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高中数学必修一至必修五知识点总结完整版

高中数学必修1知识点总结

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念

1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性:

1.元素的确定性;

2.元素的互异性;

3.元素的无序性

说明:(1)对于一个给定的集合,集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中,任何两个元素都是不同的对象,相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的,没有先后顺序,因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样,不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示:{ … } 如{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}

2.集合的表示方法:列举法与描述法。

非负整数集(即自然数集)记作:N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

关于“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就说a 属于集合A 记作 a∈A ,相反,a不属于集合A 记作 a A

列举法:把集合中的元素一一列举出来,然后用一个大括号括上。

描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

②数学式子描述法:例:不等式x-3>2的解集是{x?R| x-3>2}或{x| x-3>2}

4、集合的分类:

(1).有限集含有有限个元素的集合

(2).无限集含有无限个元素的集合

(3).空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

二、集合间的基本关系

1.“包含”关系—子集

注意:有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

2.“相等”关系(5≥5,且5≤5,则5=5)

实例:设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

结论:对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等

于集合B,即:A=B

任何一个集合是它本身的子集。A?A

②真子集:如果A?B,且B? A那就说集合A是集合B的真子集,记作A?

B(或B? A)

③如果 A?B, B?C ,那么 A?C

④如果A?B 同时 B?A 那么A=B

3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ

规定: 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1.交集的定义:一般地,由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,

叫做A,B的交集.

记作A∩B(读作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

2、并集的定义:一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成

的集合,叫做A,B的并集。记作:A∪B(读作”A并B”),即A∪B={x|x

∈A,或x∈B}.

3、交集与并集的性质:A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A,

A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

4、全集与补集

(1)补集:设S是一个集合,A是S的一个子集(即),由S中所有不

属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

(2)全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个

集合就可以看作一个全集。通常用U来表示。

四、函数的有关概念

1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数.记作: y=f(x),x ∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.

注意:如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.

定义域补充

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:(1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数

不小于零; (3)对数式的真数必须大于零;(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(又注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

注意:(1)构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数)(2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本21页相关例2)

值域补充

(1)、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域

都应先考虑其定义域. (2).应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域,它是求解复杂函数值域的基础。

3. 函数图象知识归纳

(1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) , (x∈A)中的x为横坐标,

函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图象.集合C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。

(2) 画法

A、描点法:根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表,以(x,y)

为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y),最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B、图象变换法(请参考必修4三角函数)

常用变换方法有三种,即平移变换、伸缩变换和对称变换

(3)作用:

1、直观的看出函数的性质;

2、利用数形结合的方法分析解题的思路。提高

解题的速度。发现解题中的错误。

4.了解区间的概念

(1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间;(3)区间的数轴表示.

5.什么叫做映射

一般地,设A、B是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x,在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应,

那么就称对应f:A→ B为从集合A到集合B的一个映射。记作“f:A→ B”给定一个集合A到B的映射,如果a∈A,b∈B.且元素a和元素b对应,那么,我们把元素b叫做元素a的象,元素a叫做元素b的原象

说明:函数是一种特殊的映射,映射是一种特殊的对应,①集合A、B及对应法则f是确定的;②对应法则有“方向性”,即强调从集合A到集合B的对应,它与从B到A的对应关系一般是不同的;③对于映射f:A→B来说,则应满足:(Ⅰ)集合A中的每一个元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(Ⅱ)集合A中不同的元素,在集合B中对应的象可以是同一个;(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。

常用的函数表示法及各自的优点:

1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等,注意判断一个图形是否是函数图象的依据;

2 解析法:必须注明函数的定义域;

3 图象法:描点法作图要注意:确定函数的定义域;化简函数的解析式;观察函数的特征;

4 列表法:选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征.

解析法:便于算出函数值。列表法:便于查出函数值。图象法:便于量出函数值.

补充一:分段函数(参见课本P24-25)

在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同的方程,而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来,并分别注明各部分的自变量的取值情况.(1)分段函数是一个函数,不要把它误认为是几个函数;(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集.

补充二:复合函数

如果y=f(u),(u∈M),u=g(x),(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x),(x∈A) 称为f、g 的复合函数。

例如: y=2sinx y=2cos(2x+1)

7.函数单调性

(1).增函数

设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量a,b,当a

如果对于区间D上的任意两个自变量的值a,b,当a

注意:1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质;

2 必须是对于区间D内的任意两个自变量a,b;当a

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法:任取a,b∈D,且a

(B)图象法(从图象上看升降)_

(C)复合函数的单调性

复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关

注意:1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 2、还记得我们在选修里学习简单易行的导数法判定单调性吗?

8.函数的奇偶性

(1)偶函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函数.

