10.由三角函数的图像求解析式
由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式
知识点归纳:
1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像，设X x ω?=+，令X =30,,,
,22
2
π
π
ππ
求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象
特 征 图像上升时与x 轴的交点 图像上的“峰点” 图像下降时与x 轴的交点 图像上的“谷点” 图像上升时与x 轴的交点 x 1x 2x 3x
4x 5x
?ω+x
2π
π 23π
π2
sin()A x ω?+
A
A -
注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和?ω+x 之间的对应系
2．函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点（上面的关键点）确定
①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T
π
ω2=
，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期
2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4
T .】 ③?的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+?ωx ，2
2π
?ω=
+x ，π?ω=+3x ，2
34π
?ω=
+x ，从而根据以上等式，解出?
考点 确定函数解析式问题
例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像（部分）如下图所示，则ω和?的取值是（ ） A 、1,3
π
ω?==
B 、1,3
π
ω?==-
C 、1,26πω?==
D 、1,6
πω?==-
⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,
0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为()
2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 .
⑶若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2
?π
<
）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ）
A ．126
ω?π=
=， B ．123
ω?π=
=， C ．26
ω?π
==，
D ．23
ω?π
==，
例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m
经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 .
⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端点P 在点0P 处,则()h m 与()min t 之间的函数关系式是 .
8m
2m
h
P
练习：
1. 函数)0,0)(sin(π??ω<<>+=A x A y 的图像的两个相邻零点为)0,6
(π
-
和
(,0)2
π
，且该函数的最大值为2，最小值为－2，则该函数的解析式为（ ） A 、)4
23sin(2π
+=x y B 、)42sin(2π+=x y
C 、)623sin(2π+=x y
D 、)6
2sin(2π
+=x y
2.
()()??? ??
<>>∈+=200π?ω?ω，
，，A R x x sin A x f 的图象（部分）如图所()x f 的解析式是
A ．()()R x x sin x f ∈??? ??+=62ππ
Ｂ．()()R x x sin x f ∈???
??+=622ππ
Ｃ．()()R x x sin x f ∈???
??+=32ππ
Ｄ．()()R x x sin x f ∈???
?
?+=322ππ
3. 已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02A π
ω?>><<
）的图象与x 轴的
交点中，相邻两个交点之间的距离为2
π
，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-.
则()f x 的解析式 . 4. 函数sin()y x ω?=+(,0x R ω∈>,
02?π≤<)的部分图象如图，则
.A 4,2π?πω== .B 6,3π?πω==
.C 4,4π?πω== .D 4
5,4π
?πω=
=
5.已知函数sin()y A x ω?=+（0,||A ?><的一段图象如下图所示.
则()f x 的解析式 .
6. 函数sin()
y A x ω?=+()2
0,,x R πω?><∈
的部分图象如图所示，则函数表达式为 .A )4
8
sin(
4π
π
+
-=x y .B )4
8
sin(
4π
π
-
=x y
.C )48sin(4π
π--=x y .D )4
8sin(4ππ+=x y
7. 已知函数2sin()(0)y x ω?ω=+>)在区间
[]02π，
的图像如图所示：那么ω＝（ ） A ．1
B ．2
C ．
2
1
D ．
3
1 8. 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712
f π??
=
???
.
9. 动点),(y x A 在圆12
2
=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周.已知
定时t =0时，点A 的坐标是)2
3
,
21(，则当120≤≤t 时，动点A 的纵坐标y 关于t （单位：秒）的函数关系式是()sin y t ω?=+,0,02
π
ω?><<,则y 关于t 的函数解析式
是 .
