与三角形有关的线段培优

翔宇教育集团监利新教育实验学校初二（年级）数学（学科）导学案

与三角形有关的线段培优训练

1、有关概念：定义、三角形的高、三角形的中线、三角形的角平分线。

2

、三角形的高——“面积转换法”。

3、三角形的中线——“面积均等（等底等高）”，三条中线交于一点（重心），重心将每条中线都分为1:2两部分，其中重心到顶点的长度是它到对边长度的2倍。

4、三角形边的性质有：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。若三角形的两边长分别为a 和b ，那么第三边c 的取值范围是b a -

※热身训练

1、在△ABC 中，AB=9，BC=2，并且AC 为整数，那么△ABC 的周长不可能是（ ）

A 、18

B 、19

C 、20

D 、21

2、设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，其中a 、b 满足()0462

=+-+-+b a b a ，则第三边长

c 的取值范围是（ ）

A 、3

B 、2

C 、4

D 、5

4、如下图所示，在△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别为边BC 、AD 、CE 的中点，且S △ABC =4，则△BEF 的面积等于（ ）

A 、2

B 、1

C 、

21 D 、4

1 5、如下图所示，△ABC 的两条中线相交于点F ，若△ABC 的面积是45，则四边形DCEFD 的面积是

（ ）

A 、30

B 、15

C 、20

D 、不能确定 6、如下图所示，△ABC 的三条高AD 、B

E 、C

F 相交于点H ，则△ABH 的三条高分别为 。 7、如下图所示，BN 是△ABC 中AC 边上的中线，AB=13，BC=10，那么△ABM 与△BCM 的周长之差为 。

※例题1已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，化简：∣a-b-c ∣+∣b-c+a ∣+∣c-a-b ∣．

例题2如图，已知在△ABC 中，中线AD 、BE 相交于点O ，若△BOD 的面积等于5，求△ABC 的面积。

（知识点：重心将每条中线都分为1:2两部分，其中重心到顶点的长度是它到对边长度的2倍） ※当堂检测

1、已知△ABC 的两条高的长分别为5和20，若第三条高的长也是整数，则第三条高的最大值为（ ）

A 、5

B 、6

C 、7

D 、8 2、如图，线段AB 、CD 相交于点O ，能否确定CD AB +与

BC AD +的大小，并加以说明．

3、如右图所示，在△ABC 中，AB=AC ，AC 边上的中线BD 把三角形 的周长为24和30两个部分，求三角形的三边长。

4、如图1，在△ABC 的BC 边上任取一点D ，由于△ABD 与△ACD 在BD 和CD 边上的高相同，所以△ABD 与△ACD 的面积比为BD ：CD.

（1）如图2，若△ABC 的面积为12，BD ：CD=2:1，BE 是△ABD 的中线，则△ABE 的面积为 ；

（2）如图3，若△BOC 的面积为5，△OCD 的面积为3，△OBE 的面积为4，求四边形AEOD 的面积。

O

C

A

三角形培优训练100题集锦

E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.

相似三角形培优专题讲义

相似三角形培优专题讲义 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =?= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =?= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=??， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

初中几何经典培优题型(三角形)

全等三角形辅助线 找全等三角形的方法： （1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等； （3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等； （4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。 三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。 常见辅助线的作法有以下几种： 1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换 中的“对折”． 2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思 维模式是全等变换中的“旋转”． 3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形 全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平 移”或“翻转折叠” 5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线 段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目． 6)特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接 起来，利用三角形面积的知识解答． 常见辅助线写法： ⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F ⑵过点A作BC的垂线，垂足为D ⑶延长AB至C，使BC＝AC ⑷在AB上截取AC，使AC＝DE ⑸作∠ABC的平分线，交AC于D ⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点

(完整版)三角形边角关系培优训练经典

三角内角与外角典型题 1、①求下图各角度数之和。 ②如图，已知∠BOF=120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=__________． 2、如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，BE、CF相交于点G，∠BDC=140°，∠BGC=110°。求∠A的 度数。 3、如图△ABC中, ∠BAD=∠CBE=∠ACF, ∠ABC=50°，∠ACB=62°,求∠DFE的大小。 4、△ABC中，AD、BE、CF是角平分线，交点是点G，GH⊥BC。求证：∠BGD=∠CGH. E D C B A F E G A B D C F M K N G A B E F