(2).奇函数

一般地,对于函数f(x)的定义域内的任意一个x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函数.

注意:1、函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;函数可能没有奇偶性,也可能既是奇函数又是偶函数。

2、由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

3、具有奇偶性的函数的图象的特征

偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.

总结:利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:1 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;2 确定f(-x)与f(x)的关系;3 作出相应结论:若f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则f(x)是偶函数;若f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则f(x)是奇函数.

注意:函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称,(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难,可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理,或借助函数的图象判定 .

9、函数的解析表达式

(1).函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域.

(2).求函数的解析式的主要方法有:待定系数法、换元法、消参法等,如果已知函数解析式的构造时,可用待定系数法;已知复合函数f[g(x)]的表达式时,可用换元法,这时要注意元的取值范围;当已知表达式较简单时,也可用凑配法;若已知抽象函数表达式,则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10.函数最大(小)值(定义见课本p36页)

(1)、利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值. (2)、利

用图象求函数的最大(小)值 (3)、 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值:如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递增,在区间[b ,c]上单调递减则函数y=f(x)在x=b 处有最大值f(b);如果函数y=f(x)在区间[a ,b]上单调递减,在区间[b ,c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b 处有最小值f(b);

第二章 基本初等函数

一、指数函数

(一)指数与指数幂的运算

1.根式的概念:一般地,如果a x n =,那么x 叫做a 的n 次方根(n th root ),其中n >1,且n ∈N *.

当n 是奇数时,正数的n 次方根是一个正数,负数的n 次方根是一个负数.此时,a 的n 次方根用符号n a 表示.式子n a 叫做根式(radical ),这里n 叫做根指数(radical exponent ),a 叫做被开方数(radicand ).

当n 是偶数时,正数的n 次方根有两个,这两个数互为相反数.此时,正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示,负的n 次方根用符号-n a 表示.正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a (a >0).由此可得:负数没有偶次方根;0的任何次方根都是0,记作00=n 。

注意:当n 是奇数时,a a n n =,当n 是偶数时,?

??<≥-==)0()0(||a a a a a a n n 2.分数指数幂

正数的分数指数幂的意义,规定:

)1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m ,)1,,,0(11

*>∈>==-n N n m a a a

a n m n m

n m

0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义

指出:规定了分数指数幂的意义后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数,那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂.

3.实数指数幂的运算性质

(1)r a ·s r r a a +=),,0(R s r a ∈>;(2)rs s r a a =)(),,0(R s r a ∈>;

(3)

s r r a a ab =)(),,0(R s r a ∈>. (二)指数函数及其性质

1、指数函数的概念:一般地,函数)1,0(≠>=a a a y x 且叫做指数函数(exponential function ),其中x 是自变量,函数的定义域为R .

注意:指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1. 2、指数函数的图象和性质

a>1 0

654321-1-4-22460

1

65

4

3

2

1

-1-4-224601 图象特征

函数性质

1a > 1a 0<<

1a > 1a 0<< 向x 、y 轴正负方向无限延伸

函数的定义域为R 图象关于原点和y 轴不对称

非奇非偶函数 函数图象都在x 轴上方

函数的值域为R + 函数图象都过定点(0,1)

1a 0= 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向右

看,

图象逐渐

下降

增函数 减函数 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第一象

限内的图

象纵坐标

都小于1

1a ,0x x >> 1a ,0x x <> 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象

限内的图

象纵坐标

都大于1 1a ,0x x << 1a ,0x x ><

图象上升趋势是越来越陡 图象上升趋势是越来越缓 函数值开始增长较慢,到了某一值后增长速度极快; 函数值开

始减小极快,到了某一值后减小速度

较慢;

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a ,b]上,)1a 0a (a )x (f x ≠>=且值域是)]b (f ),a (f [或)]a (f ),b (f [;

(2)若0x ≠,则1)x (f ≠;)x (f 取遍所有正数当且仅当R x ∈;

(3)对于指数函数)1a 0a (a )x (f x ≠>=且,总有a )1(f =;

(4)当1a >时,若21x x <,则)x (f )x (f 21<;

二、对数函数

(一)对数

1.对数的概念:一般地,如果N a x =)1,0(≠>a a ,那么数x 叫做以.a 为.底.N 的对数,记作:N x a log =(a — 底数,N — 真数,N a log — 对数式)

说明:○

1 注意底数的限制0>a ,且1≠a ; ○

2 x N N a a x =?=log ; ○

3 注意对数的书写格式. 两个重要对数:

1 常用对数:以10为底的对数N lg ; ○

2 自然对数:以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln . 对数式与指数式的互化

x N a =log ? N a x =

对数式 ? 指数式

N a log

对数底数 ← a → 幂底数

对数 ← x → 指数

真数 ← N → 幂

(二)对数的运算性质

如果0>a ,且1≠a ,0>M ,0>N ,那么:(1)M a (log ·=)N M

a log +N a log ;(2)=N

M a log M a log -N a log ;(3)n a M log n =M a log )(R n ∈.

