第1部分第3章 特征标理论(1)
第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)
(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义
群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )
χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1)
二, 特征标的性质
(1) 同类群元的特征标相同
证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T
因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T )
= tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ]
= tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ]
= tr D ( R ) = χ ( R )
即特征标是类的函数 *
(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ]
(3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价
1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化;
2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题;
3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息.
[ 提问: 丢掉了什么信息? ]
[ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ]
[ 提问: 为什么 ? ]
[ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ]
*
（二）可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的（矩阵）形式一般说来不是唯一的。通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示，但它们的特征标相同，是确定的。
2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其（准）对角化,这就是可约表示约化的过程。如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。
3, 因此，群的可约表示可以由不可约表示线性组合（直和）而成 D ( R ) = ∑i D i ( R ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (2) 并有χ ( C ) = ∑i χi ( C ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (3) 其中 a i 为约化系数，即第 i 个不可约表示出现的次数。
可约表示的约化就是求约化系数a i ，这可通过公式 (3) 获得。4, 由公式 (3)可知，如某群表示与其某不可约表示的特征标完全相同，则该群表示为不可约表示；否则，为可约表示。 *
例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6前面给出过) 5类群元 D4 χ4 D5 χ5 D6 χ6 ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 1 0 ┐
C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣ 0 1 0 ∣ 3 ∣∣ 2 └0 0 1 ┘ └ 0 0 1 ┘ └ 0 1 ┘
┌ 0 1 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
C3 D ∣ 0 0 1∣ 0 ∣3/4, 1/4, W∣ 0 ∣∣ -1 └ 1 0 0 ┘ └ W -W, -1/2┘ └-31/2/2, -1/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐
C3 F ∣ 1 0 0 ∣ 0 ∣3/4, 1/4, -W ∣ 0 ∣∣ -1 └ 0 1 0 ┘ └-W, W, -1/2┘ └ 31/2/2, -1/2 ┘
( w = 31/2/2 ) *
类群元 D4 χ4 D5 χ5 D6 χ6 ┌ 0 1 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 0 -1 ┐
C2 A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣∣ 0 └ 0 0 1 ┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘
┌ 1 0 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐
C2 B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣∣ 0 └ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘
┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐
C2 C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣∣ 0 └ 1 0 0 ┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘
( w = 31/2/2 )
讨论: 1, 同一表示中同类元的特征标相同 ( 特征标是类的函数 ); [ 提问: 已知D1, D2, D3 是 D3 群的三个不等价的不可约表示,试说明D4,D5, D6的可约性及其根据 ] ( 见下页 ) *
D3 E 3C2 2C3 7
D1 χ1 1 1 1
D2χ2 1 –1 1
D3χ3 2 0 -1
D4χ4 3 1 0
D5χ5 3 1 0
D6 χ6 2 0 -1
