2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第八章-6-第6讲-空间向量的运算及应用

2021届浙江新高考数学一轮复习教师用书：第八章-6-第6讲-空

间向量的运算及应用 https://www.sodocs.net/doc/7a13704874.html,work Information Technology Company.2020YEAR

第6讲 空间向量的运算及应用

1．空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a ＝λb ．

(2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b ．

(3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ．其中{a ，b ，c }叫做空间的一个基底．

2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)

(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a ，b ，在空间中任取一点O ，作OA →＝a ，OB →

＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉．通常规定0≤〈a ，b 〉≤π．若〈a ，b 〉＝π

2，则称向量a ，b 互相垂直，记作a ⊥b .

(2)两向量的数量积

两个非零向量a ，b 的数量积a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉． (3)向量的数量积的性质

①a ·e ＝|a |cos 〈a ，e 〉(其中e 为单位向量)； ②a ⊥b ?a ·b ＝0； ③|a |2＝a ·a ＝a 2； ④|a ·b |≤|a ||b |.

(4)向量的数量积满足如下运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②a ·b ＝b ·a (交换律)；

③a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)． 3．空间向量的坐标运算

(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)． a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)， a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)，

λa ＝(λa 1，λa 2，λa 3)，a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3，

a ⊥

b ?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0，

a ∥

b ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R )，

cos 〈a ，b 〉＝a ·b

|

a |·|

b |＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 23 . (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)， 则AB →＝OB →－OA →

＝(x 2－x 1，y 2－y 1，z 2－z 1)． 4．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB →

为直线l 的方向向量，与AB →

平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．

(2)平面的法向量

①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．

②确定：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程

组为?

????n·a ＝0，n·b ＝0.

5．空间位置关系的向量表示

位置关系

向量表示 直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2

l 1∥l 2 n 1∥n 2?n 1＝λn 2 l 1⊥l 2 n 1⊥n 2?n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m l ∥α n ⊥m ?n ·m ＝0 l ⊥α

n ∥m ?n ＝λm 平面α，β的法向量分别为n ，m

α∥β n ∥m ?n ＝λm α⊥β

n ⊥m ?n ·m ＝0

[疑误辨析]

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)空间中任意两非零向量a ，b 共面．( ) (2)在向量的数量积运算中(a ·b )·c ＝a ·(b ·c )．( ) (3)对于非零向量b ，由a ·b ＝b ·c ，则a ＝c .( )

(4)若{a ，b ，c }是空间的一个基底，则a ，b ，c 中至多有一个零向量．( ) (5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．( )

(6)若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB →＋BC →＋CD →＋DA →

＝0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ [教材衍化]

1.(选修2-1P 97A 组T 2改编)如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →

＝b ，AA 1→＝c ，则BM →

＝________(用a ，b ，c 表示)．

解析：BM →＝BB 1→＋B 1M →＝AA 1→＋12(AD →－AB →

)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .

答案：－12a ＋1

2

b ＋c

2．(选修2-1P98A 组T3改编)正四面体ABCD 的棱长为2，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，则EF 的长为________．

解析：|EF →|2＝EF →2＝(EC →＋CD →＋DF →

)2

＝EC →2＋CD →2＋DF →2＋2(EC →·CD →＋EC →·DF →＋CD →·DF →) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2，

所以|EF →

|＝2，所以EF 的长为 2. 答案： 2

3．(选修2-1P111练习T3改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．

解析：以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x ，y ，z 轴

建立空间直角坐标系D -xyz ，设DA ＝2，则A (2，0，0)，M (0，0，1)，O (1，1，0)，N (2，1，2)，所以AM →＝(－2，0，1)，ON →＝(1，0，2)，AM →·ON →

＝－2＋0＋2＝0，所以AM ⊥ON .

答案：垂直 [易错纠偏]

忽视空间向量共线与共面的区别

在空间直角坐标系中，已知A (1，2，3)，B (－2，－1，6)，C (3，2，1)，D (4，3，0)，则直线AB 与CD 的位置关系是( )

A ．垂直

B ．平行

C ．异面

D ．相交但不垂直

解析：选B.由题意得，AB →＝(－3，－3，3)，CD →＝(1，1，－1)，所以AB →＝－3CD →

，所以AB →与CD →

共线，又AB 与CD 没有公共点，所以AB ∥CD .

空间向量的线性运算

如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点． (1)化简A 1O →－12AB →－12

AD →

＝________．

(2)用AB →，AD →，AA 1→表示OC 1→，则OC 1→

＝________．

【解析】 (1)A 1O →－12AB →－12AD →＝A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →

＝

A 1O →＋OA →＝A 1A →

.

(2)因为OC →＝12AC →＝12(AB →＋AD →

)．

所以OC 1→＝OC →＋CC 1→＝12(AB →＋AD →)＋AA 1→

＝12AB →＋12

AD →＋AA 1→. 【答案】 (1)A 1A →

(2)12AB →＋12

AD →＋AA 1→

(变问法)若本例条件不变，结论改为：设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →

＝

xAB →＋yAD →＋zAA 1→

，试求x ，y ，z 的值．

解：EO →＝ED →＋DO →

＝－23DD 1→＋12(DA →＋DC →)

＝12AB →－12AD →－23

AA 1→

， 由条件知，x ＝12，y ＝－12，z ＝－23

.

用已知向量表示某一向量的方法

1．在空间四边形ABCD 中，若AB →＝(－3，5，2)，CD →

＝(－7，－1，－4)，点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，则EF →

的坐标为( )

A ．(2，3，3)

B ．(－2，－3，－3)

C ．(5，－2，1)

D ．(－5，2，－1)

解析：选B.因为点E ，F 分别为线段BC ，AD 的中点，O 为坐标原点，所以EF →＝OF →

－OE →，OF →＝12(OA →＋OD →)，OE →＝12

(OB →＋OC →

)．

所以EF →＝12(OA →＋OD →

)－12(OB →＋OC →)＝12(BA →＋CD →)

＝1

2[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)] ＝1

2

(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)． 2.在三棱锥O -ABC 中，点M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示(1)MG →；(2)OG →

.

解：(1)MG →＝MA →＋AG →

＝12OA →＋23AN → ＝12OA →＋23(ON →－OA →) ＝12OA →＋23[12(OB →＋OC →)－OA →] ＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.

(2)OG →＝OM →＋MG → ＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC → ＝13OA →＋13OB →＋13

OC →.

共线、共面向量定理的应用

已知点E ，F ，G ，H 分别是空间四边形ABCD 的边AB ，

BC ，CD ，DA 的中点，求证：

(1)E ，F ，G ，H 四点共面； (2)BD ∥平面EFGH .

【证明】 (1)连接BG (图略)， 则EG →＝EB →＋BG → ＝EB →＋12(BC →＋BD →)

＝EB →＋BF →＋EH → ＝EF →＋EH →，

由共面向量定理的推论知，E ，F ，G ，H 四点共面． (2)因为EH →＝AH →－AE →＝12AD →－12AB →＝12(AD →－AB →

)

＝12

BD →

，所以EH ∥BD . 又EH ?平面EFGH ，BD ?平面EFGH ， 所以BD ∥平面EFGH .