注意:换底公式a

b b

c c a log log log =(0>a ,且1≠a ;0>c ,且1≠c ;0>b ). 利用换底公式推导下面的结论(1)b m n b a n a m log log =;(2)a

b b a log 1log =. (二)对数函数

1、对数函数的概念:函数0(log >=a x y a ,且)1≠a 叫做对数函数,其中

x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞)

. 注意:○

1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如:x y 2log 2=,5

log 5x y = 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. ○

2 对数函数对底数的限制:0(>a ,且)1≠a . 2、对数函数的性质:

a>1 0

32.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-11234567801

1 3

2.5

2

1.5

10.5-0.5-1

-1.5

-2

-2.5-112345678

011

图象特征 函数性质 1a >

1

a 0<<

1a > 1a 0<< 函数图象都在y 轴右侧

函数的定义域为(0,+∞) 图象关于原点和y 轴不对

非奇非偶函数 向y 轴正负方向无限延伸

函数的值域为R 函数图象都过定点(1,0)

01log =a 自左向右看, 图象逐渐上升 自左向

右看,

图象逐

渐下降

增函数 减函数 第一象限的图象纵坐标都大于0 第一象

限的图

象纵坐

标都大

于0 0log ,1>>x x a 0log ,10><

第二象

限的图

象纵坐

标都小

于0

第二象限的图象纵坐标都小于0 0log ,10<<x x a

三、幂函数

1、幂函数定义:一般地,形如αx y =)(R a ∈的函数称为幂函数,其中α为常数.

2、幂函数性质归纳.

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义,并且图象都过点(1,1);

(2)0>α时,幂函数的图象通过原点,并且在区间),0[+∞上是增函数.特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸;

(3)0<α时,幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数.在第一象限内,当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时, 图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴.

第三章 函数的应用

一、方程的根与函数的零点

1、函数零点的概念:对于函数))((D x x f y ∈=,把使0)(=x f 成立的实数x 叫做函数))((D x x f y ∈=的零点。

2、函数零点的意义:函数)(x f y =的零点就是方程0)(=x f 实数根,亦即函数)(x f y =的图象与x 轴交点的横坐标。即:

方程0)(=x f 有实数根?函数)(x f y =的图象与x 轴有交点?函数)(x f y =有零点.

3、函数零点的求法:

求函数)(x f y =的零点:

1 (代数法)求方程0)(=x f 的实数根; ○

2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数)(x f y =的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.

4、二次函数的零点:

二次函数)0(2≠++=a c bx ax y .

1)△>0,方程02=++c bx ax 有两不等实根,二次函数的图象与x 轴有两个交点,二次函数有两个零点.

2)△=0,方程02=++c bx ax 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点.

3)△<0,方程02=++c bx ax 无实根,二次函数的图象与x 轴无交点,二次函数无零点.

高中数学必修二知识点

一、直线与方程

(1)直线的倾斜角

定义:x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地,当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此,倾斜角的取值范围是0°≤α<180°

(2)直线的斜率

①定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即。斜率反映直线与轴的倾斜程度。

当时,;当时,;当时,不存在。

②过两点的直线的斜率公式:

注意下面四点:(1)当时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为90°;

(2)k与P1、P2的顺序无关;(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得;

(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。

(3)直线方程

①点斜式:直线斜率k,且过点

注意:当直线的斜率为0°时,k=0,直线的方程是y=y1。

当直线的斜率为90°时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示.但因l上每一点的横坐标都等于x1,所以它的方程是x=x1。

②斜截式:,直线斜率为k,直线在y轴上的截距为b

③两点式:()直线两点,

④截矩式:

其中直线与轴交于点,与轴交于点,即与轴、轴的截距分别为。

⑤一般式:(A,B不全为0)

注意:各式的适用范围特殊的方程如:

平行于x轴的直线:(b为常数);平行于y轴的直线:(a为常数);

(5)直线系方程:即具有某一共同性质的直线

(一)平行直线系

平行于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)

(二)垂直直线系

垂直于已知直线(是不全为0的常数)的直线系:(C为常数)

(三)过定点的直线系

(ⅰ)斜率为k的直线系:,直线过定点;