[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同] [提问: 约化的结果是什么? 为什么?]
[答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?] [答案2: D6 和D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同]下面的任务是寻求获得约化系数 a i的规范化程序 *
(三) 不可约表示特征标正交性定理 8若D i( R ) 和 D j ( R )为群 G 的不等价不可约幺正表示, 则有∑R χi *( R ) χj ( R ) = δij h - ------------------ (4)
或∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ( h C为类 C 的群元数) --- (4)’证明: 根据表示矩阵元正交性定理有
∑R Dαr i *( R ) D βδj ( R ) = δijδαβδrδ h / n j
(1) 取对角元, 即γ = α, δ = β [ 思考题: 为什么? ]
则有∑R Dααi *( R ) Dββj ( R ) = δijδαβ h / n j( δrδ= δαβ) (2) 对α求和 [ 思考题: 是何目的? ]
∑R ∑αDααi*( R )Dββj( R ) = δij∑αδαβ h/n j [ 提问: ∑αδαβ = ? ]∑R χi *( R ) Dββj ( R ) = δij h / n j[ 答案: ∑αδαβ = 1 ] (3) 对β求和∑R χi *( R ) ∑β Dββj ( R ) = δij∑β h / n j
∑R χi *( R ) χj ( R ) = δij h ----------- (4) [ 提问: ∑βh = ? ] 或∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ---- (4)’ [ 答案: ∑βh = h n j ] *
以 D3 群为例验证公式 (4)’ 9∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ------------------- (4)’
已知D3 群的不可约表示特征标表为:
D3 E 3C2 2C3
χ1 1 1 1
χ2 1 –1 1
χ3 2 0 -1
若令 i = 1, j = 2 , 则有
∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?1?1 + 3?1?(-1) + 2?1?1 = 1– 3 + 2 = 0 若令 i = 2, j = 3, 则有
∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?1?2 + 3?(-1)?0 + 2?1?(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有
∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?2?2 + 3?0?0 + 2?(-1)?(-1) = 4 + 2 = 6 *
举例: 将D3群的表示 D5 进化约化 12 D3 E 3C2 2C3
χ1 1 1 1
χ2 1 –1 1
χ3 2 0 -1
χ5 3 1 0
直接观察可得: χ5 = χ1 + χ3 ,
a1 = a3 = 1 , a2 = 0
利用公式(7): a i = ∑C h C χi* ( C )χ ( C ) / h ------- (7)
a1 = ( 1 ? 1 ? 3 + 3 ? 1 ? 1 + 2 ? 1 ? 0 ) / 6 = ( 3 + 3 ) / 6 = 1
a2 = ( 1 ? 1 ? 3 + 3 ? 1 ? (-1) + 2 ? 1 ? 0 ) / 6 = ( 3 – 3 ) / 6 = 0 a3 = ( 1 ? 2 ? 3 + 3 ? 0 ? 1 + 2 ? ( -1) ? 0 ) / 6 = 6 / 6 = 1
约化结果: D5 = D1 + D3 *
13
习题: 试分别利用(和不利用)约化系数公式 (7) 对 D2d 群的六维表示 D6 进行约化, 已知该六维表示 D6 的特征标和群 D2d 不可约
表示的特征标表如下:
D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1
D2 1 1 -1 -1 1
D3 1 1 1 -1 -1
D4 1 1 -1 1 -1
D5 2 -2 0 0 0
________________________________________________________
D6 6 2 2 2 0 *
胡汉才编著《理论力学》课后习题答案第3章习题解答(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 3-3在图示刚架中，已知kN/m 3 = m q，2 6 = F kN，m kN 10? = M，不计刚架自重。求固定端A处的约束力。 m kN 12 kN 6 0? = = = A Ay Ax M F F， ， 3-4杆AB及其两端滚子的整体重心在G点，滚子搁置在倾斜的光滑刚性平面上，如图所示。对于给定的θ角，试求平衡时的β角。 A θ 3 l G β G θ B B F A R F3 2l O 解：解法一：AB为三力汇交平衡，如图所示ΔAOG中 β sin l AO=，θ-? = ∠90 AOG，β-? = ∠90 OAG，β θ+ = ∠AGO 由正弦定理： ) 90 sin( 3 ) sin( sin θ β θ β - ? = + l l， ) cos 3 1 ) sin( sin θ β θ β = + l 即β θ β θ θ βsin cos cos sin cos sin 3+ = 即θ βtan tan 2= ) tan 2 1 arctan(θ β= 解法二：： = ∑ x F，0 sin R = -θ G F A（1） = ∑ y F，0 cos R = -θ G F B（2）