(1)证明空间三点P 、A 、B 共线的方法 ①P A →＝λPB →

(λ∈R )；

②对空间任一点O ，OP →＝OA →＋tAB →

(t ∈R )； ③对空间任一点O ，OP →＝xOA →＋yOB →

(x ＋y ＝1)． (2)证明空间四点P 、M 、A 、B 共面的方法 ①MP →＝xMA →＋yMB →；

②对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →

；

③对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →

(x ＋y ＋z ＝1)； ④PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．

1．已知a ＝(λ＋1，0，2)，b ＝(6，2μ－1，2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值可以是( ) A ．2，1

2

B ．－13，12

C ．－3，2

D ．2，2

解析：选 A.因为a ∥b ，所以b ＝k a ，即(6，2μ－1，2λ)＝k (λ＋1，0，2)，所以?????6＝k （λ＋1），2μ－1＝0，2λ＝2k ，

解得?????λ＝2，μ＝12或?????λ＝－3，μ＝1

2. 2．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →

＋

OB →＋OC →)．

(1)判断MA →，MB →，MC →

三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内． 解：(1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →

， 所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →

)，

即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →

共面．

(2)由(1)知，MA →，MB →，MC →

共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内．

空间向量的数量积

如图，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，以顶点A 为

端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求AC 1→

的长；

(2)求BD 1→与AC →

夹角的余弦值．

【解】 (1)记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→

＝c ，

则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， 所以a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝1

2

.

|AC 1→

|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a )＝1＋1＋1＋2×????12＋12＋12＝6， 所以|AC 1→

|＝6，即AC 1的长为 6. (2)BD 1→＝b ＋c －a ，AC →

＝a ＋b ， 所以|BD 1→|＝2，|AC →

|＝3， BD 1→·AC →

＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1，

所以cos 〈BD 1→，AC →

〉＝BD 1→·AC →

|BD 1→||AC →

|＝66.

即BD 1→与AC →

夹角的余弦值为66

.

(1)空间向量数量积计算的两种方法 ①基向量法：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．

②坐标法：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2. (2)利用数量积解决有关垂直、长度、夹角问题 ①a ≠0，b ≠0，a ⊥b ?a ·b ＝0. ②|a |＝a 2.

③cos〈a，b

〉＝a·b |a||b

|.

1．已知a＝(－2，1，3)，b＝(－1，2，1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为() A．－2 B．－

14

3

C.

14

5D．2

解析：选D.由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，

所以14－7λ＝0，解得λ＝2.

2．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)．设a＝AB

→

，b＝AC

→

.

(1)求a和b夹角的余弦值；

(2)设|c|＝3，c∥BC

→

，求c的坐标．

解：(1)因为AB

→

＝(1，1，0)，AC

→

＝(－1，0，2)，

所以a·b＝－1＋0＋0＝－1，|a|＝2，|b|＝5，

所以cos〈a，b〉＝

a·b

|a||b|＝

－1

2×5

＝－

10

10.

(2)BC

→

＝(－2，－1，2)．

设c＝(x，y，z)，因为|c|＝3，c∥BC

→

，

所以x2＋y2＋z2＝3，存在实数λ使得c＝λBC

→

，

即

??

?

??

x＝－2λ，

y＝－λ，

z＝2λ，

联立解得

??

?

??x＝－2，

y＝－1，

z＝2，

λ＝1，

或

??

?

??x＝2，

y＝1，

z＝－2，

λ＝－1，

所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．

利用空间向量证明平行和垂直(高频考点)

空间几何中的平行与垂直问题是高考试题中的热点问题．考查形式灵活多样，可以是小题，也可以是解答题的一部分，或解答题的某个环节，是高考中的重要得分点．主要命题角度有：

(1)证明平行问题；

(2)证明垂直问题．

角度一证明平行问题

如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且

P A ＝AD ＝2，点E ，F ，G 分别是线段P A ，PD ，CD 的中点．求证：

(1)PB ∥平面EFG ； (2)平面EFG ∥平面PBC .

【证明】 (1)因为平面P AD ⊥平面ABCD ，且ABCD 为正方形， 所以AB ，AP ，AD 两两垂直．

以A 为坐标原点，以AB ，AD ，AP 正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，2，0)，D (0，2，0)，P (0，0，2)，E (0，0，1)，F (0，1，1)，G (1，2，0)．

法一：EF →＝(0，1，0)，EG →

＝(1，2，－1)， 设平面EFG 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则?????n ·EF →＝0，n ·

EG →＝0，即?????y ＝0，x ＋2y －z ＝0，

令z ＝1，则n ＝(1，0，1)为平面EFG 的一个法向量， 因为PB →＝(2，0，－2)，所以PB →·n ＝0，所以n ⊥PB →

， 因为PB ?平面EFG ，所以PB ∥平面EFG . 法二：PB →＝(2，0，－2)，FE →

＝(0，－1，0)， FG →

＝(1，1，－1)．

设PB →＝sFE →＋tFG →

，即(2，0，－2)＝s (0，－1，0)＋t (1，1，－1)， 所以?????t ＝2，t －s ＝0，－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.所以PB →＝2FE →＋2FG →，

又因为FE →与FG →不共线，所以PB →，FE →与FG →

共面． 因为PB ?平面EFG ，所以PB ∥平面EFG . (2)因为EF →＝(0，1，0)，BC →

＝(0，2，0)， 所以BC →＝2EF →

，所以BC ∥EF .

又因为EF ?平面PBC ，BC ?平面PBC ， 所以EF ∥平面PBC ，

同理可证GF ∥PC ，从而得出GF ∥平面PBC . 又EF ∩GF ＝F ，EF ?平面EFG ，GF ?平面EFG ， 所以平面EFG ∥平面PBC . 角度二 证明垂直问题

如图，在三棱锥P -ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO

⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上．已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.

(1)证明：AP ⊥BC ；

(2)若点M 是线段AP 上一点，且AM ＝3.试证明平面AMC ⊥平面BMC .

【证明】 (1)如图所示，以O 为坐标原点，以射线OD 为y 轴正半轴，射线OP 为z 轴正半轴建立空间直角坐标系O -xyz .

则O (0，0，0)，A (0，－3，0)，

B (4，2，0)，

C (－4，2，0)，P (0，0，4)． 于是AP →＝(0，3，4)，BC →

＝(－8，0，0)，

所以AP →·BC →＝(0，3，4)·(－8，0，0)＝0，所以AP →⊥BC →，即AP ⊥BC . (2)由(1)知AP ＝5，

又AM ＝3，且点M 在线段AP 上，

所以AM →＝35AP →＝????0，95，125，又BA →

＝(－4，－5，0)， 所以BM →＝BA →＋AM →

＝????－4，－165，125， 则AP →·BM →＝(0，3，4)·????－4，－165，125＝0， 所以AP →⊥BM →

，即AP ⊥BM ， 又根据(1)的结论知AP ⊥BC ，

所以AP ⊥平面BMC ，于是AM ⊥平面BMC . 又AM ?平面AMC ，故平面AMC ⊥平面BMC .