21 P C B A 5.如图，已知CE 为△ABC 的外角∠ACD 的角平分线，CE 交BA 的延长线于点E ， 求证：∠BAC > ∠B 6、△ABC 中，∠A: ∠ABC: ∠ACB=3:4:5,CE 是AB 上的高，∠BHC=135° 求证：BD ⊥AC 7、三角形的最大角与最小角之比是4：1，则最小内角的取值范围是多少？ 8．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC = ∠ACB ，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，且∠1 = ∠2．则∠BPC =________。 10.锐角三角形ABC 中，3条高相交于点H ，若∠BAC ＝70°，则∠BHC ＝_______ H A B C E D

11、如图，BE平分∠ABD交CD于F，CE平分∠ACD交AB于G，AB、CD交于点O，且∠A=48?，∠D=46?，则∠BEC= 。 12.已知△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点O，则∠BOC一定（） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 13. △ABC的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 14、若?ABC的三个内角满足3∠A>5∠B，3∠C<2∠B，则三角形是（） A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．都有可能

2014年人教版数学八上能力培优11.1与三角形有关的线段

第十一章三角形 11.1与三角形有关的线段（附答案） 专题一三角形个数的确定 1．如图，图中三角形的个数为（） A．2 B．18 C．19 D．20 2．如图所示，第1个图中有1个三角形，第2个图中共有5个三角形，第3个图中共有9个三角形，依此类推，则第6个图中共有三角形__________个． 3．阅读材料，并填表： 在△ABC中，有一点P1，当P1、A、B、C没有任何三点在同一直线上时，可构成三个不重叠的小三角形（如图）．当△ABC内的点的个数增加时，若其他条件不变，三角形内互不重叠的小三角形的个数情况怎样？ 专题二根据三角形的三边不等关系确定未知字母的范围 4．三角形的三边分别为3，1－2a，8，则a的取值范围是（） A．－6＜a＜－3 B．－5＜a＜－2 C．2＜a＜5 D．a＜－5或a＞－2 5. 在△ABC中，三边长分别为正整数a、b、c，且c≥b≥a＞0，如果b=4，则这样的三角形共有______个． 6．若三角形的三边长分别是2、x、8，且x是不等式 2 2 x+ ＞ 12 3 x - -的正整数解，试求第 三边x的长．

状元笔记 【知识要点】 1．三角形的三边关系 三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边． 2．三角形三条重要线段 (1)高：从三角形的顶点向对边所在的直线作垂线，顶点与垂足之间的线段叫做三角形的高． (2)中线：连接三角形的顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线． (3)角平分线：三角形内角的平分线与对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线． 3．三角形的稳定性 三角形具有稳定性． 【温馨提示】 1．以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类：三边都不相等的三角形和等腰三角形．而不是分为三类：三边都不相等的三角形、等腰三角形、等边三角形，等边三角形是等腰三角形的一种． 2．三角形的高、中线、角平分线都是线段，而不是直线或射线． 【方法技巧】 1．根据三角形的三边关系判定三条线段能否组成三角形时，要看两条较短边之和是否大于最长边． 2．三角形的中线将三角形分成两个同底等高的三角形，这两个三角形面积相等．

全等三角形专题培优[带答案]

