2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学
第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一.选择题:共12 小题,每小题 5 分,共60 分。在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合
A={ x | x
2
2x30 }
,
B={
-≤<=,则A B
=
x | 2 x 2
A .[-2,-1]
B .[-1,2)
C .[-1,1]
D .[1,2)(1i )3
2.(1i )2 =
A .1 i
B .1 i
C . 1 i
D .1 i
3.设函数f (x),g (x)的定义域都为R,且f ( x)时奇函数,g( x)是偶函数,则下列结论正确的是
A .f ( x) g (x)是偶函数
B .|f ( x)|g( x)是奇函数
C . f ( x) | g ( x) |是奇函数
D .|f (x) g (x)|是奇函数
4.已知F是双曲线C:x2my23m( m0) 的一个焦点,则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为A.3
B .3
C .3m
D .3m
5.4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日
都有同学参加公益活动的概率
A .1
B .
3
C .5
D .
7 8888
6.如图,圆 O 的半径为 1, A 是圆上的定点, P 是圆上的动点,角x 的始边
为射线 OA ,终边为射线 OP ,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点 M 到直线 OP 的距离表示为 x 的函数 f ( x),则y=f ( x)在[0,]上的图像大致为
7.执行下图的程序框图,若输入的a,b, k 分别为1,2,3,则输出的M=
A.20
B .
16
C .7
D .
15 3528
8.设(0,),(0,) ,且 tan 1 sin
,则
22cos
A .3
2B .2 C . 3
2
D .2
22
9.不等式组x y 1
的解集记为 D .有下面四个命题:
x 2 y4
p1:( x, y) D , x 2 y 2 ,p2:( x, y) D , x 2y 2,
P3:( x, y) D , x 2 y 3 ,p4:( x, y) D , x 2 y1.
其中真命题是
A .p2,p3
B .p1,p4
C .p1,p2
D .p1,p3
10.已知抛物线C:y28x 的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个焦点,若FP4FQ ,则| QF |=
7
B .5
C .3
D .2
A .
2
2
11.已知函数f ( x) = ax33x21,若 f ( x) 存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围为
A .(2,+∞)
B .(-∞,-2)
C .(1,+∞)
D .(-∞,-1)
12.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为
A.6 2
B.4 2 C .6 D .4
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两个部分。第(13)题 -第( 21)题为必考题,每个考生都必须作答。第(22)题 -第( 24)题为选考题,考生根据要求作答。
二.填空题:本大题共四小题,每小题5分。
13.( x y)( x y)8的展开式中 x2 y2的系数为.(用数字填写答案 )
14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A , B, C 三个城市时,
甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市;乙说:我没去过 C 城市;
丙说:我们三人去过同一个城市.由此可判断乙去过的城市为.
15.已知 A ,B , C 是圆 O 上的三点,若AO 1
(AB AC) ,则 AB 与AC的夹角为. 2
16.已知 a,b,c 分别为 ABC 的三个内角 A, B,C 的对边,a=2,且(2 b)(sin A sinB)( c b)sin C ,则ABC 面积的最大值为.
三 .解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12 分)已知数列 { a n } 的前n项和为S n,a1 =1 ,a n0 , a n a n 1S n1,其中为常数.
( I )证明:a n 2a n;
(Ⅱ)是否存在,使得 { a n } 为等差数列?并说明理由 .
18. ( 本小题满分12 分 )从某企业的某种产品中抽取500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结
果得如下频率分布直方图:
( I )求这 500 件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s2(同一组数据用该区间的中点值作代表);(Ⅱ)由频率分布直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N( ,2),其中近似为样本平均数x , 2 近似为样本方差s2.
( i )利用该正态分布,求P(187.8 Z 212.2) ;
(ii )某用户从该企业购买了100 件这种产品,学科网记X表示这 100 件产品中质量指标值为于区间
(187.8,212.2 )的产品件数,利用( i )的结果,求EX .
附: 150 ≈12.2
若.Z~N( ,2) ,则P(Z) =0.6826,P(2Z 2 ) =0.9544.
19. (本小题满分 12分)如图三棱锥ABC A1B1C1中,
侧面 BB1C1C 为菱形, AB B1C .
( I )证明:AC AB1;
(Ⅱ)若 AC AB1, CBB160o,AB=Bc,
求二面角 A A1B1C1的余弦值.
