江西省南昌市第三中学2015-2016学年高一数学上学期期末考试试题

南昌三中2015—2016学年度上学期期末考试

高一数学试卷

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（ ）

A.2

B.4

C.8

D.1 2．下列四个式子中是恒等式的是（ ）

A ．)sin(βα+＝αsin ＋βsin

B ．βββαβαsin sin cos cos )cos(+=+

C ．

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(--=

- D ．)sin(βα+βαβα22sin sin )sin(-=-

3、与600?终边相同的角可表示为 ( )

（A ）360220k ??+?（B ）360240k ??+?（C ）36060k ??+?（D ）360260k ??+?，k Z ∈

4.已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π

6

)，则角x 的最小正值为( )

A ．5π

6

B ．5π3

C ．11π6

D ．2π3

5．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m ，sin2α＝m 2

，则m 的值为( )

A ．

33 B ．－33 C ．－1

3

D ．－

2

3

6．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1

3

，则tan β的值为( )

A ．13

B ．3

C ．913

D ．13

9 7.

3cos10°－1sin170°

＝( )

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )

A ．π2

B ．－π2

C ．π4

D ．－π4

9.已知函数f(x)＝－cos2x －8sinx ＋9.则函数f(x)的最小值为 （ ） A. 2 B.0 C.18 D. －2

10.

sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-

的值等于 （ ） A

．2

．2 C

D

11．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0 ，|OA →|＝|AB →|，则CA →2CB →

等于 ( )

A ．32

B ． 3

C ．3

D ．2 3

12．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＋f (2014) ＋f (2015) ＋f (2016)的值分别为( )

A ．f (x )＝1

2

sin2πx ＋1，S ＝2016

B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝20161

2

C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝20171

2

D ．f (x )＝12sin π

2

x ＋1，S ＝2017

二.填空题：（每小题5分，共20分）

13．向量a ，b ，c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则a2(b＋c)＝________.

14.如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，1e ，2e

分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位

向量，若向量OP →＝x 1e ＋y 2e ，则将有序实数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →

＝(3,2)，

则|OP →

|＝________.

15.已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →2BC →

＝－1，则1＋tan α2sin 2

α＋sin2α的值为_______． 16．(1)把函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴向左平移π

6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

后得到函数y ＝f(x)图像，对于函数y ＝f(x)有以下四个判断：

①该函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋π6)；②该函数图像关于点(π

3

，0)对称；

③该函数在[0，π6]上是增函数；④函数y ＝f(x)＋a 在[0，π

2]上的最小值为3，则a ＝2 3.

(2)以下命题：⑤若|a2b |＝|a |2|b |，则a ∥b ；⑥a ＝(－1,1)在b ＝(3,4)方向上的投影为1

5；

⑦若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |>|a ＋2b |.

在(1)和(2)中，正确判断的序号是________________________________ ．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分10分)如图，∠AOB ＝π

3，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段A 1A 2

的长为1，线段B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．

(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →

； (2)求向量MN →

的模．

18、（本小题满分12分）已知135

)4sin(=-x π ，40π<

4

cos(2cos x x +π的值。

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π

2)的图像与y 轴的交点

为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．

(1)求函数f(x)的解析式及x 0的值；

(2)若锐角θ满足cos θ＝1

3，求f(4θ)的值．

20. （

本

小

题

满

分

12

分

）

已

知

向

量

(2cos (3cos ,sin x),022x x a b ωωωω==> ，设函数

()3f x a b =- 的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为

等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；

（2）若0()5

f x =

，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.

