立体几何小题之压轴篇(解析版)
长沙市明达中学吴祥云
题型一、体积的最值
题目1:三棱柱ADF-BCE中,四边形ABCD和正方形ABEF的边长均为2,∠ABC=60°,平面ABCD⊥平面ABEF,M,N分别是AC,BF上的动点,若AM=FN=a,(0≤a≤2),
当四面体A-MNB的体积最大时,实数a 的值为(答案√2)
解析:作NG⊥AB交AB于点G,由已知易得NG⊥平面ABCD,FN=a,
NB=2√2?a,NG=(2√2?a)√2
=2?
a
√2
S?AMB=
1
×2×a×
√3
=
√3
a,
V A?MNB=V N?AMB=1
3×√3
2
a×(2?
√2
),
当且仅当a=0+2√2
2
即a=√2时,四面体A-MNB的体积最大。
题目2:如图,将一张长为2m,宽为1m的长方体纸板按图中方式剪裁并废弃阴影部分,若剩余部分恰好能折叠成一个长方体纸盒(接缝部分忽略不计),则此长方体体积的最大值为
解析:设废弃的四个小矩形部分长为2x,宽为x,则折叠成的长方体的长为2x,
宽为1-2x,高为2?4x
2=1?2x,其中0 2 ,设长方体的体积为V, V=2x?(1?2x)?(1?2x)=1 2?4x?(1?2x)?(1?2x)≤(4x+(1?2x)+(1?2x) 3 )3=4 27 , 当且仅当4x =1-2x 即x =16时取到等号,∴长方体体积的最大值为4 27。 注:也可直接求导求出最值。 题目3:将一个底面半径为1,高为2的圆锥工件切割成一个圆柱体,能割出的圆柱的最大体积为 (答案:8 27π) 解析:设圆柱的底面圆半径为r,高为h,则r 1= 2?h 2 ?h =2?2r,则 0 设圆柱的体积为V ,则V=πr 2h =πr 2?(2?2r )=π?r ?r ?(2?2r )≤π( r+r+2?2r 3)3 =8 27, 当且仅当r =2?2r 即r =23 时取到等号,∴能割出的圆柱的最大体积为8 27 。 题目4:一个等腰三角形的周长为10,四个这样相同的等腰三角形的底边围成正方形,如图,若这四个三角形都绕底边旋转,四个顶点能重合在一起,构成一个四棱锥,则该四棱锥的体积的最大值为 (答案: 500√2 81 ) 解析:设等腰三角形底边长为x,腰为y,x+2y=10,则四棱锥的底面边长为x, 高h=√y 2?1 2x 2,体积V =1 3×x 2×√y 2?1 2x 2=1 3√25x 4?5x 5?1 4x 6, 设f(x)= 25x 4?5x 5?1 4x 6,则f ′(x )=1 2?x 3(10?3x )(x +20),令f ′(x )=0, 得x = 103 ,易得此时体积V 取到最大值 500√281 。 注:本题若作为解答题,解答欠严密,没有指出x 的取值范围。 题目5:如图,三棱锥P-ABC的底面是边长为2的等边三角形,若PA=PB=√2,二面角 P-AB-C的大小为60°,则三棱锥P-ABC的外接球的半径为 解析:取AB得中点O’,连接O’C,则∠PO′C=60°,设?ABC的中心为O′′,分别过O′,O′′作平面PAB和平面ABC的垂线,设两垂线交于点O,则点O为三棱锥P-ABC的外接球心,则∠CO′O=30°,O′O′′=√3 3 ?OO′′=1 3 ,连接OC,设外接球半径为R,则OC=R,O’’C=2√3 3 , 则R2=(1 3 )2+(2√3 3 )2=13 9 ?R=√13 3 . 注:本题解答过程还有很多细节推导没有写出来,请读者朋友自己完成。 题目6:三棱锥A-BCD中,底面BCD与ABC均为边长为√3的等边三角形,且平面 BCD与平面ABC所成角为2π 3 ,则三棱锥A?BCD的外接球表面积为 解析:如图,作BD中点E,连接AE,CE,易知∠AEC=2π 3 ,过?BCD 的外接圆心作平面BCD的垂线,过?ABD的外接圆心作平面ABD的垂线,两垂 线的交点O即外接球心,易知O1E=O2E=1 2 ,故?OO1E??OO1E,∴∠OE O1=π 3 , ∴OO1=√3 2 ,∴OA2=OO12+AO12=(√3 2 )2+12=7 4 =R2, ∴三棱锥A?BCD的外接球表面积为4πR2=4π× 7 4 =7π. 题目7:矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B-AC-D,则四面体ABCD的外接球的体积是(答案:125 6 π) 解析:∵∠ADC=∠ABC=90°,故AC为外接球的直径,易得2R=5?R=5 2 , 四面体ABCD的外接球的体积为4π 3 ×(5 2 )3=125 6 π. 题型三、体积之比的最值问题 题目8:如图,四棱锥P-ABCD中,底面为正方形,侧棱PA⊥底面ABCD,PA=4, AB=3,G,H分别在PC,CA上,且PG=4 5 PC,PH=1 3 PA,过直线GH作平面与侧棱PB,PD 分别交于点M,N,截面把四棱锥分成上下两部分,则上部分与下部分体积比值的最小值为 解析:引理:如图,V D?EFG V D?ABC =DE?DF?DG DA?DB?DC . 