(1)利用空间向量解决平行、垂直问题的一般步骤

①建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知图形中的垂直关系； ②建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素；

③通过空间向量的坐标运算研究平行、垂直关系； ④根据运算结果解释相关问题．

(2)空间线面位置关系的坐标表示

设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为u ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)．

①线线平行

l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ?a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. ②线线垂直

l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0?a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. ③线面平行(l ?α)

l ∥α?a ⊥u ?a ·u ＝0?a 1a 3＋b 1b 3＋c 1c 3＝0. ④线面垂直

l ⊥α?a ∥u ?a ＝k u ?a 1＝ka 3，b 1＝kb 3，c 1＝kc 3. ⑤面面平行

α∥β?u ∥v ?u ＝k v ?a 3＝ka 4，b 3＝kb 4，c 3＝kc 4.

⑥面面垂直

α⊥β?u ⊥v ?u ·v ＝0?a 3a 4＋b 3b 4＋c 3c 4＝0.

1．如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，M ，N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝

2a

3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定

解析：选B.因为正方体棱长为a ，A 1M ＝AN ＝2a 3，所以MB →＝23A 1B →，CN →＝23

CA →， 所以MN →＝MB →＋BC →＋CN →＝23A 1B →＋BC →＋23CA →

＝23(A 1B 1→＋B 1B →)＋BC →＋23(CD →＋DA →

) ＝23B 1B →＋13

B 1

C 1→. 又因为C

D 是平面B 1BCC 1的法向量， 且MN →·CD →＝????23B 1B →＋13B 1C 1→·CD →＝0，

所以MN →⊥CD →

，又MN ?平面B 1BCC 1， 所以MN ∥平面B 1BCC 1.

2．在四棱锥P -ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面P AD 内是否存在一点G ，使GF ⊥平面PCB 若存在，求出点G 坐标；若不存在，试说明理由．

解：(1)证明：由题意知，DA ，DC ，DP 两两垂直．

如图，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系D -xyz ，设AD ＝a ，

则D (0，0，0)，A (a ，0，0)，B (a ，a ，0)，C (0，a ，0)，E ????a ，a 2，0，P (0，0，a )，F ???

?a 2，a 2，a 2. EF →＝????－a 2

，0，a 2，DC →

＝(0，a ，0)． 因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →

，从而得EF ⊥CD . (2)假设存在满足条件的点G ，

设G (x ，0，z )，则FG →

＝????x －a 2，－a 2，z －a 2， 若使GF ⊥平面PCB ，则由

FG →·CB →

＝????x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0，0) ＝a ????x －a 2＝0，得x ＝a

2

； 由FG →·CP →＝????x －a

2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a )＝a 22＋a ????z －a 2＝0，得z ＝0.

所以G 点坐标为???

?a

2，0，0， 故存在满足条件的点G ，且点G 为AD 的中点．

[基础题组练]

1.已知三棱锥O -ABC ，点M ，N 分别为AB ，OC 的中点，且OA →

＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，用a ，b ，c 表示MN →，则MN →

等于( )

A.1

2

(b ＋c －a )

B.1

2

(a ＋b ＋c ) C.1

2

(a －b ＋c ) D.1

2

(c －a －b ) 解析：选D.MN →＝MA →＋AO →＋ON →＝1

2

(c －a －b )．

2．已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，5，λ)，若a 、b 、c 三个向量共面，则实数λ等于( )

A.62

7 B ．9 C.647

D.657

解析：选D.由题意知存在实数x ，y 使得c ＝x a ＋y b ， 即(7，5，λ)＝x (2，－1，3)＋y (－1，4，－2)， 由此得方程组????

?7＝2x －y ，5＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y .

解得x ＝337，y ＝177，所以λ＝997－347＝65

7

.

3．已知A (1，0，0)，B (0，－1，1)，O 为坐标原点，OA →＋λOB →与OB →

的夹角为120°，则λ的值为( )

A ．±66 B.66

C ．－

66

D ．± 6

解析：选C.OA →＋λOB →

＝(1，－λ，λ)，cos 120°＝

λ＋λ

1＋2λ2·2

＝－12，得λ＝±66.经

检验λ＝

66不合题意，舍去，所以λ＝－66

. 4．如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，P i (i ＝1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则AB →·AP i →

(i ＝1，2，…，8)的不同值的个数为( )

A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析：选A.由题图知，AB 与上底面垂直，因此AB ⊥BP i (i ＝1，2，…，8)，AB →·AP i

→

＝|AB →||AP i →|cos ∠BAP i ＝|AB →|·|AB →

|＝1(i ＝1，2，…，8)．故选A.

5．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )

A.23

B.33

C.23

D.63

解析：选 D.不妨设正方体的棱长为1，如图，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，则D (0，0，0)，B (1，1，0)，B 1(1，1，1)，平面ACD 1的法向量为DB 1→＝(1，1，1)，又BB 1→＝(0，0，1)，所以cos 〈DB 1→，BB 1→

〉＝DB 1→·BB 1→|DB 1→||BB 1→|

＝13×1＝3

3，所以BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为

1－????

33＝63

. 6．如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB 的中点，cos 〈DP →，AE →

〉＝33，若以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，

则点E 的坐标为( )

A ．(1，1，1) B.?

???1，1，12 C.?

???1，1，32 D ．(1，1，2)

解析：选A.设P (0，0，z )，

依题意知A (2，0，0)，B (2，2，0)，则E ????1，1，z

2， 于是DP →＝(0，0，z )，AE →

＝????－1，1，z 2， cos 〈DP →，AE →

〉＝DP →·AE →

|DP →||AE →

|＝

z 22|z |·

z 2

4

＋2＝

33

. 解得z ＝±2，由题图知z ＝2，故E (1，1，1)．

7．在空间直角坐标系中，以点A (4，1，9)，B (10，－1，6)，C (x ，4，3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的等腰直角三角形，则实数x 的值为__________．

解析：由题意知AB →＝(6，－2，－3)，AC →

＝(x －4，3，－6)． 又AB →·AC →＝0，|AB →|＝|AC →

|，可得x ＝2. 答案：2

8．已知2a ＋b ＝(0，－5，10)，c ＝(1，－2，－2)，a ·c ＝4，|b |＝12，则以b ，c 为方向向量的两直线的夹角为________．

解析：由题意得，(2a ＋b )·c ＝0＋10－20＝－10. 即2a ·c ＋b ·c ＝－10，又因为a ·c ＝4，所以b ·c ＝－18， 所以cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b |·|c |＝－1812×1＋4＋4＝－12，

所以〈b ，c 〉＝120°，所以两直线的夹角为60°. 答案：60°

9．已知点P 是平行四边形ABCD 所在平面外的一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →

＝(4，2，0)，AP →＝(－1，2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →

是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →

.其中正确的是________．

解析：因为AB →·AP →＝0，AD →·AP →

＝0， 所以AB ⊥AP ，AD ⊥AP ，则①②正确． 又AB →与AD →

不平行，

所以AP →

是平面ABCD 的法向量，则③正确．

因为BD →＝AD →－AB →＝(2，3，4)，AP →

＝(－1，2，－1)， 所以BD →与AP →

不平行，故④错． 答案：①②③

10．在正三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧棱长为2，底面边长为1，M 为BC 的中点，C 1N →

＝

λNC →

，且AB 1⊥MN ，则λ的值为________．

解析：如图所示，取B 1C 1的中点P ，连接MP ，以点M 为原点，以MC →，MA →，MP →

的方向为x ，y ，z 轴正方向建立空间直角坐标系M -xyz ，

因为底面边长为1，侧棱长为2，则A ?

