第四节 多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则
要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。
作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13
一．多个中间变量，一个自变量情况
定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为
d z z d u z d v d t u d t v d t
??
=
+
??
（全导数）
证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为
,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?．
又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u
v
εε???=
?+
?+?+???
这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得
1
2z f u f v u v t
u t
v t
t t
εε???????=+++???????．
当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u
du v dv t dt t dt
??→
→??， 所以 0l i m t d z
z f d u f d v d t t u d t v d t
?→???
==+???，即
d z
f d u f d v z d u z d v
d t u d t v d t u d t
v d t
??
?
?=
+
=+????．
此时，dz z du z dv dt
u dt
v dt
??=+
??从形式上看是全微分z z dz du dv u
v
??=
+
??两端除以d t 得到
的，常将
d z d t
称为全导数．
推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式
d z z d u z d v z d w d t
u d t v d t w d t
??
?
=
+
+??
?
例1．设函数y
x u =，而t
x e =，sin y t =，求全导数dt
du ．
解
dt
du u dx u dy x dt
y dt
??=
+
??1
sin ln cos (sin cos )y t y t t
yx
e x x t e
t t t -=+=+．
二．多个中间变量，多个自变量情况
定理 2 若(,)u x y ?=及(,)v x y ψ=在点),(y x 具有偏导数，而函数),(v u f z =在对应点),(v u 具有连续偏导数，则复合函数[]
(,),(,)z f x y x y ?ψ=在点),(y x 两个偏导数存在，且有公式
x
v v z x
u u z x
z ????+????=??；
y
v v z y
u u z y
z ????+
????=
??
例2．设函数v
u z =，而2
2
3y x u +=，y x v 24+=，求
y
z
x z ????,
． 解 1
6ln 4v v
z z u z v vu
x u u x
u x
v x
-?????=+=+??????
224212242226(42)(3)4(3)ln(3)x y x y x x y x y x y x y +-+=+++++
u u y vu y
v v z y
u u z y
z v
v ln 221
+=????+????=??-
224212242222(42)(3)2(3)ln(3)x y x y y x y x y x y x y +-+=+++++．
注意 为了帮助记忆，我们按各变量间的复合关系画出复合关系图如下：
首先从自变量z 向中间变量,u v 画两个分枝，然后再分别从,u v 向自变量,x y 画分枝，并在每个分枝旁边写上对其的偏导数．求
z x
??（
z y
??）时，我们只要把从z 到x （y ）的每
条路径上的各偏导数相乘后，再将这些积相加即可得到
x
v v z x
u u z x
z ????+????=??，（
y
v v z y
u u z y
z ????+
????=
??）
推论1. 设函数(,)u x y ?=，(,)v x y ψ=，),(y x w w =在点),(y x 有偏导数，而函数
),,(w v u f z =在对应点),,(w v u 偏导数连续，则复合函数[]
(,),(,),(,)z f x y x y w x y ?ψ=在点),(y x 的两个偏导数存在，且有公式
x
w w z x
v v z x
u u z x
z ????+????+????=??；
y
w w z y
v v z y
u u z y
z ????+
????+
????=
??．
推论2. 设函数),(y x u ?=具有偏导数，而函数),,(y x u f z =可微，则复合函数
],),,([y x y x f z ?=在点),(y x 偏导数存在，且有公式
x
f x
u u f x
z ??+
????=
??；
y
f y
u u z y
z ??+
????=
??．
注意
x
z ??与
x
f ??区别:
x z ??是把函数[](,),,f x y x y ?中的y 看成常数，对x 求偏导， x
f ??是把),,(y x u f 中y u ,看常数，对x 求偏导．
前者是复合后对x 的偏导数，后者是复合前对x 的偏导数．
例3．设函数2
22
),,(z
y x
e z y x
f u ++==，而y x z sin 2=，求
x
u ??和
y
u ??．
解 y x ze
xe
x
z z f x
f x
u z
y x z
y x sin 2222
2
2
2
22
?+=????+??=??++++
y
x y x e
y x x 2
4
2
2
sin
2
2)sin 21(2+++=
y x ze
ye
y
z z f y f y
u z
y x z
y x cos 222
2
2
22
2
2
?+=????+??=??++++
y
x y x
e y y x y 2
422
sin
4)cos sin (2+++=． 例4．设函数t uv z sin +=，而t
e u =，t v cos =求全导数
dt
dz ．
解
t
z dt
dv v z dt
du u z dt
dz ??+
??+
??=
t t u ve t
cos )sin (+-+=t t t e t
cos )sin (cos +-=． 例5．设抽象函数),(2
2
xy
e y x
f z -=，其中f 偏导数连续，求
y
z
x z ????,
． 解 x
v v z x
u u z x
z ????+????=??，其中22y x u -=，xy
e
v =，
212122f ye
f x xe f x f xy
xy
'+'=?'+?'=
y
v v z y
u u z y
z ????+????=??
