北京市高考数学试题及答案【解析版】
2015年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：利用复数的运算法则解答．
解答：解：原式=2i﹣i2=2i﹣（﹣1）=1+2i；
故选：A．
点评：本题考查了复数的运算；关键是熟记运算法则．注意i2=﹣1．
2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
考点：简单线性规划．
专题：不等式的解法及应用．
分析：作出题中不等式组表示的平面区域，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，即可求出z取得最大值．
解答：解：作出不等式组表示的平面区域，
得到如图的三角形及其内部阴影部分，由
解得A（，），目标函数z=x+2y，将直线z=x+2y进行平移，
当l经过点A时，目标函数z达到最大值
∴z最大值==
故选：C．
点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．
3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）
A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）
考点：程序框图．
专题：图表型；算法和程序框图．
分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x，y，k的值，当k=3时满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0）．
解答：解：模拟执行程序框图，可得
x=1，y=1，k=0
s=0，i=2
x=0，y=2，k=1
不满足条件k≥3，s=﹣2，i=2，x=﹣2，y=2，k=2
不满足条件k≥3，s=﹣4，i=0，x=﹣4，y=0，k=3
满足条件k≥3，退出循环，输出（﹣4，0），
故选：B．
点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的x，y，k的值是解题的关键，属于基础题．
4．（5分）（2015?北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是
“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
专题：简易逻辑．
分析：m∥β并得不到α∥β，根据面面平行的判定定理，只有α内的两相交直线都平行于β，而α∥β，并且m?α，显然能得到m∥β，这样即可找出正确选项．
解答：解：m?α，m∥β得不到α∥β，因为α，β可能相交，只要m和α，β的交线平行即可得到m∥β；
α∥β，m?α，∴m和β没有公共点，∴m∥β，即α∥β能得到m∥β；
∴“m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件．
故选B．
点评：考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念．
5．（5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）
A．2+B．4+C．2+2D．5
考点：由三视图求面积、体积．
专题：空间位置关系与距离．
分析：根据三视图可判断直观图为：A⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，EA=2，EA=EB=1，OA=1，：BC⊥面AEO，AC=，OE=
判断几何体的各个面的特点，计算边长，求解面积．
解答：解：根据三视图可判断直观图为：
OA⊥面ABC，AC=AB，E为BC中点，
EA=2，EC=EB=1，OA=1，
∴可得AE⊥BC，BC⊥OA，
运用直线平面的垂直得出：BC⊥面AEO，AC=，OE=
∴S△ABC=2×2=2，S△OAC=S△OAB=×1=．
S△BCO=2×=．
故该三棱锥的表面积是2，
故选：C．
点评： 本题考查了空间几何体的三视图的运用，空间想象能力，计算能力，关键是恢复直
观图，得出几何体的性质．
6．（5分）（2015?北京）设{a n }是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A ． 若a 1+a 2＞0，则a 2+a 3＞0
B ． 若a 1+a 3＜0，则
若a 1+a 2＜0，
C ． 若若0＜a 1＜a 2，则a 2
D ． 若a 1＜0，则（a 2
﹣a 1）（a 2﹣a 3）
＞0
考点： 等差数列的性质．
专题： 计算题；等差数列与等比数列．
分析： 对选项分别进行判断，即可得出结论．
解答： 解：若a 1+a 2＞0，则2a 1+d ＞0，a 2+a 3=2a 1+3d ＞2d ，d ＞0时，结论成立，即A 不正
确；
若a 1+a 2＜0，则2a 1+d ＜0，a 2+a 3=2a 1+3d ＜2d ，d ＜0时，结论成立，即B 不正确；
{a n }是等差数列，0＜a 1＜a 2，2a 2=a 1+a 3＞2，∴a 2＞，即C 正确；
若a 1＜0，则（a 2﹣a 1）（a 2﹣a 3）=﹣d 2＜0，即D 不正确．
故选：C ．
点评： 本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
7．（5分）（2015?北京）如图，函数f （x ）的图象为折线ACB ，则不等式f （x ）≥log 2（x+1）的解集是（ ）
A ． {x|﹣1＜x≤0}
B ． {x|﹣1≤x≤1}
C ． {x|﹣1＜x≤1}
D ． {x|﹣1＜x≤2}
考点： 指、对数不等式的解法．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 在已知坐标系内作出y=log 2（x+1）的图象，利用数形结合得到不等式的解集． 解答： 解：由已知f （x ）的图象，在此坐标系内作出y=log 2（x+1）的图象，如图
满足不等式f （x ）≥log 2（x+1）的x 范围是﹣1＜x≤1；所以不等式f （x ）≥log 2