(ⅱ)过两条直线,的交点的直线系方程为

(为参数),其中直线不在直线系中。

(6)两直线平行与垂直

当,时,

注意:利用斜率判断直线的平行与垂直时,要注意斜率的存在与否。

(7)两条直线的交点

相交

交点坐标即方程组的一组解。

方程组无解;方程组有无数解与重合

(8)两点间距离公式:设是平面直角坐标系中的两个点,

(9)点到直线距离公式:一点到直线的距离

(10)两平行直线距离公式

在任一直线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解。

二、圆的方程

1、圆的定义:平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径。

2、圆的方程

(1)标准方程,圆心,半径为r;

(2)一般方程

当时,方程表示圆,此时圆心为,半径为

当时,表示一个点;当时,方程不表示任何图形。

(3)求圆方程的方法:

一般都采用待定系数法:先设后求。确定一个圆需要三个独立条件,若利用圆的标准方程,

需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F;

另外要注意多利用圆的几何性质:如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置。

3、直线与圆的位置关系:

直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情况:

(1)设直线,圆,圆心到l的距离为,则有;;

(2)过圆外一点的切线:①k不存在,验证是否成立②k存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离=半径,求解k,得到方程【一定两解】

(3)过圆上一点的切线方程:圆(x-a)2+(y-b)2=r2,圆上一点为(x0,y0),则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2

4、圆与圆的位置关系:通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

设圆,

两圆的位置关系常通过两圆半径的和(差),与圆心距(d)之间的大小比较来确定。

当时两圆外离,此时有公切线四条;

当时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条;

当时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线;

当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线;

当时,两圆内含;当时,为同心圆。

注意:已知圆上两点,圆心必在中垂线上;已知两圆相切,两圆心与切点共线

圆的辅助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点

三、立体几何初步

1、柱、锥、台、球的结构特征

(1)棱柱:

几何特征:两底面是对应边平行的全等多边形;侧面、对角面都是平行四边形;侧棱平行且相等;平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

(2)棱锥

几何特征:侧面、对角面都是三角形;平行于底面的截面与底面相似,其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

(3)棱台:

几何特征:①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点

(4)圆柱:定义:以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成

几何特征:①底面是全等的圆;②母线与轴平行;③轴与底面圆的半径垂直;④侧面展开图是一个矩形。

(5)圆锥:定义:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成

几何特征:①底面是一个圆;②母线交于圆锥的顶点;③侧面展开图是一个扇形。

(6)圆台:定义:以直角梯形的垂直与底边的腰为旋转轴,旋转一周所成

几何特征:①上下底面是两个圆;②侧面母线交于原圆锥的顶点;③侧面展开图是一个弓形。

(7)球体:定义:以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体

几何特征:①球的截面是圆;②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

2、空间几何体的三视图

定义三视图:正视图(光线从几何体的前面向后面正投影);侧视图(从左向右)、

俯视图(从上向下)

注:正视图反映了物体的高度和长度;俯视图反映了物体的长度和宽度;侧视图反映了物体的高度和宽度。

3、空间几何体的直观图——斜二测画法

斜二测画法特点:①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变;

②原来与y轴平行的线段仍然与y平行,长度为原来的一半。

4、柱体、锥体、台体的表面积与体积

(1)几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

(2)特殊几何体表面积公式(c为底面周长,h为高,为斜高,l为母线)

(3)柱体、锥体、台体的体积公式

(4)球体的表面积和体积公式:V= ;S=

4、空间点、直线、平面的位置关系

公理1:如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是所有的点都在这个平面内。

应用:判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1:

公理2:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号:平面α和β相交,交线是a,记作α∩β=a。

符号语言:

公理2的作用:

①它是判定两个平面相交的方法。

②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系:交线必过公共点。

③它可以判断点在直线上,即证若干个点共线的重要依据。

公理3:经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面。

推论:一直线和直线外一点确定一平面;两相交直线确定一平面;两平行直线确定一平面。

公理3及其推论作用:①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据

公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行

空间直线与直线之间的位置关系

①异面直线定义:不同在任何一个平面内的两条直线

②异面直线性质:既不平行,又不相交。

③异面直线判定:过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线

④异面直线所成角:作平行,令两线相交,所得锐角或直角,即所成角。两条异面直线所成角的范围是(0°,90°],若两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面直线互相垂直。

求异面直线所成角步骤:

A、利用定义构造角,可固定一条,平移另一条,或两条同时平移到某个特殊的位置,顶点选在特殊的位置上。

B、证明作出的角即为所求角

C、利用三角形来求角

(7)等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互补。

(8)空间直线与平面之间的位置关系

直线在平面内——有无数个公共点.