1212(2)2xy xy f y f xe yf xe f ''''=?-+?=-+
其中u
v u f u
z f ??=
??='),(1，v
v u f v
z f ??=
??=
'),(2．
三．复合函数的二阶偏导数
若函数),(v u f z =，(,)u x y ?=，(,)v x y ψ=二阶偏导数连续，则复合函数 [](,),(,)z f x y x y ?ψ=存在二阶偏导数．
记号22
11u
z f ??=''，v
u z f ???=''2
12
，u v z f ???=''2
21
，2
2
22
v
z f ??=''．
例6．设复合函数),32(y
x y x f z +=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求
y
x z ???2
．
解
2112f y
f x v v z x u u z x
z '+
'=????+
????=
??
)12(212
f y
f y
y
x z '+'??=
???)1(
2
21f y
y
y
f '??+
?'?= ))(3(11))(3(22
22
222
2
1211
y
x f f y
f y
y
x f f -''+?''+'-
-''+?''=
22
12
2
22
3
11
1236f y
f y x y f y
x f '-''-+''-''=．
练习题 设函数2
(,
)y z f x y x
=，其中),(v u f 对v u ,具有二阶连续偏导数，求
y
x z ???2
．
（
y
x z ???2
3
'
11
22
12213
2
122y x yf f yf f xf x
x
'''''''=-+-+）
复合函数求偏导数步骤：
（1）搞清复合关系——画出复合关系图；
（2）分清每步对哪个变量求导，固定了哪些变量；
（3）对某个自变量求导，应注意要经过一切与该自变量有关的中间变量而最后归结到该自变量．
例7.设复合函数),(xyz z y x f w ++=，且f 具有二阶连续偏导数，求
x
w ??，
z
x w ???2
．
解
21f yz f x
w '+'=??
)(222121211
2
xy f f yz f y f xy f z
x w ''+''+'+''+''=??? 22122211
)(f y f yz xy f z xy f '+''++''+''=． 例8.设函数),(y x f u =的所有二阶偏导数连续，把下列表达式转换为极坐标形式
（1） 2
2
)(
)(y
u x
u ??+??；
（2） 2
2
22
y
u x
u ??+
??
解 （1）直角坐标与极坐标关系θcos r x =，θsin r y =，则
(,)(cos ,sin )(,)u f x y f r r F r θθθ====记
这里(,)u f x y =看作由函数(,)u F r θ=及2
2y
x r +=，x
y arctan
=θ，复合而成
的复合函数，按复合函数求导公式，得
x
u x
r r u x
u ????+????=??θθr
u r u θθ
θsin cos ??-
??=，
其中
θθcos cos 2
2
==
+=
??r
r y
x x x
r ；
r
y
x y
x
y x y
x
θθsin 12
2
22
22
-
=+-=
+
-=
??，
同理
y
u y
r r u y
u ????+
????=
??θθcos sin u u r
r
θθθ
??=
+
??，
其中
θθsin sin 2
2
==
+=
??r
r y
x y y
r ；
r
y
x x x
y x y
θθcos 11
2
2
2
2=
+=
+
=??，
上边两式平方后相加，得 2
2
2
2
2
)(
1)(
)(
)(
θ
??+
??=??+??u r
r
u y
u x u ．
（2）
y y u y r y u r y
u ??????+??????=
??θ
θ)()(2
2
r
r
u r u r
u r
u r θθθ
θθ
θθθ
θcos )cos sin (sin )cos sin (??+
????+
??+
????=
θθθ
θθθsin )cos cos sin (
2
2
2
2
r
u r
r
u r
u ??-
???+
??=
2
2
2
cos sin cos (
sin cos )
u u u u r r
r
r
r
θθθθθθ
θ
θ
????++
-
+
?????
r
r
u r
u r
u r
r u r
u θθθθ
θθ
θθθ
θ2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
cos cos sin 2cos cos sin 2
sin ??+
??-
??+
???+??=
同理
r
r
u r
u r
u r
r u r
u x
u θθθθ
θθ
θθθ
θ2
2
2
2
2
22
2
2
2
22
sin cos sin 2sin cos sin 2
cos ??+
??+
??+
???-??=
??
上边两式相加得 2
2
2
2
2
2
2
22
11θ
??+
??+
??=
??+
??u r
r
u r r
u y
u x
u ??
?