y
x
O 2- 4
4-
6 y
2π
1
1 O
三角和反三角函数图像+公式
三角、反三角函数图像 六个三角函数值在每个象限的符号： sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的图像和性质： 1-1y=sinx -3π2 -5π2 -7π2 7π2 5π 2 3π2 π2 -π2 -4π-3π -2π4π 3π 2ππ -π o y x 1-1y=cosx -3π 2 -5π2 -7π 2 7π2 5π2 3π2 π2 -π2 -4π-3π-2π4π 3π 2π π -π o y x y=tanx 3π2 π π2 - 3π2 -π - π2 o y x y=cotx 3π2 π π2 2π -π - π2 o y x 函数 y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域 R R ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ+ 2 π ,k ∈Z ｝ ｛x ｜x ∈R 且x≠kπ,k ∈Z ｝ 值域 ［-1，1］x=2kπ+ 2π 时y max =1 x=2kπ-2 π 时y min =-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max =1 x=2kπ+π时 y min =-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性 周期为2π 周期为2π 周期为π 周期为π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 单调性 在［2kπ-2π,2kπ+2 π ］上都是增函数；在 ［2kπ+2π ,2kπ+3 2π］上都是减函数(k ∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是增函数； 在［2kπ，2kπ+π］上都是减函数(k ∈Z) 在(kπ-2 π，kπ+ 2 π )内都是增函数(k ∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都是减函数(k ∈Z)
三角函数图像与性质知识点总结
三角函数图像与性质知识 点总结 The Standardization Office was revised on the afternoon of December 13, 2020
函数图像与性质知识点总结 一、三角函数图象的性质 1．“五点法”描图 (1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,0) ? ?? ?? ?π2，1 (π，0) ? ?? ??? 32π，－1 (2π，0) (2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，? ?????π2，0，(π，－1)，? ???? ? 3π2，0，(2π，1) 2.三角函数的图象和性质 函数 性质 y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x 定义域 R R {x |x ≠k π＋π 2 ，k ∈Z} 图象 值域 [－1,1] [－1,1] R 对称性 对称轴： x ＝k π＋ π2(k ∈Z)； 对称轴： x ＝k π(k ∈Z) 对称中心： 对称中心：? ?? ?? ?k π2，0 (k ∈Z)
3.一般地对于函数()，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期) 4.求三角函数值域(最值)的方法： (1)利用sin x、cos x的有界性； 关于正、余弦函数的有界性 由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于?x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x≤1，所以1叫做y＝sin x，y＝cos x的上确界，－1叫做y＝sin x，y＝cos x的下确界.
三角函数公式及图像
锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边/ ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边/ ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a) =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B
降幂公式 sin^2(α)=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2 cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1+cos(2α)) 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α tanα-cotα=-2cot2α 1+cos2α=2cos^2α 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα/2)^2 =2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina =3sina-4sin³a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina =(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa =4cos³a-3cosa sin3a=3sina-4sin³a =4sina(3/4-sin²a) =4sina[(√3/2)²-sin²a] =4sina(sin²60°-sin²a) =4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2]
求三角函数解析式的方法