三种位置关系的符号表示:aαa∩α=A a‖α

(9)平面与平面之间的位置关系:平行——没有公共点;α‖β

相交——有一条公共直线。α∩β=b

5、空间中的平行问题

(1)直线与平面平行的判定及其性质

线面平行的判定定理:平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行。

线线平行线面平行

线面平行的性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,

那么这条直线和交线平行。线面平行线线平行

(2)平面与平面平行的判定及其性质

两个平面平行的判定定理

(1)如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行

(线面平行→面面平行),

(2)如果在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么这两个平面平行。

(线线平行→面面平行),

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行,

两个平面平行的性质定理

(1)如果两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另一个平面平行。(面面平行→线面平行)

(2)如果两个平行平面都和第三个平面相交,那么它们的交线平行。(面面平行→线线平行)

7、空间中的垂直问题

(1)线线、面面、线面垂直的定义

①两条异面直线的垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线互相垂直。

②线面垂直:如果一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直。

③平面和平面垂直:如果两个平面相交,所成的二面角(从一条直线出发的两个半平面所组成的图形)是直二面角(平面角是直角),就说这两个平面垂直。

(2)垂直关系的判定和性质定理

①线面垂直判定定理和性质定理

判定定理:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直这个平面。

性质定理:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行。

②面面垂直的判定定理和性质定理

判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直。

性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。

9、空间角问题

(1)直线与直线所成的角

①两平行直线所成的角:规定为。

②两条相交直线所成的角:两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成的角。

③两条异面直线所成的角:过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b平行的直线,形成两条相交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角。

(2)直线和平面所成的角

①平面的平行线与平面所成的角:规定为。②平面的垂线与平面所成的角:规定为。

③平面的斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角。

求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角:“一作,二证,三计算”。

在“作角”时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,

在解题时,注意挖掘题设中两个主要信息:(1)斜线上一点到面的垂线;(2)过斜线上的一点或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线。

(3)二面角和二面角的平面角

①二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面。

②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角。

③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。

两相交平面如果所组成的二面角是直二面角,那么这两个平面垂直;反过来,如果两个平面垂直,那么所成的二面角为直二面角

④求二面角的方法

定义法:在棱上选择有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平面角

垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线所成的角为二面角的平面角

高中数学必修三知识点

第一章算法初步 1.1.1 算法的概念1、算法概念:在数学上,现代意义上的“算法” 通常是指可以用计算机来解决的某一类问题是程序或步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限步之内完成. 2. 算法的特点: (1)有限性:一个算法的步骤序列是有限的,必须在有限操作之后停止,不能是无限的. (2)确定性:算法中的每一步应该是确定的并且能有效地执行且得到确定的结果,而不应当是模棱两可. (3)顺序性与正确性:算法从初始步骤开始,分为若干明确的步骤,每一个步骤只能有一个确定的后继步骤,前一步是后一步的前提,只有执行完前一步才能进行下一步,并且每一步都准确无误,才能完成问题.

(4)不唯一性:求解某一个问题的解法不一定是唯一的,对于一个问题可以有不同的算法. (5)普遍性:很多具体的问题,都可以设计合理的算法去解决,如心算、计算器计算都要经过有限、事先设计好的步骤加以解决. 1.1.2 程序框图1、程序框图基本概念:(一)程序构图的概念:程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文字说明来准确、直观地表示算法的图形。一个程序框图包括以下几部分:表示相应操作的程序框;带箭头的流程线;程序框外必要文字说明。(二)构成程序框的图形符号及其作用程序框名称起止框不可少的。表示一个算法输入和输出的信息,可用在算输入、输出框法中任何需要输入、输出的位置。赋值、计算,算法中处理数据需要的算式、处理框公式等分别写在不同的用以处理数据的处理框内。判断某一条件是否成立,成立时在出口处标判断框明“是”或“Y” ;不成立时标明“否”或“N” 。学习这部分知识的时候,要掌握各个图形的形状、作用及使用规则,画程序框图的规则如下:1、使用标准的图形符号。2、框图一般按从上到下、从左到右的方向画。3、除判断框外,大多数流程图符号只有一个进入点和一个退出点。判断框具有超过一个退出点的唯一符号。4、判断框分两大类,一类判断框“是”与“否”两分支的判断,而且有且仅有两个结果;另一类是多分支判断,有几种不同的结果。