??

?0，

32，0， B 1(－12，0，2)，C ????12，0，0， C 1????12，0，2，

M (0，0，0)，设N ????12，0，t ，

因为C 1N →＝λNC →

，所以N ???

?12，0，21＋λ，

所以AB 1→＝????－12，－32，2，MN →

＝????12，0，21＋λ.

又因为AB 1⊥MN ，所以AB 1→·MN →

＝0. 所以－14＋41＋λ＝0，所以λ＝15.

答案：15

11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E ，F 分别是BB 1，DD 1的中点．求证：FC 1∥平面ADE .

证明：如图所示，以点D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1的正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系D -xyz ，

则有D (0，0，0)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，C 1(0，2，2)，E (2，2，1)，F (0，0，1)．

FC 1→＝(0，2，1)，DA →＝(2，0，0)，AE →

＝(0，2，1)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ADE 的一个法向量， 则?????n ⊥DA →，n ⊥AE →，即?????n ·DA →＝2x ＝0，n ·AE →＝2y ＋z ＝0，解得?????x ＝0，

z ＝－2y ，

令z ＝2，则y ＝－1，所以n ＝(0，－1，2)． 因为FC 1→

·n ＝－2＋2＝0. 所以FC 1→

⊥n .

因为FC 1?平面ADE ， 所以FC 1∥平面ADE .

12．如图，四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点O 为底面中心，A 1O ⊥平面ABCD ，AB ＝AA 1＝ 2.

证明：A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

证明：由题设易知OA ，OB ，OA 1两两垂直，以O 为原点，OA ，OB ，OA 1的正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz .

因为AB ＝AA 1＝2， 所以OA ＝OB ＝OA 1＝1，

所以A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (－1，0，0)，D (0，－1，0)，A 1(0，0，1)．由A 1B 1→

＝AB →

，易得B 1(－1，1，1)．

因为A 1C →＝(－1，0，－1)，BD →＝(0，－2，0)，BB 1→

＝(－1，0，1)， 所以A 1C →·BD →＝0，A 1C →·BB 1→

＝0， 所以A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥BB 1.

又BD ∩BB 1＝B ，所以A 1C ⊥平面BB 1D 1D .

[综合题组练]

1．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为a ，点M 在AC 1上且AM →＝12MC →

1，N 为B 1B 的

中点，则|MN →

|为( )

A.216a

B.66a

C.

156

a D.153

a 解析：选A.以D 为原点，以DA ，DC ，DD 1的正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系D -xyz ，

则A (a ，0，0)，C 1(0，a ，a )， N ?

???a ，a ，a

2.设M (x ，y ，z )， 因为点M 在AC 1上且AM →＝12MC 1→

，所以(x －a ，y ，z )＝12(－x ，a －y ，a －z )，所以x ＝

23a ，y ＝a 3，z ＝a

3

.

所以M ????2a 3，a 3，a 3，所以|MN →| ＝

????a －23a ＋????a －a 3＋????a 2－a 3＝216

a . 2．设A ，B ，C ，D 是不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →

＝0，则△BCD 是( )

A ．钝角三角形

B ．直角三角形

C ．锐角三角形

D ．不确定

解析：选C.因为AB →·AC →＝0，AB →·AD →＝0，AD →·AC →

＝0， 所以AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AD ⊥AC .如图所示，设AB →＝a ，AC →

＝b ，AD →

＝c ，

所以BC 2＝a 2＋b 2，BD 2＝a 2＋c 2，CD 2＝b 2＋c 2.

由余弦定理知BC 2＝BD 2＋CD 2－2BD ·CD ·cos ∠BDC ，所以a 2＋b 2＝a 2＋c 2＋b 2＋c 2－2a 2＋c 2·b 2＋c 2·cos ∠BDC ，

所以cos ∠BDC ＝2c 22a 2＋c 2·b 2＋c 2＞0，

所以∠BDC 是锐角．

同理可知∠DBC ，∠BCD 都是锐角，故△BCD 是锐角三角形．

3．已知e 1，e 2是空间单位向量，e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝5

2，且

对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________．

解析：对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋y e 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，说明当x ＝x 0，y ＝y 0时，|b －(x e 1＋y e 2)|取得最小值1.

|b －(x e 1＋y e 2)|2＝|b |2＋(x e 1＋y e 2)2－2b ·(x e 1＋y e 2)＝|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y ，要使|b |2＋x 2＋y 2＋xy －4x －5y 取得最小值，需要把x 2＋y 2＋xy －4x －5y 看成关于x 的二次函数，即f (x )＝x 2＋(y －4)x ＋y 2－5y ，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x ＝2－y

2，所以当x ＝2

－y 2时，f (x )取得最小值，代入化简得f (x )＝3

4(y －2)2－7，显然当y ＝2时，f (x )min ＝－7，此时x ＝2－y

2

＝1，所以x 0＝1，y 0＝2.此时|b |2－7＝1，可得|b |＝2 2.

答案：1 2 2 2

4．(2020·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥O -ABC 中，已知OA ，OB ，OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足BP ≤12BC ，AQ ≥1

2

AO ，则PQ

和OB 所成角的余弦值的取值范围是________．

解析：根据题意，以O 为原点，以OA ，OB ，OC 正方向为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O -xyz ，不妨设OA ＝OB ＝OC ＝1，

则A (1，0，0)，B (0，1，0)，C (0，0，1)，P (0，b ，1－b )(1

2≤b ≤

1)，Q (a ，0，0)(0≤a ≤1

2

)．

QP →＝(－a ，b ，1－b )，OB →＝(0，1，0)，所以cos 〈QP →，OB →

〉＝QP →·OB →|QP →||OB →|＝

b

a 2＋

b 2＋（1－b ）2

＝

1

（a b ）2＋（1

b

－1）2＋1.

因为a b ∈[0，1]，1b ∈[1，2]，所以a ＝0，b ＝1时，cos 〈QP →，OB →

〉＝1，取得最大值；

a ＝12＝

b 时，cos 〈QP →，OB →

〉＝33取得最小值，所以PQ 和OB 所成角的余弦值的取值范围是????

33，1.

答案：??

?

?

33，1

5.如图，在多面体ABC -A 1B 1C 1中，四边形A 1ABB 1是正方形，AB ＝AC ，BC ＝2AB ，B 1C 1綊1

2

BC ，二面角A 1-AB -C 是直二面角．

求证：(1)A 1B 1⊥平面AA 1C ； (2)AB 1∥平面A 1C 1C .