21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，C (1，

3)，点M 满足OM →＝12

OA →

，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．

(1)求∠OCM 的余弦值；

(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →

，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

22. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π

3倍，然后再

向上平移1个单位，得到函数y ＝3sin x 的图象．

(1)求y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；

（2）[]915

()()2,2,522

h x f x m =++若的定义域为[]，值域为，求m 的值。 (3)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，有

221

23()(3)2

t t g x t t --≤≤---恒成立，求t 的范围．

南昌三中高一上数学期末考试卷答案

一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1. 已知扇形的半径是2，面积为8，则此扇形的圆心角的弧度数是（B ） A.2 B.4 C.8 D.1 2．下列四个式子中是恒等式的是（ ）D

A ．)sin(βα+＝αsin ＋βsin

B ．βββαβαsin sin cos cos )cos(+=+

C ．

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(--=

- D ．)sin(βα+βαβα22sin sin )sin(-=-

3、与600?终边相同的角可表示为 ( B )

（A ）360220k ??+?（B ）360240k ??+?（C ）36060k ??+?（D ）360260k ??+?，k Z ∈

4.已知角x 的终边上一点的坐标为(sin 5π6，cos 5π

6

)，则角x 的最小正值为( )

A ．5π6

B ．5π3

C ．11π6

D ．2π

3

[答案] B[解析] ∵sin 5π6＝12，cos 5π6＝－32，∴角x 的终边经过点(12，－3

2)，tanx ＝－3，

∴x ＝2k π＋5π3，k ∈Z.∴角x 的最小正值为5π

3

.

5．已知α为第三象限角，且sin α＋cos α＝2m ，sin2α＝m 2

，则m 的值为( ) A ．33 B ．－33 C ．－13 D ．－23

[答案] B [解析] 把sin α＋cos α＝2m 两边平方可得1＋sin2α＝4m 2

，又sin2α＝m 2

，∴3m

2

＝1，解得m ＝±33，又α为第三象限角，∴m ＝－3

3

.

6．已知α、β为锐角，cos α＝35，tan(α－β)＝－1

3

，则tan β的值为( )

A ．13

B ．3

C ．913

D ．139

[答案] B [解析] ∵cos α＝35，α为锐角，∴sin α＝45，tan α＝4

3

，∴tan β＝tan[α－(α

－β)]＝tan α－tan α－β

1＋tan α2tan α－β ＝43－ －13 1＋433 －1

3 ＝3.

7.

3cos10°－1

sin170°

＝( )

A ．4

B ．2

C ．－2

D ．－4

[答案] D[解析] 3co s10°－1sin170°＝3cos10°－1

sin10°

＝

3sin10°－cos10°

sin10°cos10°

＝

2sin 10°－30° sin10°cos10°

＝

2sin －20° sin10°cos10°＝－2sin20°

1

2

sin20°＝－4，选D ．

8．设向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，其中0<α<β<π，若|2a ＋b |＝|a －2b |，则β－α等于( )

A ．π2

B ．－π2

C ．π

4

D ．－π

4

[答案] A[解析] 由|2a ＋b |＝|a －2b |知3|a |2－3|b |2＋8a 2b ＝0.而|a |＝1，|b |＝1，故a 2b ＝0，

即cos(α－β)＝0，由于0<α<β<π，故－π<α－β<0，故β

－α＝π

2

，选A ．

9.已知函数f(x)＝－cos2x －8sinx ＋9.则函数f(x)的最小值为 （ ） A. 2 B.0 C.18 D. －2

[解析]A (1)因为f(x)＝－cos2x －8sinx ＋9＝2sin 2x －8sinx+8＝2(sinx －2)2

，又sinx ∈[－1,1]，所以当sinx ＝1时，函数f(x)的最小值为0.

10.

sin 7cos15sin8cos7sin15sin8+-

的值等于 （ ）

A

．2

．2 C

D

[分析]从角度关系分析入手，尝试配凑已知角、待求角、特殊角之间的和、差、倍、半表示式。

[略解

]

0000

0000

00000000000000000

00sin(158)cos15sin8cos(158)sin15sin8sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8tan 45tan 30tan15tan(4530)1tan 45tan 302-+=

---+=

+--==-=

+=-原式

故选B.