全等三角形专题培优 考试总分： 110 分考试时间： 120 分钟 卷I（选择题） 一、选择题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 1.如图为个边长相等的正方形的组合图形，则 A. B. C. D. 2.下列定理中逆定理不存在的是（） A.角平分线上的点到这个角的两边距离相等 B.在一个三角形中，如果两边相等，那么它们所对的角也相等 C.同位角相等，两直线平行 D.全等三角形的对应角相等 3.已知：如图，，，，则不正确的结论是（） A.与互为余角 B. C. D. 4.如图，是的中位线，延长至使，连接，则的值为（） A. B. C. D. 5.如图，在平面直角坐标系中，在轴、轴的正半轴上分别截取、，使；再分别以点、为圆心，以大于长为半径作弧，两弧交于点．若点的坐标为，则与的关系为（）A. B. C. D. 6.如图，是等边三角形，，于点，于点，，则下列结论：①点在的角平分线上；②；③；④．正确的有（） A.个 B.个 C.个 D.个 7.如图，直线、、″表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可 供选择的地址有（） A.一处 B.二处 C.三处 D.四处 8.如图，是的角平分线，则等于（） A. B. C. D. 9.已知是的中线，且比的周长大，则与的差为（） A. B. C. D. 10.若一个三角形的两条边与高重合，那么它的三个内角中（） A.都是锐角 B.有一个是直角 C.有一个是钝角 D.不能确定 卷II（非选择题） 二、填空题（共 10 小题，每小题 2 分，共 20 分） 11.问题情境：在中，，，点为边上一点（不与点，重合） ，交直线于点，连接，将线段绕点顺时针方向旋转得

相似三角形培优专题

相似三角形培优专题1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D． 求证：(1)△ACD∽△ABC； (2)AC2＝AD?AB； (3)CD2＝AD?DB． A 证明：(1)∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°＝∠ACB， ∵∠A＝∠A， ∴△ACD∽△ABC. (2)∵△ACD∽△ABC， ∴AC AD AB AC =， ∴AC2＝AD?AB； (3)∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ACD＝90°， ∵∠ACB＝90° ∴∠A+∠B＝90° ∴∠ACD＝∠B ∴△ACD∽△BCD， ∴CD AD BD CD =， ∴CD2＝AD?DB．

2．如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，且∠APB＝120°，求证： (1)△ACP∽△PDB， (2)CD2＝AC?BD． 证明：(1)∵△PCD是等边三角形， ∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°， ∴∠ACP＝∠PDB＝120°， ∵∠APB＝120°， ∴∠APC+∠BPD＝60°， ∵∠CAP+∠APC＝60° ∴∠BPD＝∠CAP， ∴△ACP∽△PDB； (2)由(1)得△ACP∽△PDB， ∴， ∵△PCD是等边三角形， ∴PC＝PD＝CD， ∴， ∴CD2＝AC?BD．

3. 如图，正方形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，顶点D、G分别在边AB、AC上，已知△ABC 的边BC＝15，高AH＝10， (1)求证：△ADG∽△ABC； (2)求这个正方形的边长和面积． 解：(1)∵四边形形DEFG是正方形， ∴DG∥BC ∴△ADG∽△ABC； (2) 如图，高AH交DG于M，设正方形DEFG的边长为x，则DE＝MH＝x， ∴AM＝AH﹣MH＝10﹣x， ∵ADG∽△ABC， ∴DG AM BC AH =， ∴ 10 1510 x x - =， ∴x＝6， ∴x2＝36． 答：正方形DEFG的边长和面积分别为6，36．

培优专题二：与三角形有关的角

D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠是△的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，、相交于O ，求证：∠∠∠∠D ②如图，、相交于O ，、分别平分∠、∠， 求证：∠12 （∠∠C ） A

A B C P E A B C P A C D P A B C D 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠∠∠∠C ②如图，、分别平分∠、∠，求证：∠12 （∠∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△中，P 是△的角平分线的交点，求证：∠90°+12∠A ②如图，△中，P 是∠的角平分线和△的外角∠的角平分线的交点。 求证：∠12 ∠A

A B C E F P ③如图，△中，P 是外角∠与∠的角平分线的交点。 求证：∠90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以平分∠。 ②作法线，则平分∠ 4、一角平分线问题： ①在△中，平分∠，∠C>∠B 求证：(1)∠ =90°-12 (∠C —∠B) (2)∠12 (∠∠B) D C A E

D E D C B A P E D C B A P E D C B A ②在△中，平分∠，⊥，求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 拓展：②在△中，平分∠，P 是延长线上一点，过P 作⊥， 求证：∠ =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△中，∠90°，⊥于D ，求证：∠1=∠