?????+????=2
2
2))((1θ
u r u r r r r
四．全微分形式不变形
设函数),(v u f z =具有连续偏导数，则全微分
dv v z du u
z dz ??+
??=
，
若函数(,)u x y ?=，(,)v x y ψ=有连续偏导数，则复合函数((,),(,))z f x y x y ?ψ= 的全微分为
dy y z dx x z dz ??+
??=
dy y
v v z y
u u z dx x
v v z x
u u z )(
)(
????+
????+????+
????=
)()(dy y
v dx x v v z dy y u dx x u u z ??+????+??+????=
dv v
z du u z ??+
??=
．
可见无论z 是自变量y x ,的函数或中间变量v u ,的函数，它的全微分形式是一样的，这
个性质叫全微分形式不变性．
例9.利用全微分形式不变性求微分)sin (v e d dz u
=，其中xy u =，y x v +=．
解 因为vdv e vdu e v e d dz u
u u cos sin )sin (+== 又因为 xdy ydx xy d du +==)(，dy dx y x d dv +=+=)(，
所以 sin ()cos ()u u dz e v ydx xdy e v dx dy =?+++
(sin cos )(sin cos )u u u u
e v y e v dx e v x e v dy =?++?+
dy y x y x x e dx y x y x y e xy xy ))cos()sin(())cos()sin((+++++++=
若先求出
(sin()cos())xy
z e y x y x y x
?=+++?，
(sin()cos())xy
z e x x y x y y
?=+++?代
入公式dy y
z dx x
z dz ??+
??=
得结果完全一样．
思考题
1． 如何求复合函数的偏导数？需要注意什么问题？
复合函数的求导法则(导案)
当堂检测 1．根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）4 x x y = ； （2）1ln 1ln x y x -=+． （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）sin cos cos sin x x x y x x x -=+ 解： （1）''''224(4)144ln 41ln 4()4(4)(4)4 x x x x x x x x x x x x x y ?-??-?-====， '1ln 44x x y -=。 （2）''''221 1ln 212()(1)2()21ln 1ln 1ln (1ln )(1ln ) x x y x x x x x x -==-+==?=+++++ '2 2(1ln )y x x =+ （3）'2'2'(251)(251)()x x y x x e x x e =-+?+-+? 22(45)(251)(24)x x x x e x x e x x e =-?+-+?=--?， '2(24)x y x x e =--?。 （4）''sin cos ()cos sin x x x y x x x -=+ '' 2(sin cos )(cos sin )(sin cos )(cos sin )(cos sin ) x x x x x x x x x x x x x x x -?+--?+=+ 2 (cos cos sin )(cos sin )(sin cos )(sin sin s )(cos sin )x x x x x x x x x x x x xco x x x x -+?+--?-++= + 2 sin (cos sin )(sin cos )s (cos sin )x x x x x x x x xco x x x x ?+--?=+ 2 2 (cos sin )x x x x =+。 2 ' 2(cos sin )x y x x x =+
最新复合函数求导练习题
复合函数求导练习题 一．选择题（共26小题） 1．设，则f′（2）=（） A．B．C．D． 2．设函数f（x）=g（x）+x+lnx，曲线y=g（x）在点（1，g（1））处的切线方程为y=2x+1，则曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为（） A．y=4x B．y=4x﹣8 C．y=2x+2 D． 3．下列式子不正确的是（） A．（3x2+cosx）′=6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′=ln2 C．（2sin2x）′=2cos2x D．（）′= 4．设f（x）=sin2x，则=（） A．B．C．1 D．﹣1 5．函数y=cos（2x+1）的导数是（） A．y′=sin（2x+1）B．y′=﹣2xsin（2x+1） C．y′=﹣2sin（2x+1）D．y′=2xsin（2x+1） 6．下列导数运算正确的是（） A．（x+）′=1+B．（2x）′=x2x﹣1C．（cosx）′=sinx D．（xlnx）′=lnx+1 7．下列式子不正确的是（） A．（3x2+xcosx）′=6x+cosx﹣xsinx B．（sin2x）′=2cos2x C．D． 8．已知函数f（x）=e2x+1﹣3x，则f′（0）=（） A．0 B．﹣2 C．2e﹣3 D．e﹣3 9．函数的导数是（） A． B． C．D． 10．已知函数f（x）=sin2x，则f′（x）等于（） A．cos2x B．﹣cos2x C．sinxcosx D．2cos2x 11．y=e sinx cosx（sinx），则y′（0）等于（） A．0 B．1 C．﹣1 D．2