)(=∑F A M ，0 sin )sin(3 R =++-β βθl F l G B （3） 解（1）、（2）、（3）联立，得 )tan 2 1 arctan(θβ= 3-5 由AC 和CD 构成的组合梁通过铰链C 连接。支承和受力如图所示。已知均布载荷强度kN/m 10=q ，力偶矩m kN 40?=M ，不计梁重。 kN 15kN 5kN 40kN 15===-=D C B A F F F F ；；； 解：取CD 段为研究对象，受力如图所示。 0)(=∑F C M ，024=--q M F D ；kN 15=D F 取图整体为研究对象，受力如图所示。 0)(=∑F A M ，01682=--+q M F F D B ；kN 40=B F 0=∑y F ，04=+-+D B Ay F q F F ；kN 15-=Ay F 0=∑x F ，0=Ax F 3-6如图所示，组合梁由AC 和DC 两段铰接构成，起重机放在梁上。已知起重机重P1 = 50kN ，重心在铅直线EC 上，起重载荷P2 = 10kN 。如不计梁重，求支座A 、B 和D 三处的约束反力。
《理论力学》第三章作业答案
[习题3--4] 已知挡土墙自重kN W400 =，土压力 kN F320 =，水压力kN F P 176 =，如图3-26所示。求 这些力向底面中心O简化的结果；如能简化为一合力， 试求出合力作用线的位置。图中长度单位为m。 解: (1) 求主矢量 ) ( 134 . 69 40 cos 320 176 40 cos0 0kN F F F P Rx - = - = - = ) ( 692 . 605 40 sin 320 400 40 sin0 0kN F W F Ry - = - - = - - = ) ( 625 . 609 ) 692 . 605 ( ) 134 . 69 (2 2 2 2kN F F F Ry Rx R = - + - = + = R F与水平面之间的夹角: " ' 018 29 83 134 . 69 692 . 605 arctan arctan= - - = = Rx Ry F F α (2) 求主矩 ) ( 321 . 296 ) 60 cos 3 3( 40 sin 320 60 sin 3 40 cos 320 2 176 8.0 4000 0m kN M O ? = - ? - ? + ? - ? = (3)把主矢量与主矩合成一个力 ) ( 486 .0 625 . 609 321 . 296 m F M d R O= = = ) ( 498 .0 5. 83 sin 486 .0 sin0 m d x= = = α [习题3－9] 求图示刚架支座A、B的反力，已知：图（a）中，M＝2.5ｋＮ·ｍ，
m 5. F ＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F ＝3ｋＮ。 解：图（a ） （1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。 （2）因为AC 平衡，所以 ① 0)(=∑i A F M 0254 5.2532=??-??++?F F M R B 085.75.22=-++B R )(1kN R B = ② 0=∑ix F 053 =?-F R Ax )(35 3 5kN R Ax =?=
七号信令基础知识
七号信令基础知识（本文档只用于北京博安天慧的内部培训，请勿分发）
1. 信令的基本概要 1.1. 信令的概念 ● 信令：控制交换机动作的信号。 ● 信号：信号是一种统称，而信令是指具有动作含义的操作控制命令。 ● 信令方式：信令的传送所要遵守的一定的规约和规定。它包括信令的 结构形式，信令在多段路由上的传送方式及控制方式。 ● 信令系统：指完成特定的信令方式时所使用的通信设备的全体。 1.2. 信令的分类 1.2.1. 随路信令和共路信令 按照信令的信道技术来分类，信令可以分为：随路信令和公共信道信令。 随路信令:信令和话音在同一条话路中传送的信令方式。目前我国采用的随路信令称为中国1号信令系统。 两端交换机的信令设备之间没有直接相连的信令通道，信令是通过话路来传送的。当有呼叫到来时，先在选好的空闲话路中传信令，接续建立后，再在该话路中传话音。信令是信令通道和用户信息通道合在一起或有固定的一一对应关系的信令方式。 共路信令：两端交换机的信令设备之间有一条直接相连的信令通道， 话路 交换机A 交换机B 交换网络 交换网络 公共 控制 信令 设备 信令 设备 公共 控制 图1-1随路信令系统示意图
信令的传送是与话路分开的、无关的。当有呼叫到来时，先在专门的信令链路中传信令，接续建立后，再在选好的空闲话路中传话音。共路信令，也称公共信道信令，指以时分方式在一条高速数据链路上传送一群话路的信令。 共路信令是以时分方式在一条高速数据链路上传送一群话路的信令的信令方式。通常用于局间。目前我国采用的公共信道信令就是中国7号信令。7号信令的特点是：信令速度快，具有提供大量信令的潜力，具有改变和增加信令的灵活性，便于开放新业务，在通话时可以随意处理信令，成本低。目前得到广泛应用。 1.2.2. 线路信令、路由信令和管理信令 按功能划分： ● 线路信令是具有监视功能的信令，（用来监视主、被叫的摘、挂机 状态及设备忙闲） ● 路由信令是具有选择功能的信令（指主叫所拨的被叫号码，用来 选择路由） ● 管理信令是具有操作功能的信令（用于电话网的管理和维护） 1.2.3. 用户线信令和局间信令 按区域划分： 用户线信令是用户和交换机之间的信令。 交换机A 交换机B 交换网络 交换网络 处理机 信令 设备 信令 设备 处理机 话路 图1-2共路信令系统示意图 数据链路
标准溶液的配制方法及基准物质
标准溶液的配制方法及基准物质 标准溶液是指已知准确浓度的溶液，它是滴定分析中进行定量计算的依据之一。不论采用何种滴定方法，都离不开标准溶液。因此，正确地配制标准溶液，确定其准确浓度，妥善地贮存标准溶液，都关系到滴定分析结果的准确性。配制标准溶液的方法一般有以下两种： 直接配制法 用分析天平准确地称取一定量的物质，溶于适量水后定量转入容量瓶中，稀释至标线，定容并摇匀。根据溶质的质量和容量瓶的体积计算该溶液的准确浓度。
能用于直接配制标准溶液的物质，称为基准物质或基准试剂，它也是用来确定某一溶液准确浓度的标准物质。作为基准物质必须符合下列要求： （1）试剂必须具有足够高的纯度，一般要求其纯度在%以上，所含的杂质应不影响滴定反应的准确度。 （2）物质的实际组成与它的化学式完全相符，若含有结晶水（如硼砂Na2B4O 10H2O），其结晶水的数目也应与化学7 式完全相符。 （3）试剂应该稳定。例如，不易吸收空气中的水分和二氧化碳，不易被空气氧化，加热干燥时不易分解等。
（4）试剂最好有较大的摩尔质量，这样可以减少称量误差。常用的基准物质有纯金属和某些纯化合物，如Cu, Zn, Al, Fe和K2Cr2O7，Na2CO3 , MgO , KBrO3等，它们的含量一般在%以上，甚至可达% 。 应注意，有些高纯试剂和光谱纯试剂虽然纯度很高，但只能说明其中杂质含量很低。由于可能含有组成不定的水分和气体杂质，使其组成与化学式不一定准确相符，致使主要成分的含量可能达不到%，这时就不能用作基准物质。一些常用的基准物质及其应用范围列于表中。 表常用基准物质的干燥条件和应用