证明：因为二面角A 1-AB -C 是直二面角，四边形A 1ABB 1为正方形， 所以AA 1⊥平面BAC .

又因为AB ＝AC ，BC ＝2AB ， 所以∠CAB ＝90°， 即CA ⊥AB ，

所以AB ，AC ，AA 1两两互相垂直．

以A 为原点，AC ，AB ，AA 1为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，

设AB ＝2，则A (0，0，0)，B 1(0，2，2)，A 1(0，0，2)，C (2，0，0)，C 1(1，1，2)． (1)A 1B 1→＝(0，2，0)，A 1A →＝(0，0，－2)，AC →

＝(2，0，0)， 设平面AA 1C 的一个法向量n ＝(x ，y ，z )，

2017浙江高考空间向量与立体几何练习

空间向量与立体几何 两年高考真题演练 1．如图， 在四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，侧棱A 1A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AC ，AB ＝1，AC ＝AA 1＝2，AD ＝CD ＝5，且点M 和N 分别为B 1C 和D 1D 的中点． (1)求证：MN ∥平面ABCD ； (2)求二面角D 1－AC －B 1的正弦值； (3)设E 为棱A 1B 1上的点，若直线NE 和平面ABCD 所成角的正弦值为1 3，求线段A 1E 的长．

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑． 如图，在阳马P －ABCD 中，侧棱PD ⊥底面ABCD ，且PD ＝CD ，过棱PC 的中点E ，作EF ⊥PB 交PB 于点F ，连接DE 、DF 、BD 、BE . (1)证明：PB ⊥平面DEF .试判断四面体DBEF 是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理由； (2)若面DEF 与面ABCD 所成二面角的大小为π3，求DC BC 的值．

如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面P AD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD； (2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC夹角的余弦值．

考点25空间向量与立体几何 一年模拟试题精练 1．已知等边三角形P AB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD ＝4，平面P AB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点． (1)如图(1)，若G为线段PD的中点，BE＝DF＝2 3，证明：PB∥ 平面EFG； (2)如图(2)，若E, F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD内(包括边界)能否找到点H，使之同时满足下列两个条件，并说明理由． (ⅰ)点H到点F的距离与点H到直线AB的距离之差大于4； (ⅱ)GH⊥PD.

高考——空间向量与立体几何(理科)

第14讲 空间向量与立体几何 知识要点? 一.空间向量 1. 空间向量的概念:在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注:(1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）向量具有平移不变性 2． 空间向量的运算。 定义:与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下(如图)。 +=+=; b a OB OA BA -=-=; 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 运算法则:三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。 （1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合,那么这些向量也叫做共线向量或平行向 量，a 平行于b ,记作 b a //。 （２)共线向量定理:空间任意两个向量a 、b (b ≠0 ),a //b 存在实数λ，使a =λb 。 (3)三点共线：A 、B 、C 三点共线＜＝> AC AB λ= <＝>y x += （1=+y x 其中） （4）与 共线的单位向量为a a ± ４． 共面向量 (1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明:空间任意的两向量都是共面的。

（2)共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数 ,x y 使 p xa yb =+。 (３）四点共面：若A 、Ｂ、C 、P 四点共面<=＞y x += <=＞ )1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP 其中 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有 序实数组,,x y z ,使p xa yb zc =++。 若三向量 ,,a b c 不共面,我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意 三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z , 使z y x ++= 。 6. 空间向量的直角坐标系: （1)空间直角坐标系中的坐标: 在空间直角坐标系O xyz - 中,对空间任一点A ,存在唯一的有序实数组 (,,)x y z ,zk yi xi OA ++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中 的坐标，记作(,,)A x y z ,x 叫横坐标,y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。 注：①点A （x,y,z ）关于x 轴的的对称点为(x ，－y,-ｚ),关于ｘoy 平面的对称点为(x,y,－z)．即点关于什么轴/平面对称,什么坐标不变,其余的分坐标均相反。②在y 轴上的点设为(0，ｙ,０)，在平面yO ｚ中的点设为(0，y,z) （2)若空间的一个基底的三个基向量互相垂直,且长为1,这个基底叫单位正交基底，用 {,,}i j k 表示。 空间中任一向量 k z j y i x a ++=＝（x ，y,ｚ) （3）空间向量的直角坐标运算律: ①若123(,,)a a a a =,123(,,)b b b b =,则112233(,,)a b a b a b a b +=+++,

(浙江专版)高考数学一轮复习 7.7 空间向量在立体几何中的应用限时集训 理

(限时：50分钟满分：112分) 1．(满分14分)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. (1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值． 2．(满分14分)(2013·孝感模拟)如图所示，四棱锥P－ABCD中， 底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD＝AB＝2，E、F、G分别为PC、 PD、BC的中点． (1)求证：PA⊥EF； (2)求二面角D－FG－E的余弦值． 3.(满分14分)如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝2AA1，点D 是A1B1的中点，点E在A1C1上且DE⊥AE. (1)证明：平面ADE⊥平面ACC1A1； (2)求直线AD和平面ABC1所成角的正弦值．

4．(满分14分)(2012·江西高考)如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝AC＝AA1＝5，BC＝4，点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O. (1)证明在侧棱AA1上存在一点E，使得OE⊥平面BB1C1C，并求出 AE的长； (2)求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值． 5．(满分14分)如图所示，在多面体ABCD－A1B1C1D1中，上，下两个底面A1B1C1D1和ABCD互相平行，且都是正方形，DD1⊥底面ABCD，AB＝2A1B1＝2DD1＝2a. (1)求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值； (2)已知F是AD的中点， 求证：FB1⊥平面BCC1B1； (3)在(2)的条件下，求二面角F－CC1－B的余弦值．

专题06 平面向量 -2020年浙江省高考数学命题规律大揭秘

专题06 平面向量 【真题感悟】 1.（2018年浙江卷）已知a，b，e是平面向量，e是单位向量．若非零向量a与e的夹角为，向量b满足b2?4e·b+3=0，则|a?b|的最小值是（） A．B．C．2 D． 【★答案★】A 【解析】设， 则由得， 由得 因此的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A. 2.（2017年浙江卷）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC与BD交于点O，记，，，则 A．I１

3.（2019年浙江卷）已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍±1时， 123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++的最小值是________；最大值是_______. 【★答案★】(1)0 (2) 25 【解析】 ()()12345613562456AB BC CD DA AC BD AB AD λ+λ+λ+λ+λ+λ=λ-λ+λ-λ+λ-λ+λ+λ 要使123456AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小，只需要 135562460λ-λ+λ-λ=λ-λ+λ+λ=，此时只需要取1234561,1,1,1,1,1λ=λ=-λ=λ=λ=λ= 此时123456min 0AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ= 等号成立当且仅当1356,,λ-λλ-λ均非负或者均非正，并且2456,,λ-λλ+λ均非负或者均非正. 比如1234561,1,,1,1,11λλλ=-λλ=-=λ=== 则123456max 2025AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ= =4.（2017年浙江卷）已知向量a,b 满足1,2a b ==，则a b a b ++-的最小值是___________，最大值是______. 【★答案★】 4 5【解析】设向量,a b 的夹角为θ，由余弦定理有： 2 2 12212cos 54cos a b θθ-=+-???=- ()2212212cos 54cos a b πθθ+=+-???-=+，则： 54cos 54cos a b a b θθ++-=+-

17浙江高考空间向量与立体几何练习

2017浙江高考空间向量与立体几何 练习 空间向量与立体几何两年高考真题演练1．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB＝1，AC＝AA1＝2，AD＝CD＝5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．(1)求证：MN∥平面ABCD；(2)求二面角D1－AC－B1的正弦值；(3)设E 为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正1弦值为3，求线段A1E的长． 2. 《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑．如图，在阳马P－ABCD中，侧棱PD⊥底面ABCD，且PD＝CD，过棱PC的中点E，作EF⊥PB 交PB于点F，连接DE、DF、BD、BE.