12．下列求导运算正确的是（） A． B． C．（（2x+3）2）′=2（2x+3）D．（e2x）′=e2x 13．若，则函数f（x）可以是（） A．B．C．D．lnx 14．设 ，则f2013（x）=（） A．22012（cos2x﹣sin2x）B．22013（sin2x+cos2x） C．22012（cos2x+sin2x）D．22013（sin2x+cos2x） 15．设f（x）=cos22x，则=（） A．2 B．C．﹣1 D．﹣2 16．函数的导数为（） A．B． C．D． 17．函数y=cos（1+x2）的导数是（） A．2xsin（1+x2） B．﹣sin（1+x2） C．﹣2xsin（1+x2）D．2cos（1+x2） 18．函数y=sin（﹣x）的导数为（） A．﹣cos（+x）B．cos（﹣x）C．﹣sin（﹣x）D．﹣sin（x+） 19．已知函数f（x）在R上可导，对任意实数x，f'（x）＞f（x）；若a为任意的正实数，下列式子一定正确的是（） A．f（a）＞e a f（0）B．f（a）＞f（0）C．f（a）＜f（0）D．f（a）＜e a f（0）20．函数y=sin（2x2+x）导数是（） A．y′=cos（2x2+x）B．y′=2xsin（2x2+x） C．y′=（4x+1）cos（2x2+x）D．y′=4cos（2x2+x） 21．函数f（x）=sin2x的导数f′（x）=（） A．2sinx B．2sin2x C．2cosx D．sin2x 22．函数的导函数是（） A．f'（x）=2e2x B． C．D．
复合函数求导法则及其应用
习 题 4.4 复合函数求导法则及其应用 ⒈ 求下列函数的导数： ⑴ y x x =-+()2122； ⑵ y x x =e sin 23； ⑶ y x = +1 13 ； ⑷ y x x = ln ； ⑸ y x =sin 3； ⑹ y x =cos ； ⑺ y x x x =+-++11ln()； ⑻ y x =-arcsin (e )2 ； ⑼ ??? ? ?-=221ln x x y ； ⑽ y x x =+1 222(sin )； ⑾ y x x x = +-1122 ln ； ⑿ y x x = +12 csc ； ⒀ y x x = -++2213 31 23 34； ⒁ y x =-e sin 2 ； ⒂ y x a x x a x =-+-2 2 22. 解 （1）)14)(12(2)'12)(12(2'222-+-=+-+-=x x x x x x x y 。 （2）)3sin 23cos 3(3sin )'()'3(sin '222x x e x e x e y x x x +=+=。 （3）23 32323 3)1(2 3 )'1()1(21'--+-=++-=x x x x y 。 （4）2 12 ' 2 1 ln 2ln 1ln ln 21'?? ? ??-=?? ? ????? ??=x x x x x x x x y 。 （5）3233cos 3)'(cos 'x x x x y ==。 （6）x x x x y 2sin )'(sin '- =-=。
（7 ）1'2y = 。 （8 ）2 2 'x x y --= = 1 22 2--x e x 。 （9）44 2 4(1)'1'[ln(1)ln(]'21x y x x x x -=--=--=4422 (1)x x x +-。 （10）2232(2sin )''(2sin )x x y x x -+=+=3 2) sin 2() cos 4(2x x x x ++-。 （11 ）'y == 2 322222)1() 21)(ln 1(ln )1(2x x x x x x - -+--。 （12 ）2 ' '1csc x x y x =+ = 2222 322 1csc csc cot (1csc ) x x x x x ++= +。 （13 ）'y =+ 452323 4112()(21)(4)3()(31)(9)34x x x x --=--+-+ 45 223 34827(21)(31)34 x x x x --=---+。 （14）2sin 2'e (sin )'x y x -=-2 sin sin 2x x e -=-?。
复合函数求导方法和技巧
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班， 723000） 指导老师：延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合函数的 定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现 的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的 有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向层逐层求导（或者也可以由层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数[]()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数，其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算
多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式
8.3 多元复合函数的求导法则与隐函数的求导公式 一．多元复合函数的求导法则 类似于一元复合函数的定义,我们现在给出二元复合函数的定义。 定义 设函数),(v u f z =，而u 、v 均为x 、y 的函数，即),(y x u u =，),(y x v v =，则函数)],(),,([y x v y x u f z =叫做x 、y 的复合函数。其中u 、v 叫做中间变量，x 、y 叫做自变量。 现在再将一元函数微分学中的复合函数的求导法则，推广到多元复合函数。多元复合函数的求导法则在多元函数微分学中也起着重要作用。 定理 如果函数),(y x u u =，),(y x v v =在点（x,y ）处都具有对x 及对y 的偏导数，函数),(v u f z =在对应点（u,v ）处具有连续偏导数，则复合函数)],(),,([y x v y x u f z =在点（x,y ）处存在两个偏导数，且具有下列公式 x v v z x u u z x z ????+????=?? y v v z y u u z y z ????+????=?? 定理中的公式叫做复合函数的偏导数的锁链法则，它可以推广到各种复合关系的复合函数中去。 作为初学者，我们常用图示法表示各变量之间的关系（如图所示）。 u x z v y 图中的每一条线表示一个偏导数，如“z —u ”表示 u z ??。现在我们利用图来求x z ??，首先看z 通过中间变量到达x 有两条路径：x u z →→和x v z →→，那么结果就一定是两项之和，又在第一项中有u z →和 x u →两个环节，那么这一项一定是两式相乘，即x u u z ????。同理第二项为
