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第1部分第3章 特征标理论(1)

第一部分群论基础第三章群表示特征标理论(1)

(一) 群表示的特征标及其性质 2 一, 特征标的定义

群表示的特征标是群表示矩阵的迹 ( 对角矩阵元之和 )

χ ( R ) = tr D ( R ) = ∑αDαα ( R ) ------------- (1)

二, 特征标的性质

(1) 同类群元的特征标相同

证明: R 和 S 同类, 则有 T 使 S = T-1 R T

因此, χ ( S ) = tr D ( S ) = tr D ( T-1 R T )

= tr [ D ( T-1 ) D ( R ) D ( T ) ]

= tr [ D -1( T ) D ( R ) D ( T ) ]

= tr D ( R ) = χ ( R )

即特征标是类的函数 *

(2) [ 提问: 等价表示的特征标是否相同? 为什么? ] 3 [ 答案: 相同, 矩阵作相似变换其迹不变 ]

(3) [ 提问: 可约表示与所含不可约表示的特征标有什么关系? ] [答案: 可约表示的特征标是所含不可约表示特征标之和]三, 对特征标的评价

1, 以3 × 3 的表示矩阵为例, 一个特征标比九个矩阵元简单得多, 可使问题大大简化;

2, 特征标保留了群的重要信息. 不少情况下, 利用特征标就能解决问题;

3, 与表示矩阵相比, 特征标丢掉了一些信息.

[ 提问: 丢掉了什么信息? ]

[ 答案: 丢掉了类里的信息, 即类中群元间关系的信息. ]

[ 提问: 为什么 ? ]

[ 答案: 同类元的特征标相同, 特征标是类的函数. ]

*

(二)可约表示的约化 ( 简捷有效的约化途径 ) 4 1, 群的不可约表示的(矩阵)形式一般说来不是唯一的。通过相似变换, 可以得到许多不同的彼此等价的不可约表示,但它们的特征标相同,是确定的。

2, 群的任何一个可约表示都可以通过相似变换将其(准)对角化,这就是可约表示约化的过程。如果该表示不能再进一步对角化, 则该表示就可写成其对角线上的不可约表示的直和。

3, 因此,群的可约表示可以由不可约表示线性组合(直和)而成 D ( R ) = ∑i D i ( R ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (2) 并有χ ( C ) = ∑i χi ( C ) a i ( i = 1 ------ r ) ------ (3) 其中 a i 为约化系数,即第 i 个不可约表示出现的次数。

可约表示的约化就是求约化系数a i ,这可通过公式 (3) 获得。4, 由公式 (3)可知,如某群表示与其某不可约表示的特征标完全相同,则该群表示为不可约表示;否则,为可约表示。 *

例: D3 群表示的特征标和约化 ( D5 和 D6前面给出过) 5类群元 D4 χ4 D5 χ5 D6 χ6 ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 1 0 ┐

C1 E ∣ 0 1 0∣ 3 ∣ 0 1 0 ∣ 3 ∣∣ 2 └0 0 1 ┘ └ 0 0 1 ┘ └ 0 1 ┘

┌ 0 1 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐

C3 D ∣ 0 0 1∣ 0 ∣3/4, 1/4, W∣ 0 ∣∣ -1 └ 1 0 0 ┘ └ W -W, -1/2┘ └-31/2/2, -1/2 ┘

┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, W ┐ ┌-1/2, 31/2/2 ┐

C3 F ∣ 1 0 0 ∣ 0 ∣3/4, 1/4, -W ∣ 0 ∣∣ -1 └ 0 1 0 ┘ └-W, W, -1/2┘ └ 31/2/2, -1/2 ┘

( w = 31/2/2 ) *

类群元 D4 χ4 D5 χ5 D6 χ6 ┌ 0 1 0 ┐ ┌ 1 0 0 ┐ ┌ 0 -1 ┐

C2 A ∣ 1 0 0 ∣ 1 ∣0 1 0 ∣ 1 ∣∣ 0 └ 0 0 1 ┘ └ 0 0 -1 ┘ └ -1 0 ┘

┌ 1 0 0 ┐ ┌1/4, 3/4, -W┐ ┌-31/2/2, 1/2 ┐

C2 B ∣ 0 0 1∣ 1 ∣3/4, 1/4, W ∣ 1 ∣∣ 0 └ 0 1 0 ┘ └ -W W, 1/2 ┘ └ 1/2, 31/2/2 ┘

┌ 0 0 1 ┐ ┌1/4, 3/4, -W ┐ ┌ 31/2/2, 1/2 ┐

C2 C ∣ 0 1 0 ∣ 1 ∣3/4, 1/4, -W∣ 1 ∣∣ 0 └ 1 0 0 ┘ └ W, -W, 1/2 ┘ └ 1/2, -31/2/2 ┘

( w = 31/2/2 )

