齐次线性方程组基础解系讲课比赛教案

3.6 齐次线性方程组的基础解系

的任意一个解都可由αα,,齐次线性方程组=0AX 若已知齐次线性方程组的基础解系，则该方程组的所有解如何表示？ 如何求齐次线性方程组的基础解系的理论推导。的秩为+++???

??????

2111

210

01000000

0r r n r n rn b b 。这就相当于原方程组同解于

21122n n r

r r r r r r r n n b x b x ++++++?12,,,r x ++121122)n n n n r

r r r r r r r n n b x b x b x ++++++?3）同解。1n ????

???12,,1000r r r n rr r n x -+? ?

? ?=? ? ? ?

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?。分n 线性无关和方程组（线性表示即可证明系，当然也是方程组（

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； $ 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤 （1）?? →A C 行 （行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=++ +1122X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.

线性代数第3章_线性方程组习题解答

习题3 3-1．求下列齐次线性方程组的通解： （1）?? ? ??=--=--=+-087305302z y x z y x z y x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??-----?→?????? ??-----=144072021 1873153211A )(000720211阶梯形矩阵B =???? ? ??-?→? ??? ?? ??-?→?0002720211)(000271021101行最简形矩阵C =????? ? ???→? ， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??? ?=+=+02702 11 z y z x ， 即 ??? ??? ?-=-=z y z x 272 11（其中z 是自由未知量）， 令1=z ，得到方程组的一个基础解系 T )1,2 7,211(-- =ξ, 所以，方程组的通解为

,)1,2 7,211(T k k -- =ξk 为任意常数． （2）??? ??=+++=+++=++++0 86530543207224321 432154321x x x x x x x x x x x x x . 解 对系数矩阵施行行初等变换，得 ???? ? ??--?→?????? ??=21202014101072211086530543272211A )(7000014101072211阶梯形矩阵B =????? ??-?→? ???? ? ??-?→?70000141010211201 )(100000101001201行最简形矩阵C =???? ? ???→?， 与原方程组同解的齐次线性方程组为 ??? ??==+=++00 025 42431x x x x x x ， 即 ??? ??=-=--=025 4 2431x x x x x x （其中43,x x 是自由未知量）， 令34(,)T x x =(1,0)T ，(0,1)T ，得到方程组的一个基础解系 T )0,0,1,0,2(1-=ξ，T )0,1,0,1,1(2--=ξ， 所以，方程组的通解为

讲课比赛教案—小数的初步认识

小数的初步认识 大平山镇山腰小学刘丹 一、教案内容： 新课标人教版教材第六册第七单元《小数的初步认识》 二、教案目标： （1）联系实际生活内容认识小数，知道以“元”为单位，以“M”为单位的小数的实际含义。 （2）知道十分之几可以用一位小数表示，百分之几可以用两位小数来表示。 （3）能识别小数，会读写小数。 （4）通过对一位和两位小数的初步认识，培养学生解决简单实际问题的能力。 （5）使学生认识小数在实际生活中的应用，培养学生热爱生活、热爱数学的情感。 三、教案重、难点： 教案重点：联系实际生活内容认识小数，知道以“元”为单位，以“M”为单位的小数的实际含义。 教案难点：知道十分之几可以用一位小数表示，百分之几可以用两位小数来表示。 四、教案准备：多媒体课件，练习卡，硬币 五、教案过程： （一）谈话导入小数 1、同学们，我们从小到现在都跟数打交道，同学们认识了像1，2，4，10，100这样的整数（板书：整数）还认识了像1/2，3/7，7/10这样的分数（板书：分数）你在生活中还常见哪些数？ 2、出示超市食品标价图。 师：这些价格标签上的数字是什么数？这些数和我们以前学过的数有什么不同？ 3、引出新课，认识小数 师：像5.98、0.85、2.60 这样的数，叫做小数。今天这节课，我们就来学习小数的初步认识。（板书：认识小数） 师：请同学们观察一下，这些小数与我们学过的整数长得有什么不一样呢？ 生：都有个小圆点。 师：对了，这个小圆点叫做什么？一起来说说它的名字。（生齐读）