证明:设DB与平面DAC所成角为α,∠ADC= β,则V D?EFG V D?ABC = 1 3 ×1 2 DE?DGsinβ?DF?sinα 1 3 ×1 2 DA?DC?sinβ?DB?sinα =DE?DF?DG DA?DB?DC . 回归本题:设 PM →=m PB →, PN →=n PD →, PG →= 4 5PC →= 4 5 ( PA →+ AC → )= 4 5 ( PA →+ AB →+ AD → )= 4 5 ( PB →+ PD →? PA → ) 点评:二面角与外接球的综合题,主要利用图形的对称性即球的性质,直接作出球心,构造直角三角形进行求解。此类题较难,江浙卷出现的较多,但是不排除全国卷也会出类似的考题。 =45(1m PM → +1n PN → ?3PH → ),∵G,M,H,N 四点共面,∴45(1m +1n ?3)=1, ∴1 m +1 n =174 ,V P?HMG V P?ABC = PH?PM?PG PA?PB?PC = 4m 15, V P?HNG V P?ADC =PH?PN?PG PA?PD?PC =4n 15,V P?ABC =V P?ADC , ∴ V P?HMGN P?ABCD =4m 15V P?ABC +4n 15V P?ADC P?ABC P?ADC =2(m +n )=2×4?(m +n )(1+1) ≥ 215×417×(1+1)2=32255 ,当且仅当m =n 时取等号, ∴则上部分与下部分比值的最小值为32 255?32=32 223. 题目9:在四棱锥P-ABCD 中,ABCD 为梯形,AB||CD,CD=2AB,M 为PD 的中点,则 平面MBC 分棱锥上下两部分的体积比为 (答案:4:5) 解析:设平面交PA 于点E ,设PE → =t PA → ,PC → =PA → +AD → +DC → =PD → +2PB → ?2PA → , ∴PC → =2PM → +2PB → ?2t PE → , ∵C,M,B,A 四点共面,∴2+2?2t =1,t =2 3, V P?EMC V P?ADC = PE?PM?PC PA?PD?PC =13,V P?EBC V P?ABC =PE?PB?PC PA?PB?PC =2 3,CD =2AB ? V P?ADC =2V P?ABC , V P?EMCB V P?ABCD =13V P?ADC +23V P?ABC V P?ADC +V P?ABC =43V P?ABC 3V P?ABC =49 , ∴平面MBC 分棱锥上下两部分的体积比为4 =4 . 后记:本篇文章的题目的大部分题选自高中教师JQ 群(群号133606143,里面高手云集,欢迎加入)多期的教研题,但解法由我本人给出,特此说明。最近出现的立体几何压轴题还有动截面的面积的最值问题,我在上篇文章中已经发布,这里不再重复。 高考真题集锦(立体几何部分) 1.(2016.理1)如图是由圆柱和圆锥组合而成的几何体的三视图,则该几何体的表面积是( ) A 20π B24π C28π D.32π 2. βα,是两个平面,m,n 是两条直线,有下列四个命题: (1)如果m ⊥n,m ⊥α,n ∥β,那么βα⊥; (2)如果m ⊥α,n ∥α,那么m ⊥n. (3)如果αβα?m ,∥那么m ∥β。 (4)如果m ∥n,βα∥,那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等。 其中正确的命题有___________ 3.(2016年理1)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是π328,则它的表面积是 A 17π B.18π C.20π D.28π 4.平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α//平面11D CB ,?α平面ABCD =m , ?α平面11A ABB =n,则m,n 所成角的正弦值为( ) A.23 B.22 C.33 D.3 1 5.(2016年理1)如图,在以A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中,面ABEF 为正方形,AF=2FD ,∠AFD=90°,且二面角D-AF-E 与二面角C-BE-F 都是60° .(12分) (Ⅰ)证明:平面ABEF ⊥平面EFDC ; (Ⅱ)求二面角E-BC-A 的余弦值. 6. (2015年理1)圆柱被一个平面截取一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积是16+20π,则r=( ) A.1 B.2 C.7 D.8 7.如图,四边形ABCD 为菱形,∠ABC=120°,E,F 是平面ABCD 同一侧的亮点,BE ⊥平面ABCD,DF ⊥平面ABCD,BE=2DF,AE ⊥EC. (1) 证明:平面AEC ⊥平面AFC; (2) 求直线AE 与直线CF 所成角的余弦值。 8.一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如下图,则截取部分体积和剩余 部分体积的比值为() 9.