理论力学第三章习题解析
第三章习题 ( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22) 3.1 半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一端 在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c ，试证棒的全长为 () c r c 2224- 3.1解 如题3.1.1图。 图 题1.3.1 均质棒受到碗的弹力分别为1N ，,2N 棒自身重力为G 。棒与水平方向的夹角为 θ。设棒的长度为l 。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿x 轴和y 轴的和外力为零。沿过A 点且与 z 轴平行的合力矩为0。即： 0sin 2cos 2 1 =-=∑θθN N F x ① 0cos 2sin 2 1 =-+=∑G N N F y θθ② 0cos 22=-=∑θl G c N M i ③ 由①②③式得：
()θ θ2 2 cos 1cos 22-=c l ④ 又由于 ,cos 2c r =θ 即 r c 2cos = θ⑤ 将⑤代入④得： ()c r c l 2224-= 3.6 把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两种 情况下分子的中心主转动惯量： ()a 二原子分子。它们的质量是1m ，2m ，距离是l 。 ()b 形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h ，底 边的长度为a 。底边上两个原子的质量为1m ，顶点上的为2m 。
? C x y h a 1 m 2 m 1 m 第3.6（b)题图 3.6解 （a ）取二原子的连线为x 轴，而y 轴与z 轴通过质心。O 为质心，则Ox ， Oy ，Oz 轴即为中心惯量主轴。 设1m 、2m 的坐标为()()0,0,,0,0,21l l ，因为O 为质心（如题3.6.2图） 故 02211=+l m l m ① 且 l l l =-12 ② 由①②得 2 1122121,m m l m l m m l m l += +-= 所以中心惯量主轴：
(完整版)七号信令详解
七号信令基础
第1章 GSM信令系统简介 我们已经知道，数字蜂窝移动通信系统由NSS、BSS、OSS三大子系统和 MS组成，但这只是根据功能划分的物理上的组合，大多数功能是分布在不同 的设备中的，这样在执行任务时就需要交换信息，协调动作：分散的设备需要 相互配合才能完成某项任务，设备或各个子系统之间必须通过各种接口按照规 定的协议实现互连。在通信系统中，我们把协调不同实体所需的信息称为信令。 信令系统指导系统各部分相互配合，协同运行，共同完成某项任务。GSM系 统中，信令消息具体体现在接口的协议和规范上，我们先从子系统互连和接口 的分层模式来说明GSM系统中主要协议的结构和相互关系。 1.1 接口和协议 接口代表两个相邻实体之间的连接点，而协议是说明连接点上交换信息需要遵 守的规则。两个相邻实体要通过接口传送特定的信息流，这种信息流必须按照 一定的规约，也就是双方应遵守某种协议，这样信息流才能为双方所理解。不 同的实体所传送的信息流不同，但其中也可能有一些共同性，因此，某些协议 可以用在不同的接口上，同一接口会用到多种协议。图1-1表示了在无线接口 （Um接口）上存在的不同协议，其中SS规程用于移动台对HLR设置补充业 务的参数；MM和CM用于移动台和MSC/VLR之间交换用户移动性管理信息 和通信接续信息；RR用于移动台和BSC之间交换无线资源分配信息。 图1-1通过无线接口的各种协议 一种协议在传送过程中可以通过若干个接口，例如上述MM和CM协议在移 动台传送到MSC/VLR过程中至少要通过无线接口、Abis接口和A接口。
图1-2表示了GSM 系统的信令结构，横向是根据物理的设备从最左边移动台开始顺次接入系统的各种系统的各种地面设施；纵向对应于各个功能层面，从最低的传输层开始，逐步到各种高层面。 MS BTS BS C MS C/VLR HLR GMS C 传输层 RR MM CM 图1-2 GSM 系统的信令结构 让我们先来看无线接口，它们涉及到GSM 系统中的许多重要协议。最底层是BTS 和MS 之间的传输层，然后是无线接口第二层的数据链路层和第三层的应用层，其中包括协议RR （无线资源管理），此协议也出现在“Abis ”接口和“A ”接口上。从这里可以看出，BTS 和BSC 这些设备对有些信令的交换是透明的，它们的作用只是传递信息，并不做处理。 对于网络一侧的内部连接，各设备都具备单一的接口，即用CCS7信令网支持相互间的信令交换。 1.2 GSM 系统中的接口和协议 在GSM 系统中,信令消息在不同的接口有不同的形式，也就是有不同的信令协议。为什么采用不同的协议呢？比较直观的原因之一是为了得到优化，这一点表现在无线接口上；另一个原因就是迁就已经存在的标准。 图1-3表示GSM 系统的信令模型：
标准溶液的配制方法及基准物质
你标准溶液的配制方法及基准物质 2.2.1标准溶液的配制方法及基准物质 标准溶液是指已知准确浓度的溶液，它是滴定分析中进行定量计算的依据之一。不论采用何种滴定方法，都离不开标准溶液。因此，正确地配制标准溶液，确定其准确浓度，妥善地贮存标准溶液，都关系到滴定分析结果的准确性。配制标准溶液的方法一般有以下两种： 2.2.1.1直接配制法 用分析天平准确地称取一定量的物质，溶于适量水后定量转入容量瓶中，稀释至标线，定容并摇匀。根据溶质的质量和容量瓶的体积计算该溶液的准确浓度。 能用于直接配制标准溶液的物质，称为基准物质或基准试剂，它也是用来确定某一溶液准确浓度的标准物质。作为基准物质必须符合下列要求： （1）试剂必须具有足够高的纯度，一般要求其纯度在99.9%以上，所含的杂质应不影响滴定反应的准确度。
（2）物质的实际组成与它的化学式完全相符，若含有结晶水（如硼砂Na2B4O7?10H2O），其结晶水的数目也应与化学式完全相符。 （3）试剂应该稳定。例如，不易吸收空气中的水分和二氧化碳，不易被空气氧化，加热干燥时不易分解等。 （4）试剂最好有较大的摩尔质量，这样可以减少称量误差。常用的基准物质有纯金属和某些纯化合物，如Cu, Zn, Al, Fe 和K2Cr2O7，Na2CO3 , MgO , KBrO3等，它们的含量一般在99.9%以上，甚至可达99.99% 。 应注意，有些高纯试剂和光谱纯试剂虽然纯度很高，但只能说明其中杂质含量很低。由于可能含有组成不定的水分和气体杂质，使其组成与化学式不一定准确相符，致使主要成分的含量可能达不到99.9%，这时就不能用作基准物质。一些常用的基准物质及其应用范围列于表2.1中。 表2.1 常用基准物质的干燥条件和应用