师：别看它小小的，圆圆的，其实它的作用可大了，小数点的左边 是整数部分，右边是小数部分，而它就躲在整数部分和小数部分中 间偏下的位置。 （二）认识小数，感知意义 1、认识以“元”为单位的小数的意义 （1）抓硬币游戏 游戏规则：学生随机抓硬币并用小数表示所抓硬币的钱数。 4个一元，三个一角用小数表示：4.3元 提问1：4表示什么？3表示什么？ 3个一元，3个一角，4个一分用小数表示：3.34元 提问2：第一个3表示什么？第二个3表示什么？4又表示什么？ 师小结：小数点左边表示几元,小数点右边第一位表示几角,第 二位表示几分。当用小数表示的价格不够1元时，整数部分用0表示。 （2）读小数。 师:这些价格签上的小数，你们会读吗？（出示多媒体课件,学 生试读） 观察：小数点把小数分为几部分？（同桌交流） 小结：小数点把小数分为两部分，小数点左边为整数部分，小 数点右边为小数部分。读小数时，小数的整数部分按照整数的读法读，小数部分则要依次读出每个数位上的数。 （3）寻找生活中的小数.(学生试说,课件出示) （4）写小数 师：对于小数的读法我们已经学会了，那小数又该怎样写呢？（出示题目,学生回答） 小结：写小数与读小数的顺序是一样的，先写小数点左边的整数部分，再写小数点，最后写依次写出小数部分。 练习：写一写（练习卡）汇报订正2、认识以“M”为单位的小数的意义: （1）出示1M长的M尺课件。提问：把它平均分成10份，每份是几分M？（1分M）1分M是几分之几M？（十分之一M）师指出：十分之一M还可以用小数表示为0.1M）。实际上十分之一M和0.1M表示的都是哪一部分？它们表示的是同一部分，所以，它们都是把1M平均分成10份，其中的1份也就是1分M，用分数表示是1/10M，用小数表示是0.1M。师完成

线性代数第四章线性方程组复习题()

（A). 有唯一解；（B). 有无穷多解； （C). 无解； （D). 可能无解。 3. 当( )时，齐次线性方程组?????=λ++=+λ+=++λ000321 321321x x x x x x x x x ，有非零解 (A) 1或2 (B) －1或－2 (C) 1或－2 (D) －1或2 4. 设A 为n 阶方阵，且秩12() 1.,A n αα=-是非齐次方程组AX B =的两个不同的解向量,则AX =0的通解为( ) A 、1αk B 、2αk C 、)(21αα-k D 、)(21αα+k 5. A 、B 均为n 阶方阵，X 、Y 、b 为1?n 阶列向量，则方程??? ? ??=???? ?????? ??b O Y X O A B O 有 解的充要条件是（ ） A 、n B r =)( B 、n A r <)( C 、)()(b A r A r = D 、n A r =)( 6. 若有 1133016,02135k k k ?????? ??? ?= ??? ? ??? ?--?????? 则k 等于 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 计算题：（共60分） 1．求 123412341 23420363051050x x x x x x x x x x x x ++-=??+--= ??++-=? 的通解

2. 求齐次线性方程组???????=+-+=++-=+-+-=-+-7 7931 83332154321432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x 的通解.

3.求非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 52 234 388 3976 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-= ? ?+-+= ? ? -++= ? ?+-+= ? 的通解. 4. 求非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1234 50 232 382 3974 x x x x x x x x x x x x x x x x -+-= ? ?+-+= ? ? -++= ? ?+-+= ? 的通解.

3线性方程组典型习题解析

3 线性方程组 3、1 知识要点解析(关于线性方程组的常用表达形式) 3.1.1 基本概念 1、方程组1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x b x x b x x b a a a a a a a a a +++=??+++=? *???++ +=? 称为含n 个未知量m 个方程的线性方程组, i)倘若12m b ,b ,....,b 不全为零,则该线性方程组称为非齐次线性方程组; ii)若12m b =b = =b 0=,则该线性方程组就就是齐次线性方程组, 这时,我们也把该方程组称为1111221n 1211222 2n 2m11m22mn m x x x x x x a a a a a a a a a ++ +=??+++=? ???++ +=?c c c 的导出组, (其中12m c ,c ,...c 不全为零) 2、记1111 1221 n m x b x b ,x ,b x b n m mn a a A a a ???? ?? ? ? ? ? ?== ? ? ? ? ? ??? ???? = 则线性方程组(*)又可以表示为矩阵形式 x b A =** 3、又若记 1j 2j j mj ,j 1,2, n a a a α?? ? ? == ? ? ??? 则上述方程游客一写成向量形式 1122n n x x x b. ααα++ +=***。 同时,为了方便,我们记(,b)A A =,称为线性方程组(*)的增广矩阵。 3.1.2 线性方程组解的判断

