对数与对数函数(学生版)
对数与对数函数
1．对数
a >1
0 定义域：(0，＋∞) 指数函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． [做一做] 1．计算：2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．4 2．(2014·高考天津卷改编)函数f (x )＝log 12 x 2的单调递增区间为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－∞，0) C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－2) 3．f (x )＝1－lg （x －2）的定义域为________． 1．辨明三个易误点 (1)在运算性质中，要特别注意条件，底数和真数均大于0，底数不等于1； (2)对公式要熟记，防止混用； (3)对数函数的单调性、最值与底数a 有关，解题时要按01分类讨论，否则易出错． 2．对数函数图象的两个基本点 (1)当a >1时，对数函数的图象“上升”； 当0 (2)对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，????1a ，－1，函数 图象只在第一、四象限． [做一做] 4．函数y ＝log a (3x －2)(a >0，a ≠1)的图象经过定点A ，则A 点坐标是( ) A.????0，23 B.????23，0 C ．(1，0) D ．(0，1) 5．函数y ＝log 12 (3x －a )的定义域是??? ?2 3，＋∞，则a ＝________． ,[学生用书P 30～P 31]) 考点一__对数式的化简与求值________________ 计算下列各式： (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)lg 3 7 ＋lg 70－lg 3－（lg 3）2－lg 9＋1； (3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)． [规律方法] 对数运算的一般思路： (1)首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数的运算性质化简合并． (2)将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算． [注意] 在运算中要注意对数化同底和指数与对数的互化． 1.(1)计算： （1－log 63）2＋log 62·log 618 log 64 ； (2)已知log a 2＝m ，log a 3＝n ，求a 2m ＋ n . 考点二__对数函数的图象及应用______________ (1)(2014·高考浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的 图象可能是( ) (2)若不等式(x －1)2 若本例(2)变为：已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈??? ?0，1 2时恒成立，求实数a 的取值范围． [规律方法] (1)研究对数型函数的图象时，一般从最基本的对数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，要注意底数a ＞1或0＜a ＜1的两种不同情况． (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解． 2.(1)(2014·高考福建卷)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则下 列函数图象正确的是( ) (2)不等式log a x >(x －1)2 恰有三个整数解，则a 的取值范围为________． 考点三__对数函数的性质及应用(高频考点) 对数函数的性质是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式考查，难度低、中、高档都有． 高考对对数函数性质的考查主要有以下四个命题角度： (1)考查对数函数的定义域； (2)考查对数函数的单调性、奇偶性； (3)比较对数值的大小； (4)解简单的对数不等式． (1)(2014·高考辽宁卷)已知a ＝2－ 1 3， b ＝log 213， c ＝log 12 13，则( ) A ．a >b >c B ．a >c >b C ．c >a >b D ．c >b >a (2)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. ①求f (x )的定义域； ②判断f (x )的奇偶性并予以证明； ③当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围． [规律方法] 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的复合函数的值域和单调性问题时，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的． 3.(1)(2015·辽宁省五校第一协作体高三联考)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上 单调递增，则f (a ＋1)与f (2) 的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)>f (2) B ．f (a ＋1) C ．f (a ＋1)＝f (2) D ．不能确定 (2)已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1，2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( ) A.12 B.14 C ．2 D ．4 (3)已知函数f (x )＝ln(1－a 2 x )的定义域是(1，＋∞)，则实数a 的值为________． ,[学生用书P 31～P 32]) 方法思想——求解不等关系中的参数问题(一题多解) (2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝?????－x 2＋2x ，x ≤0， ln （x ＋1），x >0. 若|f (x )|≥ax ，则 a 的取值范围是( ) A ．(－∞，0] B ．(－∞，1] C ．[－2，1] D ．