＝40，d >0，∴a 2＝5，a 3＝8，d ＝3. ∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n －1.

(2)∵b n ＝1a n ·a n ＋1＝1

(3n －1)(3n ＋2)

＝13???

?1

3n －1－13n ＋2， ∴T n ＝13????????12－15＋????

15－18＋…＋????13n －1－13n ＋2

＝13????12－13n ＋2＝n

2(3n ＋2). 10．解：(1)∵S 1＝a 1，

∴当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1.又∵a 1≠0，∴a 1＝1.

当n >1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1

S 1

＝2a n －2a n －1?a n ＝2a n －1?{a n }是首项为

a 1＝1，公比为q ＝2的等比数列，即a n ＝2n －

1，n ∈N *.

(2)令T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n ·a n ?qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n ·qa n ?qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n ·a n ＋1. 上式左右错位相减，得

(1－q )T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1

＝a 11－q n 1－q

－na n ＋1＝2n －1－n ·2n

?T n＝(n－1)·2n＋1，n∈N*.