1、齐次线性方程组x 0A =,(n=线性方程组中未知量的个数 对于齐次线性方程组,它就是一定有解的(至少零就就是它的解), i)那么,当r n A =秩()=时,有唯一零解; ii)当r n A =秩()<时,又非零解,且线性无关解向量的个数为n-r 、 2、非齐次线性方程组x b A = ()<() ()=()=n, ()=()()=()() A A A A A A A A A A A ?? ???????? ? ?秩秩无解；秩秩有唯一解， 秩秩秩秩有无穷多解，且基础解系个数为 -秩秩秩不可能 3.1.3 线性方程组的解空间 1、齐次线性方程组的解空间 (作为线性方程组的一个特殊情形,在根据其次线性方程与非齐次线性方程组解 的关系,我们这里首先讨论齐次线性方程组的解空间) 定理:对于数域K 上的n 元齐次线性方程组的解空间W 的维数为 A dim(W)=n-秩()=n-r , 其中A 就是方程组的系数矩阵。那么,当齐次线性方程组[(*)--ii)] 有 非零解时,它的每个基础解系所含解向量的数目都等于A n-秩()。 2、 非齐次线性方程组的解空间 我们已知线性方程组的解与非齐次线性方程组的解的关系,那么我们可 首先求出非齐次线性方程组的一个解γ0(称其为方程组特解);然后在求对应的导出组的解空间(设该解空间的基础解系为ηηη12n-r ，，...),则(*)解空间的维数为n-r,且非齐次线性方程组的每一个解都可以表示为: 2.................()k k k γηηη+?0112n-r n-r ++...+ 我们称其为该非齐次线性方程组(*)的通解、

2015年青年教师讲课比赛教学设计

2015年青年教师讲课比赛教学设计 ——海绵动物门第一节海绵动物的主要特征 课程名称：动物学 适用对象：动科、动医专业大一新生 课型：新授理论课 课时：12分钟 主讲教师：吴朗

第三章海绵动物门 第一节海绵动物的主要特征 一、整体设计思路说明 本节课是动物学第三章海绵动物门的重点内容。“海绵动物”是学生相对比较陌生的一种动物。因此，本节课设计的关键是通过学生熟悉的事物逐步引导学生学习并掌握海绵动物的主要特征。 二、教学背景分析 （一）教材分析 本节课是动物学教材第三章第一节的内容。它是针对大一新生的知识接受能力，对海绵动物的身体结构及功能进行介绍，使学生在充分了解海绵动物身体结构的基础上总结归纳其主要特征，并深刻理解“海绵动物是动物进化中一个侧支”这一观点。 （二）学情分析 本人教授的是动物科学、动物医学专业大一新生。这批学生刚从高中考入大学，学习方法仍习惯灌输式教育，主动学习能力较弱。基于此，在知识的讲解过程中尽可能与生活实例相结合，便于学生理解掌握。 另外，大多学生对本章海绵是否是动物不甚清晰，对海绵动物的结构功能以及用途和人类的关系也没有概念，因此需要结合他们的特点激发学习兴趣，引导他们主动学习，积极探索。 三、教学目标设计 （一）知识目标 1. 了解海绵动物的形态特点、体壁结构及再生能力； 2. 理解海绵动物的进化地位及水沟系类型； 3. 掌握海绵动物的生殖发育特点（胚胎逆转）。 （二）能力目标 1. 理解“海绵动物是动物进化中的一个侧支”这一观点。 2. 能够灵活运用海绵动物的相关知识解释海绵动物的一些日常行为现象。（三）情感目标 培养学生保护海洋资源的意识； 四、教学内容设计 （一）教学重点 生殖发育特点。 （二）教学难点 水沟系的类型。 五、教学策略分析 （一）教学方法 以讲授法为主，辅以启发法、演示法和讨论法。

2015年青年教师讲课比赛教学设计

2015年青年教师讲课比赛教学设计 ——动物行为第三节动物的生殖行为 课程名称：动物学 适用对象：动科、动医专业大一新生 课型：新授理论课 课时：12分钟 主讲教师：吴朗