三角形培优解析

有同学问我：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，没有兴趣学，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。 知识点透析： 一.三角形的有关概念 1.三角形的概念包涵三层含义： （1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾顺次相连. 2.平时所说的三角形的角是指三角形的内角。 3.在表示三角形时，三个字母没有先后顺序，只要三个字母相同就表示同一个三角形。 二．三角形的分类 1.三角形的两种分类方法是各自独立的，但是同一个三角形可以同属于两种不同类别，例如，等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 3.在等腰三角形中，若没有指明腰和底边或顶角和底角，则解题时要分类讨论。 三.三角形的高 1.三角形的高是一条线段，即顶点到对边的垂直线段。 2.任意三角形都有三条高。 四．三角形的中线 1.三角形的中线是一条线段，即顶点到其对边中点之间的线段。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。 五.三角形的角平分线 1.三角形的角平分线是线段，不是直线，不是射线。 2.一个三角形有三条角平分线，他们在三角形的内部，且交于一点。 六．三角形的稳定性 三角形的稳定性说明三角形三条边的长度确定后，其形状和大小也随之确定。 七．三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理适用于任意三角形。 2.在三角形中，已知任意两个角，可以求出第三个角。 3.已知三角形中三个内角的关系，可以求出各个内角的度数，通常利用方程的知识来解决。 4.直角三角形的两锐角互余。 八．三角形的外角 1.在三角形的每个顶点处都有两个外角，这个两个外角相等。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，特别注意“不相邻”。 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的每一个内角。 九．多边形 1.多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形，多边形的边数大于等于3，有几条边就是几边形。 2.用大写字母表示多边形时，字母必须按顺/逆时针的顺序排列。 3.正多边形必须具备的两个条件： （1）边相等（2）角相等。二者缺一不可。

培优专题等腰三角形含答案

9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点

11.2与三角形有关的角能力培优训练含答案

11.2与三角形有关的角 专题一利用三角形的内角和求角度 1.如图，在厶ABC中，/ ABC的平分线与/ 线相 交于D点，/ A=50°则/ D=( A. 15 ° B. 20 ° C. 25° 2.如 图，已知：在直角△ ABC中，/ C=90 °, BD平 分/ ABC且交AC于D.若AP平分/ BAC 且交BD于P,求/ BFA的度数. 3.已知：如图1 ,线段AB、CD相交于点0,连接AD、CB,如图2,在图1的条件下，/ DAB 和/ BCD的 平分线AF和CF相交于点P,并且与CD、AB分别相交于M、N .试解答下列问题： (1)__________________________________________________________________ 在图1中，请直接写出/ A、/ B、/ C、/ D之间的数量关系： _______________________________ ; (2)在图2中，若/ D=40° / B=30°，试求/ F的度数；(写出解答过程) (3)如果图2中/ D和/B为任意角，其他条件不变，试写出/ F与/ D、/ B之间的数量关系.(直接写出结论即可)

6.如图： (1 )求证：/ BDC = / A+/ B+/C ; (2)如果点D 与点A 分别在线段 BC 的两侧，猜想/ BDC 、/ A 、/ ABD 、/ ACD 这4个 专题二利用三角形外角的性质解决问题 4. 如图，/ ABD ，/ ACD 的角平分线交于点 P ,若/ A=50 ° / D=10°，则/ P 的度数为( ) A . 15 ° B . 20 ° C . 25 ° D . 30 ° 5. 如图，△ ABC 中，CD 是/ ACB 的角平分线，CE 是AB 边上 的高，若/ A=40° , / B=72° . (1) 求/ DCE 的度数； (2) 试写出/ DCE 与/ A 、/ B 的之间的关系式. (不必证明 ) 角之间有怎样的关系，并证明你的结论.