求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6π 35346124T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2122ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π+x 点评：由图像确定解析式，观察图像的特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是 （ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π??=- ?? ? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π??=- ?? ? 解：从图象看出，41T =1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x 向左平移了6 π个单位，即sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6 π个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解
三角函数图像求解析式
： 已知sin()cos()y A x B y A x B ω?ω?=++=++或图像求解析式 1. 利用最值求A ，B . 当 A>0时 =最大值=A+B 最小值-A+B 当 A<0时 =最大值=-A+B 最小值A+B 2. 利用最高点、最低点、零点中的两个点的横坐标之差求出周期，再利用2|| T π ω= 求ω。 3. 利用五个特殊点求?,或代入y 轴上的点求?. 例1、如图，直线 2230x y +-=经过函数 si ()()n f x x ω?=+（0ω>，||?π<）图象的最高点 M 和最低点 N ，则（ ） A 、2 π ω= ，4 π ω= B 、ωπ=， 0?= C 、2 π ω=，4 π ?=- D 、ωπ=， 2 π ?= 例2、 1.【2015新课标1】8、函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图 所示，则()f x 的单调递减区间为（ ） （A ）13(,),44k k k Z ππ- +∈ （B ）13 (2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13 (2,2),44 k k k Z -+∈ 2.(2016·全国卷2文)3函数y=Asin (ωx+φ)的部分图象如图所示,则 ( ) A.y=2sin π2x 6? ?- ??? B.y=2sin π2x 3?? - ?? ? C.y=2sin πx+6?? ?? ? D.y=2sin πx+3 ?? ?? ? 3．（2013 年高考大纲卷（文））若函数 ()()sin 0=y x ω?ωω=+>的部分图像如图，则 （ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．2 4. (2015·陕西高考理科·T3)如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( ) A.5 B.6 C.8 D.10 5.已知函数 ()()() 2sin 0,f x x ω?ω?π=+><的部分图象如图所示， 已知点 ( A ， ,06B π?? ? ??，若将它的图象向右平移6 π个单位长度，得到函数 () g x 的图象，则函数()g x 的图象的一条对称轴方程为 ( )
三角函数公式大全
三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|οββ ③终边在y 轴上的角的集合：{ } Z k k ∈+?=,90180|ο οββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°= 1=°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α 原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域
由三角函数图象求解析式
已知函数()f x =Acos(x ω?+)的图象如图所示，2 ()2 3 f π =- ，则(0)f =（ ） （A ）23- (B) 23 (C)－ 12 (D) 1 2 2π 3，于是f(0)【解析】选B.由图象可得最小正周期为 ＝f(2π3),注意到2π3与π2关于7π12对称， 所以f(2π3 ) ＝－f(π2)＝23. 如果函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称，那么||?的最小值 为（ ） （A ） 6π （B ）4π （C ）3π (D) 2 π 【解析】选A. 函数()cos 2y x φ＝3＋的图像关于点43π?? ??? ，0中心对称w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 4232k ππφπ∴? +=+13()6k k Z πφπ∴=-∈由此易得min ||6 π φ=. 已知函数y=sin （ωx+?）（ω>0, -π≤?<π）的图像如图所示，则 ?=________________ 【解析】由图可知， ()544,,2,1255T x πωπ??? = ∴=+ ??? 把代入y=sin 有： 89,510ππ???? +∴= ??? 1=sin 已知函数()2sin()f x x ωφ=+的图像如图所示，则712 f π ?? = ??? 。