动物行为 第三节动物的生殖行为 一、整体设计思路说明 本节课是在《普通动物学》教材的基础上补充的部分内容。“动物生殖”是学生比较熟知和常见的一种现象，但有关生殖行为的特点及其生态学意义却并不完全了解。因此，本节课设计的关键是通过日常所见的一些现象引导学生思考、总结归纳并掌握生殖行为的有关知识。 二、教学背景分析 （一）教材分析 本节课是有关动物行为的部分内容。它是针对大一新生的知识接受能力，对各类动物的生殖行为特点及其生态学意义进行介绍，使学生在相对轻松的氛围中逐步掌握动物生殖行为方面的相关知识，从而为动物保护奠定基础。 （二）学情分析 本人教授的是动物科学、动物医学专业大一新生。这批学生刚从高中考入大学，学习方法仍习惯灌输式教育，主动学习能力较弱，感兴趣的东西才愿意去学。基于此，在知识的讲解过程中尽可能与生活实例相结合，增强学生的兴趣和注意力，引导学生主动学习、积极探索。 三、教学目标设计 （一）知识目标 1. 了解雌性动物的配偶选择的特点及亲代抚育的方式和意义； 2. 理解性选择的概念及类型； 3. 掌握生殖行为的概念及求偶行为的生态学意义。 （二）能力目标 理解并能运用“性选择”的相关理论。 （三）情感目标 增强学生保护生态环境及动物的意识。 四、教学内容设计 （一）教学重点 性选择、求偶行为的生态学意义。 （二）教学难点 性选择。 五、教学策略分析 （一）教学方法 以讲授法为主，辅以启发法、演示法和讨论法。 （二）教学手段 多媒体与板书相结合。

线性方程组-练习

1．设向量组123,,ααα线性无关，向量1β可由123,,ααα线性表示，而向量2β不能由123,,ααα线性表示，则对于任意常数k ,必有（ ）A (A) 12312,,,k αααββ+线性无关； （B ）12312,,,k αααββ+线性相关; ( C) 12312,,,k αααββ+线性无关； (D) 12312,,,k αααββ+线性相关 2．n 维向量组)1(,,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ D ） (A) 存在一组不全为零的s k k k ,,21 ,使得02211=+++s s k k k ααα (B) s ααα ,,21 中的任何两个向量都线性无关 (C) s ααα ,,21 中存在一个向量，它不能被其余向量线性表示 (D) s ααα ,,21 中的任何一个向量都不能被其余向量线性表示 3. （1）若两个向量组等价，则它们所含向量的个数相同； （2）若向量组}{21r ααα，，， 线性无关，1+r α可由r ααα ,21,线性表出，则向量组}{121+r ααα，，， 也线性无关； （3）设}{21r ααα，，， 线性无关，则}{121-r ααα，，， 也线性无关； （4）}{21r ααα，，， 线性相关，则r α一定可由121,-r ααα ，线性表出；以上说法正确的有（ A ）个。 A .1 个 B .2 个 C ．3 个 D .4个 4．向量组A :12,,,n ααα 与B :12,,,m βββ 等价的充要条件为（ C ）. A .()()R A R B =； B .()R A n =且()R B m =； C ．()()(,)R A R B R A B ==； D .m n = 5．讨论a ，b 取什么值时，下面方程组有解，对有解的情形，求出一般解。 1234123423412341322235433x x x x x x x x a x x x x x x x b +++=??+++=??++=??+++=?。 答案：a ＝0，b ＝2有解；其他无解。 (-2,3,0,0)’+k1(1,-2,1,0)’+k2(1,-2,0,1)’ 6．试就k 的取值情况讨论以下线性方程组的解,并在有无穷的解时求出通解:

齐次线性方程组

齐次线性方程组Ax=0 一、基本理论 齐次线性方程组的Ax=0解集是一个线性子空间, 称为解空间（或零空间），记作N(A ). N(A )的一组基称为方程组的一个基础解系。 解空间的维数：dim N(A ) = n - rank(A ). 求解齐次线性方程组Ax=0的方法: 利用初等行变换将A 化为最简行阶梯矩阵, 根据对应的方程组写出基础解系. 二、Matlab 实现 实现一：rref(A )将A 化成最简行阶梯矩阵. 根据对应方程组写出基础解系. 实现三：Matlab 函数null(A )可以返回解空间的一组基，但与上述方法所得结果不同。 三、例子 例. 求解线性方程组 12451234512345123451 2 3 4 5 25023450223024319803632490 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??+++-=??+++-=??+--+=?+--+=?? 输入系数矩阵A A = [1 2 0 -5 1; 1 2 3 4 -5; 1 2 2 1 -3; 2 4 -3 -19 8; 3 6 -3 -24 9] A = 1 2 0 -5 1 1 2 3 4 -5 1 2 2 1 -3 2 4 -3 -19 8 3 6 -3 -24 9 解一 R=rref(A) R =