培优专题讲解_等腰三角形(含解答)-

等腰三角形专题练习题 等腰三角形是一种特殊的三角形，它具有一般三角形的性质，同时，还具有自身的特殊性，这些特殊性使它比一般三角形应用更加广泛．等腰三角形的性质和判定为证明两个角相等和两条线段相等提供了依据．等腰三角形是轴对称图形，底边上的高所在直线是它的对称轴，对于某些含有（或隐含）等腰三角形条件的问题，可以作等腰三角形底边上的高或构建等腰三角形、等边三角形找到解决问题的途径． 例1如图1-1，△ABC中，AB=BC，M、N为BC边上两点，且∠BAM=∠CAN，MN=AN，求∠MAC的度数． 练习1 1．如图1-2，已知△ABC中，AB=AC，AD=AE，∠BAE=30°，则∠DEC等于（）．A．7．5° B．10° C．12.5° D．18° 1-2 2．如图1-3，AA′、BB′分别是△ABC的外角∠EAB和∠CBD的平分线，且AA′=AB=B′B，A′、B、C在一直线上，则∠ACB的度数是多少？ 1-3

3．如图1-4，等腰三角形ABC中，AB=BC，∠A=20°．D是AB边上的点，且AD=BC，?连结CD，则∠BDC=________． 1-4 例2 如图1-5，D是等边三角形ABC的AB边延长线上一点，BD?的垂直平分线HE?交AC 延长线于点E，那么CE与AD相等吗？试说明理由． 练习2 1．已知如图1-6，在△ABC中，AB=CD，D是AB上一点，DE⊥BC，E为垂足，ED?的延长线交CA的延长线于点F，判断AD与AF相等吗？ 1-6 1-7 1-8 2．如图1-7，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是△ABC内一点，且∠DAC=∠DCA=15°，则BD与BA的大小关系是（） A．BD>BA B．BD

(完整word版)三角形提高题 培优卷

1 、如图，三角形ABC 内任一点P ，连接PA 、PB 、PC ， 求证：1/2（AB+BC+AC ）∠CAD 4、1}一个等腰三角形的一个外角等于110?，则这个三角形的三个角应该为 。 2}在⊿ABC 中，AB = AC ，周长为20cm ，D 是AC 上一点，⊿ABD 与⊿BCD 面积相等且周长差为3cm ，⊿ABC 各边的长为 。 5、如图，已知△ABC 中，∠C=90°，AC=1.5BC ，在AC 上取点D ，使得AD=0.5BC ，量得BD=1cm ，求△ABD 的面积。 6、如图，在七星形ABCDEFG 中，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G 的度数。 7、如图，△ABC 中，∠C ＞∠B ，AE 为角平分线，AD ⊥BC 于D 。 （1）求证：∠EAD =2 1(∠C －∠B) ； （2）当垂足D 点在直线BC 上运动时（不与点E 重全），垂线交直线AE 于A ’，其它条件不变，画出相应的图形，并指出与(1)相应的结论是 什么？是否仍成立？ A B C P B E C A D

8、如图，△ABC 中，AD 是高，AE ，BF 是角平分线，它们相交于点O ，∠CAB ＝50°，∠ C ＝60°，求∠DAC 及∠BOA ． 9．观察并探求下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由。 （1）如图①，△ABC 中，P 为边BC 上一点，试观察比较BP + PC 与AB + AC 的大小，并 说明理由。 C B A P 图① （2）将（1）中点P 移至△ABC 内，得图②，试观察比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 图② （3）将（2）中点P 变为两个点P 1、P 2得图③，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 C B A P 1P 2 图③ （4）将（3）中的点P 1、P 2移至△ABC 外，并使点P 1、P 2与点A 在边BC 的异侧，且∠P 1BC ＜∠ABC ，∠P 2CB ＜∠ACB ，得图④，试观察比较四边形BP 1P 2C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由。 图④ C B A P 1P 2

三角形培优训练100题集锦(学生用)

三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图ABC ?中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。 分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ???，3==AC BE ∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理) 即822 AD ∴41 AD 2、如图，ABC ?中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与 EF 的大小。 证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ??? E C A B D A