20. ( 本小题满分12 分 ) 已知点A( 0, -2),椭圆E:x
2
y21(a b 0) 的离心率为
3
,F是椭a2b22
圆的焦点,直线AF 的斜率为23
,O为坐标原点. 3
(I)求E的方程;
(Ⅱ)设过点 A 的直线l与 E 相交于P,Q两点,当OPQ 的面积最大时,求 l 的方程.
21.( 本小题满分12 分 )设函数f ( x0 ae x ln x be x 1,曲线 y f (x) 在点(1, f (1) )处的切线为
x
y e( x 1) 2 .( I)求a, b;(Ⅱ)证明: f ( x) 1 .
请考生从第( 22)、( 23)、( 24)三题中任选一题作答。注意:只能做所选定的题目。如果多做,则
按所做的第一个题目计分,作答时请用
2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.(本小题满分 10 分)选修 4— 1:几何证明选讲
如图,四边形 ABCD 是⊙ O 的内接四边形, AB 的延长线与 DC 的延长线交于点
E ,且 CB=CE
(Ⅰ )证明:∠ D= ∠E ;学科网
(Ⅱ)设 AD 不是⊙ O 的直径, AD 的中点为
M ,且 MB=MC ,证明:△ ADE 为等边三角形 .
23. (本小题满分 10 分)选修 4— 4:坐标系与参数方程
已知曲线 C :
x
2
y 2
x 2 t
1,直线 l : 2 ( t 为参数) .
4
9
y
2t
( I )写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程;
(Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30o 的直线,交 l 于点 A ,
求 | PA |的最大值与最小值 .
24. (本小题满分 10 分)选修 4— 5:不等式选讲 若 a 0, b 0 ,且
1
1
ab .
a b
( I ) 求 a 3 b 3 的最小值;
(Ⅱ)是否存在 a, b ,使得 2a 3b 6 ?并说明理由 .
2014 年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案1—5ADCAD6— 12 CDCBBCB13.- 2014. A 15.90°16.2
17.【解析】: (Ⅰ )由题设a n a n 1S n1, a n1a
n
2
S n1 1,两式相减
a
n 1a
n 2
a
n a n 1,由于 a n0 ,所以 a n 2a n????6 分
(Ⅱ)由题设 a1=1, a1a2S11,可得 a21 1 ,由(Ⅰ)知 a31
假设 { a n } 为等差数列,则a1, a2, a3成等差数列,∴a1a32a2,解得 4 ;证明 4 时,{ a n}为等差数列:由 a n 2 a n 4 知
数列奇数项构成的数列a
2 m 1是首项为1,公差为 4 的等差数列a2 m 14m 3
令 n2m 1, 则 m n 1
2n 1 (n 2m 1),∴ a n
2
数列偶数项构成的数列a
2 m是首项为3,公差为4 的等差数列a2m4m 1
令 n2m, 则 m n
,∴ a n2n 1 (n2m) 2
∴ a n2n 1(n N *),a n 1a n 2
因此,存在存在 4 ,使得{ a n}为等差数列.??? 12分18.【解析】: (Ⅰ ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差 s2分别为
x170 0.02 180 0.09 190 0.22 200 0.33
210 0.24 220 0.08 230 0.02
200
s2
2
0.0220
2
10
2
00.33
300.090.22
2
0.24
2
0.08
2
0.02
102030
150????6 分
(Ⅱ)(ⅰ)由 (Ⅰ )知Z~N (200,150),从而
P(187.8 Z212.2)P(200 12.2 Z20012.2)0.6826??????9 分
(ⅱ)由(ⅰ)知,一件产品中质量指标值为于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826
依题意知 X B(100,0.6826) ,所以EX1000.6826 68.26??? 12 分
19.【解析】: (Ⅰ )连结BC1,交B1C于 O,连结 AO .因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C BC1,且 O 为B1C与BC1的中点.又AB B1C ,所以 B1C平面 ABO ,故 B1C AO又 B1O CO ,故
AC AB1???6 分
(Ⅱ)因为 AC AB1且O为 B1C 的中点,所以又因为,所以 BOA BOC 故 OA⊥,从而 OA , OB,OB1两两互相垂直.