1 2 0 -5 1 0 0 1 3 -2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 原方程化为 12453 4 5 250320 x x x x x x x +-+=??+-=? 即 12453 45 5223x x x x x x x +-+=-??=-? 通解 12452234245445555220251100332010001x x x x x x x x x x x x x x x x +----?????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?=-=++- ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???????+??? 解二. 调用nulbasis(A)求零空间的基 N=nulbasis(A) N = -2 5 -1 1 0 0 0 -3 2 0 1 0 0 0 1 Matlab 的null(A)给出不同的结果 null(A) ans = -0.9331 -0.1583 -0.0875 0.1057 0.7349 -0.2499 0.0468 -0.0248 0.8851 -0.1995 0.3712 -0.0414 -0.2759 0.5444 0.3805 例. 求12340x x x x +++=的解空间 A=[1 1 1 1]; nulbasis(A) ans = -1 -1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1

线性方程组练习题

线性方程组练习题 §1 向量的线性关系 1．判断下列向量组是否线性无关： （1）????? ??-11 2，????? ??-840，????? ??-311； （2）??????? ??01014，??????? ??1521，??????? ??1202，?????? ? ??7024。 2．讨论下面向量组的线性相关性： ???????? ??12211，???????? ??-15120，???????? ??-141b a 。 3．设????? ??=1111a ，????? ??=3211a ，???? ? ??=t 311a 。 （1）问当t 为何值时，321,,a a a 线性相关？ （2）问当t 为何值时，321,,a a a 线性无关？ （3）当321,,a a a 线性相关时，问3a 是否可以由1a ，2a 线性表示？若能，写出具体表达式。 4．设有向量组 ??????? ??+=11111t a ，??????? ??+=22222t a ，??????? ??+=33333t a ，?????? ? ??+=t 44444a 。 问：（1）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性相关？ （2）当t 为何值时，4321,,,a a a a 线性无关？ 5．设321,,a a a 线性无关，问当参数l ，m 满足何种关系时，12a a -l ，23a a -m ，31a a -也线性无关？ 6．设m a a a ,,,21 线性无关，作 211a a b +=，322a a b +=，…，m m m a a b +=--11，1a a b +=m m 。 判别m b b b ,,,21 的线性相关性。 7．设21,a a 线性无关，b a b a ++21,线性相关，问b 能否由21,a a 线性表示？ 8．设321,,a a a 线性相关，432,,a a a 线性无关。问： （1）1a 能否由32,a a 线性表示； （2）4a 能否由321,,a a a 线性表示。 9．若T k k ),,0(2=b 能由T k )1,1,1(1+=a ，T k )1,1,1(2+=a ，T k )1,1,1(3+=a 唯一

教学能力大赛授课教案.docx

附件 6 ×××××××学院 教学方案设计 （学习领域、项目课程用） （2012 / 2013 学年第 1 学期） 课程名称（全称）钢结构工程施工 所属专业建筑工程技术 所属学院（部）建筑工程技术学院 授课班级 课程总学时 96本学期学时96 课程总学分本学期学分 任课教师 学习单元三教学方案设计学习情境、项目学习单元 3管桁架结构工程施工

名称 学习情境、项目 子单元 2普通管桁架结构加工与安装 单元名称 学习地点现场视频直播教室学时 4 学时 视频直播设备、《钢结构工程施工》精品课程网站、管桁架深化图纸学习资源 （包括模型）、投影仪、电脑、AutoCAD和 3D3S软件、工作任务单、技（设备、材料、工具） 术交底记录表等 教材：《钢结构工程施工》，中国建筑工业出版社，2011 年，第一版； 教材、参考书参考书：《钢结构工程施工规范》，GB50755-2012；《空间网格结构技 术规程》，JGJ7-2010 ；《 3D3S钢结构设计软件V10》软件使用说明书。 班级周次星期节次 一、学习目标（知识，技能，素质）

学习目标： 1、知识目标 1）普通管桁架结构特点分析； 2）普通管桁架结构工程量统计方法 3）普通钢结构吊装验算； 2、技能目标 1）能熟练识读普通管桁架结构图纸并组织交底； 2）能根据工程特点选择加工和安装设备； 3）能进行普通管桁架加工拼装、吊装施工； 3、素质目标 1）养成遵守国家规范、规程和标准的习惯 2）养成团队协作的良好工作作风 主要知识点： 1、管桁架结构组成、力学特点分析； 2、管桁架结构的力学模型简化； 3、管桁架结构的现场拼装方法； 4、管桁架结构施工计算原理； 主要技能点： 1、管桁架结构图纸识读； 2、管桁架结构的加工与制作； 3、管桁架结构的现场拼装； 4、管桁架结构施工计算； 5、管桁架结构吊装施工方法。 二、学习内容