（x+1）的解集是{x|﹣1＜x≤1}；
故选C ．
点评： 本题考查了数形结合求不等式的解集；用到了图象的平移．
8．（5分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ）
A ． 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B ． 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C ． 甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D ． 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
考点：函数的图象与图象变化．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：根据汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，以及图象，分别判断各个选项即可．
解答：解：对于选项A，消耗1升汽油，乙车行驶的距离比5小的很多，故A错误；
对于选项B，以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最小，故B错误，
对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，里程为80千米，燃油效率
为10，故消耗8升汽油，故C错误，
对于选项D，因为在速度低于80千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，故
D正确．
点评：本题考查了函数图象的识别，关键掌握题意，属于基础题．
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为40 （用数字作答）
考点：二项式定理的应用．
专题：二项式定理．
分析：写出二项式定理展开式的通项公式，利用x的指数为3，求出r，然后求解所求数值．解答：解：（2+x）5的展开式的通项公式为：T
=25﹣r x r，
r+1
所求x3的系数为：=40．
故答案为：40．
点评：本题考查二项式定理的应用，二项式系数的求法，考查计算能力．
10．（5分）（2015?北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a= ．
考点：双曲线的简单性质．
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：运用双曲线的渐近线方程为y=±，结合条件可得=，即可得到a的值．
解答：解：双曲线﹣y2=1的渐近线方程为y=±，
由题意可得=，
解得a=．
故答案为：．
点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．11．（5分）（2015?北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为
1 ．
考点：简单曲线的极坐标方程．
专题：坐标系和参数方程．
分析：化为直角坐标，再利用点到直线的距离公式距离公式即可得出．
解答：解：点P（2，）化为P．
直线ρ（cosθ+sinθ）=6化为．
∴点P到直线的距离d==1．
故答案为：1．
点评：本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
12．（5分）（2015?北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= 1 ．
考点：余弦定理；二倍角的正弦；正弦定理．
专题：计算题；解三角形．
分析：利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．
解答：解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，
∴cosC==，cosA==
∴sinC=，sinA=，
∴==1．
故答案为：1．
点评：本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．
13．（5分）（2015?北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x= ，y= ﹣．
考点：平面向量的基本定理及其意义．
专题：平面向量及应用．
分析：首先利用向量的三角形法则，将所求用向量表示，然后利用平面向量基本定理得到x，y值．
解答：解：由已知得到===；
由平面向量基本定理，得到x=，y=；
故答案为：．
点评：本题考查了平面向量基本定理的运用，一个向量用一组基底表示，存在唯一的实数对（x，y）使，向量等式成立．
14．（5分）（2015?北京）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为﹣1 ；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是≤a＜1或a≥2．
考点：函数的零点；分段函数的应用．
专题：创新题型；函数的性质及应用．
分析：①分别求出分段的函数的最小值，即可得到函数的最小值；
②分别设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a），分两种情况讨论，即可求出
a的范围．
解答：解：①当a=1时，f（x）=，
当x＜1时，f（x）=2x﹣1为增函数，f（x）＞﹣1，
当x＞1时，f（x）=4（x﹣1）（x﹣2）=4（x2﹣3x+2）=4（x﹣）2﹣1，
当1＜x＜时，函数单调递减，当x＞时，函数单调递增，
故当x=时，f（x）min=f（）=﹣1，
②设h（x）=2x﹣a，g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）
若在x＜1时，h（x）=与x轴有一个交点，
所以a＞0，并且当x=1时，h（1）=2﹣a＞0，所以0＜a＜2，