理论力学第三章习题
第三章习题 ( 3.1;3.6;3.7;3.9;3.10;3.12;3.13;3.20;3.21,3.22) 3.1 半径为r 的光滑半球形碗，固定在水平面上。一均质棒斜靠在碗缘，一 端在碗内，一端则在碗外，在碗内的长度为c ，试证棒的全长为 () c r c 2224- 3.1解 如题3.1.1图。 A G θ图 题1.3.1y x o 2N 1 N B θ θ θ 均质棒受到碗的弹力分别为1N ，,2N 棒自身重力为G 。棒与水平方向的夹角为 θ。设棒的长度为l 。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿x 轴和y 轴的和外力为零。沿过A 点且与z 轴平行的合力矩为0。即： 0sin 2cos 2 1 =-=∑θθN N F x ① 0cos 2sin 2 1 =-+=∑G N N F y θθ② 0cos 22=-=∑θl G c N M i ③ 由①②③式得：
()θ θ2 2 cos 1cos 22-=c l ④ 又由于 ,cos 2c r =θ 即 r c 2cos = θ⑤ 将⑤代入④得： ()c r c l 2224-= 3.6 把分子看作相互间距离不变的质点组，试决定以下两 种情况下分子的中心主转动惯量： ()a 二原子分子。它们的质量是1m ，2m ，距离是l 。 ()b 形状为等腰三角形的三原子分子，三角形的高是h ， 底边的长度为a 。底边上两个原子的质量为1m ，顶点上的为 2m 。
? C x y h a 1 m 2 m 1 m 第3.6（b)题图 3.6解 （a ）取二原子的连线为x 轴，而y 轴与z 轴通过质心。O 为质心，则 Ox ，Oy ，Oz 轴即为中心惯量主轴。 设1m 、2m 的坐标为()()0,0,,0,0,21l l ，因为O 为质心（如题3.6.2图） y z x o 1m 2 m 图 题2.6.3 故 02211=+l m l m ① 且 l l l =-12 ② 由①②得 2 1122121,m m l m l m m l m l += +-= 所以中心惯量主轴：
理论力学题库第3章
理论力学题库——第三章 一、填空题 1.刚体作定轴转动时有个独立变量，作平面平行运动时有个独立 变量。 2.作用在刚体上的力可沿其作用线移动而（“改变”或“不改变”） 作用效果，故在刚体力学中，力被称为矢量。 3.作用在刚体上的两个力，若大小相等、方向相反，不作用在同一条直线 上，则称为。 4.刚体以一定角速度作平面平行运动时，在任一时刻刚体上恒有一点速度 为零，这点称为。 5.刚体作定点转动时，用于确定转动轴在空间的取向及刚体绕该轴线所转 过的角度的三个独立变化的角度称为，其中?称为角，ψ称为角，θ称为角。 6.描述刚体的转动惯量与回转半径关系的表达式是。 7.刚体作平面平行运动时，任一瞬间速度为零的点称为，它 在刚体上的轨迹称为，在固定平面上的轨迹称 为。 8.平面任意力系向作用面内任意一点简化的结果可以归结为两个 基本物理量，主矢和主矩。 9.用钢楔劈物，接触面间的摩擦角为?f。劈入后欲使楔不滑出，则钢楔两 侧面的夹角θ需满足的条件为θ≦2?f。 10.刚体绕O Z 轴转动，在垂直于转动轴的某平面上有A，B两点， 已知O Z A=2O Z B，某瞬时a A =10m/s2，方向如图所示。则此时B点 加速度的大小为5m/s2；与O z B成60度角。 11.如图，杆AB绕A轴以?=5t（?以rad计，t以s计）的规律转 动，上一小环M将杆AB和半径为R（以m计）的固定大圆环连 在一起，若以O1为原点，逆时针为正向，则用自然法表示的点M 的运动方程为s=πR/2+10Rt 。 12. 两全同的三棱柱，倾角为θ，静止地置于光滑的水平地面上， 将质量相等的圆盘与滑块分别置于两三棱柱斜面上的A处，皆从 静止释放，且圆盘为纯滚动，都由三棱柱的A处运动到B处， 则此两种情况下两个三棱柱的水平位移_相等_（填写相等或不相 等），因为两个系统在水平方向质心位置守恒。 13.二力构件是指其所受两个力大小相等、方向相反，并且作用在一条直线上是最简单的平衡力系。 14. 若刚体在三个力作用下平衡，其中两个力的作用线汇交于一点，则第三个力
信令的基本概念和分类
. 精品 信令的基本概念和分类 一. 信令的基本概念 ● 信令是设备间相互协作所采用的一种“通信语言”。为了使不同厂家生产的设备可 以配合工作，这种“通信语言”应该是可以相互理解的。 ● 通信网中的设备在信令交互时需要遵循一定的规约和规定，这些规约和规定就是信 令方式。信令方式包括信令的结构形式、信令的传送方式以及信令传送过程中使用的控制方式。 ● 信令系统是指实现某种信令方式所必须具有的全部硬件和软件系统的总和。 二. 信令的分类 信令的分类方法很多，常用的分类有以下几种。 1．用户信令和局间信令 ● 用户信令是用户终端和交换机之间传送的信令 ● 局间信令是在交换机与交换机之间、或者交换机与网管中心、数据库之间传送的 信令。 2．随路信令和公共信道信令 ● 随路信令是指用传送话音的通路来传送与该话路有关的各种信令，或某一信令通 路唯一地对应于一条话音通道 ● 公共信道信令又叫共路信令，是指传送信令的通路与传送话音的通路分开，信令 有专用的传送通道 1.2 信令的发展 ● 电信网较早使用的是随路信令，利用传送话音的通路来传送与该话路有关的信令。 ●第一个公共信道信令系统是CCITT 于1968年提出的No.6信令系统，主要用于模拟电话网。 ●20世纪80年代中期，国际上开始窄带综合业务数字网 (N-ISDN)的商用。 ●20世纪90年代中期，IP 电话兴起。 ●将来，电路交换网与IP 网的完全融合，最终演进为一个统一的、以IP 为承载层的分组化网络。相应地，在这个分组化网络上所有的信令均采用IP 作为承载，传统的信令网也转变为IP 信令网。 ● 如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！ ● ● ●
混合物和溶液的组成标度和组成变量