(1)证明：PB⊥平面DEF.试判断四面体DBEF是否为鳖臑．若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是，说明理；πDC(2)若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为3，求BC的值．3．如图，四棱锥P－ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD. (1)求证：AB⊥PD； (2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P－ABCD的体积最大？并求此时平面PBC与平面DPC 夹角的余弦值．考点25 空间向量与立体几何一年模拟试题精练1．已知等边三角形PAB的边长为2，四边形ABCD为矩形，AD＝4，平面PAB⊥平面ABCD，E，F，G分别是线段AB，CD，PD上的点．2(1)如图(1)，若G为线段PD的中点，BE＝DF＝3，证明：PB∥平面EFG；(2)如图(2)，若E, F分别为线段AB，CD的中点，DG＝2GP，试问：矩形ABCD内(包括边界)

2015年浙江高考数学(理科)试卷(含答案)

2015年浙江省高考数学试卷（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分2015年普通高等学校招生全国统一考试（浙江卷）数学（理科） 1．（5分）（2015?浙江）已知集合P={x|x2﹣2x≥0}，Q={x|1＜x≤2}，则（?R P）∩Q=（） A ．[0，1）B ． （0，2]C ． （1，2）D ． [1，2] 2．（5分）（2015?浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（） A ．8cm3B ． 12cm3C ． D ． 3．（5分）（2015?浙江）已知{a n}是等差数列，公差d不为零，前n项和是S n，若a3，a4，a8成等比数列，则（） A ．a1d＞0，dS4 ＞0 B ． a1d＜0，dS4 ＜0 C ． a1d＞0，dS4 ＜0 D ． a1d＜0，dS4 ＞0 4．（5分）（2015?浙江）命题“?n∈N*，f（n）∈N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．?n∈N*，f（n）?N*且f（n）＞n B．?n∈N*，f（n）?N*或f（n）＞n C．?n0∈N*，f（n0）?N*且f（n0）＞n0D．?n0∈N*，f（n0）?N*或f（n0）＞n0 5．（5分）（2015?浙江）如图，设抛物线y2=4x的焦点为F，不经过焦点的直线上有三个不同的点A，B，C，其中点A，B在抛物线上，点C在y轴上，则△BCF与△ACF的面积之比是（）

A ．B ． C ． D ． 6．（5分）（2015?浙江）设A，B是有限集，定义：d（A，B）=card（A∪B）﹣card（A∩B），其中card（A）表示有限集A中的元素个数（） 命题①：对任意有限集A，B，“A≠B”是“d（A，B）＞0”的充分必要条件； 命题②：对任意有限集A，B，C，d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C） A．命题①和命题②都成立B．命题①和命题②都不成立 C．命题①成立，命题②不成立D．命题①不成立，命题②成立 7．（5分）（2015?浙江）存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（） A ．f（sin2x）=sinx B ． f（sin2x） =x2+x C ． f（x2+1）=|x+1| D ． f（x2+2x） =|x+1| 8．（5分）（2015?浙江）如图，已知△ABC，D是AB的中点，沿直线CD将△ACD折成△A′CD，所成二面角A′﹣CD﹣B的平面角为α，则（） A ．∠A′DB≤αB ． ∠A′DB≥αC ． ∠A′CB≤αD ． ∠A′CB≥α 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．（6分）（2015?浙江）双曲线=1的焦距是，渐近线方程 是． 10．（6分）（2015?浙江）已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=，f（x）的最小值是．

2019高考数学考点突破——空间向量与立体几何空间向量及其运算学案

空间向量及其运算 【考点梳理】 1．空间向量的有关概念 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 (或平行向量) 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理：对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b . (3)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，其中，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2 ，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②非零向量a ，b 的数量积a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律： ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4．空间向量的坐标表示及其应用

设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a·b ＝0(a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉(a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 a 21＋a 22＋a 23· b 21＋b 22＋b 2 3 考点一、空间向量的线性运算 【例1】如图所示，在空间几何体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，各面为平行四边形，设AA 1→＝a ，AB → ＝b ，AD → ＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量： (1)AP →；(2)MP →＋NC 1→. [解析] (1)因为P 是C 1D 1的中点，所以AP →＝AA 1→＋A 1D 1→＋D 1P →＝a ＋AD →＋12D 1C 1→ ＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋1 2 b . (2)因为M 是AA 1的中点，所以MP →＝MA →＋AP → ＝12 A 1A →＋AP → ＝－12a ＋? ? ???a ＋c ＋12b ＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1→＝NC →＋CC 1→＝12BC →＋AA 1→

(浙江专用)202x版高考数学新增分大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算

§8.6空间向量及其运算 最新考纲考情考向分析 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置. 2.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示. 3.了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标表示的运算. 4.了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向量的夹角公式.本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容.一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力. 1.空间向量的有关概念 名称概念表示 零向量模为0的向量0 单位向量长度(模)为1的向量 相等向量方向相同且模相等的向量a＝b 相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 或重合的向量 a∥b 共面向量平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝x a＋y b，其中x，y∈R，a，b为不共线向量.

(3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是0≤〈a ，b 〉≤π，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直， 记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a ·b ，即 a · b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa )·b ＝λ(a ·b )； ②交换律：a ·b ＝b ·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线 a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λ b 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0) a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0 模 |a | a 21＋a 22＋a 2 3 夹角 〈a ，b 〉 (a ≠0，b ≠0) cos 〈a ，b 〉＝ a 1 b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21 ＋a 22 ＋a 23 ·b 21 ＋b 22 ＋b 23 概念方法微思考 1.共线向量与共面向量相同吗？