三角形边角关系培优训练

三角形三边关系、内角练习题一、三边关系 1．已知 ABC中，周长为12，b=1 2 (a+c)，则b为 2．一边长为5cm，另一边长为10cm的等腰三角形的周长是 3．有木条4根，长度为14厘米，10厘米，8厘米，6厘米，选其中三根组成三角形，则选择的种数有种 4．三角形两边长为2cm和7cm，第三边长为奇数，那么这个三角形的周长是 cm 5．一条线段的长为a，若要使3a—l，4a+1，12－a这三条线段组成一个三角形，求a的取值范围？ 6．设△ABC的三边a , b ,c 的长度均为自然数，且a≤b≤c ，a + b + c =13 , 则以a , b , c 为三边的三角形共有多少个。 6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证： AB+AE+1 2 BC>AD+AC 证明：∵AD⊥BC( )∴AB＞AD( ) 在△AEC中，AE+EC>AC( )又∵AE为中线( ) ∴EC=1 2 BC( ) 即AE+1 2 BC>AC( ) ∴AB+AE+ 1 2 BC＞AD+AC

21P C B A B 7．如图，已知D 是△AB C 内任意一点，则有AB+AC ＞DB+DC. 8．如图,已知P 是△ABC 内一点,连结AP ，PB,PC, 求证:（1）PA+PB+PC > 21 (AB+AC+BC) (2) PA+PB+PC < AB+AC+BC 二、三角关系 1．若三角形的三个外角的比是2：3：4，则这个三角形的最大内角的度数是 ． 2.已知△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O ，则∠BOC 一定（ ） A.小于直角 B.等于直角 C.大于直角 D.不能确定 3. △ABC 的三条外角平分线所在直线相交构成的三角形是（ ） A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定 4.如图△ABC，∠ABC = ∠ACB，∠A = 40°，P 是△ABC 内一点，∠1 = ∠2．则∠BPC =____。

三角形中常见辅助线培优专题

三角形中常见辅助线 的作法 1、延长中线构造全等三角形 例1如图1,已知△ ABC 中，AD 是厶ABC 的中线，AB=8 AC=6求AD 的取值范围. 2、引平行线构造全等三角形 例2如图2,已知△ ABC 中，AB = AC D 在AB 上, E 是AC 延长线上一点，且 BD= CE DE 与BC 交于点F . 求证：DF=EF 3、作连线构造等腰三角形 例 3 如图 3,已知 RT ^ ACB 中，/ C=90 , AC=BC AD=AC DEI AB,垂足为 D,交 BC 于E. 求证：BD=DE=CE 提示：连结DC 证厶ECD 是等腰三角形. 图3 4、利用翻折，构造全等三角形 . A C E

例4如图4,已知△ ABC中，/ B= 2/ C, AD平分/ BAC交BC于D.求证：AC= AB+ BD.

、已知：AB=4 , AC=2 , D是BC中点，AD是整数，求AD D 2 已知：/ 1 = / 2, CD=DE , EF//AB，求证：EF=AC 3?已知：AD 平分/ BAC , AC=AB+BD，求证：/ B=2 / C D 4.如图，△ ABC中，/ BAC=90度，AB=AC, BD是/ ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C 点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F . D

5?已知：AC 平分/ BAD ,CE 丄AB , B+ / D=180 求 证：AE=AD+BE 6.如图，四边形ABCD 中，AB // DC, BE、CE 分别平分/ABC、/ BCD，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC。 7.P 是/ BAC 平分线AD 上一点，AC>AB，求证： PC-PB

