高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的14种方法
一、极限的定义
1.极限的保号性很重要：设
A x f
=)(，
注： 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
（i ）“
00”“∞
∞
”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通
项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；)
()(1
)(1
)(1
)()(x g x f x f x g x g x f -=-
(iii)“00”“∞1”“0
∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e
x f x g x g x f )
(ln )()()(=，
这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.
4.5.6.，
n ∞
→ 解：由于a a
a a a x a n
n n n n ==<<∞
→∞
→)3(,,3lim lim 以及，由夹逼定理可知a x n n =∞
→lim
（2）求
??
????++++∞
→22
2)2(1)1(11lim
n n n n
解：由n
n n n n n n 1111)2(1)1(110222222
=
+++<++++
< ，以及
01
0lim
lim
==∞
→∞
→n
n n 可知，原式=0 (3)求????
??++++++∞
→n n n n n 2
221
211
1lim 解
及
7. 8.
9. 。
于指数型函数n
b (b 为常数)，指数函数快于幂函数,幂函数快于对数函数。当x 趋近无穷的时候，它们比值的极限就可一眼看出。
12.换元法。这是一种技巧，对一道题目而言，不一定就只需要换元，但是换元会夹杂其中。例如：求极限
x
x x 2sin 2arccos lim
π
-
→。解：设t t x t x x t sin )2cos(,00,2arccos -=+=→→-=ππ且时，则。
原式=
2
1
sin 222arccos 22arccos 2sin 2lim
lim
lim
-=-=
-
=
-
→→→t t x
x x
x x
x t x x π
π
13．利用定积分求数列极限。例如：求极限?
?? ??++++++∞→n n n n n 12111lim 。由于n
i n
i n +
=+11
1，所以