如图,长方体1111D C B A ABCD -中,AB = 16,BC = 10,AA1 = 8,点E ,F 分别在1111C D B A , 上,411==F D E A ,过点E,F 的平面α与此长方体的面相交,交线围成一个正方形。 (1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由); (2)求直线AF 与平面α所成的角的正弦值 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ,AB=5,AC=6,点E,F 分别在AD,CD 上,AE=CF=45 ,EF 交BD 于点H.将△DEF 沿EF 折到△DEF 的位置,OD ’=10 (1)证明:D ’H ⊥平面ABCD (2)求二面角B-D ’A-C 的正弦值 高考数学中的放缩技巧 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求 ∑=-n k k 1 2 142 的值; (2)求证: 3 51 1 2 < ∑=n k k . 解析:(1)因为121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1 222n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k Λ 奇巧积累:(1)??? ??+--=-< =1211212144 4412 2 2n n n n n (2)) 1(1)1(1)1()1(21211+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(1 11)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-++?+ ?++<+n n n n Λ (5) n n n n 2 1121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(12)12(12 13211221?+-?+=???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) !)1(1!1!)1(+-=+n n n n (11) 2 1 2121 21222)1212(21 -++ = -++= --+ 4 42 立体几何 热点一空间点、线、面的位置关系及空间角的计算 空间点、线、面的位置关系通常考查平行、垂直关系的证明,一般出现在解答题的第(1)问,解答题的第(2)问常考查求空间角,求空间角一般都可以建立空间直角坐标系,用空间向量的坐标运算求解. π 【例1】如图,在△ABC中,∠ABC=,O为AB边上一点,且3OB=3OC=2AB,已知PO⊥平面ABC,2DA=2AO=PO,且DA∥PO. (1)求证:平面PBD⊥平面COD; (2)求直线PD与平面BDC所成角的正弦值. (1)证明∵OB=OC,又∵∠ABC= π 4 , ππ ∴∠OCB=,∴∠BOC=. ∴CO⊥AB. 又PO⊥平面ABC, OC?平面ABC,∴PO⊥OC. 又∵PO,AB?平面PAB,PO∩AB=O, ∴CO⊥平面PAB,即CO⊥平面PDB. 又CO?平面COD, ∴平面PDB⊥平面COD. (2)解以OC,OB,OP所在射线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示. ? →·n ? 则 sin θ=? ?|PD||n|? PD BC BD BC BD =? ?= 02+(-1)2+(-1)2× 12+12+32 ? 11 1×0+1×(-1)+3×(-1) 设 OA =1,则 PO =OB =OC =2,DA =1. 则 C(2,0,0),B(0,2,0),P(0,0,2),D(0,-1,1), ∴→=(0,-1,-1),→=(2,-2,0),→=(0,-3,1). 设平面 BDC 的一个法向量为 n =(x ,y ,z), ??n·→=0, ?2x -2y =0, ∴? ∴? ??n·→=0, ?-3y +z =0, 令 y =1,则 x =1,z =3,∴n=(1,1,3). 设 PD 与平面 BDC 所成的角为 θ, ? PD ? → ? ? ? ? 2 22 . 即直线 PD 与平面 BDC 所成角的正弦值为 2 22 11 . 【类题通法】利用向量求空间角的步骤 第一步:建立空间直角坐标系. 第二步:确定点的坐标. 第三步:求向量(直线的方向向量、平面的法向量)坐标. 第四步:计算向量的夹角(或函数值). 第五步:将向量夹角转化为所求的空间角. 第六步:反思回顾.查看关键点、易错点和答题规范. 