化学通报１９９８年第７期 ｒ……一’１ ｋ……一 ｌ化学教学ｌ 混合物和溶液的组成标度和组成变量 刘天和骆文仪” （北京理工大学化３２与材料学院１０００８１） 关键词组成标度组成变量物理化学量计量单位化学 摘要组成标度接５类逐一给出了名称、符号、定义和ｓＩ单位，并指出ｒ一些常见的错误。按混合 物和溶液讨论了组成，芟量的选择。量纲一的量的ｓＩ单位１的字母符号问题也作了讨论。 人们根据长期科学实践形成了一套比较系统的组成标度，明确了不同情况下组成变量的合理选择。这些都比较集中地反映在量和单位国际标准“】和国家标准ｏ－中。为合理定义涉及化学特别是物理化学的组成标度，物理化学量制中必须选择一个化学的量作为基本量。国际单位制（ｓＩ）所用量制选择的是基本单元（或单元）Ｂ的物质的量（ａｍｏｕｎｔｏｆｓｕｂｓｔａｎｃｅ）ｎｎ”１。关于物质的量我们已作过讨论“］，并且根据近来在宣传贯彻国家标准中出现的问题，我们还将另文对物质的量及其有关问题作进一步的讨论，在这里只是提请读者注意，近来个别作者对物质的量作了一些不妥的解释，例如将物质的量这一名称中的物质（ｓｕｂｓｔａｎｃｅ）等同于与精神对立的一般意义的物质（ｍａｔｔｅｒ），将物质的量这一名称中的量（ａｍｏｕｎｔ）等同于一般意义的物理量（ｐｈｙｓｉｃａｌｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ）中的量（ｑｕａｎｔｉｔｉｅｓ），并由此得出一系列不妥的结论。物质的量是化学中的一个物理量，只能在化学学科中来解释。实际上物理化学的一些奠基人在他们的经典著作中，特别是Ｌｅｗｉｓ和Ｒａｎｄａｌｌ在他们的著名教科书中”］，对物质，对量或物质的量的名称早已系统地应用。物质的量中的物质是指化学和物理化学中所涉及的基本单元。基本单元可以是原子、分子、离子、电子及其他粒子，或这些粒子的特定组合。特定组合不必限于那些已知的或想像存在的独立单元，或含整数原子的组合。例如÷Ｈ。Ｏ，（Ｈ２＋÷Ｏ。），（Ｈ２＋０．２３４０：），（ｏ．０７５６１．ｉ＋０．９２５７Ｌｉ），Ｃ（石墨），Ｃ（金刚石），ＨｇＣｌ（ｓ），Ｆｅ０９。Ｓ（ｓ）．÷ＭｎＯ．（ａｑ），Ｔ１Ｈ。ＳＯ。（ａｉ）或（ＫＣｌ４－１２３．４Ｈ：Ｏ）（Ｉ）等虽然不能独立存在，有的也不是整数原子的组合，但它们都可作为基本单元。物质的量这一名称中的量（ａｍｏｕｎｔ）是化学和物理化学中与基本单元数成比例的属性，它不同于基本单元的数目，也不同于其他任何物理性质（见２．１（４））。本文在这些概念的基础上扼要讨论组成标度的定义和组成变量的选择。希望通过这些讨论能有助于澄清一些混乱，并供读者在贯彻国家标准时参考。 １混合物和溶液 按国家标准“３，组成标度的定义和组成变量的选择都与所讨论的相（ｐｈａｓｅ）作为混合物（ｍｉｘ—ｔｕｒｅ）还是怍为溶液（ｓｏｌｕｔｉｏｎ）有关。所谓混合物是指含有一种以上物质的气体相、或液体相或固体相，在物理化学特别是化学热力学中将各组成物质（组元）按相同的方法处理。在不必指明具体物质时用Ｂ代表混合物中所讨论的物质。所谓溶液是指含有一种以上物质的液体相或固体相．为方便宴Ｕ天和男．６８岁．教授，垒国量和单位标准化技术委员会副主任委员兼物理化学和分于物理学分委员会主任委员。＊联系人 １９９８—０２ｔ１６收稿?１９９８一０４２０修回 万方数据
理论力学课后习题第三章解答
理论力学课后习题第三章解答 3.1解 如题3.1.1图。 均质棒受到碗的弹力分别为，棒自身重力为。棒与水平方向的夹角为。设棒的长度为。 由于棒处于平衡状态，所以棒沿轴和轴的和外力为零。沿过点且与 轴平行的合力矩为0。即： ① ② ③ 由①②③式得： ④ 又由于 即 ⑤ 将⑤代入④得： 图 题1.3.11N ,2N G θl x y A z 0sin 2cos 21=-=∑θθN N F x 0cos 2sin 21=-+=∑G N N F y θθ0cos 2 2 =-=∑θl G c N M i ()θ θ2 2cos 1cos 22-=c l ,cos 2c r =θr c 2cos = θ
3.2解 如题3.2.1图所示， 均质棒分别受到光滑墙的弹力，光滑棱角的弹力，及重力。由于棒处于平衡状态，所以沿方向的合力矩为零。即 ① 由①②式得： 所以 ()c r c l 2224-=o 图 题1.3.21N 2N G y 0cos 2=-=∑G N F y θ0cos 2 2cos 2 =-=∑θθl G d N M z l d = θ3cos 31 arccos ? ? ? ??=l d θ
3.3解 如题3.3.1图所示。 棒受到重力。棒受到的重力。设均质棒的线密度为。 由题意可知，整个均质棒沿轴方向的合力矩为零。 3.4解 如题3. 4.1图。 轴竖直向下，相同的球、、互切，、切于点。设球的重力大小 图 题1.3.32 AB i G ag ρ=1i G bg ρ=2ρz ()BH BF G OD G M z --?=∑2 1sin θ=0sin cos 2sin 2=?? ? ??--θθρθρa b gb a ga ab a b 2tan 22 +=θ图 题1.3.4Ox A B C B C D
溶液组成的表示方法 教案(二)
溶液组成的表示方法教案（二）Representation of solution composition teach ing plan (2)
溶液组成的表示方法教案（二） 前言：小泰温馨提醒，化学是自然科学的一种，主要在分子、原子层面，研究物质的组成、性质、结构与变化规律，创造新物质。是一门以实验为基础在原子层次上研究物质的组成、结构、性质、及变化规律的自然科学。本教案根据化学课程标准的要求和针对教学对象是 高中生群体的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划、并以启 迪发展学生智力为根本目的。便于学习和使用，本文下载后内容可随意修改调整及打印。重点难点溶质的质量分数有关计算；配制溶液的操作步骤。 教学方法讨论式教学法。 教学用具仪器：烧杯、玻璃棒、药匙、天平、量筒。 药品：硝酸钾、水蔗糖。 教学过程 第一课时 [引言]生活经验告诉我们在相同质量的水中加入一匙糖或两 匙糖所形成的糖水的甜度不同，糖加的越多越甜，那么，从溶液 的有关知识分析糖、水及糖水各是什么量？ [演示实验]用A、B两个烧杯各取50克水，烧杯A中加入5 克蔗糖，烧杯B中加入10克蔗糖，并用玻璃棒搅拌至蔗糖全部溶解。
[讨论]1、在上述两种溶液中，溶质、溶剂各是什么？溶质、溶剂、溶液的质量各为多少克？ 2、两种溶液哪一种浓一些？哪一种稀一些？为什么 [引入]浓溶液与稀溶液只是说一定是的溶剂中溶质含量的多少，它不能准确的表明一定量的溶液中所含溶质的多少，怎么才能确切的表明溶液的组成呢？ 这是我们今天要解决的问题。 [板书]溶液组成有几种表示方法，初中先学习用“溶质的质量分数”表示溶液的组成。 [板书]一、溶质的质量分数 定义：溶质的质量与溶液的质量之比。 定义式： 溶质的质量分数= [讨论]这两种食盐溶液中溶质的质量分数各是多少？ [板书]二、溶液中溶质的质量分数计算 [投影]例题1、见课本 [讨论]例题1中的溶质质量、溶剂质量、溶液质量各为多少克？