5、在图形符号内描述的语言要非常简练清楚。、算法的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构。(三)1、顺序结构:顺序结构是最简单的算法结构,语句与语句之间,框与框之间是按从上到下的顺序进行的,它是由若干个依次执行的处理步骤组成的,它是任何一个算法都离不开的一种基本算法结构。顺序结构在程序框图中的体现就是用流程线将程序框自上而下地连接起来,按顺序执行算法步骤。如在示意图中,A 框和 B 框是依次执行的,只有在执行完A 框指定的操作后,才能接着执行B 框所指定的操作。2、条件结构:、条件结构:功能表示一个算法的起始和结束,是任何流程图A B 条件结构是指在算法中通过对条件的判断根据条件是否成立而选择不同流向的算法结构。条件P 是否成立而选择执行A 框或 B 框。无论P 条件是否成立,只能执行A 框或B 框之一,不可能同时执行 A 框和 B 框,也不可能 A 框、B 框都不执行。一个判断结构可以有多个判断框。3、循环结构:在一些算法中,经常会出现从某处开始,按照一定条件,反复执行某一处理、循环结构:步骤的情况,这就是循环结构,反复执行的处理步骤为循环体,显然,循环结构中一定包含条件结构。循环结构又称重复结构,循环结构可细分为两类:(1)、一类是当型循环结构,如下左图所示,它的功能是当给定的条件P 成立时,执行A 框,A 框执行完毕后,再判断条件P 是否成立,如果仍然成立,再执行 A 框,如此反复执行A 框,直到某一次条件P 不成立为止,此时不再执行A 框,离开循环结构。(2)、另一类是直到型循环结构,如下右图所示,它的功能是先执行,然后判断给定的条件P 是否成立,如果P 仍然不成立,则继续执行A 框,直到某一次给定的条件P 成立为止,此时不再执行A 框,离开循环结构。A P 不成立p P 成立成立A 不成立当型循环结构直

到型循环结构注意:注意:1 循环结构要在某个条件下终止循环,这就需要条件结构来判断。因此,循环结构中一定包含条件结构,但不允许“死循环” 在循环结构中都有一个计数变量和累加变。2 量。计数变量用于记录循环次数,累加变量用于输出结果。计数变量和累加变量一般是同步......执行的,累加一次,计数一次。 1.2.1 输入、输出语句和赋值语句输入、1、输入语句、(1)输入语句的一般格式图形计算器格式INPUT“提示内容” ;变量INPUT “提示内容” ,变量(2)输入语句的作用是实现算法的输入信息功能;“提示内容”提示用户输入什么样的(3)信息,变量是指程序在运行时其值是可以变化的量;(4)输入语句要求输入的值只能是具体的常数,不能是函数、变量或表达式;(5)提示内容与变量之间用分号“;”隔开,若输入多个变量,变量与变量之间用逗号“,”隔开。2、输出语句、(1)输出语句的一般格式图形计算器格式PRINT“提示内容” ;表达式Disp “提示内容” ,变量(2)输出语句的作用是实现算法的输出结果功能;“提示内容”提示用户输入什么样的(3)信息,表达式是指程序要输出的数据;(4)输出语句可以输出常量、变量或表达式的值以及字符。3、赋值语句、(1)赋值语句的一般格式图形计算器格式变量=表达式表达式→ 变量(2)赋值语句的作用是将表达式所代表的值赋给变量;(3)赋值语句中的“=”称作赋值号,与数学中的等号的意义是不同的。赋值号的左右两边不能对换,它将赋值号右边的表达式的值赋给赋值号左边的变量;(4)赋值语句左边只能是变量名字,而不是表达式,右边表达式可以是一个数据、常量或算式;(5)对于一个变量可以多次赋值。注意:注意:①赋值号左边只能是变量名字,而不能是表达式。如:2=X 是错误的。②赋值号左右不能对换。如“A=B” “B=A”的含义运行结果是不同的。③不能利用赋值语句进行代数式的演算。(如化简、因式分解、解方程等)④赋值号“=”与数学中的等号意义不同。1.2.2 条件语句..1、条件语句的一般格式有两种:、(1)IF—THEN—ELSE 语句;(2)IF—THEN 语句。2、IF 、—THEN—ELSE 语句— IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为图1,对应的程序框图为图2。IF 条件语句1 ELSE 语句 2 END IF THEN 满足条件?是语句 1 否语句2 图1 图2 分析:在IF—THEN—ELSE 语句中,“条件”表示判断的条件,“语句1”表示满足条件时执行的操作内容;“语句2”表示不满足条件时执行的操作内容;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时,首先对IF 后的条件进行判断,如果条件符合,则执行THEN 后面的语句1;若条件不符合,则执行ELSE 后面的语句2。3、IF—THEN 语句、— IF—THEN 语句的一般格式为图3,对应的程序框图为图4。IF 条件THEN 语句END IF (图3)(图4)满足条件?否是语句注意:“条件”表示判断的条件;“语句”表示满足条件时执行的操注意:作内容,条件不满足时,结束程序;END IF 表示条件语句的结束。计算机在执行时首先对IF 后的条件进行判断,如果条件符合就执行THEN 后边的语句,若条件不符合则直接结束该条件语句,转而执行其它语句。1.2.3 循环语句..循环结构是由循环语句来实现的。对应于程序框图中的两种循环结构,一般程序设计语言中也有当型(WHILE 型)和直到型(UNTIL 型)两种语句结构。即WHILE 语句和UNTIL 语句。1、WHILE 语句、(1)WHILE 语句的一般格式是对应的程序框图是循环体WHILE 条件循环体WEND 满足条件?否(2)当计算机遇到WHILE 语句时,先判断条件的真假,如果条件符合,就执行WHILE 与WEND 之间的循环体;然后再检查上述条件,如果条件仍符合,再次执行循环体,这个过程反复进行,直到某一次条件不符合为止。这时,计算机将不执行循环体,直接跳到WEND 语句后,接着执行WEND 之后的语句。因此,当型循环有时也称为“前测试型”循环。是2、UNTIL 语句、(1)UNTIL 语句的一般格式是对应的程序框图是DO 循环体LOOP UNTIL 条件循环体满足条