【对点训练】 如图所示,在多面体 A B D DCBA 中,四边形 AA B B ,ADD A ,ABCD 均为正方 1 1 1 1 1 1 1 形,E 为 B D 的中点,过 A ,D ,E 的平面交 CD 于 F. 1 1 1 1 (1)证明:EF∥B C. 1 (2)求二面角 EA D B 的余弦值. 1 1 (1)证明 由正方形的性质可知 A B ∥AB∥DC,且 A B =AB =DC ,所以四边形 A B CD 为平行 1 1 1 1 1 1 放缩技巧 (高考数学备考资料) 证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是:通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种: 一、裂项放缩 例1.(1)求∑ =-n k k 1 2142的值; (2)求证:3 511 2 <∑=n k k . 解析:(1)因为 121121)12)(12(21 422+--=+-= -n n n n n ,所以12212111 4212 +=+-=-∑=n n n k n k (2)因为 ??? ??+--=-=- <1211212144 4 11 1222 n n n n n ,所以35321121121513121112=+?? ??+--++-+<∑=n n k n k 奇巧积累 : (1) ?? ? ??+--=-<=1211212144441222n n n n n (2) ) 1(1)1(1)1()1(212 11+--=-+=+n n n n n n n C C n n (3))2(111)1(1!11)!(!!11 ≥--=-<-=? =+r r r r r r n r n r n n C T r r r n r (4)2 5 )1(12311 2111)11(<-+ +?+?++<+n n n n (5) n n n n 2 1 121)12(21--=- (6) n n n -+<+22 1 (7))1(21)1(2--<<-+n n n n n (8) n n n n n n n 2)32(1 2)12(12 13211 221 ?+-?+= ???? ??+-+- (9) ? ? ? ??++-+=+++??? ??+-+=-+k n n k k n n n k k n k n k 11111)1(1,11111)1(1 (10) ! )1(1!1!)1(+- =+n n n n (11) 2 12121 21222)1212(21-++ = -++= --+ 2018年全国一卷(文科):9.某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如右图.圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ,则在此圆柱侧面上,从M 到N 的路径中,最短路径的长度为 A .217 B .25 C .3 D .2 18.如图,在平行四边形ABCM 中,3AB AC ==,90ACM =?∠,以AC 为折痕将△ACM 折起,使点M 到达点 D 的位置,且AB DA ⊥. (1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ; (2)Q 为线段AD 上一点,P 为线段BC 上一点,且2 3 BP DQ DA == ,求三棱锥Q ABP -的体积. 全国1卷理科 理科第7小题同文科第9小题 18. 如图,四边形ABCD 为正方形,,E F 分别为,AD BC 的中点,以DF 为折痕把DFC △折起,使点C 到达点 P 的位置,且PF BF ⊥. (1)证明:平面PEF ⊥平面ABFD ; (2)求DP 与平面ABFD 所成角的正弦值. 全国2卷理科: 9.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,13AA =,则异面直线1AD 与1DB 所成角的余弦值为 A .15 B . 5 C . 5 D . 2 20.如图,在三棱锥P ABC -中,22AB BC ==,4PA PB PC AC ====,O 为AC 的中点. (1)证明:PO⊥平面ABC; --为30?,求PC与平面PAM所成角的正弦值.(2)若点M在棱BC上,且二面角M PA C 全国3卷理科 3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是 19.(12分) 如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直,M是?CD上异于C,D的点. (1)证明:平面AMD⊥平面BMC; (2)当三棱锥M ABC -体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值. 2018年江苏理科: 10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为▲ .近五年高考数学(理科)立体几何题目汇总
高考数学中的放缩技巧
2018届高考数学(理)热点题型:立体几何(含答案解析)
高考数学_压轴题_放缩法技巧全总结(最强大)
2018年高考数学立体几何试题汇编
2020高考数学专题复习----立体几何专题