理论力学习题册答案
第一章 静力学公理与受力分析(1) 一．是非题 1、加减平衡力系公理不但适用于刚体，还适用于变形体。 （ ） 2、作用于刚体上三个力的作用线汇交于一点，该刚体必处于平衡状态。（ ） 3、刚体是真实物体的一种抽象化的力学模型，在自然界中并不存在。 （ ） 4、凡是受两个力作用的刚体都是二力构件。 （ ） 5、力是滑移矢量，力沿其作用线滑移不会改变对物体的作用效果。 （ ） 二．选择题 1、在下述公理、法则、原理中，只适于刚体的有 （ ） ①二力平衡公理 ②力的平行四边形法则 ③加减平衡力系公理 ④力的可传性原理 ⑤作用与反作用公理 三．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a (球A )b (杆AB )c (杆AB 、CD 、整体 )d (杆AB 、CD 、整体
)e(杆AC、CB、整体)f(杆AC、CD、整体 四．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 )a(球A、球B、整体)b(杆BC、杆AC、整体
第一章静力学公理与受力分析（2） 一．画出下列图中指定物体受力图。未画重力的物体不计自重，所有接触处均为光滑接触。多杆件的整体受力图可在原图上画。 W A D B C E Original Figure A D B C E W W F Ax F Ay F B FBD of the entire frame ) a(杆AB、BC、整体) b(杆AB、BC、轮E、整体 )c(杆AB、CD、整体) d(杆BC带铰、杆AC、整体
理论力学习题答案第三章
第三章思考题解答 答：确定一质点在空间中得位置需要3个独立变量，只要确定了不共线三点的位置刚体的位置也就确定了，故须九个独立变量，但刚体不变形，此三点中人二点的连线长度不变，即有三个约束方程，所以确定刚体的一般运动不需3n 个独立变量，有6个独立变量就够了.若刚体作定点转动，只要定出任一点相对定点的运动刚体的运动就确定了，只需3个独立变量；确定作平面平行运动刚体的代表平面在空间中的方位需一个独立变量，确定任一点在平面上的位置需二个独立变量，共需三个独立变量；知道了定轴转动刚体绕转动轴的转角，刚体的位置也就定了，只需一个独立变量；刚体的平动可用一个点的运动代表其运动，故需三个独立变量。 答物体上各质点所受重力的合力作用点即为物体的重心。当物体的大小远小于地球的线度时物体上各质点所在点的重力加速度都相等，且方向彼此平行即重力场为均匀场，此时质心与重心重合。事实上但物体的线度很大时各质点所在处g 的大小是严格相等，且各质点的重力都指向地心，不是彼此平行的，重心与质心不和。 答 当物体为均质时，几何中心与质心重合；当物体的大 小远小于地球的线度时，质心与重心重合；当物体为均质且大小远小于地球的线度时，三者都重合。 答 主矢F 是力系各力的矢量和，他完全取决于力系中各力的大小和方向，故主矢不随简化中心的位置而改变，故而也称之为力系的主矢；简化中心的位置不同，各力对简化中心的位矢i r 也就不同则各力对简化中心的力矩也就不同，故主矩随简化中心的位置而变，被称之为力系对简化中心的主矩。分别取O 和O '为简化中心，第i 个力i F 对O 和O '的位矢分别为i r 和i r '，则i r =i r '+O O '，故 ()()i i i i i i O F O O r F r M ?'-'=?'= ∑∑'()∑∑?'-?'=i i i i i F O O F r ∑?'+=i i o F O O M 即o o M M ≠' 主矢不变，表明刚体的平动效应不变，主矩随简化中心的 位置改变，表明力系的作用对刚体上不同点有不同的转动效应，但不改变整个刚体的转动规律或者说不影响刚体绕质心的转动。设O 和O '对质心C 的位矢分别为C r 和C r '，则C r '=C r +O O '，把O 点的主矢∑=i i F F ，主矩o M 移 到C 点得力系对重心的主矩 ∑?+=i i C o C F r M M 把O '为简化中心得到的主矢∑= i i F F 和主矩o ' M 移到 C 点可得 ∑?+'=i i C o C F r M M ()∑?'-'+=i i C o F O O r M ∑?+=i i C o F r M 简化中心的改变引起主矩的改变并不影响刚体的运动。事实上，简化中心的选取不过人为的手段，不会影响力系的物理效应。 3.5 答 不等。如题3-5图示， l 题3-5图 dx l m dm = 绕Oz 轴的转动惯量 2 22434 2 4131487?? ? ??+≠==? -l m ml ml dx l m x I l l z 这表明平行轴中没有一条是过质心的，则平行轴定理 2md I I c +=是不适应的 不能，如3-5题。但平行轴定理修改后可用于不过质心的二平行轴。如题3-6图所示， B l 题3-6图
第一节 溶液的组成标度.
第一节 溶液的组成标度 溶液的组成标度是指一定量的溶液或溶剂中所含溶质的量。 一、溶液组成标度的表示方法 （一）物质的量浓度 溶液中溶质B 的物质的量（n B ）除以溶液的体积（V ），称为物质B 的物质的量浓度（amount-of-substance concentration ），简称浓度（concentration ），用符号c B 或c (B)表示，即： V n c B B = （2-1） 化学和医学上常用mol·L -1、mmol·L -1或μmol·L -1等单位表示。 物质的量n B 与物质的质量m B 、物质的摩尔质量M B 之间的关系。 B B B M m n = （2-2） 例1 正常人1000ml 血清中含100mgCa 2+，计算正常人血清中Ca 2+的物质的量浓度（用mmol ·L -1表示）。 解：根据式（2-1）和（2-2）得： 1-1-222L 2.5mmol )L mol (0025.0140/1.0)Ca (/)Ca ()Ca (?=?====+++ V M m V n c （二）质量浓度和质量摩尔浓度 1．质量浓度 溶液中溶质B 的质量（m B ）除以溶液的体积（V ），称为物质B 的质量浓度(mass concentartion )，用符号ρB 或ρ(B)表示，即： V m B B =ρ （2-3） 化学和医学上常用g·L -1、mg·L -1或μg·L -1等单位表示。 注意质量浓度ρB 和密度ρ的区别。 例2 在0.5L 注射用生理盐水中含NaCl4.5g ，计算生理盐水的质量浓度。 解：根据式（2-3）得： )L g (95.05.4)NaCl ()NaCl (1-?=== V m ρ
理论力学(机械工业出版社)第三章空间力系习题解答.