而函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有一个交点，所以2a≥1，且a＜1，
所以≤a＜1，
若函数h（x）=2x﹣a在x＜1时，与x轴没有交点，
则函数g（x）=4（x﹣a）（x﹣2a）有两个交点，
当a≤0时，h（x）与x轴无交点，g（x）无交点，所以不满足题意（舍去），
当h（1）=2﹣a≤时，即a≥2时，g（x）的两个交点为x1=a，x2=2a，都是满足题
意的，
综上所述a的取值范围是≤a＜1，或a≥2．
点评：本题考查了分段函数的问题，以及函数的零点问题，培养了学生的转化能力和运算能力以及分类能力，属于中档题．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=sincos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值．
专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．
分析：（Ⅰ）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦喊话说的周期，即可得到所求；
（Ⅱ）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sincos﹣sin
=sinx﹣（1﹣cosx）
=sinxcos+cosxsin﹣
=sin（x+）﹣，
则f（x）的最小正周期为2π；
（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得
﹣≤x+≤，
即有﹣1，
则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，
则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．
点评：本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题．
16．（13分）（2015?北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
考点：极差、方差与标准差；古典概型及其概率计算公式．
专题：概率与统计．
分析：设事件A
为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，由题意
i
可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，??，7
（Ⅰ）事件等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”，由概率公式可得；
（Ⅱ）设事件“甲的康复时间比乙的康复时间
长”C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，易得P（C）=10P
（A4B1），易得答案；
（Ⅲ）由方差的公式可得．
解答：解：设事件A
为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，
i
由题意可知P（A i）=P（B i）=，i=1，2，??，7
（Ⅰ）事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5或第6或第7个人”
∴甲的康复时间不少于14天的概率P（A5∪A6∪A7）=P（A5）+P（A6）+P（A7）=；
（Ⅱ）设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”，
则C=A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，
∴P（C）=P（A4B1）+P（A5B1）+P（A6B1）P+（A7B1）+P（A5B2）+P（A6B2）+P（A7B2）
+P（A7B3）+P（A6B6）+P（A7B6）
=10P（A4B1）=10P（A4）P（B1）=
（Ⅲ）当a为11或18时，A，B两组病人康复时间的方差相等．
点评：本题考查古典概型及其概率公式，涉及概率的加法公式和方差，属基础题．17．（14分）（2015?北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥
平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质．
专题：空间位置关系与距离；空间角．
分析：（Ⅰ）根据线面垂直的性质定理即可证明AO⊥BE．
（Ⅱ）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）利用线面垂直的性质，结合向量法即可求a的值
解答：证明：（Ⅰ）∵△AEF为等边三角形，O为EF的中点，
∴AO⊥EF，
∵平面AEF⊥平面EFCB，AO?平面AEF，
∴AO⊥平面EFCB
∴AO⊥BE．
（Ⅱ）取BC的中点G，连接OG，
∵EFCB是等腰梯形，
∴OG⊥EF，
由（Ⅰ）知AO⊥平面EFCB，
∵OG?平面EFCB，∴OA⊥OG，
建立如图的空间坐标系，
则OE=a，BG=2，GH=a，BH=2﹣a，EH=BHtan60°=，
则E（a，0，0），A（0，0，a），B（2，，0），
=（﹣a，0，a），=（a﹣2，﹣，0），
设平面AEB的法向量为=（x，y，z），
则，即，
令z=1，则x=，y=﹣1，
即=（，﹣1，1），
平面AEF的法向量为，
则cos＜＞==
即二面角F﹣AE﹣B的余弦值为；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，
则BE⊥OC，
即=0，
∵=（a﹣2，﹣，0），=（﹣2，，0），
∴=﹣2（a﹣2）﹣3（a﹣2）2=0，
解得a=．
点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法．
18．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=ln，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用．