2016年浙江省数学高考模拟精彩题选——平面向量含答案

2016浙江精彩题选——平面向量 【一、数量积的余弦定理式】 1.（2016名校联盟第一次）15．空间四点A ，B ，C ，D 满足|→AB |＝2，|→BC |＝3，|→ CD |＝4，|→DA |＝7，则→AC ·→ BD 的值为___19____. 分 析 ： 应 用 数 量 积 的 余 弦 定 理 版 ， AC BD=AB+BC)BD AB BD +BC BD)??=??u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （（）（= 222222|AB||||||BC||||C |22 BD AD BD D +-+--+=19 2.(2016大联考13).如图，在三棱锥ABC 中，已知2AB AD ==，1BC =， 3AC BD ?=-u u u r u u u r ，则CD = 7 . 分析： 22222||||||||||1()3 22 AC AD DC AC AB AC BD AC AD AB AC AD AC AB +-+-?=?-=?-?=-=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3.（2016镇海最后卷15）如图，在平面四边形ABCD 中，已知E 、F 、G 、H 分别是棱AB 、BC 、CD 、DA 的中点，若2 2 |EG ||HF |1-=，设|AD|=x,|BC|=y,|AB|=z,|CD|=1,则228 x y z ++的最大值是 1 2 H G F E A D

浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第6节空间向量及其运算含解析

第6节 空间向量及其运算 考试要求 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示；2.了解空间向量的线性运算及其坐标表示；3.了解空间向量的数量积及其坐标表示；4.掌握空间两点间的距离公式，会求向量的长度、两向量的夹角. 知 识 梳 理 1.空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a ＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a ∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 (1)共线向量定理 空间两个向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在实数λ，使得b ＝λa . 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是OP →＝OA → ＋t a ① 其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ，则①可化为OP →＝OA →＋tAB →或OP →＝(1－t )OA → ＋tOB →. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p ＝x a ＋y b ，其中x ，y ∈R ，a ，b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O ，有OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB → ，其中x ＋y ＋z ＝1. (3)空间向量基本定理

如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1， λ2，λ3，使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，空间中不共面的三个向量e 1，e 2，e 3叫作这个空间的 一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB → ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作〈a ，b 〉，其范围是[0，π]，若〈a ，b 〉＝π 2，则称a 与b 互相垂直，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则|a ||b |cos 〈a ，b 〉叫做向量a ，b 的数量积，记作a·b ，即 a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a ·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4.空间向量的坐标表示及其应用 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3). 空间中点 P 1(x 1，y 1，z 1)，P 2(x 2，y 2，z 2)之间的距离|P 1P 2|＝ （x 1－x 2）2 ＋（y 1－y 2）2 ＋（z 1－z 2）2 . [常用结论与易错提醒] 1.a ·b ＝0?a ＝0或b ＝0或〈a ，b 〉＝π 2 . 2.a ·b <0不等价为〈a ，b 〉为钝角，因为〈a ，b 〉可能为180°；a ·b >0不等价为〈a ，b 〉为锐角，因为〈a ，b 〉可能为0°.

2018年浙江省高考数学试卷及解析(20200802202439).pdf

实用文档用心整理 2018年浙江省高考数学试卷 一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（4.00分）已知全集U={1，2，3，4，5}，A={1，3}，则?U A=（） A．?B．{1，3}C．{2，4，5}D．{1，2，3，4，5} 2．（4.00分）双曲线﹣y2=1的焦点坐标是（） A．（﹣，0），（，0）B．（﹣2，0），（2，0）C．（0，﹣），（0，）D．（0，﹣2），（0，2） 3．（4.00分）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（） A．2 B．4 C．6 D．8 4．（4.00分）复数（i为虚数单位）的共轭复数是（） 1

实用文档用心整理A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 5．（4.00分）函数y=2|x|sin2x的图象可能是（） A．B．C． D． 6．（4.00分）已知平面α，直线m，n满足m?α，n?α，则“ｍ∥n”是“ｍ∥α”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（4.00分）设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列是 ξ012 P 则当p在（0，1）内增大时，（） 2

A．D（ξ）减小B．D（ξ）增大 C．D（ξ）先减小后增大D．D（ξ）先增大后减小 8．（4.00分）已知四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，侧棱长均相等，E是线段AB上的点（不含端点）．设SE与BC所成的角为θ1，SE与平面ABCD所成的角为θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角为θ3，则（） A．θ1≤θ2≤θ3B．θ3≤θ2≤θ1C．θ1≤θ3≤θ2D．θ2≤θ3≤θ1 9．（4.00分）已知，，是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足﹣4?+3=0，则|﹣|的最小值是（） A．﹣1 B．+1 C．2 D．2﹣ 10．（4.00分）已知a1，a2，a3，a4成等比数列，且a1+a2+a3+a4=ln（a1+a2+a3），若a1＞1，则（） A．a1＜a3，a2＜a4B．a1＞a3，a2＜a4C．a1＜a3，a2＞a4D．a1＞a3，a2＞a4 二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分。 11．（6.00分）我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一．凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、 雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则，当z=81时，x=，y=． 3

浙江省高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算(理科专用)

浙江省高考数学一轮复习：42 空间向量及其运算（理科专用）
姓名:________
班级:________
成绩:________
一、 单选题 (共 13 题；共 26 分)
1. （2 分） (2019 高二上·株洲月考) 在空间直角坐标系中,正方体
棱长为
体的棱 的中点, 为棱 上的一点,且
则点 的坐标为（ ）
为正方
A.
B.
C.
D.
2. （2 分） (2019 高二上·寿光月考) 已知 为（ ）
，则向量
的夹角
A.
B.
C.
D.
3. （2 分） (2017 高二下·桂林期末) 已知 =（λ+1，0，2λ）， =（6，0，2）， ∥ ，则 λ 的 值为（ ）
A.
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B.5
C. D . ﹣5 4. （2 分） 已知 =（2，﹣3，1），则下列向量中与 平行的是（ ） A . （1，1，1） B . （﹣2，﹣3，5） C . （2，﹣3，5） D . （﹣4，6，﹣2）
5. （2 分） (2019 高三上·宜昌月考) 在边长为 2 的等边三角形 （）
中，若
A.
，则
B.
C. D . -2
6. （2 分） A . 30° B . 60° C . 120° D . 150°
且
， 则向量 与 的夹角为（ ）
7. （2 分） 已知空间任意一点 O 和不共线的三点 A，B，C，若 =2 + ， 则下列结论正确的是（ ）
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2019年浙江省高中数学高考考纲

2019年浙江省高中数学高考考纲 一、三角函数、解三角形 1．了解角、角度制与弧度制的概念，掌握弧度与角度的换算． 2．理解正弦函数、余弦函数、正切函数的定义及其图象与性质，了解三角函数的周期性． 3．理解同角三角函数的基本关系，掌握正弦、余弦、正切的诱导公式． 4．了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的实际意义，掌握y＝A sin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响． 5．掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握正弦、余弦、正切二倍角的公式． 6．掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明． 7．掌握正弦定理、余弦定理及其应用． 二、立体几何 1．了解多面体和旋转体的概念，理解柱、锥、台、球的结构特征． 2．了解简单组合体，了解中心投影、平行投影的含义． 3．了解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体．会用斜二测画法画出它们的直观图． 4．会计算柱、锥、台、球的表面积和体积． 5．了解平面的含义，理解空间点、直线、平面位置关系的定义．掌握如下可以作为推理依据的公理和定理． 公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面. 公理 3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4 平行于同一条直线的两条直线互相平行． 定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．6．理解空间线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理和性质定理． (1)判定定理： ①平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行；