培优专题二：与三角形有关的角

A B C P E A B C P O D C B A 专题2 与三角形有关的角 一、三角形内角和定理： 二、三角形外角的性质： 如图，∠ACD 是△ABC 的外角， 则：①∠ =∠ +∠ ； 或∠ =∠ —∠ ； 或∠ =∠ —∠ 。 ② > 或 > 基本图形介绍： 1、对顶三角形： ①如图，AD 、BC 相交于O ，求证：∠A+∠B=∠C+∠D ②如图，AD 、BC 相交于O ，BP 、DP 分别平分∠ABC 、∠ADC ， 求证：∠P=12 （∠A+∠C ） 2、“飞镖”形： ①如图，求证：∠BDC=∠A+∠B+∠C ②如图，BP 、CP 分别平分∠ABD 、∠ACD ，求证：∠P= 12 （∠A+∠D ） 3、三角形内外角平分线问题： ①如图，△ABC 中，P 是△ACB 的角平分线的交点，求证：∠BPC=90°+ 12∠A ②如图，△ABC 中，P 是∠ABC 的角平分线和△ABC 的外角∠ACE 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=12 ∠A ③如图，△ABC 中，P 是外角∠EBC 与∠BCF 的角平分线的交点。 求证：∠BPC=90°-12 ∠A 光的反射问题可转化为角平分线问题： ①由光的反射原理：∠1=∠2 又因为∠1=∠3，所以∠2=∠3，所以MD 平分∠BMC 。 ②作法线MN ，则MN 平分∠AMB 4、一角平分线问题： ①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C>∠B 求证：(1)∠ADC =90°-12 (∠C —∠B) D C B A E

C E D C B A E B A (2)∠ADC=12 (∠ACE+∠B) ②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AE ⊥BC ，求证：∠EAD =12 (∠C —∠B) 拓展：①在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是AD 延长线上一点，过P 作PE ⊥BC ， 求证：∠EPD =12(∠C —∠B) 拓展：②在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P 是BC 延长线上一点，过P 作PE ⊥AD ， 求证：∠EPD =12 (∠C —∠B) 5、直角三角形斜边上的高的问题： ①如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：∠1=∠A ；∠2=∠B ②如图，△ABC 中，∠BCA=90°，CD ⊥AB ，AF 平分∠BAC 6、翻折问题： 如图，将三角形沿直线DE 翻折使点A 在△ABC 的内部得' A ， 求证：∠A=12（∠1+∠2） 巩固练习： 1、在△ABC 中，∠A=12∠B=13 ∠C ，则此三角形是（ ） A 、锐角三角形 B 、直角三角形 C 、钝角三角形 D 、等腰三角形 2、如图，△ABC 中，∠B=∠C ，点D 在AB 上，DE ⊥AC 于E ，EF ⊥BC 于F ，若∠BDE=140°，那么∠DEF 是（ ） A 、55° B 、60° C 、65° D 、70° 3、如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ） A 、59° B 、60° C 、56° D 、22° 4、如图，△ABC 中，∠A=θα-，∠B=θ，∠C=θα+，（090αθ<<<）若∠BAC 与∠BCA 的平分线交于P 点，则∠APC 是（ ） A 、90° B 、105° C 、120° D 、150° 第2题 第3题 第4题 第5题 5、如图，已知E 、F 是△ABC 的边AB 、AC 上的点，△AEF 沿EF 折叠，并使点A 落在四边形EBCF 内，∠BEG=20°，∠CFG=86°，那么∠A 是（ ） A 、52° B 、53° C 、54° D 、60° 6、等腰三角形的某个内角的外角是130°，那么这个三角形的三个内角的大小是（ ） A 、50°，50°，80° B 、50°，50°，80°或130°，25°，25° C 、50°，65°，65° D 、50°，50°，80°或50°，65°，65° 7、已知：△ABC 中，∠A=66°，△ABC 的高BE 、CF 所在直线相交于点G ，则∠BGC=（ ）

培优专题2 直角三角形(学生版)

培优专题2 直角三角形 一、　知识点回顾 　 二、典型例题分析 例1（2013?沈阳）如图，△ABC中，AB=BC，BE⊥AC于点E，AD⊥BC于点D，∠BAD=45°，AD与BE交于点F，连接CF． （1）求证：BF=2AE； 的长． （2）若CD=，求AD