专题：导数的综合应用．
分析：（1）利用函数的导数求在曲线上某点处的切线方程．
（2）构造新函数利用函数的单调性证明命题成立．
（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围．
解答：解答：（1）因为f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x）所以
又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=2x．
（2）证明：令g（x）=f（x）﹣2（x+），则
g'（x）=f'（x）﹣2（1+x2）=，
因为g'（x）＞0（0＜x＜1），所以g（x）在区间（0，1）上单调递增．
所以g（x）＞g（0）=0，x∈（0，1），
即当x∈（0，1）时，f（x）＞2（x+）．
（3）由（2）知，当k≤2时，f（x）＞对x∈（0，1）恒成立．
当k＞2时，令h（x）=f（x）﹣，则
h'（x）=f'（x）﹣k（1+x2）=，
所以当时，h'（x）＜0，因此h（x）在区间（0，）上单调递减．
当时，h（x）＜h（0）=0，即f（x）＜．
所以当k＞2时，f（x）＞并非对x∈（0，1）恒成立．
综上所知，k的最大值为2．
点评：本题主要考查切线方程的求法及新函数的单调性的求解证明．在高考中属常考题型，难度适中．
19．（14分）（2015?北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A （m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在
点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
专题：创新题型；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．
分析：（I）根据椭圆的几何性质得出求解即可．
（II）求解得出M（，0），N（，0），运用图形得出tan∠OQM=tan∠ONQ，=，求解即可得出即y Q2=x M?x N，+n2，根据m，m的关系整体求解．
解答：解：（Ⅰ）由题意得出
解得：a=，b=1，c=1
∴+y2=1，
∵P（0，1）和点A（m，n），﹣1＜n＜1
∴PA的方程为：y﹣1=x，y=0时，x M=
∴M（，0）
（II）∵点B与点A关于x轴对称，点A（m，n）（m≠0）
∴点B（m，﹣n）（m≠0）
∵直线PB交x轴于点N，
∴N（，0），
∵存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，y Q），
∴tan∠OQM=tan∠ONQ，
∴=，即y Q2=x M?x N，+n2=1
y Q2==2，
∴y Q=，
故y轴上存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ，Q（0，）或Q（0，﹣）
点评：本题考查了直线圆锥曲线的方程，位置关系，数形结合的思想的运用，运用代数的方法求解几何问题，难度较大，属于难题．
20．（13分）（2015?北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记
集合M={a n|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
考点：数列递推式．
专题：创新题型；点列、递归数列与数学归纳法．
分析：（Ⅰ）a
=6，利用a n+1=可求得集合M的所有元素为6，12，24；
1
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数；
（Ⅲ）分a1是3的倍数与a1不是3的倍数讨论，即可求得集合M的元素个数的最大
值．
解答：解：（Ⅰ）若a
=6，由于a n+1=（n=1，2，…），M={a n|n∈N*}．
1
故集合M的所有元素为6，12，24；
（Ⅱ）因为集合M存在一个元素是3的倍数，所以不妨设a k是3的倍数，由a n+1=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n是3的倍数．
如果k=1，M的所有元素都是3的倍数；
如果k＞1，因为a k=2a k﹣1，或a k=2a k﹣1﹣36，所以2a k﹣1是3的倍数；于是a k﹣1是3
的倍数；
类似可得，a k﹣2，…，a1都是3的倍数；
从而对任意n≥1，a n是3的倍数；
综上，若集合M存在一个元素是3的倍数，则集合M的所有元素都是3的倍数
（Ⅲ）对a1≤36，a n=（n=1，2，…），可归纳证明对任意n≥k，a n＜36（n=2，3，…）因为a1是正整数，a2=，所以a2是2的倍数．
从而当n≥3时，a n是2的倍数．
如果a1是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n是3的倍数．
因此当n≥3时，a n∈{12，24，36}，这时M的元素个数不超过5．
如果a1不是3的倍数，由（Ⅱ）知，对所有正整数n，a n不是3的倍数．
因此当n≥3时，a n∈{4，8，16，20，28，32}，这时M的元素个数不超过8．
当a1=1时，M={1，2，4，8，16，20，28，32}，有8个元素．
综上可知，集合M的元素个数的最大值为8．
点评：本题考查数列递推关系的应用，突出考查分类讨论思想与等价转化思想及推理、运算能力，属于难题．
2015年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（每小题5分，共40分）
1．（5分）（2015?北京）复数i（2﹣i）=（）
A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i
2．（5分）（2015?北京）若x，y满足，则z=x+2y的最大值为（）
A．0B．1C．D．2
3．（5分）（2015?北京）执行如图所示的程序框图，输出的结果为（）A．（﹣2，2）B．（﹣4，0）C．（﹣4，﹣4）D．（0，﹣8）