11．△ABC 外接圆的半径为1，圆心为O ，且2OA →＋AB →＋AC →＝0 ，|OA →|＝|AB →|，则CA →2CB →

等于 ( ) A ．3

2

B ． 3

C ．3

D ．2 3 [答案] C[解析] 由2OA →＋AB →＋AC →＝0，得OA →＋AB →＋OA →＋AC →＝OB →＋OC →＝0 ，所以OB →＝－OC →＝CO →

，即O 是BC 的中点，所以BC 为外接圆的直径，BC ＝2，则∠BAC ＝90°，因为|OA →|＝|AB →

|，所以△ABO 为正三角形，所以∠ABO ＝60°，∠ACB ＝30°，且|AC|＝3，所以CA →2CB →＝|CA →|2|CB →

|2cos30°＝2333

3

2

＝3，选

C ．

12．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的图象如图，则f (x )的解析式和S ＝f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2013) ＋f (2014) ＋f (2015) ＋f (2016)的值分别为( )

A ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝2016

B ．f (x )＝12sin2πx ＋1，S ＝20161

2

C ．f (x )＝12sin π2x ＋1，S ＝201712

D ．f (x )＝12sin π

2

x ＋1，S ＝2017

[答案] D [解析] 由图象知A ＝0.5，T ＝4＝2πω，∴ω＝π2，b ＝1，∴f (x )＝0.5sin(π

2x ＋φ)

＋1，由f (x )的图象过点(1，1.5)得，0.5sin(π

2

＋φ)＋1＝1.5，∴cos φ＝1，∴φ＝2k π，k ∈Z ，

取k ＝0得φ＝0，∴f (x )＝0.5sin(π

2

x )＋1，

∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝(0.5sin0＋1)＋(0.5sin π2＋1)＋(0.5sin π＋1)＋(0.5sin 3π

2＋

1)＝4,2016＝43504＋0，∴S ＝43504＋f (2016)＝2016＋f (0)＝2017.

二.填空题：（每小题5分，共20分）

13．向量a ，b ，c 在单位正方形网格中的位置如图所示，则a 2(b ＋c )＝________.

[答案] 3[解析] 如图建立平面直角坐标系，

则a ＝(1,3)，b ＝(3，－1)－(1,1)＝(2，－2)，c ＝(3,2)－(5，－1)＝(－2,3)，∴b ＋c ＝(0,1)，

14.如图，Ox 、Oy 是平面内相交成120°的两条数轴，1e ，2e

分别是与x

轴、y 轴正方向同向的单位向量，若向量OP →

＝x 1e ＋y 2e ，则将有序实

数对(x ，y )叫做向量OP →在坐标系xOy 中的坐标．若OP →＝(3,2)，则|OP →

|＝________.

[答案] 7[解析] 由题意可得1e 22e ＝cos120°＝－12.|OP →

|

＝ 3e 1＋2e 2 2

＝9|e 1|2

＋4|e 2|2

＋12e 12e 2＝9＋4－6＝7.

15.已知点A (3,0)，B (0,3)，C (cos α，sin α)，若AC →2BC →

＝－1，则1＋tan α

2sin 2

α＋sin2α

的值为_______．-9/5;

16．(1)把函数y ＝sin2x 的图像沿x 轴向左平移π

6个单位，纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)

后得到函数y ＝f(x)图像，对于函数y ＝f(x)有以下四个判断：

①该函数的解析式为y ＝2sin(2x ＋π6)；②该函数图像关于点(π

3

，0)对称；

③该函数在[0，π6]上是增函数；④函数y ＝f(x)＋a 在[0，π

2]上的最小值为3，则a ＝2 3.

(2)以下命题：⑤若|a2b |＝|a |2|b |，则a ∥b ；⑥a ＝(－1,1)在b ＝(3,4)方向上的投影为1

5；⑦

若非零向量a 、b 满足|a ＋b |＝|b |，则|2b |>|a ＋2b |.