讨论: 1, 同一表示中同类元的特征标相同 ( 特征标是类的函数 ); [ 提问: 已知D1, D2, D3 是 D3 群的三个不等价的不可约表示,试说明D4,D5, D6的可约性及其根据 ] ( 见下页 ) *

D3 E 3C2 2C3 7

D1 χ1 1 1 1

D2χ2 1 –1 1

D3χ3 2 0 -1

D4χ4 3 1 0

D5χ5 3 1 0

D6 χ6 2 0 -1

[答案1: D4和D5是可约表示, 因与所有不可约表示的特征标不同] [提问: 约化的结果是什么? 为什么?]

[答案: 约化为 D1 和 D3, 因为特征标是其和] [提问: D6 呢?] [答案2: D6 和D3 是彼此等价的不可约表示, 因其特征标相同]下面的任务是寻求获得约化系数 a i的规范化程序 *

(三) 不可约表示特征标正交性定理 8若D i( R ) 和 D j ( R )为群 G 的不等价不可约幺正表示, 则有∑R χi *( R ) χj ( R ) = δij h - ------------------ (4)

或∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ( h C为类 C 的群元数) --- (4)’证明: 根据表示矩阵元正交性定理有

∑R Dαr i *( R ) D βδj ( R ) = δijδαβδrδ h / n j

(1) 取对角元, 即γ = α, δ = β [ 思考题: 为什么? ]

则有∑R Dααi *( R ) Dββj ( R ) = δijδαβ h / n j( δrδ= δαβ) (2) 对α求和 [ 思考题: 是何目的? ]

∑R ∑αDααi*( R )Dββj( R ) = δij∑αδαβ h/n j [ 提问: ∑αδαβ = ? ]∑R χi *( R ) Dββj ( R ) = δij h / n j[ 答案: ∑αδαβ = 1 ] (3) 对β求和∑R χi *( R ) ∑β Dββj ( R ) = δij∑β h / n j

∑R χi *( R ) χj ( R ) = δij h ----------- (4) [ 提问: ∑βh = ? ] 或∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ---- (4)’ [ 答案: ∑βh = h n j ] *

以 D3 群为例验证公式 (4)’ 9∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = δij h ------------------- (4)’

已知D3 群的不可约表示特征标表为:

D3 E 3C2 2C3

χ1 1 1 1

χ2 1 –1 1

χ3 2 0 -1

若令 i = 1, j = 2 , 则有

∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?1?1 + 3?1?(-1) + 2?1?1 = 1– 3 + 2 = 0 若令 i = 2, j = 3, 则有

∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?1?2 + 3?(-1)?0 + 2?1?(-1) = 2 – 2 = 0 若令 i = j = 3, 则有

∑C h C χi *( C ) χj ( C ) = 1?2?2 + 3?0?0 + 2?(-1)?(-1) = 4 + 2 = 6 *

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举例: 将D3群的表示 D5 进化约化 12 D3 E 3C2 2C3

χ1 1 1 1

χ2 1 –1 1

χ3 2 0 -1

χ5 3 1 0

直接观察可得: χ5 = χ1 + χ3 ,

a1 = a3 = 1 , a2 = 0

利用公式(7): a i = ∑C h C χi* ( C )χ ( C ) / h ------- (7)

a1 = ( 1 ? 1 ? 3 + 3 ? 1 ? 1 + 2 ? 1 ? 0 ) / 6 = ( 3 + 3 ) / 6 = 1

a2 = ( 1 ? 1 ? 3 + 3 ? 1 ? (-1) + 2 ? 1 ? 0 ) / 6 = ( 3 – 3 ) / 6 = 0 a3 = ( 1 ? 2 ? 3 + 3 ? 0 ? 1 + 2 ? ( -1) ? 0 ) / 6 = 6 / 6 = 1

约化结果: D5 = D1 + D3 *

13

习题: 试分别利用(和不利用)约化系数公式 (7) 对 D2d 群的六维表示 D6 进行约化, 已知该六维表示 D6 的特征标和群 D2d 不可约

表示的特征标表如下:

D2d E C2 2C2 ’ 2σd 2iC4 D1 1 1 1 1 1

D2 1 1 -1 -1 1

D3 1 1 1 -1 -1

D4 1 1 -1 1 -1

D5 2 -2 0 0 0

________________________________________________________

D6 6 2 2 2 0 *

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