4．（5分）（2015?北京）设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，“m∥β“是
“α∥β”的（）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分不要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）（2015?北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）A．2+B．4+C．2+2D．5
6．（5分）（2015?北京）设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）
A．若a
+a2＞0，则a2+a3＞0B．若a1+a3＜0，则若a1+a2＜0，
1
C．若若0＜a
＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
1
7．（5分）（2015?北京）如图，函数f（x）的图象为折线ACB，则不等式f（x）≥log2（x+1）
的解集是（）
A．{x|﹣1＜x≤0}B．{x|﹣1≤x≤1}C．{x|﹣1＜x≤1}D．{x|﹣1＜x≤2}
8．（5分）（2015?北京）汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描
述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）
A．消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米
B．以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多
C．甲车以80千米/小时的速度行驶1小时，消耗10升汽油
D．某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油
二、填空题（每小题5分，共30分）
9．（5分）（2015?北京）在（2+x）5的展开式中，x3的系数为（用数字作答）
（5分）（2015?北京）已知双曲线﹣y2=1（a＞0）的一条渐近线为x+y=0，则a= ．10．
11．（5分）（2015?北京）在极坐标系中，点（2，）到直线ρ（cosθ+sinθ）=6的距离为．
12．（5分）（2015?北京）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则= ．
13．（5分）（2015?北京）在△ABC中，点M，N满足=2，=，若=x+y，则x= ，y= ．
14．（5分）（2015?北京）设函数f（x）=，
①若a=1，则f（x）的最小值为；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是．
三、解答题（共6小题，共80分）
15．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=sincos﹣sin．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．
16．（13分）（2015?北京）A，B两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：
A组：10，11，12，13，14，15，16
B组；12，13，15，16，17，14，a
假设所有病人的康复时间相互独立，从A，B两组随机各选1人，A组选出的人记为甲，B
组选出的人记为乙．
（Ⅰ）求甲的康复时间不少于14天的概率；
（Ⅱ）如果a=25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；
（Ⅲ）当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）
17．（14分）（2015?北京）如图，在四棱锥A﹣EFCB中，△AEF为等边三角形，平面AEF⊥平面EFCB，EF∥BC，BC=4，EF=2a，∠EBC=∠FCB=60°，O为EF的中点．
（Ⅰ）求证：AO⊥BE．
（Ⅱ）求二面角F﹣AE﹣B的余弦值；
（Ⅲ）若BE⊥平面AOC，求a的值．
18．（13分）（2015?北京）已知函数f（x）=ln，
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（Ⅱ）求证，当x∈（0，1）时，f（x）；
（Ⅲ）设实数k使得f（x）对x∈（0，1）恒成立，求k的最大值．
19．（14分）（2015?北京）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点P（0，1）和点A （m，n）（m≠0）都在椭圆C上，直线PA交x轴于点M．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求点M的坐标（用m，n表示）；
（Ⅱ）设O为原点，点B与点A关于x轴对称，直线PB交x轴于点N，问：y轴上是否存在点Q，使得∠OQM=∠ONQ？若存在，求点Q的坐标，若不存在，说明理由．
20．（13分）（2015?北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．
（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；
（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；
（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．
(完整word版)高中数学解析几何大题精选