2-6复合函数的求导法则(链式法则)
模块基本信息 一级模块名称 微分学 二级模块名称 计算模块 三级模块名称 复合函数的求导法则（链式法则） 模块编号 2-6 先行知识 导数的四则运算 模块编号 2-4 复合函数 1-2 知识内容 教学要求 掌握程度 1、复合函数的求导法则的证明 1、了解复合函数的求导法则的证明 熟练掌握 2、复合函数的求导法则（链式法则） 2、掌握复合函数的求导法则（链式法则） 能力目标 1、培养学生的计算能力 2、知识拓展的能力 时间分配 45分钟 编撰 陈亮 校对 方玲玲 审核 危子青 修订 肖莉娜 二审 危子青 一、正文编写思路及特点 思路：先让学生犯错，目的的是让学生记忆深刻，然后解决错误，在解决错误的过程中使得学生理解复合函数求导法则，最后通过例题由浅到深逐步理解复合函数的求导法则。 特点：通过犯错让学生记忆深刻。 二、授课部分 （一）、预备知识 1、导数的四则运算 2、复合函数 简单介绍复合函数的定义(由多个初等函数复合而成的函数称为复合函数) 复合函数的分解，重点介绍复合函数的分解。 sin 2y x = 分解成 sin ;2y u u x == lnsin y x = 分解成 ln ;sin y u u x == ln cos x y e = 分解成 ln ;cos ;x y u u v v e === 1 sin x y e = 分解成 1;sin ;u y e u v v x ===
2 arcsin 2x y ? ?= ?? ? 分解成 2;sin ;2x y u u arc v v === 课堂练习： () 4 1 arctan 23arccos x y e y x y x ==-= lntan ln ln ln 2 x y y x y x x x ===++ （二）、新课讲授 1、新课导入 提问： (sin 2)?x '=（目的是让学生犯错） 解决错误：()(sin 2)2sin cos x x x ''=? ()()() 222sin cos 2sin cos 2cos sin 2cos 2x x x x x x x '' =+=-= 为什么？为什么不等于cos 2x 而是2cos 2x ？ 解决问题： 先回顾一下求导公式,例如:()sin cos x x '= 即说明 sin sin sin 2cos cos cos 22d x d y d x x y x dx dy d x =?=?= 而()sin 2sin 2d x x dx '=，于是有： ()sin 22sin 2cos 222d x d x x x d x dx '= ?=? 类似()x x e e '=，即说明333x y x x y x de de de e e e dx dy d x =?=?= sin sin sin x x de e d x ?=2 2 2x u x u de de e e dx du ?=?=? 等等，可以多列举几个例子说明。 例1． sin x y e =求y '（一级）
高中数学复合函数的求导法则教案
§1.2.2复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．
复合函数求导公式,复合函数综合应用
相信自己，相信翔鹏，你是最棒的！ 导数的运算法则及基本公式应用 一、常用的求导公式 二、复合函数的导数 若u=u(x)，v=v(x)在x 处可导，则 2 )()()()(v v u v u v u u c cu v u v u v u v u v u '-'='' =''+'='?'±'='± 三、基础运用举例 1 y =e sin x cos(sin x )，则y ′(0)等于( ) A 0 B 1 C －1 D 2 2 经过原点且与曲线y = 5 9 ++x x 相切的方程是( ) A x +y =0或25x +y =0 B x －y =0或25x +y =0 C x +y =0或25x －y =0 D x －y =0或25 x －y =0 3 若f ′(x 0)=2,k x f k x f k 2) ()(lim 000--→ =_________ 4 设f (x )=x (x +1)(x +2)…(x +n ),则f ′(0)=_________ 5 已知曲线C 1:y =x 2与C 2:y =－(x －2)2 ,直线l 与C 1、C 2都相切，求直线l 的方程 11.(),'()0;2.(),'();3.()sin ,'()cos ;4.()cos ,'()sin ;5.(),'()ln (0);6.(),'();1 7.()log ,'()(0,1); ln 8.n n x x x x a f x c f x f x x f x nx f x x f x x f x x f x x f x a f x a a a f x e f x e f x x f x a a x a -========-==>====>≠公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1()ln ,'();f x x f x x == 则
5.简单复合函数的求导法则导学案
主备人： 审核： 包科领导： 年级组长： 使用时间： §5简单复合函数的求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 【使用说明与学法指导】 1、根据学习目标，自学课本内容，限时独立完成导学案； 1、用红笔勾画出疑难点，提交小组讨论； 【自主探究】 1.复合函数 对两个函数)(x f y =和)(x g y =，如果通过变量u ，y 表示成______的函数，我们称这个函数为函数)(x f y =和)(x g y =的复合函数，记作，_________其中为________变量. 2.复合函数的导数 如果函数)(x f 、)(x u 有导数,那么_____='x y 【合作探究】 求下列函数的导数 （1）82)21(x y += （2）33x x y += （3）)(cos 2b ax y += （4） )12ln(+-=x y 1、 )ln 1(2x xe y x += （6）x x y -+=11ln 2、曲线x e y x 3cos 2=在)1,0(处的切线与直线l 的距离为5，求直线l 的方程。 3、已知函数2()(2)2x f x ln x a =--，a 为常数。(1)求(3)f '的值；（2）当3x =时，曲线() y f x =在点0(3)y ，处的切线经过点(11)--，，求a 的值。 【巩固提高】 1、求下列函数的导数