[－2，0] 已知 a ＝5log 23.4， b ＝5log 43.6， c ＝ ??? ?15log 3 0.3 ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >a >b 1．(2014·洛阳市高三年级统一考试)函数f (x )＝ln （x ＋3） 1－2x 的定义域是( ) A ．(－3，0) B ．(－3，0] C ．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D ．(－∞，－3)∪(－3，0) 2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.1 2 x C ．log 12 x D ．2x － 2 3．(2014·高考山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a >0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( ) A ．a >1，c >1 B ．a >1，0 C ．01 D ．0 4．(2014·高考天津卷)设a ＝log 2π，b ＝log 12 π，c ＝π－ 2，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．a >c >b D ．c >b >a 5．已知函数f (x )＝ln e x －e － x 2 ，则f (x )是( ) A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增 B ．奇函数，且在R 上单调递增 C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减 D ．偶函数，且在R 上单调递减 6．函数y ＝log 3(x 2－2x )的单调减区间是________． 7．(2014·高考重庆卷)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为________． 8．计算下列各题： (1)12lg 3249－4 3 lg 8＋lg 245； (2)log 34273·log 5[41 2 log 210－(33)2 3－7log 72]． 9．已知f (x )＝log a (a x －1)(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域； (2)判断函数f (x )的单调性． 1．已知lg a ＋lg b ＝0，则函数f (x )＝a x 与函数g (x )＝－log b x 的图象可能是( ) 2．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间??? ?12，2 3上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( ) A.????13，1 B.????13，1 C.????23，1 D.??? ?23，1 3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m ＝________． 4．已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m 5．(2015·辽宁沈阳模拟)设f (x )＝|lg x |，a ，b 为实数，且0 (2)若a ，b 满足f (a )＝f (b )＝2f ??? ? a ＋ b 2，求证：a ·b ＝1，a ＋b 2>1. 6．(选做题)已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)． (1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)是否存在实数a ，使f (x )的最小值为0？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由． 数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。 指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数 函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1) x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x 2.2指数函数与对数函数的应用 目标认知：学习目标： 能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题． 学习重点： 运用函数有关理论，解决综合问题． 学习难点： 指数函数与对数函数综合应用． 典型例题：例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A．B．2C．D．4 【解读】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( ) A．B．(1，9]C．(0，1)D． 【解读】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]， ∴选B． 例3．若，则下列结论正确的是( ) A．B．C． D． 【解读】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确． 例4．函数的值域为 A．B．C．D． 答案：A 例5．若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A．B．C．D． 答案：A 【解读】函数的反函数是，又，即 ， 所以，a=2，故，选A． 例6．设，，，则 A．B．C．D． 答案：A 【解读】∵，∴ ∴，∴． 例7．设则________ 答案：． 【解读】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算． 例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是 A．B．C．D． 答案：C 【解读1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以 又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令， 由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数， 所以，即a+b的取值范围是． 