在(1)和(2)中，正确判断的序号是________________________________ ． [答案] ②④⑤⑥⑦

（1）[解析] 将函数向左平移π6得到y ＝sin2(x ＋π6)＝sin(2x ＋π

3)，然后纵坐标伸长到原来的

2倍得到y ＝2sin(2x ＋π3)，即y ＝f(x)＝2sin(2x ＋π3)，所以①不正确．y ＝f(π3)＝2sin(23π

3＋

π3)＝2sin π＝0，所以函数图像关于点(π3，0)对称，所以②正确．由－π2＋2k π≤2x＋π3≤π

2＋2k π，k ∈Z ，得－5π12＋k π≤x≤π12＋k π，k ∈Z, 即函数的单调增区间为[－5π12＋k π，π

12＋k π]，k ∈Z ，

当k ＝0时，增区间为[－5π12，π12]，所以③不正确. y ＝f(x)＋a ＝2sin(2x ＋π3)＋a ，当0≤x≤π

2时，

π3≤2x＋π3≤4π3，所以当2x ＋π6＝4π3时，函数值最小为y ＝2sin 4π

3＋a ＝－3＋a ＝3，所以a ＝23，所以④正确．所以正确的命题为②④.

（2）[解析] 由|a2b |＝|a |2|b ||cos|＝|a |2|b |，所以cos＝±1，即＝0

或＝π，所以a ∥b ，所以⑤正确．a 在b 方向上的投影为|a |cos＝a2b |b|＝－3＋45＝1

5，

所以⑥正确．，所由|a ＋b |＝|b |得，a 2

＋2a2b ＝0，即2a2b ＝－a 2

，若|2b |>|a ＋2b |，则有4b 2>a

2

＋4a2b ＋4b 2，即a +＋4a 2b＝a 2－2a 2＝－a 2

<0，显然成立，所以⑦正确．

三、解答题：（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)

17．(本小题满分10分)如图，∠AOB ＝π

3

，动点A 1，A 2与B 1，B 2分别在射线OA ，OB 上，且线段

A 1A 2的长为1，线段

B 1B 2的长为2，点M ，N 分别是线段A 1B 1，A 2B 2的中点．

(1)用向量A 1A 2→与B 1B 2→表示向量MN →

；

(2)求向量MN →

的模．

[解析] (1)MN →＝MA 1→＋A 1A 2→＋A 2N →，MN →＝MB 1→＋B 1B 2→＋B 2N →

，两式相加，并注意到点M 、N 分别是线段

A 1

B 1、A 2B 2的中点，得MN →＝12

(A 1A 2→＋B 1B 2→

)．

(2)由已知可得向量A 1A 2→与B 1B 2→

的模分别为1与2，夹角为π3

，

所以A 1A 2→2B 1B 2→＝1，由MN →＝12

(A 1A 2→＋B 1B 2→

)得，

|MN →|＝14 A 1A 2→＋B 1B 2→ 2 ＝12

A 1A 2→

2＋B 1B 2→

2＋2A 1A 2→

2B 1B 2→

＝

72

. 18、（本小题满分12分）已知13

5

)4sin(=-x π ，40π<

4

cos(2cos x x +π的值。

18、（本小题满分12分）解：∵135)4sin(=-x π 135)4sin()4(2cos =-=??

????--x x πππ 即135)4cos(=+x π ∵4

0π<

2

4

4

π

ππ<

+

13

x π+=，而125125120cos 2cos ()()4

4

131********

x x x ππ??=+--=?+?=????

∴

132413

5169120

)

4cos(2cos ==+x x π 法2

原式2cos 4x π??

- ???

=2413

19．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π

2)的图像与y 轴的交点

为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2)．

(1)求函数f(x)的解析式及x 0的值；

(2)若锐角θ满足cos θ＝1

3，求f(4θ)的值．

[解析] (1)∵由题意可得A ＝2，T

2＝2π，即T ＝4π，

∴

2πω＝4π，∴ω＝12

. ∴f(x)＝2sin(1

2x ＋φ)．

由图像经过点(0,1)得， f(0)＝2sin φ＝1，又|φ|<π2，∴φ＝π

6

. 故f(x)＝2sin(12x ＋π

6)．

又f(x 0)＝2sin(12x 0＋π

6)＝2，

∴12x 0＋π6＝2k π＋π

2(k ∈Z)， ∴x 0＝4k π＋2π

3(k ∈Z)，

根据图像可得x0是最小的正数，

∴x 0＝2π3.