【解析】由图象知最小正周期T ＝ 32（445ππ-）＝ 32π＝ωπ2，故ω＝3，又x ＝4 π时，f （x ）＝0，即2φπ +? 4 3sin(）＝0，可得4 π φ= ，所以，712f π ?? = ? ?? 2)41273sin(ππ+?＝0。 ）已知函数()sin(),f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02 A π ω?>><< ）的图象与x 轴的 交点中，相邻两个交点之间的距离为2 π ，且图象上一个最低点为2(,2)3M π-. (Ⅰ)求()f x 的解析式； （Ⅱ）当[ ,]122 x ππ ∈，求()f x 的值域. 【解析】（1）由最低点为2(,2)3 M π -得A=2. 由x 轴上相邻的两个交点之间的距离为2π得2T =2 π ，即T π=，222T ππωπ=== 由点2(,2)3M π-在图像上得242sin(2)2,)133ππ ???+=-+=-即sin( 故42,32k k Z ππ?π+=-∈ 1126 k π?π∴=- 又(0, ),,()2sin(2)266f x x π ππ ??∈∴= =+故 （2）7[,],2[,]122636x x πππππ ∈∴+∈ 当26x π+=2π，即6x π=时，()f x 取得最大值2；当7266 x ππ+= 即2 x π =时，()f x 取得最小值-1，故()f x 的值域为[-1,2]把函数y ＝cos(3x ＋4 π )的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移 4π B.向左平移4 π
三角函数正余弦函数的图像及性质复习汇总
一、正弦函数和余弦函数的图象： 正弦函数sin y x =和余弦函数cos y x =图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，3,,,222ππ ππ 的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 二、正弦函数sin ()y x x R =∈、余弦函数cos ()y x x R =∈的性质： （1）定义域：都是R 。 （2）值域： 1、都是[]1,1-， 2、sin y x =，当()22 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最大值1；当()322 x k k Z π π=+ ∈时，y 取最小值－1； 3、cos y x =，当()2x k k Z π=∈时，y 取最大值1，当()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最小值－1。 例：（1）若函数sin(3)6 y a b x π=-+的最大值为23，最小值为21 -，则=a __，=b ＿
（答：,12 a b ==或1b =-）； ⑵ 函数y=-2sinx+10取最小值时，自变量x 的集合是_________________________。 （3）周期性： ①sin y x =、cos y x =的最小正周期都是2π； ②()sin()f x A x ω?=+和()cos()f x A x ω?=+的最小正周期都是2|| T πω=。 例：(1)若3 sin )(x x f π=，则(1)(2)(3)(2003)f f f f ++++＝___（答：0） ； ⑵．下列函数中，最小正周期为π的是（ ） A.cos 4y x = B.sin 2y x = C.sin 2x y = D.cos 4x y = （4）奇偶性与对称性： 1、正弦函数sin ()y x x R =∈是奇函数，对称中心是()(),0k k Z π∈，对称轴是直线()2 x k k Z π π=+ ∈； 2、余弦函数cos ()y x x R =∈是偶函数，对称中心是(),02k k Z ππ? ?+∈ ???，对称轴是直线()x k k Z π=∈ （正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。 例：（1）函数522y sin x π?? =- ??? 的奇偶性是______（答：偶函数）； （2）已知函数31f (x )ax b sin x (a,b =++为常数），且57f ()=，则5f ()-=______（答：－5）； （5）单调性： ()sin 2,222y x k k k Z ππππ??=-+∈????在上单调递增，在()32,222k k k Z ππππ? ?++∈????单调递减； cos y x =在[]()2,2k k k Z πππ+∈上单调递减，在[]()2,22k k k Z ππππ++∈上单调递增。特别提醒，别忘了k Z ∈！ ⑴函数y=sin2x 的单调减区间是（ ）
(完整版)三角函数图像公式大全,推荐文档
幂函数的图形 指数函数的图形 对数函数的图形 三角函数的图形
各三角函数值在各象限的符号 sinα·cscα cosα·secα tanα·cotα 三角函数的性质 函数y=sinx y=cosx y=tanx y=cotx 定义域R R ｛x｜x∈R且 x≠kπ+ 2 π ,k∈Z｝ ｛x｜x∈R且 x≠kπ,k∈Z｝ 值域［-1，1］x=2kπ+ 2 π 时 y max=1 x=2kπ- 2 π 时y min=-1 ［-1,1］ x=2kπ时y max=1 x=2kπ+π时y min=-1 R 无最大值 无最小值 R 无最大值 无最小值 周期性周期为2π周期为2π周期为π周期为π奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 单调性在［2kπ- 2 π ,2kπ+ 2 π ］上 都是增函数；在 ［2kπ+ 2 π ,2kπ+ 3 2 π］上 都是减函数(k∈Z) 在［2kπ-π，2kπ］上都是 增函数；在［2kπ，2kπ+π］ 上都是减函数(k∈Z) 在(kπ- 2 π ，kπ+ 2 π )内都 是增函数(k∈Z) 在(kπ，kπ+π)内都 是减函数(k∈Z)