例2、（2013?抚顺）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点D是AB的中点，DE⊥BC，垂足为点E，连接CD．（1）如图1，DE与BC的数量关系是　； （2）如图2，若P是线段CB上一动点（点P不与点B、C重合），连接DP，将线段DP绕点D逆时针旋转60°，得到线段DF，连接BF，请猜想DE、BF、BP三者之间的数量关系，并证明你的结论； （3）若点P是线段CB延长线上一动点，按照（2）中的作法，请在图3中补全图形，并直接写出DE、BF、BP 三者之间的数量关系．

n t h r e g 三、中考题练 　一．选择题（共9小题）1．（2013?郴州）如图，在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，∠A=25°，D 是AB 上一点．将Rt △ABC 沿CD 折叠，使B 点落在AC 边上的B ′处，则∠ADB ′等于（ ） A ．25° B ．30° C ．35° D ．40°2．（2007?芜湖）如图，在△ABC 中AD ⊥BC ，C E ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，AD 、CE 交于点H ，已知EH=EB=3，AE=4，则CH 的长是（ ） 　A ． 1B ．2 C ．3 D ． 43．（2011?衡阳）如图所示，在△ABC 中，∠B=90°，AB=3，AC=5，将△ABC 折叠，使点C 与点A 重合，折痕为DE ，则△ABE 的周长为　． 　 4．（2010?滨州）如图，等边△ABC 的边长为6，AD 是BC 边上的中线，M 是AD 上的动点，E 是AC 边上一点，若AE=2，EM+CM 的最小值为 ．

第二节 与三角形有关的角-学而思培优

第二节与三角形有关的角一、课标导航 二、核心纲要 1.三角形内角和定理及其应用 180 (1)三角形内角和定理：三角形三个内角的和是. (2)三角形内角和定理的应用 ①在三角形中已知两角可求第三角，或已知各角之间关系，求各角； ②证明角之间的关系． 2．三角形的外角 (1)定义：三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角． (2)性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和， 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角． 360 (3)三角形外角和定理：三角形外角和是. (4)三角形外角的性质的应用 ①已知外角和与它不相邻两个内角中的一个可求“另一个”； ②可证一个角等于另两个角的和； ③利用它作为中间关系式证明两个角相等； ④利用它证明角的不等关系． 3．几何模型

4．思想方法 (1)分类讨论． (2)方程思想， 本节重点讲解：一个性质（外角的性质），两大定理（三角形内、外角和定理），两个思想，四个模型（“小旗”模型，“飞镖”模型，“8”字模型和角平分线相关模型）． 三、全能突破 基 础 演 练 1．-副三角板，按图11-2—1所示方式叠放在一起，则图中α∠的度数是( )． 75.A o B 60. 65.C o D 55. 2．如图11-2 -2所示，在△ABC 中，,,ABD A BDC C ABC ∠=∠∠=∠=∠则A ∠的度数为( )． 36.A 72.B 108.C 144.D 3．我们知道：等腰三角形的两个底角相等，已知等腰三角形的一个内角为,40 则这个等腰三角形的顶角 为( )． 40.A 100.B o C 10040.或 005070.或D

有关三角形及其概念经典习题

11、三角形及有关概念 【知识精读】 1. 三角形的定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2. 三角形中的几条重要线段： （1）三角形的角平分线（三条角平分线的交点叫做内心） （2）三角形的中线（三条中线的交点叫重心） （3）三角形的高（三条高线的交点叫垂心） 3. 三角形的主要性质 （1）三角形的任何两边之和大于第三边，任何两边之差小于第三边； （2）三角形的内角之和等于180° （3）三角形的外角大于任何一个和它不相邻的内角，等于和它不相邻的两个内角的和； （4）三角形中，等角对等边，等边对等角，大角对大边，大边对大角； （5）三角形具有稳定性。 4. 补充性质：在?ABC中，D是BC边上任意一点，E是AD上任意一点，则 ?=?。 S S S S ???? ABE CDE BDE CAE

三角形是最常见的几何图形之一，在工农业生产和日常生活中都有广泛的应用。三角形又是多边形的一种，而且是最简单的多边形，在几何里，常常把多边形分割成若干个三角形，利用三角形的性质去研究多边形。实际上对于一些曲线，也可以利用一系列的三角形去逼近它，从而利用三角形的性质去研究它们。因此，学好本章知识，能为以后的学习打下坚实的基础。 5. 三角形边角关系、性质的应用 【分类解析】 例1. 锐角三角形ABC 中，∠C ＝2∠B ，则∠B 的范围是（ ） A. 1020?<?∠∠B C 90 ∴>?390∠B ，即∠B >?30 ∴?<