以 O 为坐标原点, OB 的方向为 x 轴正方向, OB 为单位长,
建立如图所示空间直角坐标系O- xyz.因为CBB1600,
所以CBB1为等边三角形.又,则
A 0,0,3
, B1,0,0 ,B10,
3
,0 ,C0,
3
,0 333
AB10, 3 ,3, A1B1AB1,0,3, B1C1BC1,3 ,0
3333设 n x, y, z 是平面的法向量,则
n AB10
3 y 3 z0
,即33所以可取n1,3, 3
n A1B103
x z0
3
设 m 是平面的法向量,则m A1B10
,同理可取 m1,3,3 n B1C10
则 cos n, m
n m1,所以二面角 A A1 B1C1的余弦值为1 .
n m77
20.【解析】 (Ⅰ ) 设F c,0,由条件知2 2 3
3又
c3
c3
,得 c
a
,
2
所以, b2a2c2 1 ,故 E 的方程x
2y21.??? .6分4
(Ⅱ)依题意当l x 轴不合题意,故设直线l:y kx2,设 P x1, y1 , Q x2 , y2将 y kx2代入 x2y21,得14k 2x216kx120 ,
4
当
16(4k 2
3)0 ,即k
23
时, x1,2
8k24k 23
414k 2
从而 PQ k 2 1 x1x2 4 k 2 1 4k 23
14k2
又点 O 到直线 PQ 的距离
d
2 ,所以 OPQ 的面积 S OPQ
1
d PQ 4 1 4k 2 3 ,
k 2 1
2 4k 2
设
4k 2
3 t ,则 t 0 , S OPQ
4t
4
4 1,
t
2
t 4
t
当且仅当 t
2 , k
7 时等号成立,且满足
0 ,所以当
OPQ 的面积最大时,
l 的方程为:
2
y
7 x 2 或 y
7
x 2 .
??????????
12分
2
2
21.【解析】 (Ⅰ ) 函数 f (x) 的定义域为
0, , f ( x)
x ln x
a x
b x 1 b x 1
ae
e
x 2 e
e
x
x
由题意可得 f (1) 2, f (1) e ,故 a
1,b 2
?????6 分
(Ⅱ)由 (Ⅰ)知,
f ( x) e x ln x 2e x 1 ,从而 f ( x) 1 等价于 x ln x
xe x
2
x
e
设函数
g( x) x ln x ,则 g (x) x
ln x ,所以当 x
0,
1
时, g ( x)
,当
e
x
1 , 时, g ( x)
,故 g (x)
在
0,
1
单调递减, 在
1 , 单调递增,
e
e
e
从而
g( x) 在 0, 的最小值为
1 1
?????8 分
g( )
.
e
e
设函数
h(x) xe x
2
,则 h (x)
e x 1 x ,所以当 x
0,1
时, h ( x) 0
,当
e
x
1, 时, h (x)
0 ,故 h( x) 在
0,1 单调递增,在
1,
单调递减,从
而
h( x) g( x) 在 0,
的最小值为
1 综上:当 x
0 时, g (x)
h( x) ,即
h(1).
e
f ( x) 1 .
?? 12分
22.【解析】 .(Ⅰ ) 由题设知得 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,所以 D= CBE ,由已知得,
CBE=
E ,
所以
D=
分
(Ⅱ)设 BCN 中点为,连接 MN, 则由
知 MN ⊥ 所以O 在MN 上,又 AD 不是 O 的
直径, M 为 AD 中点,故 OM ⊥ AD , 即 MN ⊥ AD ,所以 AD//BC, 故 A=
CBE , 又 CBE= E ,
故
A=
由 (Ⅰ )( 1)知
D=
E , 所以△ ADE 为等边三角形.
????? 10 分
23.【解析】 .(Ⅰ ) 曲线 C 的参数方程为:
x 2cos ( 为参数),
y 3sin
直线 l 的普通方程为: 2x y 6 0
???5 分
(Ⅱ)(2)在曲线 C 上任意取一点P (2cos ,3sin )到 l 的距离为
d
5
4cos3sin 6 ,5
则|PA|d25
5sin6,其中为锐角.且 tan4.
sin 30053当 sin 1 时,| PA |取得最大值,最大值为22 5;
5
当 sin1时, | PA |取得最小值,最小值为25
???? 10分.
5
24.【解析】 (Ⅰ )由ab 112
2,且当 a b2时等号成立,a b
,得 ab
ab
故 a3b3 3 a3b342 ,且当 a b 2 时等号成立,∴a3b3的最小值为4 2.?5分(Ⅱ)由 (Ⅰ)知:2a3b2 6 ab4 3 ,
由于 43> 6,从而不存在a,b,使得 2a3b 6.????? 10分