反三角函数的图形 反三角函数的性质 名称反正弦函数反余弦函数反正切函数反余切函数 定义 y=sinx(x∈〔- 2 π , 2 π 〕 的反函数，叫做反正弦 函数，记作x=arsiny y=cosx(x∈〔0,π〕) 的反函数，叫做反 余弦函数，记作 x=arccosy y=tanx(x∈(- 2 π , 2 π )的反函数，叫做反 正切函数，记作 x=arctany y=cotx(x∈(0,π))的 反函数，叫做反余切 函数，记作 x=arccoty 理解 arcsinx表示属于 ［- 2 π , 2 π ］ 且正弦值等于x的角 arccosx表示属于 ［0，π］，且余弦值 等于x的角 arctanx表示属于 (- 2 π , 2 π )，且正切值等 于x的角 arccotx表示属于(0， π)且余切值等于x 的角 性 质 定义域［-1，1］［-1，1］(-∞，+∞)(-∞，+∞) 值域［- 2 π ， 2 π ］［0，π］(- 2 π ， 2 π ) (0，π)单调性 在〔-1，1〕上是增函数在［-1，1］上是减 函数 在(-∞，+∞)上是增数在(-∞，+∞)上是减函 数奇偶性 arcsin(-x)=-arcsinx arccos(-x)=π-arcco sx arctan(-x)=-arctanx arccot(-x)=π-arccot x 周期性都不是同期函数 恒等式 sin(arcsinx)=x(x∈［-1， 1］)arcsin(sinx)=x(x∈ ［- 2 π , 2 π ］) cos(arccosx)=x(x∈ ［-1,1］) arccos(cosx)=x(x∈ ［0,π］) tan(arctanx)=x(x∈ R)arctan(tanx)=x（x∈ (- 2 π , 2 π )） cot(arccotx)=x(x∈ R) arccot(cotx)=x(x∈ (0,π)) 互余恒等式arcsinx+arccosx= 2 π (x∈［-1,1］) arctanx+arccotx= 2 π (X∈R)
三角函数的图像和性质题型归纳总结
三角函数的图像与性质题型归纳总结 题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质 【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据 y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。 一、函数的奇偶性 例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则 等于( ) B ． C ． D ． 42 A 充分不必要条件 B ．必要不充分条 C ．充要条件 变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( ) A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0 例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( ) 2 A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数 22 结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则 k (k Z); (2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k 2 Z); (3) 若 y Acos(x )是奇函数，则 k 2(k Z); (4) 若 y Acos( x )是偶函数，则 k (k Z); (5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k 2 (k Z). 变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数， 则 a 等 于 B ． 1 C ． 1 D ． 1 【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要 变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(x R)为偶函数 ” 的( ) D ．无关条件
由三角函数的图像求解析式
由B x A y ++=)sin(?ω的图像求解析式 知识点归纳: 1. 利用“五点法”作sin()y A x ω?=+图像，设X x ω?=+，令X =30,,, ,2 2 2 π π ππ 求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象 特 征 图像上升时与x 轴的交点 图像上的“峰点” 图像下降时与x 轴的交点 图像上的“谷点” 图像上升时与x 轴的交点 x 1x 2x 3x 4x 5x ?ω+x 0 2π π 2 3π π2 sin()A x ω?+ A A - 注： 1x 、2x 、3x 、4x 、5x 分别为所给图像上的五个关键点（第一个点至第五个点），要注意x 和?ω+x 之间的对应系 2．函数B x A y ++=)sin(?ω表达式的确定：A （B ）由最值确定；ω由周期确定；?由图象上的特殊点（上面的关键点）确定 ①由图像观察最高点、最低点，B A y +=max 、B A y +-=min ，解这个关于A 和B 的二元一次方程组即得A 和B ②由图像观察周期，再利用T π ω2= ，求得ω 【由图像观察周期时,常见形式有: 1x 与5x 之间是一个周期T ；1x 与3x 、2x 与4x 之间是半个周期 2T ；1x 、2x 、3x 、4x 、5x 中相邻两个之间是四分之一的周期4 T .】 ③?的确定，一般要用图像的关键点来求，但要注意该关键点是“五点法”中的第几个点，如01=+?ωx ，2 2π ?ω= +x ，π?ω=+3x ，2 34π ?ω= +x ，从而根据以上等式，解出
? 考点 确定函数解析式问题 例1.⑴若函数sin()y A x ω?=+的图像（部分）如下图所示，则ω和?的取值是（ ） A 、1,3 π ω?== B 、1,3 π ω?==- C 、1,26πω?== D 、1,6 πω?==- ⑵已知函数sin(),y A x x R ω?=+∈(其中0,0A ω>>)的图像在y 轴右侧的第一个最高点(函数取最大值的点)为() 2,22M ,与x 轴在原点右侧的第一个交点为()6,0N ,则这个函数的解析式是 . ⑶若函数()2sin()f x x ω?=+，x ∈R （其中0ω>，2 ?π < ）的最小正周期是π，且(0)3f =，则（ ） A ．126 ω?π ==， B ．123 ω?π= =， C ．26 ω?π ==， D ．23 ω?π ==， 例2.⑴某港口水的深度y （米）是时间t (240≤≤t ,单位：时)的函数，记作()y f t =, 下面是某日水深的数据： t/h 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y/m 经常期观察，()y f t =的曲线可以近似的看成函数b t A y +=ωsin 的图象，根据以上的数据，可得函数()y f t =的近似表达式为 . ⑵一个大风车的半径为8m ,每12min 旋转一周,最低点离地面2m ,风车翼片的一个端点P 离地面的距离()h m 与时间()min t 之间的函数关系式是()sin h A t B ω?=++,0t =时端