齐次和非齐次线性方程组的解法精编日

齐次和非齐次线性方程组的解法精编日 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】

线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组() =，则只有零解； r A n (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是() r A n <.（注：当=时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 m n A=.） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于() -. n r A 2、非齐次线性方程组AX B =的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组AX O =所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若m是系数矩阵的行数（也即方程的个数），n 是未知量的个数，则有：（1）当m n <时，() ≤<，此时齐次线性方 r A m n 程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当m n =时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式0 A=； （3）当m n A≠，故齐次线=且() =时，此时系数矩阵的行列式0 r A n 性方程组只有零解；

（4）当m n >时，此时()r A n ≤，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“m n ≤”. 例 解线性方程组12 341 23412341 2 3 4 2350,320,4360,2470. x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=??++-=? ?+-+=??-+-=? 解法一：将系数矩阵A 化为阶梯形矩阵 显然有()4r A n ==，则方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即m n =）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即m n ≠），不可以用行列式的方法来判断），从而可计算系数矩阵A 的行列式： 231531 2132704 13 6 1247 A --= =≠---，知方程组仅有零解，即12340x x x x ====. 例 解线性方程组123 451 2 3452 34512 3 4 5 0,3230,2260,54330. x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=??+++-=??+++=??+++-=? 解：将系数矩阵A 化为简化阶梯形矩阵 可得()2r A n =<，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 134523 4 55,226. x x x x x x x x =++??=---?（其中3x ，4x ，5x 为自由未知 量） 令31x =，40x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，41x =，50x =，得121,2x x ==-；令30x =，40x =，51x =，得125,6x x ==-，于是得到原方程组的一个基础解系为

说课比赛一等奖乐理课奇妙的节奏教学设计

乐理课《奇妙的节奏》教学设计 龙门县职业技术学校巢振英 【教材分析】 本课选自华东师范大学出版社出版的学前教育专业教材中的基础乐理模块，第三单元第2节内容。《乐理》课程是以节奏及旋律为核心，结合各音乐要素，展开的一系列音乐理论知识的探索，本课的侧重点是节奏的学习，它以模唱、听觉分析为主要形式，培养音乐感知力和表现力等基本技能，而教材中涉及的节奏的讲解以理论为主，学生对抽象理论的理解缺乏实际依据，因此要实现理念与方法相统一，就必须在课堂中增加音乐基本技能的训练，达到对音乐基础知识综合能力的提升。 【学情分析】 本课的教学对象为幼师一年级学生，她们绝大多数都没有经过系统的音乐专业的训练，对音乐的理解也只停留在很肤浅的表层，传统的概念灌输式的教学对她们来说很不适合，并且幼师学生以女生为主，在她们当中开展各项艺术教育活动的兴趣比较浓厚，我正是抓住这一特点，在课堂教学中从学生的实际体验出发，设计丰富多彩的教学活动，吸引学生的兴趣，发展音乐认知、表现和审美能力，全面提高学生的音乐素质与理论修养。 【教学目标】 认知目标： 1、通过教学，了解节拍、节奏、节奏型的涵义。 2、培养模唱、分析、听辨节奏的能力。 能力目标： 1、通过对音符的不同组合，了解节奏型的种类。 2、通过节奏模打、歌曲听觉分析，加强理论与技能的联系。 情感目标： 通过教学，使学生在律动中获得身心的愉悦，体验节奏的趣味，培养稳定的节奏感，进而增强学生表达音乐的自信心。 【重点难点】

重点：围绕节奏为主的理论知识传授和技能训练，促进学生对本课知识点的理解和掌握。 难点：学生对节奏进行听觉判断、模唱、记录、识读的能力培养。 【教学设计理念】 1、理论在左，技能在右，一动一静完美搭配 2、善于引导，善于联系，紧紧围绕重难点实现有效教学 【教学方法及学法】 1、教法：情景教学法、游戏法、启发法等。 2、学法：自主学习法、合作法、讨论法等。 【教学用具】 多媒体教室、彩色卡片、小鼓、教科书 【教学过程】 教学环节教师 活动 学生 活动 设计 意图 创设情景┃导入新课1、多媒体播放童话故事画面《小兔和大灰 狼》图片资料，学生欣赏并边思考： 图中小兔子和大灰狼情景，它们在干嘛 呢？兔妈妈和大灰狼的敲门声节奏分别是怎样 的? 引导学生思考并回答，引出本课课题：《奇妙的节 奏》。 2、同学们扮演猎人，用他们手中的材料制造模仿 出猎人的枪声赶走大灰狼。 观看图片 聆听故事 思考问题 思考回答 模仿体会 1、用有趣的 故事导入，易 激发起学生的 学习兴趣。 2、用这种生 动有趣的形 式引出本课 的主题—— 节奏，有效 地吸引了学 生的注意力