解析几何大量精选 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，) 2 ,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹 是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ． ⑴求轨迹C 的方程； ⑴当0AP AQ ?=u u u r u u u r 时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 【解析】 ⑴ 2 214 x y +=． ⑴将y kx b =+代入曲线C 的方程， 整理得2 2 2 (14)8440k x kbx b +++-=， 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122 814kb x x k +=-+，21224414b x x k -= + ② 且2222 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 所以()112,AP x y =+u u u r ，()222,AQ x y =+u u u r ． 由0AP AQ ?=u u u r u u u r ，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或6 5 b k =．经检验，都符合条件① 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点． 即直线l 经过点A ，与题意不符． 当65b k =时，直线l 的方程为6655y kx k k x ? ?=+=+ ?? ?． 显然，此时直线l 经过定点6,05?? - ??? 点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65b k =，且直线l 经过定点6,05?? - ??? 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的 圆与直线0x y -=相切． ⑴ 求椭圆C 的方程； ⑴ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； ⑴ 在⑴的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?u u u u r u u u r 的取值范围． 【解析】 ⑴22 143 x y +=． ⑴ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．
2020最新高考数学模拟测试卷含答案
第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． （1）化简? --???-160cos 120cos 20cos 20sin 212 得 （ ） （A ） ?-40sin 1 （B ） ? -?20sin 20cos 1（C ）1 （D ）－1 （2）双曲线8822=-ky kx 的一个焦点是（0，－3），则k 的值是 （ ） （A ）1 （B ）－1 （C ）3 15 （D ）－3 15 （3）已知)(1 x f y -= 过点（3，5），g （x ）与f （x ）关于直线x =2对称， 则y =g （x ）必过 点 （ ） （A ）（－1，3） （B ）（5，3） （C ）（－1，1） （D ）（1，5） （4）已知复数3)1(i i z -?=，则=z arg （ ） （A ）4 π （B ）－4 π （C ）4 7π （D ）4 5π （5）（理）曲线r =ρ上有且仅有三点到直线8)4 cos(=+πθρ的距离为1，则r 属于集合 （ ） （A ）}97|{< 线的夹角 在)12 ,0(π内变动时，a 的取值范围是 （ ） （A ）（0，1） （B ）)3,3 3 ( （C ）)3,1( （D ） )3,1()1,3 3 ( Y 6．半径为2cm 的半圆纸片卷成圆锥放在桌面上，一阵风吹倒它，它的最高处距桌面（ ） （A ）4cm （B ）2cm （C ）cm 32 （D ）cm 3 7．（理）)4sin arccos(-的值等于 （ ） （A ）42-π （B ）2 34π- （C ）423-π （D ）4+π （文）函数2 3cos 3cos sin 2- + =x x x y 的最小正周期为 （ ） （A ）4 π （B ）2 π （C ）π （D ）2π 8．某校有6间电脑室，每晚至少开放2间，则不同安排方案的种数为 （ ） ①26C ②66 56 46 36 2C C C C +++③726- ④26P 其中正确的结论为 （ ） （A ）仅有① （B ）有②和③ （C ）仅有② （D ）仅有③ 9．正四棱锥P —ABCD 的底面积为3，体积为,2 2E 为侧棱PC 的中点， 则PA 与BE 所成 的角为 （ ） （A ）6 π （B ）4 π （C ）3 π （D ）2 π 理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用 哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右 2015高考数学全国卷1(完美版) 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给 出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的. 1．设复数z满足1＋z 1－z ＝i，则|z|＝ A．1 B．2 C． 3 D．2 2．sin20°cos10°－cos160°sin10°＝ A．－ 3 2B． 3 2C．－ 1 2 D．1 2 3．设命题P：?n∈N，n2＞2n，则￢P为 A．?n∈N，n2＞2n B．?n∈N，n2≤2n C．?n∈N，n2≤2n D．?n∈N，n2＝2n 4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测 试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 5．已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22 －y 2 ＝1 上的一点， F 1、F 2是C 上的两个焦点，若 M F 1→· M F 2 →＜0 ，则y 0的取值范围是 A ．? ???? －33 ，33 B ． ? ???? －36 ，36 C ．? ????