根据三角函数图像求解析式经典题型分析
根据三角函数图像求解析式经典20题 1是函数π 2sin()2 y x ω???? =+< ?? ?的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π 116ω?==， Ｂ．10π116 ω?= =-， Ｃ．π 26 ω?==， Ｄ．π 26 ω?==-， 2、若函数k x A y ++=)sin(?ω的最大值为5，最小值为－1，则函数A =____k =_______。 3、下列函数中，图像的一部分如右图所示的是( ) （A ）sin()6y x π=+ （B ）cos(2)6y x π=- （C ）cos(4)3y x π =- （D ）sin(2)6y x π=- 4、已知函数()?? ? ? ? <>+=2,0sin π?ω?ωx y 的部分图象如右上图所示，则（ ） A. 6 ,1π ?ω== B. 6 ,1π ?ω- == C. 6 ,2π ?ω== D. 6 ,2π ?ω- == 5、将函数sin (0)y x ωω=>的图象向左平移 6 π 个单位，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是（ ） A ．sin()6 y x π =+ B ．sin()6 y x π =- C ．sin(2)3y x π =+ D ．sin(2)3 y x π =- .6、设函数)(x f = )2sin(?+x （0<<-?π），)(x f 图像的一条对称轴是直线8 π = x ， 则? 的值为（ ）A ．2π B ．π C ．2π D ．4 π 7、函数)20,0,)(sin(π?ω?ω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则
A ．4 ,2 π ?π ω= = B ．6 ,3 π ?π ω= = C ．4,4π?πω== D ．4 5,4π ?πω== 8、函数),2 ,0)(sin(R x x A y ∈π ω?+ω=的部分图象如图 所示，则函数表达式为） （A ）)48sin(4π+π-=x y （B ）)48sin(4π -π=x y （C ）)48sin(4π-π-=x y （D ）)4 8sin(4π +π=x y 9、函数()?ω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。（其中 π?πω<<->>,0,0A ） 10、已知函数k x A y ++=)sin(?ω (A >0，ω>0，|?|<π)在同一周期内，当9 π =x 时取 得最大值1，当9 4π =x 时，取得最小值0，求函数的表达式。 11、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|<π) 的图象的一段如图，求它的解析式。 12、已知函数)sin(?ω+=x A y (A >0，ω>0，|?|< 2 π )的图象如图，求函数的解析式。 y x π 6 - 2 3 π 3 2 y x 2 1 -1 -2 π 12 11 O
由图像或性质求三角函数解析式的方法
求三角函数解析式常用的方法 三角函数是高中数学的一个重点,而三角函数图象与性质又是其中的难点,学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。现就几道例题谈谈常用的求解方法。 1 利用五点法，逆求函数解析式 例1．右图所示的曲线是)sin(?ω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式． 解:由22y -≤≤，得A=2 已知第二个点(,2)12π和第五个点5(,0)6 π 353 46124 T πππ=-= T π∴= 2ω= 把(,2)12π代入，2 122 ππφ?+=得3π?= 所以y=)3 2sin(2π +x 点评：由图像确定解析式，观察图像的 特征，形助数寻找“五点法”中的整体点，从而确定初相?。 2 利用图像平移，选准变换过程切入求解 例2下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（ ） A ．sin 6y x π??=+ ??? B.sin 26y x π? ?=- ??? C.cos 43y x π??=- ??? D.cos 26y x π? ?=- ??? 解：从图象看出， 41T =1264 πππ +=，所以函数的最小正周期为π，函数应为
y=sin 2x 向左平移了 6π个单位，即 sin 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236 x x x πππ π +=-++=-，故选择答案D 。 点评：数形结合，由图像确定周期和初相位后，选准图像平移变换过程切入， 如本题y=sin 2x 向左平移了6π 个单位进行验证化简是求解的关键。对于利用图象 的变换来求解函数的解析式，一定要清楚每一种变换对,,A ω?的影响，注重整体变量观念的应用。 3 特殊化赋值法求解 例3设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=?π?图像的一条对称轴是直线8 π = x 。求()y f x =的解析式。 解：对称性特殊赋值切入，8 x π = 是函数()y f x =的图像的对称轴， ()()88 f x f x ππ ∴+=- 令8x π = ，则()(0)4f f π=，即sin() =sin cos 2 π ???+=，tan 1?∴=。 0π?-<< ， 34π?∴=- 故3()sin(2)4 y f x x π ===- 点评：特殊赋值这是演绎推理的具体表现，特别是利用对称性待定系数时， 更显示出它的价值 4 利用方程组求解 例4：已知函数()cos()(0,0)f x x ω?ω?π=+>≤≤是R 上的奇函数，其图象关于点)0,4 3( πM 对称，且在区间]3,0[π 上是单调函数。求函数()y f x =的解析式。 解：由图像过原点和其对称性构建方程组切入，由函数()f x 是R 上的奇函数得(0)cos 0(1)f ?== ； 由函数()f x 图象关于点)0,43( πM 对称得：33()cos()0(2)44 f ππω?=+= ； 在()f x 区间[0,]3 π 上是单调函数得：(3)342||T ππω≤= ；