齐次线性方程组基础解系

齐次线性方程组的基础解系及其应用 齐次线性方程组一般表示成AX=0的形式，其主要结论有： （1）齐次线性方程组AX=0一定有解，解惟一的含义是只有零解，有非零解的含义是解不惟一（当然有无穷多解）。有非零解的充要条件是R(A)

线性方程组练习题(免费下载)

《线性代数》第三章练习题 一、思考题 1、设有线性方程组b AX =，其中A 为n 阶方阵，j A 为A 中第j 列元素换为b 所得行列式的值，判断下列命题是否正确？ （1）若0≠A ，则b AX =有唯一解； （2）若0=A ，且至少有一)1(0n j A j ≤≤≠，则b AX =无解； （3）若0=A ，且),,2,1(0n j A j ==，则b AX =有无穷多解。 2、判断下列命题是否正确？其中A 为n m ?矩阵。 （1）非齐次线性方程组b AX =，当n m <时，有无穷多解；当n m =时，有唯一解；当n m >时，无解； （2）齐次线性方程组0=AX ，当n m <时，必有非零解； （3）非齐次线性方程组b AX =，当m A r =)(时，必相容。 3、设向量组4321,,,αααα线性无关，判断向量组14433221,,,αααααααα++++是否也线性无关。 4、判断下列命题是否正确？ （1）若向量组m ααα,,,21 线性相关，则存在全不为零的数m k k k ,,,21 ，使得 02211=+++m m k k k ααα ； （2）若向量组m ααα,,,21 线性相关，且有02211=+++m m k k k ααα ，则 m k k k ,,,21 必不全为零； (3)若当数021====m k k k 时，02211=+++m m k k k ααα ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （4）若02211=+++m m k k k ααα ，必有021====m k k k ，则向量组m ααα,,,21 线性无关； （5）向量β不能由m ααα,,,21 表示，则βααα,,,,21m 线性无关； （6）若向量组m ααα,,,21 线性无关，则其中每一个向量都不能表示成其余向量的线性组合； （7）若向量组m ααα,,,21 线性无关，向量组s βββ,,,21 线性无关，则向量组 m ααα,,,21 ，s βββ,,,21 线性无关。 二、单项选择题 1. 设321,,X X X 是b AX =的三个特解，则下列哪个也是b AX =的解 （ ） （A ）332211X k X k X k ++； （B ）332211X k X k X k ++，1321=++k k k ； （C ）321)(X X X k ++ ； （D ） 32211)(X k X X k +-。 2．设321,,ξξξ是0=AX 的一组基础解系，则下列哪组也是0=AX 的一基础解系（ ） （A ）133221,,,ξξξξξξ+-； （B ）312321,,ξξξξξξ++-； （C ） 13321,ξξξξξ-++ ； （D ） 3121,,ξξξξ- 。 3．设A 是n 阶矩阵，并且0=A ，则A 的列向量中 （ ） （A ）必有一个向量为零向量 ； （B)必有两个向量的对应分量成比例； （C ）必有一个向量是其余向量的线性组合 ； （D ）任一向量是其余向量的线性组合。 4．如果4),,,(21=m r ααα ，则下列正确的是 （ ） （A ）如果 m ααα,,,21 的一个部分组线性无关 ，则该部分组包含的向量个数一定不超过4；

讲课比赛数学教案

第十四章一次函数 14.2.1 正比例函数 学习目标： 1.认识正比例函数的意义； 2.掌握正比例函数解析式特点； 3.理解正比例函数性质及特点。 学习过程： 一. 出示课题 （一）口述：同学们，这节课我们一起来学习14.2.1正比例函数。（多媒体出示）二.出示目标 （一）过渡语：本节课我们要达到怎样的教学目标呢？请看屏幕。 （二）多媒体出示学习目标：1.认识正比例函数的意义； 2.掌握正比例函数解析式特点； 3.理解正比例函数性质及特点。 三.出示自学指导 （一）过渡语：怎样才能当堂达到学习目标呢？请同学们按照指导认真自学。 （二）出示自学指导（多媒体出示） 自学指导： （1）认真看课本（P110-112） （2）结合110页“问题”和111页“思考”理解正比例函数概念； （3）结合“例1”，认识并理解正比例函数的图像； （4）看图像试着总结正比例函数的性质特点。 8分钟后，比谁能仿照例题，解决正比例函数的问题。 四.先学 （一）学生看书，教师巡视，督促每一位学生认真紧张地自学，鼓励学生质疑问难。