（1）y = 2)13(1-x （2）y =21sin2x +sin x （3）y =sin 3(3x +4π) （4）22cos 53sin x x y += 2、已知,)1()(102x x x f ++=求)0()0(f f ' 3、已知曲线23-+=x x y 在点0P 处的切线1l 平行直线014=--y x ，且点0P 在第三象限 （1）求点0P 的坐标 （2）若直线1l l ⊥，且l 也过切点0P ，求直线l 的方程。 【课堂小结】
复合函数的求导法则教案
§1.2.3复合函数的求导法则 教学目标 理解并掌握复合函数的求导法则． 教学重点 复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数之积． 教学难点 正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确． 一．创设情景 （一）基本初等函数的导数公式表 导数运算法则 1．[]' ''()()()()f x g x f x g x ±=± 2．[]' ''()()()()()()f x g x f x g x f x g x ?=± 3．[] ' ''2()()()()()(()0)()()f x f x g x f x g x g x g x g x ??-=≠???? （2）推论：[]''()()cf x cf x = （常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数） 函数 导数 y c = '0y = *()()n y f x x n Q ==∈ '1n y nx -= sin y x = 'cos y x = cos y x = 'sin y x =- ()x y f x a == 'ln (0)x y a a a =?> ()x y f x e == 'x y e = ()log a f x x = '1()log ()(01)ln a f x xf x a a x a ==>≠且 ()ln f x x = '1()f x x =
二．新课讲授 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 三．典例分析 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ax x a x 22--的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－ 21sin 22 x ＝1－41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋ 4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－ 31或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14）， 过点P 的切线方程为，y －2＝x －1即 x －y ＋1＝0． 显然两切线间的距离等于点Q 到此切线的距离，故所求距离为2 |1271431|++-＝22716．
第四节 多元复合函数的求导法则
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 d z z d u z d v d t u d t v d t ?? = + ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 12f f z u v u v u v εε???= ?+ ?+?+??? 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 1 2z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→ →??， 所以 0l i m t d z z f d u f d v d t t u d t v d t ?→??? ==+???，即 d z f d u f d v z d u z d v d t u d t v d t u d t v d t ?? ? ?= + =+????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??= + ??两端除以d t 得到 的，常将 d z d t 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 d z z d u z d v z d w d t u d t v d t w d t ?? ? = + +?? ? 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数dt du ．
复合函数求导练习题
复合函数求导练习题 1. 简单函数的定义求导的方法求函数的增量?y?f?f； ?yf?f?。 ?x?x f?f 取极限求导数f’?lim ?x?0?x 求平均变化率 2．导数与导函数的关系：特殊与一般的关系。函数在某一点f’的导数就是导函数f，当x?x0时的函数值。．常用的导数公式及求导法则：公式 ①C?0，③’??sinx ‘ ②’?cosx ④’?nxn?1 ⑥’?ex ⑤’?axlna ⑦? ‘ 11’ ⑧? xlnax11’’ cotx)??⑨? ⑩法则：[f?g]?[f]?[g]， [fg]’?f’g?g’f f’f’g?g’f [ ]?2 gg 例：