－223，223 D ．? ?? ?? －233，233 6．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著， 书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 高考数学解析几何专题练习解析版82页 1．一个顶点的坐标()2,0 ，焦距的一半为3的椭圆的标准方程是（ ） A. 19422=+y x B. 14922=+y x C. 113422=+y x D. 14132 2=+y x 2．已知双曲线的方程为22 221(0,0)x y a b a b -=>>，过左焦点F 1的直线交 双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率是( ) A ． 3 B ．32+ C ． 31+ D ． 32 3．已知过抛物线y 2 =2px （p>0）的焦点F 的直线x －my+m=0与抛物线交于A ，B 两点， 且△OAB （O 为坐标原点）的面积为，则m 6+ m 4的值为（ ） A ．1 B ． 2 C ．3 D ．4 4．若直线经过(0,1),(3,4)A B 两点，则直线AB 的倾斜角为 A ．30o B ． 45o C ．60o D ．120o 5．已知曲线C 的极坐标方程ρ=2θ2cos ,给定两点P(0，π/2)，Q （-2，π），则有 ( ) （Ａ）P 在曲线C 上，Q 不在曲线C 上 （Ｂ）P 、Q 都不在曲线C 上 （Ｃ）P 不在曲线C 上，Q 在曲线C 上 （Ｄ）P 、Q 都在曲线C 上 6．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65, 2(π B ．)6 ,2(π C ．)611,2(π D ．)67,2(π 7．曲线的参数方程为???-=+=1 232 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、直线 C 、圆 D 、射线 8．点（2,1）到直线3x-4y+2=0的距离是（ ） A ． 54 B ．4 5 C ． 254 D ．4 25 9． 圆0642 2 =+-+y x y x 的圆心坐标和半径分别为（ ） A.)3,2(-、13 B.)3,2(-、13 C.)3,2(--、13 D.)3,2(-、13 10．椭圆 122 2 2=+b y x 的焦点为21,F F ,两条准线与x 轴的交点分别为M 、N ，若212F F MN ≤，则该椭圆离心率取得最小值时的椭圆方程为 ( ) F D C B A 2019年高考数学模拟试题（理科） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。 一．选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的 1．已知集合}032{2>--=x x x A ，}4,3,2{=B ，则B A C R ?)(= A ．}3,2{ B ．}4,3,2{ C ．}2{ D ．φ 2．已知i 是虚数单位，i z += 31 ，则z z ?= A ．5 B ．10 C ． 10 1 D ． 5 1 3．执行如图所示的程序框图，若输入的点为(1,1)P ，则输出的n 值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 （第3题） （第4题） 4．如图，ABCD 是边长为8的正方形，若1 3 DE EC =，且F 为BC 的中点，则EA EF ?= A ．10 B ．12 C ．16 D ．20 5．若实数y x ,满足?? ???≥≤-≤+012y x y y x ，则y x z 82?=的最大值是 A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 6.一个棱锥的三视图如右图，则该棱锥的表面积为 A ．3228516++ B ．32532+ C ．32216+ D ．32216516++ 7. 5张卡片上分别写有0，1，2，3，4，若从这5张卡片中随机取出2张，则取出的2张卡片上的数字之和大于5的概率是 A ． 101 B ．51 C ．103 D ．5 4 8．设n S 是数列}{n a 的前n 项和，且11-=a ，11++?=n n n S S a ，则5a = A ． 301 B ．031- C ．021 D ．20 1 - 9. 函数()1ln 1x f x x -=+的大致图像为 10. 底面为矩形的四棱锥ABCD P -的体积为8，若⊥PA 平面ABCD ,且3=PA ，则四棱锥 ABCD P -的外接球体积最小值是 最全高考数学统计专题解析版【真题】 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第十一章统计、统计案例 第一部分六年高考荟萃 2013年高考题 1 ．（2013年高考陕西卷（理））某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取 42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号 落入区间[481, 720]的人数为（）A．11 B．12 C．13 D．14 2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版））某班级有 50名学生,其中有30名男生和20名女生,随机询问了该班五名男生和五名 女生在某次数学测验中的成绩,五名男生的成绩分别为86,94,88,92,90,五名 女生的成绩分别为88,93,93,88,93.下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样 B．这种抽样方法是一种系统抽样 C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差 D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 3 ．