(2)由(1)知，f(4θ)＝2sin(2θ＋π

6)

＝3sin2θ＋cos2θ.

∵θ∈(0，π2)，cos θ＝13，∴sin θ＝22

3

，

∴cos2θ＝2cos 2

θ－1＝－79，sin2θ＝2sin θcos θ＝429，

∴f(4θ)＝33429－79＝469－79＝46－7

9.

则f(π4)＝2sin(23π4－π

4

)＝1.

20. （本小题满分12分）已知向量(2cos (3cos ,sin x),022

x x

a b ωωωω==> ，设函数

()3f x a b =- 的部分图象如图所示，A 为图象的最低点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且ABC ?为

等边三角形，其高为（1）求ω的值及函数()f x 的值域；

（2）若0()f x =

，且0102(,)33x ∈-，求0(1)f x +的值.

解：（Ⅰ）由已知可得

21. （本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形OABC 是等腰梯形，A (6,0)，

C (1，3)，点M 满足OM →＝12

OA →

，点P 在线段BC 上运动(包括端点)，如图．

(1)求∠OCM 的余弦值；

(2)是否存在实数λ，使(OA →－λOP →)⊥CM →

，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．

[解析] (1)由题意可得OA →＝(6,0)，OC →＝(1，3)，OM →＝12OA →＝(3,0)，CM →＝(2，－3)，CO →

＝(－

1，－3)，

∴cos ∠OCM ＝cos 〈CO →，CM →

〉＝CO →2CM →|CO →||CM →|

＝714.

(2)设P (t ，3)，其中1≤t ≤5，λOP →

＝(λt ，3λ)， OA →－λOP →＝(6－λt ，－3λ)，CM →

＝(2，－3)， 若(OA →－λOP →)⊥CM →，则(OA →－λOP →)2CM →

＝0，

即12－2λt ＋3λ＝0?(2t －3)λ＝12，若t ＝3

2

，则λ不存在，

若t ≠32，则λ＝122t －3

，

∵t ∈[1，32)∪(32，5]，故λ∈(－∞，－12]∪[12

7

，＋∞)．

22. 将函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位，再纵坐标不变，横坐标伸长到原来的π

3倍，然后再

向上平移1个单位，得到函数y ＝3sin x 的图象．

(1)求y ＝f (x )的最小正周期和单调递增区间；

[]915

()()2,2,522

h x f x m =++（2）若的定义域为[]，值域为，求m 的值。 (3)若函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，求当x ∈[0,1]时，有

221

23()(3)2

t t g x t t --≤≤---恒成立，求t 的范围．

[解析] (1) 函数y ＝3sin x 的图象向下平移1个单位得y ＝3sin x －1，再将各点的横坐标

缩短到原来的3π倍得到y ＝3sin π3x －1，然后向右移1个单位得y ＝3sin(π3x －π

3

)－1.

所以函数y ＝f (x )的最小正周期为T ＝2π

π3

＝6.

由2k π－π2≤π3x －π3≤2k π＋π2?6k －12≤x ≤6k ＋5

2

，k ∈Z ，

∴y ＝f (x )的递增区间是[6k －12，6k ＋5

2

]，k ∈Z .

（2

）()()2h x f x m =++2sin()2

33x m ππ=--++ 92≤x ≤152

时，

35232x πππ≤≤，7π6≤33

x ππ-≤13π

6，

∴－1≤sin(

)33

x π

π

-≤1

2，

∴1＋m ≤h (x )≤4＋m ，∴?

??

??

1＋m ＝2，

4＋m ＝5，∴m ＝1.

（3）因为函数y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，

∴当x ∈[0,1]时，y ＝g (x )的最值即为当x ∈[3,4]时，y ＝f (x )的最值．

∵x ∈[3,4]时，π3x －π3∈[2π

3，π]，

∴sin(π3x －π3)∈[0，3

2

]，

∴f (x )∈[－1，1

2

]，

∴y ＝g (x )的最小值是－1，最大值为1

2

.

[1t ∈