【解读2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题， ，过点(1，1)时z最小为2， ∴C 例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 A．B．C． D． 答案：A 【解读】的零点为，的零点为， 的零点为，的零点为． 现在我们来估算的零点，因为，， 所以的零点， 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A． 1．log 5b ＝2，化为指数式是 ( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案：C 2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．a >5或a <2 B ．20a －2≠1 5－a >0 即20，a 2＝4 9 ，则log 23 a ＝________. 解析：∵a >0，且a 2＝49，∴a ＝2 3 . ∴log 23 23 ＝1. 答案：1 6．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式： (1) πx ＝8；(2)log x 64＝－6； (3)lg1 000＝3. 解：(1)由πx ＝8，得x ＝log π8； (2)由log x 64＝－6，得x －6＝64； (3)由lg1 000＝3，得103＝1 000. j 一、选择题 1．已知log x 8＝3，则x 的值为 ( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．4 解析：由log x 8＝3，得x 3＝8，∴x ＝2. 答案：B 2．方程2log 3x ＝14的解是 ( ) A ．9 B.33 C. 3 D.19 解析：∵2 log 3x ＝14＝2－2. 3.2.2 对数函数 【学习要求】 1.理解对数函数的概念; 2.掌握对数函数的性质; 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 【学法指导】 通过画函数y ＝log 2x 和y ＝log x 的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数函数的概念: 函数 y ＝log a x (a>0,a ≠1,x>0) 叫做对数函数. 2.a : (1)对数函数的定义域是 正实数集 ,即 (0,＋∞) ,值域是实数集R; (2)在定义域内,当 a>1 时是增函数, 当 0 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2) log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1 log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x = 4 9 时，不等式 log a (x 2–x – 2)＞log a (–x 2 +2x + 3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x = 49使原不等式成立. ∴log a [249)49(2--]＞log a )349 2)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639. 而1613＜16 39 . 所以y = log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为??? ? ???++-<-->++->--322032022222x x x x x x x x ，解得??? ???? <<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)2 5 ,2( 例2．求证：函数f (x ) =x x -1log 2 在(0, 1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1) = 212221log log 11x x x x ---2 1221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1 122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1. 则2 1 12211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1). 故函数f (x )在(0, 1)上是增函数 例3．已知f (x ) = log a (a –a x ) (a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1. 故f (x )的定义域为( -∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1. 则log a (a –a x )＜lg a a = 1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞, 1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1, +∞)上为减函数. 对数函数基础运算法则 及例题,答案 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 对数函数的图像及性质 例1．已知x =49 时，不等式log a (x 2–x –2)＞log a (–x 2+2x +3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]＞log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639.而1613＜1639.所以y =log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ，解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2．求证：函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3．已知f (x )=log a (a –a x )(a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1.