已知三角函数图象求解析式方法例析
已知三角函数图象求解析式方法例析 已知函数y ＝Asin(ωx+φ)+k(A ＞0，ω＞0)的部分图象，求其解析式，与用“五点法”作函数y ＝Asin(ωx+φ)＋ｋ的图象有着密切联系，最主要的是看图象上的“关键点”与“特殊点”．本文就一般情况例析如下． 一、A 值的确定方法：A 等于图象中最高点的纵坐标减去最低点的纵坐标所得差的一半． 二、 ω值的确定方法： 方法１.在一个周期内的五个“关键点”中，若任知其中两点的横坐标，则可先求出周期Ｔ，然后据ω＝T π2求得ω 的值． 方法２：“特殊点坐标法”。特殊点包括曲线与坐标轴的交点、最高点和最低点等。在求出了A 与φ的值之后，可由特殊点的坐标来确定ω的值． 三、 φ值的确定方法： 方法１：“关键点对等法”．确定了ω的值之后，把已知图象上五个关键点之一的横坐标代人ωx+φ，它应与曲线ｙ＝sinx 上对应五点之一的横坐标相等，由此可求得φ的值．此法最主要的是找准“对等的关键点”，我们知道曲线y ＝sinx 在区间[0，2π]上的第一至第五个关键点的横坐标依次为0、2 π、π、2 3π、2π,若设所给图象与曲线y=sinx 上对 应五点的横坐标为x J (J ＝1,2,3,4,5), 则顺次有ωx 1 +φ＝
0、 ωx 2 +φ＝2 π、ωx 3+φ＝π、ωx 4 +φ＝2 3π、ωx 5 +φ＝ 2π,由此可求出φ的值。 方法2：“筛选选项法”，对于选择题，可根据图象的平移方向经过筛选选项来确定φ的值． 方法3：“特殊点坐标法”．（与2中的方法2类同）． 四、 k 值的确定方法： K 等于图象向上或向下平移的长度，图象上移时k 为正值，下移时k 为负值． 另外A 、ω、φ的值还可以通过“解方程（组）法”来求得． 例1.图1是函数ｙ＝2sin （ωx+φ）(ω＞０，φ≤2 π) 的图象，那么正确的是（ ） Ａ.ω＝11 10, φ＝6π Ｂ．ω＝1110, φ＝－6 π Ｃ．ω＝２，φ＝6 π Ｄ．ω＝２，φ＝－6 π , 解：可用“筛选选项法”． 题设图象可看作由y ＝2sin ωx 的图象向左平移而得到，所以φ＞0 排除B 和D ，由A,C 知φ＝6 π； ω值的确定可用“关键点对等法”， 图1 因点（1211π,0）是“五点法”中的第五个点， ∴ω〃12 11π+6 π＝2π 解得ω＝２， 故选C ． 例2.图2是函数y ＝Asin(ωx+φ)图象上的一段, （A ＞0，ω＞0,φ∈（0，2 π））,求该函数的解析式． 12 11π1211π x y 0 2 -2
高中数学三角函数公式大全
第一部分 集合 1．理解集合中元素的意义．．．．．是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？… ； 2．数形结合．．．．是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决； 3．（1）含n 个元素的集合的子集数为2n ,真子集数为2n －1；非空真子集的数为2n －2； （2）;B B A A B A B A =?=??Y I 注意：讨论的时候不要遗忘了φ=A 的情况。 4．φ是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。 第二部分 函数与导数 1．映射：注意 ①第一个集合中的元素必须有象；②一对一，或多对一。 2．函数值域的求法：①分析法 ；②配方法 ；③判别式法 ；④利用函数单调性 ； ⑤换元法 ；⑥利用均值不等式 2 2 2 2b a b a ab +≤ +≤； ⑦利用数形结合或几何意义（斜率、距离、绝对值的意义等）；⑧利用函数有界性（x a 、x sin 、x cos 等） ；⑨导数法 3．复合函数的有关问题 （1）复合函数定义域求法： ① 若f(x)的定义域为［a ，b ］,则复合函数f[g(x)]的定义域由不等式 a≤g(x)≤b 解出 ② 若f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域，相当于x ∈[a,b]时，求g(x)的值域。 （2）复合函数单调性的判定： ①首先将原函数)]([x g f y =分解为基本函数：内函数)(x g u =与外函数)(u f y =； ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性； ③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性。 4．分段函数：值域（最值）、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。 5．函数的奇偶性 ⑴函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．．．．； ⑵)(x f 是奇函数?f(－x)=－f(x)；)(x f 是偶函数?f(－x)= f(x) ⑶奇函数)(x f 在原点有定义，则0)0(=f ； ⑷在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性； ⑸若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性； 6．函数的单调性 ⑴单调性的定义： ①)(x f 在区间M 上是增函数,,21M x x ∈??当21x x <时有
经典三角函数公式及其图像大全