浙江省近五年(-)高考数学 最新分类汇编4 平面向量 理

浙江省2013届高三最新理科数学（精选试题17套+2008-2012五年浙江高考 理科试题）分类汇编4：平面向量 一、选择题 1 ．（浙江省一级重点中学（六校）2013届高三第一次联考数学（理）试题）在△ABC 中,(3), AB AC CB -⊥uu u r uuu r uu r 则角A 的最大值为 （ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 【答案】A 2 ．（浙江省宁波市2013届高三第二次模拟考试数学（理）试题）已知空间向量 3 ,,1||||,π 的夹角为 且满足b a b a b a ==,O 为空间直角坐标系的原点,点 （ ） A ．B 满足b OB a OA -=+=3,2,则△OAB 的面积为 （ ） A ． 32 5 B ． 34 5 C ． 34 7 D ． 4 11 【答案】B 3 ．（浙江省杭州高中2013届高三第六次月考数学（理）试题）设平面向量a =(x 1,y 1),b=(x 2,y 2) ,定义运 算⊙:a ⊙b =x 1y 2-y 1x 2 .已知平面向量a ,b ,c ,则下列说法错误的是 （ ） A ．(a ⊙b )+(b ⊙a )=0 B ．存在非零向量a ,b 同时满足a ⊙b =0且a ?b =0 C ．(a +b )⊙c =(a ⊙c )+(b ⊙c ) D ．|a ⊙b |2= |a |2|b |2-|a ?b |2 【答案】B 4 ．（浙江省“六市六校”联盟2013届高三下学期第一次联考数学（理）试题）设a 、b 都是非零向量, 下列四个条件中, （ ） A ．b a -= B ．a ∥b C ．b a 2= D ．a ∥b 【答案】C 5 ．（浙江省宁波市鄞州中学2012学年高三第六次月考数学（理）试卷 ）已知P 是ABC ?内一点,且满足 =++PC PB PA 320,记ABP ?、BCP ?、ACP ? 的面积依次为1S 、2S 、3S ,则1S :2S :3S 等于 （ ） A ．3:2:1 B ．9:4:1 C ．3:2:1 D ．2:1:3 【答案】D 6 ．（浙江省金华十校2013届高三4月模拟考试数学（理）试题）在△ABC 中,已知 9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=,P 为线段AB 上的点,且 ,|| || CA CB CP x y xy CA CB =? +? 则的最大值为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

浙江省2021届高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量第1节空间几何体的结构三视图和直观图含解析

第1节空间几何体的结构、三视图和直观图 考试要求 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模型，会用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式. 知识梳理 1.简单多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形； (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形； (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形. 2.旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形任一边所在的直线 圆锥直角三角形任一直角边所在的直线 圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 球半圆直径所在的直线 3.三视图 (1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求：长对正，高平齐，宽相等. ②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线. 4.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

[常用结论与易错提醒] 1.常见旋转体的三视图 (1)球的三视图都是半径相等的圆. (2)水平放置的圆锥的正视图和侧视图均为全等的等腰三角形. (3)水平放置的圆台的正视图和侧视图均为全等的等腰梯形. (4)水平放置的圆柱的正视图和侧视图均为全等的矩形. 2.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点. 3.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同. 4.对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易忽视实虚线的画法. 诊断自测 1.判断下列说法的正误. (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( ) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( ) (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.() (4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( ) 解析(1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱柱. (2)反例：如图所示图形不是棱锥. (3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴画成相交成45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还平行于y轴，所以∠A也可能为135°. (4)球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角形，其俯视图为圆心和圆，正方体的三视图不一定相同. 答案(1)×(2)×(3)×(4)× 2.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( ) A.圆柱 B.圆锥

[2019浙江高考数学]第3讲 平面向量

第3讲 平面向量 高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现. 真 题 感 悟 1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析 a ·(2a －b )＝2a 2－a·b ＝2－(－1)＝3，故选B. 答案 B 2.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹 角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2 D.2－ 3 解析 法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝ (1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2 ＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为 a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如 图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. 法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0. 设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所 以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3 ，所以 |a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA →|－|BC →|≥3－1.

(浙江专用)2020高考数学立体几何第3讲空间向量与立体几何专题强化训练

第3讲 空间向量与立体几何 专题强化训练 1．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别为CD 和C 1C 的中点,则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为( ) A.1 3 B.25 C.35 D.37 解析：选B.以D 为原点,分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系(图略)．若棱长为2,则A (2,0,0)、E (0,1,0)、D 1(0,0,2)、F (0,2,1)． 所以EA →＝(2,－1,0),D 1F → ＝(0,2,－1), cos 〈EA →,D 1F → 〉＝EA →·D 1F →|EA →||D 1F →|＝－25·5＝－25. 则直线AE 与D 1F 所成角的余弦值为2 5 . 2．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,点E 为BB 1的中点,则平面A 1ED 与平面ABCD 所成的锐二面角的余弦值为( ) A.12 B.23 C.33 D.22 解析：选B.以A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ,设棱长为1,则A 1(0,0,1),E ? ????1，0，12, D (0,1,0), 所以A 1D → ＝(0,1,－1), A 1E → ＝? ?? ?? 1，0，－12 , 设平面A 1ED 的一个法向量为n 1＝(1,y ,z ),

则?????y －z ＝0，1－12 z ＝0，所以?????y ＝2，z ＝2. 所以n 1＝(1,2,2)． 因为平面ABCD 的一个法向量为n 2＝(0,0,1), 所以cos 〈n 1,n 2〉＝23×1＝2 3. 即所成的锐二面角的余弦值为2 3 . 3．(2019·浙江省十校联合体期末联考)在三棱锥O -ABC 中,已知OA ,OB ,OC 两两垂直且相等,点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点,且满足BP ≤12BC ,AQ ≥1 2AO ,则PQ 和OB 所成角的余弦 的取值范围是( ) A.?????? 22，1 B.?????? 33，1 C.?? ???? 33 ，255 D.?? ???? 22 ，255 解析：选B.根据题意,以O 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设OA ＝OB ＝OC ＝2,OB → ＝(2,0,0),设 P (x ,y ,0),Q (0,0,z ),因为BP ≤12BC ,AQ ≥12 AO ,所以1≤x ≤2,0≤y ≤1 且x ＋y ＝2,0≤z ≤1,PQ →＝(－x ,x －2,z ),|cos 〈OB →,PQ →〉|＝ ????? ???OB →·PQ →|OB →|·|PQ →| ＝???? ?? －x 2x 2－4x ＋4＋z 2, 当x ＝1,z ＝1时,|cos 〈OB →,PQ → 〉|＝33； 当x ＝2,z ＝1时,|cos 〈OB →,PQ → 〉|＝255； 当x ＝2,z ＝0时,|cos 〈OB →,PQ → 〉|＝1. 当x ＝1,z ＝0时,|cos 〈OB →,PQ → 〉|＝22,结合四个选项可知PQ 和OB 所成角的余弦的取值 范围是?? ?? ?? 33，1. 4．(2019·宁波市镇海中学高考模拟)在直三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中,∠BAC ＝π 2 ,AB ＝AC ＝AA 1