故f (x )的定义域为(-∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1.则log a (a –a x )＜lg a a =1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞,1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 高中数学例题：对数函数性质的综合应用 例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数， 即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3） 132 ． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2?? ??? ，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只 需2C 过点1124?? ???，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211 log ()22a =即可，解得132 a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 举一反三： 【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. (1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1． 【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ； 当a ≠0时，有???<-=?>0 440a a ? a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数? a=0或? ??≥-=?>0440a a ?0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1. 对数函数的定义： 函数x y a log =)10(≠>a a 且叫做对数函数，定义域为),0(+∞，值域为),(+∞-∞． 对数的四则运算法则： 若a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0，则 (1)log ()log log a a a MN M N =+; (2)log log log a a a M M N N =-; (3)log log ()n a a M n M n R =∈. (4)N n N a n a log 1log = 例1．已知x =49时，不等式log a (x 2–x –2)＞log a (–x 2+2x +3)成立， 求使此不等式成立的x 的取值范围. 解：∵x =49使原不等式成立.∴log a [249)49(2--]＞log a )34 92)49(1[2+?+? 即log a 1613＞log a 1639.而1613＜1639.所以y =log a x 为减函数，故0＜a ＜1. ∴原不等式可化为???????++-<-->++->--3220 32022222x x x x x x x x ，解得??? ????<<-<<->-<2513121x x x x 或. 故使不等式成立的x 的取值范围是)25, 2( 例2．求证：函数f (x )=x x -1log 2 在(0,1)上是增函数. 解：设0＜x 1＜x 2＜1， 则f (x 2)–f (x 1)=212221log log 11x x x x ---21221(1)log (1)x x x x -=-=.11log 2 1122x x x x --? ∵0＜x 1＜x 2＜1，∴ 12x x ＞1，2111x x --＞1.则2112211log x x x x --?＞0， ∴f (x 2)＞f (x 1).故函数f (x )在(0,1)上是增函数 例3．已知f (x )=log a (a –a x )(a ＞1). （1）求f (x )的定义域和值域；（2）判证并证明f (x )的单调性. 解：（1）由a ＞1，a –a x ＞0，而a ＞a x ，则x ＜1.故f (x )的定义域为(-∞,1)， 而a x ＜a ，可知0＜a –a x ＜a ，又a ＞1.则log a (a –a x )＜lg a a =1. 取f (x )＜1，故函数f (x )的值域为(–∞,1). （2）设x 1＞x 2＞1，又a ＞1，∴1x a ＞2x a ，∴1x a a -＜a-2x a ， ∴log a (a –1x a )＜log a (a –2x a )， 即f (x 1)＜f (x 2)，故f (x )在(1,+∞)上为减函数. 与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式. 三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）. 对数函数 一．教学目标： 1．知识与技能 ①通过实例推导对数的运算性质，准确地运用对数运算性质进行运算，求值、化简，并掌握化简求值的技能. ②运用对数运算性质解决有关问题. ③培养学生分析、综合解决问题的能力. 培养学生数学应用的意识和科学分析问题的精神和态度. 2. 过程与方法 ①让学生经历并推理出对数的运算性质. ②让学生归纳整理本节所学的知识. 3. 情感、态度、和价值观 让学生感觉对数运算性质的重要性，增加学生的成功感，增强学习的积极性. 二．教学重点、难点 重点：对数运算的性质与对数知识的应用 难点：正确使用对数的运算性质 三．学法和教学用具 学法：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标. 教学用具：投影仪 四．教学过程 1．设置情境 复习：对数的定义及对数恒等式 log b a N b a N =?= （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）， 指数的运算性质. ;m n m n m n m n a a a a a a +-?=÷= (); n m n mn m a a a == 2．讲授新课 探究：在上课中，我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？如我们知道m n m n a a a +?