件?是否(2)直到型循环又称为“后测试型”循环,从UNTIL 型循环结构分析,计算机执行该语句时,先执行一次循环体,然后进行条件的判断,如果条件不满足,继续返回执行循环体,然后再进行条件的判断,这个过程反复进行,直到某一次条件满足时,不再执行循环体,跳到LOOP UNTIL 语句后执行其他语句,是先执行循环体后进行条件判断的循环语句。分析:(先由学生讨论再归纳)分析:当型循环与直到型循环的区别:(1)当型循环先判断后执行,直到型循环先执行后判断;在WHILE 语句中,是当条件满足时执行循环体,在UNTIL 语句中,是当条件不满足时执行循环1.3.1 辗转相除法与更相减损术1、辗转相除法。也叫欧几里德算法,用辗转相除法求最大公约数的步骤如下:(1):用较大的数m 除以较小的数n 得到一个商为m,n 的最大公约数;若(3):若商S0 和一个余数R0 ;:若R0 =0,则n (2)R0 ≠0,则用除数n 除以余数R0 得到一个商S1 和一个余数R1 ;R1 =0,则R1 为m,n 的最大公约数;若R1 ≠0,则用除数R0 除以余数R1 得到一个依次计算直至S2 和一个余数R2 ;…… Rn =0,此时所得到的Rn ?1 即为所求的最大公约数。2、更相减损术我国早期也有求最大公约数问题的算法,就是更相减损术。在《九章算术》中有更相减损术求最大公约数的步骤:可半者半之,不可半者,副置分母?子之数,以少减多,更相减损,求其等也,以等数约之。翻译为::任意给出两个正数;判断它们是否都是偶数。若是,用 2 约简;若不是,执(1)行第二步。:以较大的数减去较小的数,接着把较小的数与所得的差比较,并以大数减(2)小数。继续这个操作,直到所得的数相等为止,则这个数(等数)就是所求的最大公约数。例2 用更相减损术求98 与63 的最大公约数. 分析:(略)3、辗转相除法与更相减损术的区别:(1)都是求最大公约数的方法,计算上辗转相除法以除法为主,更相减损术以减法为主,计算次数上辗转相除法计算次数相对较少,特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。(2)从结果体现形式来看,辗转相除法体现结果是以相除余数为0 则得到,而更相减损术则以减数与差相等而得到1.3.2 秦九韶算法与排序1、秦九韶算法概念:f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0 求值问题f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=( anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0 =(( anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0 =......=(...( anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0 求多项式的值时,首先计算最内层括号内依次多项式的值,即v1=anx+an-1 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即v2=v1x+an-2 v3=v2x+an-3 ...... vn=vn-1x+a0、这样,把n 次多项式的求值问题转化成求n 个一次多项式的值的问题。2、两种排序方法、两种排序方法:直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序基本思想:插入排序的思想就是读一个,排一个。将第1个数放入数组的第1个元素中,以后读入的数与已存入数组的数进行比较,确定它在从大到小的排列中应处的位置.将该位置以及以后的元素向后推移一个位置,将读入的新数填入空出的位置中.(由于算法简单,可以举例说明)2、冒泡排序基本思想:依次比较相邻的两个数,把大的放前面,小的放后面.即首先比较第 1 个数和第 2 个数,大数放前,小数放后.然后比较第 2 个数和第 3 个数......直到比较最后两个数.第一趟结束,最小的一定沉到最后.重复上过程,仍从第 1 个数开始,到最后第 2 个数...... 由于在排序过程中总是大数往前,小数往后,相当气泡上升,所以叫冒泡排序. 1.3.3 进位制1、概念:进位制是一种记数方式,用有限的数字在不同的位置表示不同的数值。可使用数概念:进位制字符号的个数称为基数,基数为n,即可称n 进位制,简称n 进制。现在最常用的是十进制,通常使用10 个阿拉伯数字0-9 进行记数。对于任何一个数,我们可以用不同的进位制来表示。比如:十进数57,可以用二进制表示为111001,也可以用八进制表示为71、用十六进制表示为39,它们所代表的数值都是一样的。一般地,若k 是一个大于一的整数,那么以k