32 y?xx?4y? ?? sinx x y?3cosx?4sinx y??2x?3? y?ln?x?2? 2 复合函数的导数 如果函数?在点x处可导，函数f 在点u=?处可导，则复合函数y= f =f [?]在点x处也可导，并且 ])ˊ= 或记作熟记链式法则 若y= f ，u=?? y= f [?]，则 f?????? ??u?y?x=yux y?x=f??? 若y= f ，u=?，v=? ? y= f [?)]，则 ?? y?x=f??? 复合函数求导的关键是正确分析已给复合函数是由哪些中间变量复合而成 的，且要求这些中间变量均为基本初等函数或经过四
则运算而成的初等函数。在求导时要由外到内，逐层求导。 例1函数y? 1 的导数. 4 解：y? 1?4 ． ?4 ，u?1?3x，则 设y?u ?4 y’x?y’u?u’x?’u?’x ??4u ?5 ??12u?5?12?5? 12 ． 例2求y?x 的导数． 1?x 15
多元复合函数的求导法则
多元复合函数的求导法 则 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
第四节 多元复合函数的求导法则 要求：熟练地计算复合函数的一阶偏导数，会计算抽象函数的二阶偏导数计算。 重点：各种类型复合函数的求导与计算。 难点：抽象函数的二阶偏导数计算。 作业：习题8－4（36P ）2)3)2)2)3)4)2,4,6,8,10,11,12,13 一．多个中间变量，一个自变量情况 定理1 如果函数()u t ?=及()v t ψ=都在点t 可导，且函数),(v u f z =在对应点具有连续偏导数，则复合函数[](),()z f t t ?ψ=在点t 可导，且其导数公式为 dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ?? （全导数） 证明 设t 有增量t ?，相应函数()u t ?=及()v t ψ=的增量为 ,u v ??，此时函数),(v u f z =相应获得的增量为z ?． 又由于函数),(v u f z =在点(,)u v 处可微，于是由上节定理3证明有 这里，当0,0u v ?→?→时，120,0εε→→，上式除以t ?得 12 z f u f v u v t u t v t t t εε???????=+++???????． 当0t ?→时，0,0u v ?→?→，,u du v dv t dt t dt ??→→ ??， 所以 0lim t dz z f du f dv dt t u dt v dt ?→???==+ ???，即 dz f du f dv z du z dv dt u dt v dt u dt v dt ????=+=+ ????． 此时，dz z du z dv dt u dt v dt ??=+ ??从形式上看是全微分z z dz du dv u v ??=+??两端除以dt 得到的，常将dz dt 称为全导数． 推论 若),,(w v u f z =，()u t ?=，()v t ψ=，)(t w w =复合而的复合函数 [](),(),()z f t t w t ?ψ=满足定理条件，则有全导数公式 例1．设函数y x u =，而t x e =，sin y t =，求全导数 dt du ．
多元复合函数的微分法习题
多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。
解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。
2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+??
简单的复合函数求导法则教案
§1.2.3简单的复合函数求导法则 【学习目标】 1、理解复合函数的概念，了解简单复合函数的求导法则； 2、会用简单复合函数的求导法则求一些复合函数的导数。 【重点、难点】 重点：简单复合函数的求导法则； 难点：复合函数的导数。 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： 0'=C ；1 )'(-=n n nx x ；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -= 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, [()]'()Cu x Cu x '= 法则3 ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 3.复合函数的导数：设函数u =?(x )在点x 处有导数u ′x =?′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (? (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或f ′x (? (x ))=f ′(u ) ?′(x ). 4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数 5.复合函数求导的基本步骤是：分解——求导——相乘——回代． 【思考】下列函数（1）用基本初等函数求导公式如何求导？（2）（3）能用学过的公式求 导吗？（1）2)32(+=x y （2）)2ln(-=x y （3）1005+-=x e y 二．新知探究 复合函数的导数求解法则： 复合函数))((x g f y =的导数和函数)(u f y =，)(x g u =的导数间的关系为： x u x u y y '''?= 三．典例分析 例1：写出函数10)34(+-=x y 的中间变量，并利用复合导数的求导法则求出此函数的导数。 例2：求下列函数的导数 （1）)2ln(-=x y （2）1005+-=x e y （3）)4sin(+=x y π （4）1 2-= x y 【说明】①求复合函数的导数的关键，在于分清函数的复合关系，适当选取中间变量； ②要弄清楚每一步求导是哪个变量对哪个变量求导，不要混淆； ③在熟练掌握公式后，不必再写中间步骤．
复合函数求导方法和技巧