=，那m n +如何表示，能用对数式运算吗？ 如：,,m n m n m n a a a M a N a +?===设。于是,m n MN a += 由对数的定义得到 log ,log m n a a M a m M N a n N =?==?= log m n a MN a m n MN +=?+= log log log ()a a a M N MN ∴+=放出投影 2.2.2 对数函数及其性质 一、教材分析 本节是高中数学新人教版必修1的第二章2.2.2 对数函数及其性质的内容二、三维目标 1．知识与技能 （1）掌握对数函数的概念。 （2）根据函数图象探索并理解对数函数的性质。 2．过程与方法 （1）通过对对数函数的学习，渗透数形结合的思想。 （2）能够用类比的观点看问题，体会知识间的有机联系、 3．情感、态度与价值观 （1）培养学生观察、分析能力，从特殊到一般的归纳能力。 （2）培养学生的合作交流、共同探究的良好品质。 三、教学重点 对数函数的定义、图象和性质 四、教学难点 用数形结合的办法探索并归纳对数函数的性质。 五、教学策略 回顾引入教学法 1.复习引入： （1）指对数互化关系： ? ≠ > =)1 ,0 (a a N a b且 （2） )1 (≠ > =a a a y x且的图象和性质． （3）细胞分裂问题。 2.研习新课 对数函数的概念： 概念中我们要注意什么问题？ 六、教学准备 回顾交流，适时引入新课 （教师提出问题）①本章开头2.1问题1中，在2001－2020年，各年的GDP均为00年的倍数，倍数m与时间n的关系式为m=1.073n；②某种细胞分裂过程中，细胞个数a与分裂次数b的关系式为为a=2b。 师：上述关系式都是什么类型的式子？ 生：都是指数式。 师：你能把它改写成对数式吗？ 生：可以改写成：n=log1.073m a=log2b 师：请大家观察这两个式子有何共同特征？ (生合作交流，共同探究，师参与交流探究过程) 生甲：n是m的函数，a是b的函数。 生乙：这是对数式，m与b都是真数，它们应为正数。 师：同学们说的都很好，这里任意给定一个m，有唯一的n与它对应，任意给定一个b，有唯一的a与它对应，所以n是m的函数，a是b的函数。 师：通常表达一个函数，x表示自变量，y表示自变量，你能用含有x、y的解析式表示它们吗？ 生：y=log1.073x，y=log2x 师：能用一个共同的解析式表达吗？ 部分生(齐答)：y=log a x 部分生(抢答)：底数a＞0且a≠1 师：非常好，这是就是我们本节课所要研究的对数函数。 (引入新课，师板书课题：对数函数) 七、教学环节 一、复习导入： （1）知识方法准备 我们在前面学习了指数函数及其性质，那么指数函数具有哪些性质呢？下面我和同学们 基本初等函数知识点 (1)(2)(3) 知识点一：指数及指数幂的运算 知识点二：指数函数及其性质 1. 根式的概念 1. 指数函数概念 的次方根的定义：一般地，如果，那么叫做的次方根，其 一般地，函数叫做指数函数，其中是自变量，函数中 的定义域为. 当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为 2. 指数函数函数性质： ；当为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示 函数名称 指数函数 为. 定义函数且叫做指数函数负数没有偶次方根， 0的任何次方根都是 0. 式子叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质： 图象 (1) 当为奇数时，；当为偶数时， (2) 3. 分数指数幂的意义： 定义域 ；值域 注意： 0 的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义 . 过定点图象过定点，即当时，. 4.有理数指数幂的运算性质： 奇偶性非奇非偶 4. 对数的运算性质 单调性在上是增函数在上是减函数 如果，那么①加法： 函数值的 变化情况②减法：③数乘： 变化对图在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向 象的影响看图象，逐渐减小 . 知识点三：对数与对数运算 ④⑤ 1.对数的定义 (1) 若，则叫做以为底的对数，记作⑥换底公式： 知识点四：对数函数及其性质 ，其中叫做底数，叫做真数. 1. 对数函数定义 (2) 负数和零没有对数. 一般地，函数叫做对数函数，其中是自变量，函 (3) 对数式与指数式的互化：. 数的定义域. 2.几个重要的对数恒等式 ，，. 2. 对数函数性质： 函数名称对数函数 3. 常用对数与自然对数 常用对数：，即；自然对数：，即 定义函数且叫做对数函数( 其中 图象 ?). 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式， 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的 2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 ? 解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x)，所以 2 2 y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。当x 0时，y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像 之间的关系? 解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像，所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到 1．log 5b ＝2，化为指数式是 ( ) A ．5b ＝2 B ．b 5＝2 C ．52＝b D ．b 2＝5 答案：C 2．在b ＝log (a －2)(5－a )中，实数a 的取值范围是 ( ) A ．a >5或a <2 B ．20，a 2＝49，则log 23 a ＝________.答案：1 1．已知log x 8＝3，则x 的值为 ( ) B ．2 C ．3 D ．4 答案：B 2．方程2log 3x ＝14的解是 ( ) A ．9 答案：D 3．若log x 7y ＝z 则 ( ) A ．y 7＝x z B ．y ＝x 7z C ．y ＝7x D ．y ＝z 7x 答案：B 4．log 5[log 3(log 2x )]＝0，则x 1 2-等于 ( ) 答案：C 5．log 6[log 4(log 381)]＝________. 答案：0 6．