（二）检测 1.过渡语：同学们，看完的请举手？懂了的请举手？好，下面就比一比，看谁能仿照例题，正确解决正比例函数的问题。 2.出示检测题：屏幕显示 让学生合上书，分发检测题，指名两位学生上台板演，其它学生在自己座位上独立完成。 3.学生做题，教师巡视，当好监考（收集错误进行二次备课）。 五.后教 （一）更正 1.请同学们仔细看两位同学的板演，发现错误的请举手，指名更正（鼓励尽量多的学生参与更正）。 2.学生找错误。 3.学生更正。 （二）讨论 1.同学们，下面我们来评价大家自学的效果。 2.先看这两位同学的做法是否相同。 （若相同且正确，也要问学生是否正确，若有错，则问那个同学做的对，这样做行不行？） 学生：行 教师：是不是最好，为什么？ 学生：不是，因为不算简便。 教师：对，很好，那怎样才能快速画出正比例函数图像呢？ 学生：找两个点就可以了。用原点，再找一个点就可以了。 教师：同学们回答的太好了，某某学生回答更有创见。 3.总结：让学生总结 4.教师板书屏幕显示 1、正比例函数定义：一般地，形如y=kx(k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数。

线性方程组解题方法技巧与题型归纳

线性方程组解题方法技巧与题型归纳 题型一 线性方程组解的基本概念 【例题1】如果α1、α2是方程组 123131233231 2104 x x ax x x x ax x --=?? -=??-++=? 的两 个不同的解向量，则a 的取值如何 解： 因为α1、α2是方程组的两个不同的解向量，故方程组有无穷多解，r(A)= r(Ab)＜3， 对增广矩阵进行初等行变换： 21131132031022352104002314510a a a a a a a ----???? ? ?-→-- ? ? ? ?-----???? 易见仅当a=-2时，r(A)= r(Ab)=2＜3， 故知a=-2。 【例题2】设A 是秩为3的5×4矩阵， α1、α2、 α3是非齐次线性方程组Ax=b 的三个不同的解，若α1+α2+2α3=（2，0，0，0）T , 3α1+α2= （2，4，6，8）T ,求方程组Ax=b 的通解。 解:因为r(A)= 3，所以齐次线性方程组Ax=0的基础解系由4- r(A)= 1个向量构成， 又因为（α1+α2+2α3）-（3α1+α2） =2（α3-α1）=（0，-4，-6，-8）T , 是Ax=0的解， 即其基础解系可以是（0，2，3，4）T , 由A （α1+α2+2α3）=Aα1+Aα2+2Aα3=4b 知1/4

（α1+α2+2α3）是Ax=b 的一个解， 故Ax=b 的通解是 ()1,0,0,00,2,3,42T T k ?? + ??? 【例题3】已知ξ1=（-9，1，2，11）T ，ξ2=（1，- 5，13，0）T ，ξ3=（-7，-9，24，11）T 是方程组 12234411223441 234432332494x a x x a x d x b x x b x x x x c x d +++=?? +++=??+++=?的三个解，求此方程组的通解。 分析：求Ax=b 的通解关键是求Ax=0的基础解系，判断r(A)的秩。 解：A 是3×4矩阵， r(A)≤3，由于A 中第2，3两行不成比例，故r(A)≥2，又因为 η1=ξ1-ξ2=（-10，6，-11，11）T , η2=ξ2-ξ3= (8,4,-11,-11)T 是Ax=0的两个线性无关的解向量， 于是4- r(A)≥2，因此r(A)=2，所以ξ1+k 1η1+k 2η2是通解。 总结： 不要花时间去求方程组，太繁琐，由于ξ1-ξ2，ξ1-ξ3或ξ3-ξ1，ξ3-ξ2等都可以构成齐次线性方程组的基础解系，ξ1，ξ2，ξ3都是特解，此类题答案不唯一。 题型2 线性方程组求解

齐次和非齐次线性方程组的解法(整理定稿)

线性方程组解的结构（解法） 一、齐次线性方程组的解法 【定义】 r (A )= r 时，若()r A n ≤，则存在齐次线性方程组的同解方程组； 若()r A n >，则齐次线性方程组无解。 1、求AX = 0（A 为m n ?矩阵）通解的三步骤 （1）?? →A C 行 （行最简形）; 写出同解方程组CX =0. (2) 求出CX =0的基础解系,,,n r -12L ξξξ; (3) 写出通解n r n r k k k --=+++1122L X ξξξ其中k 1,k 2,…, k n-r 为任意常数.