为基数的k 进制可以表示为:an an ?1...a1a0( k ) (0 < an < k , 0 ≤ an ?1 ,..., a1 , a0 < k ) ,而表示各种进位制数一般在数字右下脚加注来表示,如111001(2)表示二进制数,34(5)表示 5 进制数第二章 2.1.1 简单随机抽样统计1.总体和样本总体:在统计学中, 把研究对象的全体叫做总体.个体:把每个研究对象叫做个体.总体容量:把总体中个体的总数叫做总体容量.为了研究总体的有关性质,一般从总体中随机抽取一部分:研究,我们称它为样本.其中个体的个数称为样本容量。......2.简单随机抽样,也叫纯随机抽样。就是从总体中不加任何分组、划类、排队等,完全随机地抽取调查单位。特点是:每个样本单位被抽中的可能性相同(概率相等),样本的每个单位完全独立,彼此间无一定的关联性和排斥性。简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时,才采用这种方法。3.简单随机抽样常用的方法:(1)抽签法;

⑵随机数表法;⑶计算机模拟法;⑷使用统计软件直接抽取。在简单随机抽样的样本容量设计中,主要考虑:①总体变异情况;②允许误差范围;③概率保证程度。4.抽签法: (1)给调查对象群体中的每一个对象编号;(2)准备抽签的工具,实施抽签,,,(3)对样本中的每一个个体进行测量或调查例:请调查你所在的学校的学生做喜欢的体育活动情况。5.随机数表法:例:利用随机数表在所在的班级中抽取10 位同学参加某项活动。

2.1.2 系统抽样1.系统抽样(等距抽样或机械抽样):把总体的单位进行排序,再计算出抽样距离,然后按照这一固定的抽样距离抽取样本。第一个样本采用简单随机抽样的办法抽取。K(抽样距离)=N(总体规模)/n(样本规模)前提条件:总体中个体的排列对于研究的变量来说,应是随机的,即不存在某种与研究变量相关的规则分布。可以在调查允许的条件下,从不同的样本开始抽样,对比几次样本的特点。如果有明显差别,说明样本在总体中的分布承某种循环性规律,且这种循环和抽样距离重合。2.系统抽样,即等距抽样是实际中最为常用的抽样方法之一。因为它对抽样框的要求较低,实施也比较简单。更为重要的是,如果有某种与调查指标相关的辅助变量可供使用,总体单元按辅助变量的大小顺序排队的话,使用系统抽样可以大大提高估计精度。2.1.3 分层抽样1.分层抽样(类型抽样):先将总体中的所有单位按照某种特征或标志(性别、年龄等)划分成若干类型或层次,然后再在各个类型或层次中采用简单随机抽样或系用抽样的办法抽取一个子样本,最后,将这些子样本合起来构成总体的样本。两种方法:1.先以分层变量将总体划分为若干层,再按照各层在总体中的比例从各层中抽取。2.先以分层变量将总体划分为若干层,再将各层中的元素按分层的顺序整齐排列,最后用系统抽样的方法抽取样本。2.分层抽样是把异质性较强的总体分成一个个同质性较强的子总体,再抽取不同的子总体中的样本分别代表该子总体,所有的样本进而代表总体。分层标准:(1)以调查所要分析和研究的主要变量或相关的变量作为分层的标准。(2)以保证各层内部同质性强、各层之间异质性强、突出总体内在结构的变量作为分层变量。(3)以那些有明显分层区分的变量作为分层变量。3.分层的比例问题:(1)按比例分层抽样:根据各种类型或层次中的单位数目占总体单位数目的比重来抽取子样本的方法。(2)不按比例分层抽样:有的层次在总体中的比重太小,其样本量就会非常少,此时采用该方法,主要是便于对不同层次的子总体进行专门研究或进行相互比较。如果要用样本资料推断总体时,则需要先对各层的数据资料进行加权处理,调整样本中各层的比例,使数据恢复到总体中各层实际的比例结构。2.2.2 用样本的数字特征估计总体的数字特征1、本均值:x = x1 + x 2 + L + x n n 2、.样本标准差:s = s2 = ( x1 ? x) 2 + ( x 2 ? x) 2 + L + ( x n ? x) 2 n 3.用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差。在随机抽样中,这种偏差是不可避免的。虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差

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