log 2 3278 ＝________.答案：－3 7．已知函数f (x )＝????? 3x ，x ≤1－x ，x ＞1，若f (x )＝2，则x ＝________.答案：log 32 8．若log a 2＝m ，log a 3＝n ，则a 2m ＋n ＝________.答案：12 9．求x . (1)log 2x ＝－23 ； (2)log 5(log 2x )＝0. 解：(1)x ＝22 3-＝(12)23 (2)log 2x ＝1，x ＝2. 10．已知二次函数f (x )＝(lg a )x 2＋2x ＋4lg a 的最大值为3，求a 的值． ∴a ＝101 4-. 1．若a >0，且a ≠1，x ∈R ，y ∈R ，且xy >0，则下列各式不恒成立的是 ( ) ①log a x 2＝2log a x ； ②log a x 2＝2log a |x |； ③log a (xy )＝log a x ＋log a y ；④log a (xy )＝log a |x |＋log a |y |. 《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.1 高一数学对数以及对数函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 对数以及对数函数 二. 学习目标： 1. 理解对数的概念，了解对数运算与指数运算的互逆关系。 2. 能正确利用对数性质进行对数运算。 3. 掌握对数函数的图象性质。 4. 理解指数函数与对数函数的互逆关系。 三. 重点、难点： 1. 对数 （1）对数恒等式 ① b a b a =log （10≠，N 0>，则 ① N M MN a a a log log )(log += ② N M N M a a a log log log -= [例 （1）5lg 2lg 100lg 5lg 20lg 50lg 2lg -+ （2）4log ]18log 2log )3log 1[(6662 6÷?+- 解： （1）原式)2lg 1(2lg 2)2lg 1)(2lg 1()2lg 2(2lg ---++-= 1)2(lg 22lg 2)2(lg 1)2(lg 2lg 22 22=+--+-= （2）原式4log )]3log 1)(3log 1()3(log 3log 21[6662 66÷+-++-= 4log ])3(log 1)3(log 3log 21[62 6266÷-++-= 12 log 2 log 2log )3log 1(2662 66== ÷-= [例2] 已知正实数x 、y 、z 满足z y x 643==，试比较x 3、y 4、z 6的大小。 解：设t z y x ===643（1>t ），则t x 3log =，t y 4log =，t z 6log =，从而 4lg lg 43lg lg 3log 4log 34343t t t t y x -=-=-4 lg 3lg 3 lg 44lg 3lg ?-=t 0)3lg 4(lg 4 lg 3lg lg 43<-?= t 故y x 43< 又由6lg 4lg ) 4lg 36lg 2(lg 2)6lg lg 34lg lg 2(2)log 3log 2(26464?-=-=-=-t t t t t z y 6 lg 4lg ) 4lg 6(lg lg 232?-=t 而0lg >t ，04lg >，06lg >，3 2 4lg 6lg <，则上式0< 故z y 64<，综上z y x 643<< [例3] 已知m 和n 都是不等于1的正数，并且5log 5log n m >，试确定m 和n 的大小关系。 解：由n m n m 55log 1 log 15log 5log > ? >0log log log log 5555>?-?n m m n ???>?>-?0log log 0log log 5555n m m n 或???>>?1,1n m m n 或???<<<<<1 0,10n m m n 综上可得1>>m n 或10<< 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年） 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 3.2对数函数基础解答题 一．解答题（共30小题） 1．（2015春?河北校级月考）设函数f（x）=lg（x2﹣x﹣2）的定义域为集合A，函数g （x）=的定义域为集合B． （1）求A∩B； （2）若C={x|m﹣1＜x＜m+2}，C?B，求实数m的取值范围． 2．（2015?重庆校级模拟）已知函数（a＞0且a≠1） （1）f（x）的定义域； （2）判断f（x）的奇偶性并证明． 3．（2015?浦东新区一模）已知函数y=lg的定义域为集合A，集合B=（a，a+1），若B?A，求实数a的取值范围． 4．（2015秋?扶沟县期末）（1）计算：； （2）解方程：． 5．（2015秋?鞍山校级期末）解方程：log2（4x+4）=x+log2（2x+1﹣3） 6．（2015秋?株洲校级期末）已知函数f（x）=lg（1+x）﹣lg（1﹣x）， （1）求函数f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性； （3）求不等式f（x）＞0的解集． 7．（2015秋?福州校级期末）记函数f（x）=log2（2x﹣3）的定义域为集合M，函数g （x）=的定义域为集合N．求： （Ⅰ）集合M，N； （Ⅱ）集合M∩N，?R（M∪N）． 8．（2015春?昆明校级期末）已知函数． （1）求该函数的定义域； （2）判断该函数的奇偶性并证明． 9．（2015秋?河南校级期末）已知f（x）=log3（3+x）+log3（3﹣x）． （1）求f（x）的定义域； （2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由． 10．（2015秋?新乡期末）已知函数f（x）=log2（3+x）+log2（3﹣x）． （1）求函数f（x）的定义域； （2）求f（﹣1），f（1）的值； （3）判断函数f（x）的奇偶性，并证明． 11．（2015秋?黄石校级期中）（1）已知，求x+x﹣1的值； （2）计算的值． 12．（2015秋?葫芦岛校级期中）（1）化简：（2）（﹣3a b）÷（﹣ a b） （2）求值：（log43+log83）（log32+log92）﹣log． 13．（2015秋?淮安校级期中）计算：数学教案-指数函数与对数函数的性质及其应用.doc
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