复合函数求导方法和技巧 毛涛 （陕西理工学院数计学院数学与应用数学专业2011级1班，陕西 汉中 723000） 指导老师：刘延军 [摘要]复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是微积分中的一个重点和难点，因此本文先从复合 函数的定义以及性质入手，在全面了解复合函数后再探讨复合函数的求导方法，分析复合函数求导过程中容易出现的问题，然后寻求能快速准确的对复合函数进行求导的方法，并进行归纳总结，最终进行推广，帮助学生的有效学习。 [关键词] 复合函数，定义，分解，方法和技巧，数学应用 1引言 复合函数求导是数学分析中的一个难点，也是高等数学三大基本运算中的关键，是学生深入学习高等数学知识，提高基本运算技能的基础，对学生后继课程的学习和思维素质的培养起着至关重要的作用，在各学科和现实生活中也发挥着越来越重要的作用，从而必须解决复合函数的求导问题。同时，在教学过程中，许多学生在进行求导时也犯各种各样的错误，有的甚至在学习复合函数求导之后做题时仍然不会进行求导，或者只能求导对一部分，而对另外一部分比较复杂的复合函数则还停留在一知半解的程度上，不知该求导哪一部分，也不知要对哪一部分得进行分解求导。复合函数求导方法是求导的重中之重，而且也是函数求导、求积分时不可缺少的工具，这个问题解决的好坏直接影响到换元积分法甚至以后的数学学习是否能够顺利进行。求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，然后由外层向内层逐层求导（或者也可以由内层向外层逐层求导），直到关于自变量求导，同时还要注意不能漏掉求导环节并及时化简计算结果。因此本文先给出了复合函数的定义和性质，在充分了解并且掌握复合函数的概念之后，根据其定义和性质对各种复合函数进行求导，通过对链式求导法、对数求导法、反序求导法、多元复合函数的一元求导法以及反函数求导法的分析，加以对各种对应例题的详细分解，分析每一步的步骤，比较各种求导方法，明确并且能够掌握各种题型的最佳解决方法，最终寻求一种能够既简便又准确的解决复合函数求导问题的方法，并总结技巧，方便在以后学习生活中的使用。 2复合函数的定义 如果y 是a 的函数，a 又是x 的函数，即()y f a =，()a g x =，那么y 关于x 的函数 []()y f g x =叫做函数()y f x =和()a g x =的复合函数， 其中a 是中间变量，自变量为x ，函数值为y 。 3导数的四则运算 定理1[1] 若函数()u x 和()v x 在点0x 可导，则函数()()()f x u x v x =±在点0x 也可导，且：
多元复合函数的求导法
多元复合函数的求导法 在一元函数中，我们已经知道，复合函数的求导公式在求导法中所起的重要作用，对于多元函数来说也是如此。下面我们来学习多元函数的复合函数的求导公式。我们先以二元函数为例： 多元复合函数的求导公式 链导公式： 设均在(x,y)处可导,函数z=F(u,v)在对应的(u,v)处有连续的一阶偏导数, 那末,复合函数在(x,y)处可导,且有链导公式： 例题：求函数的一阶偏导数 解答：令 由于 而 由链导公式可得： 其中 上述公式可以推广到多元，在此不详述。
一个多元复合函数，其一阶偏导数的个数取决于此复合函数自变量的个数。在一阶偏导数的链导公式中，项数的多少取决于与此自变量有关的中间变量的个数。 全导数 由二元函数z=f(u,v)和两个一元函数复合起来的函数 是x的一元函数. 这时复合函数的导数就是一个一元函数的导数,称为全导数. 此时的链导公式为: 例题：设z=u2v，u=cosx，v=sinx，求 解答：由全导数的链导公式得： 将u=cosx，v=sinx代入上式，得： 关于全导数的问题 全导数实际上是一元函数的导数，只是求导的过程是借助于偏导数来完成而已。 多元函数的极值 在一元函数中我们看到，利用函数的导数可以求得函数的极值，从而可以解决一些最大、最小值的应用问题。多元函数也有类似的问题，这里我们只学习二元函数的极值问题。 二元函数极值的定义 如果在(x0,y0)的某一去心邻域内的一切点(x,y)恒有等式： f(x,y)≤f(x0,y0) 成立，那末就称函数f(x,y)在点(x0,y0)处取得极大值f(x0,y0)；如果恒有等式： f(x,y)≥f(x0,y0)
复合函数的求导法则---重点
§复合函数的求导法则 基本初等函数的导数公式表 导数的运算法则 复合函数的概念 一般地，对于两个函数()y f u =和()u g x =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，那么称这个函数为函数()y f u =和()u g x =的复合函数，记作 ()()y f g x =。 复合函数的导数 复合函数()()y f g x =的导数和函数()y f u =和()u g x =的导数间的关系为
x u x y y u '''=?，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 若()()y f g x =，则()()()()()y f g x f g x g x ''''==????? 例1求y ＝sin （tan x 2）的导数． 【点评】 求复合函数的导数，关键在于搞清楚复合函数的结构，明确复合次数，由外层向内层逐层求导，直到关于自变量求导，同时应注意不能遗漏求导环节并及时化简计算结果． 例2求y ＝ ax x a x 22 --的导数． 【点评】本题练习商的导数和复合函数的导数．求导数后要予以化简整理． 例3求y ＝sin 4x ＋cos 4x 的导数． 【解法一】y ＝sin 4x ＋cos 4x ＝(sin 2x ＋cos 2x )2－2sin 2cos 2x ＝1－2 1 sin 22 x ＝1－ 41（1－cos 4 x ）＝43＋4 1 cos 4 x ．y ′＝－sin 4 x ． 【解法二】y ′＝(sin 4 x )′＋(cos 4 x )′＝4 sin 3 x (sin x )′＋4 cos 3x (cos x )′＝4 sin 3 x cos x ＋4 cos 3 x (－sin x )＝4 sin x cos x (sin 2 x －cos 2 x )＝－2 sin 2 x cos 2 x ＝－sin 4 x 【点评】 解法一是先化简变形，简化求导数运算，要注意变形准确．解法二是利用复合函数求导数，应注意不漏步． 例4曲线y ＝x （x ＋1）（2－x ）有两条平行于直线y ＝x 的切线，求此二切线之间的距离． 【解】y ＝－x 3 ＋x 2 ＋2 x y ′＝－3 x 2＋2 x ＋2 令y ′＝1即3 x 2－2 x －1＝0，解得 x ＝－3 1 或x ＝1． 于是切点为P （1，2），Q （－31，－27 14 ），