经典三角函数公式及其图像大全 三角函数是中学课程里，非常重要的一部分，应将其作为学习的一个重点。 ⒈L 弧长=αR=nπR 180 S 扇=21L R=2 1R 2 α=3602R n ?π 2．S ⊿=2 1a a h ?=2 1ab C sin =2 1bc A sin =2 1ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr =))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 3.正弦定理： A a sin =B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 4.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2 =a 2 +b 2 -2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= ⒌同角关系： ⑴商的关系：①θtg =x y = θ θ cos sin =θθsec sin ? ②θθθ θ θcsc cos sin cos ?=== y x ctg ③θθθtg r y ?== cos sin ④θθθθcsc cos 1sec ?== =tg x r ⑤θθθctg r x ?== sin cos ⑥θθθθsec sin 1csc ?== =ctg y r ⑵倒数关系：1sec cos csc sin =?=?=?θθθθθθctg tg
三角函数,反三角函数公式大全
三角函数公式 倍角公式 2ta nA tan 2A = 2 Sin 2A=2Si nA?CosA 1-ta n 1 2A 2 2 2 2 Cos2A = CoS 2A-Si n 2A=2Cos 2 A-1=1-2si n 2A 三倍角公式 3 3 sin3A = 3sinA-4(sinA) cos3A = 4(cosA) -3cosA π π tan3a = tana? tan(—+a) ? tan(--a) 3 3 半角公式 积化和差 SinaSinb = 1 1 -[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 一 [cos(a+b)+cos(a-b)] 2 2 1 COSA tan(A)=^°^=^n ^ Sina=— 两角和公式 sin( A+B) = Sin AcosB+cosAs inB cos(A+B) = cosAcosB-si nAsinB sin( A-B) = Sin ACOSB-COSAS inB COS(A-B) = cosAcosB+si nAsinB tan( A+B)= tanA tanB 1- ta nAta nB tan( A-B)= tanA 「tanB 1 tan Ata nB cot(A+B)= cotAcotB -1 cotB cotA COt(A-B)= cotAcotB 1 COtB-COtA .z A * -cos A Sin(I ) ^ 2 A cos()= 2 1 cos A tan 自 =J≡≡ A COt q ) = Sin a+s in b=2s in a 「b cos — 2 Sin a-s in b=2cos Sin a 「 b 2 cosa+cosb = 2co a —b cos — 2 COSa-COSb = -2sin Sin tan A+ta nB=si n(A+B)∕cosAcosB tan A-ta nB=si n(A-B)∕cosAcosB ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB -ctgA+ctgB=si n(A+B)∕si nAsi nB a b
三角函数解析式的求法
函数y ＝Asin (ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用 ‖知识梳理‖ 1．y ＝Asin (ωx ＋φ)的有关概念 T ＝ 2πω ωx ＋φ 用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示： 3. | 微 点 提 醒 | 1．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φ ω个单位长度而非φ个单位长 度． 2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π 2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z 确定其横坐标． ‖易错辨析‖ 判断下列结论是否正确(请在括号中打”√”或“×”) (1)把y ＝sin x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的1 2，纵坐标不变，所得图象对应的函数解 析式为y ＝sin 1 2 x .(×)
(2)将y ＝sin2x 的图象向右平移π 3个单位长度，得到y ＝sin ????2x －π3的图象．(×) (3)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ≠0)的最大值为A ，最小值为－A .(×) (4)如果y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T 2 .(√) (5)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则φ＝2k π＋π 2 (k ∈Z )．(×) ‖自主测评‖ 1．函数y ＝2sin ????2x ＋π 4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π 4 B ．2，12π，π 4 C ．2，1π，π 8 D ．2，12π，－π 8 解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ????2x ＋π4的振幅为2，频率为1 π，初相为π 4 . 2．函数y ＝sin ????2x －π3在区间??? ?－π 2，π上的简图是( ) 解析：选A 当x ＝0时，y ＝sin ????－π3＝－32，排除B 、D ；当x ＝π 6时，y ＝0，排除C ，故选A. 3．(教材改编题)为了得到函数y ＝3sin ????x －π5的图象，只需将y ＝3sin ????x ＋π 5的图象上的所有点( )