习 题 3-1 在边长为a 的正六面体上作用有三个力，如图3-26所示，已知：F 1=6kN ，F 2=2kN ，F 3=4kN 。试求各力在三个坐标轴上的投影。 图3-26 kN 60 1111====F F F F z y x 0kN 245cos kN 245cos 2222== ?=-=?-=z y x F F F F F kN 3 3 433kN 3 3 433kN 3 34333 33 33 3==-=-===F F F F F F z y x 3-2 如图3-27所示，已知六面体尺寸为400 mm ×300 mm ×300mm ，正面有力F 1=100N ，中间有力F 2=200N ，顶面有力偶M =20N ·m 作用。试求各力及力偶对z 轴之矩的和。 图3-27 203.034 44.045cos 2 1-?+??-=∑F F M z m N 125.72034 240220?-=-+ -= 3-3如图3-28所示，水平轮上A 点作用一力F =1kN ，方向与轮面成a=60°的角，且在过A 点与轮缘相切的铅垂面内，而点A 与轮心O '的连线与通过O '点平行于y 轴的直线成b=45°角， h =r=1m 。试求力F 在三个坐标轴上的投影和对三个坐标轴之矩。 图3-28 N 354N 225045sin 60cos 1000sin cos ==????==βαF F x N 354N 225045sin 60cos 1000cos cos -=-=????-=-=βαF F y
N 866350060sin 1000sin -=-=??-=-=αF F z m N 25845cos 18661354cos ||||)(?-=???-?=?-?=βr F h F M z y x F m N 96645sin 18661354sin ||||)(?=???+?=?+?=βr F h F M z x y F m N 500160cos 1000cos )(?-=???-=?-=r F M z αF 3-4 曲拐手柄如图3-29所示，已知作用于手柄上的力 F =100N ，AB =100mm ，BC =400mm ，CD =200mm ，a=30°。试求力F 对 x 、y 、z 轴之矩。 图3-29 N 2530sin 100sin sin 2=??==ααF F x N 3.43N 32530cos 30sin 100cos sin -=-=????-=-=ααF F y N 6.8635030cos 10030cos -=-=??-=?-=F F z 3 .03504.0325)(||||)(?-?-=+?-?-=CD AB F BC F M z y x F m N 3.43325?-=-= m N 104.025||)(?-=?-=?-=BC F M x y F m N 5.73.025)(||)(?-=?-=+?-=CD AB F M x z F 3-5 长方体的顶角A 和B 分别作用力F 1和F 2，如图3-30所示，已知：F 1=500N ，F 2=700N 。试求该力系向O 点简化的主矢和主矩。 图3-30 N 4.82114100520014 25 221R -=--=? -?-='F F F x N 2.561141501432R -=-=?-='F F y N 7.4101450510014 15 1 21R =+=? +?='F F F z N 3.10767.410)2.561()4.821(222R =+-+-='F
理论力学 陈立群 第3章 平衡问题 解答
第三章平衡问题：矢量方法习题解答 3-1讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次数。 题3.1图 解：（1）以AB杆为对象，A为固定端约束，约束力有3个。如果DC杆是二力杆，则铰C处有1个约束力，这4个力组成平面一般力系，独立平衡方程有3个，所以是1次静不定；如果DC杆不是二力杆，则铰C和D处各有2个约束力，系统共有7个约束力，AB 杆和DC杆上的约束力各组成平面一般力系，独立平衡方程共有6个，所以，是1次静不定。 （2）AD梁上，固定铰链A处有2个约束力，辊轴铰链B、C和D各有1个约束力，共有5个约束力，这5个约束力组成平面一般力系，可以列出3个独立的平衡方程。所以，AD梁是2次静不定。 （3）曲梁AB两端都是固定端约束，各有3个共6个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是3次静不定。 （4）刚架在A、B和C处都是固定端约束，各有3个共9个约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程只有3个。所以是6次静不定。 （5）平面桁架在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该平面桁架的外力是静定的。 平面桁架由21根杆组成，所以有21个未知轴力，加上3个支座反力，共有24个未知量。21根杆由10个铰链连接，每个铰链受到平面汇交力系作用。若以铰链为研究对象，可以列出2×10=20个平衡方程。所以，此平面桁架的内力是24-20=4次静不定。 （6）整体在A处为固定铰链，B处为辊轴铰链，共有3约束力组成平面一般力系，而独立的平衡方程也有3个，因此，该系统的外力是静定的。 除了3个约束外力外，3根杆的轴力也是未知的，共有6个未知量。AB梁可以列出3个平衡方程，连接3根杆的铰链可以列出2个平衡方程，共有5个方程，所以，该系统的内力是1次静不定。 3-2炼钢炉的送料机由跑车A与可移动的桥B组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运动，两轮间距离为2米，跑车与操作架、手臂OC以及料斗相连，料斗每次装载物料重W=15kN，平臂长OC=5m。设跑车A、操作架和所有附件总重量为P，作用于操作架的轴线。试问P至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
混合物的组成标度
混合物的组成标度 1、物质的量（n B）[amount of substance] 【定义】表示物质数量 【单位】摩尔（mol）[mole] 【摩尔定义】一系统的物质的量，该系统所包含的基本单元与0.012kg碳12原子数目相等 2、摩尔质量（M B）[molar mass] 【定义】M B=m B/n B 【单位】kg/mol或g/mol 3、物质的量浓度（c B）[amount-of-substance concentration] 【定义】c B=n B/V（V为混合物体积，多指溶液体积，随温度变化而改变） 【单位】mol/m3或mol/L或mmol/L或μmol/L ★简称“浓度” ★医学上，凡是已知相对分子质量的物质在体液内的含量均应该用物质的量浓度表示 4、质量浓度（ρB）[mass concentration] 【定义】ρB=m B/V（V为混合物体积，多指溶液体积，随温度变化而改变） 【单位】g/L或mg/L ★对于未知其相对分子质量的物质含量可以用质量浓度表示 5、质量分数（ωB）[mass fraction]
【定义】B的质量与混合物总质量之比（不随温度变化而改变） 【单位】一 6、体积分数（φ’B）[volume fraction] 【定义】在相同温度和压强下，纯B的体积与混合物中各纯组分的体积和的比值【单位】一 7、摩尔分数（x B）[mole fraction] 【定义】x B=n B/ΣA n A 【单位】一 ★溶质B在溶剂A中的溶液，x B+x A=1，三者以上同理 8、质量摩尔浓度（b B）[molality] 【定义】b B=n B/m A（不随温度变化而改变） 【单位】mol/kg或mol/g ★摩尔分数和质量摩尔浓度不随温度的变化而改变，在物理化学中广为应用