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版））某校从高 一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分为6组:[40,50), [50,60), [60,70), [70,80), [80,90), [90,100)加以统计,得到如图所示的频率分布 直方图,已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60 分的学生人数为（）A．588 B．480 C．450 D．120 4 ．（2013年高考江西卷（理））总体有编号为01,02,…,19,20的20个个体组成。利用下 面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字 7816 6572 0802 6314 0702 4369 9728 0198 3204 9234 4935 8200 3623 4869 6938 7481 ）A．08 B．07 C．02 D．01 5．（2013年高考上海卷（理））盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 ___________(结果用最简分数表示) 绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2015年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的。 （1） 设复数z 满足1+z 1z -=i ，则|z|= （A ）1 （B （C （D ）2 （2）sin20°cos10°-con160°sin10°= （A ）2-（B ）2 （C ）12- （D ）12 （3）设命题P ：?n ∈N ，2n >2n ，则?P 为 （A ）?n ∈N, 2n >2n （B ）? n ∈N, 2n ≤2n （C ）?n ∈N, 2n ≤2n （D ）? n ∈N, 2n =2n （4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为 （A ）0.648 （B ）0.432 （C ）0.36 （D ）0.312 （5）已知00(,)M x y 是双曲线2 2:12 x C y -=上的一点，12,F F 是C 上的两个焦点，若120MF MF <，则0y 的取值范围是 （A ）（ （B ）（ （C ）（3-，3 ） （D ）（3-，3） （6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有 A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 （7）设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则 （A ）1433AD AB AC =-+ (B) 1433 AD AB AC =- （C ）4133AD AB AC =+ (D) 4133AD AB AC =- (8)函数()cos()f x x ω?=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为 (A)13(,),44k k k Z ππ- +∈ (B) 13(2,2),44 k k k Z ππ-+∈ (C) 13(,),44k k k Z -+∈ (D) 13(2,2),44k k k Z -+∈ 新高考数学模拟试题及答案 一、选择题 1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ?=（ ） A ．{} 22x x -≤< B ．{} 2x x ≥- C ．{} 2x x < D ．{} 12x x ≤< 2．设a b ，为两条直线，αβ，为两个平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若a b ，与α所成的角相等，则a b ∥ B ．若a αβ∥，b ∥，αβ∥，则a b ∥ C ．若a b a b αβ??，，，则αβ∥ D ．若a b αβ⊥⊥，，αβ⊥，则a b ⊥ 3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ） A ． 110 B ． 310 C ． 35 D ． 25 4．给出下列说法： ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在 [)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ） A ．14 B ．15 C ．16 D ．17 6．如图，12,F F 是双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线 C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．23y x =± B ．2y x =± C ．3y x = D ．2y x =± 2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3. 六大注意 1 考生需自己粘贴答题卡的条形码 考生需在监考老师的指导下，自己贴本人的试卷条形码。粘贴前，注意核对一下条形码上的姓名、考生号、考场号和座位号是否有误，如果有误，立即举手报告。如果无误，请将条形码粘贴在答题卡的对应位置。万一粘贴不理想，也不要撕下来重贴。只要条形码信息无误，正确填写了本人的考生号、考场号及座位号，评卷分数不受影响。 2 拿到试卷后先检查有无缺张、漏印等 拿到试卷后先检查试卷有无缺张、漏印、破损或字迹不清等情况，尽管这种可能性非常小。如果有，及时举手报告；如无异常情况，请用签字笔在试卷的相应位置写上姓名、考生号、考场号、座位号。写好后，放下笔，等开考信号发出后再答题，如提前抢答，将按违纪处理。 3 注意保持答题卡的平整 填涂答题卡时，要注意保持答题卡的平整，不要折叠、弄脏或撕破，以免影响机器评阅。 若在考试时无意中污损答题卡确需换卡的，及时报告监考老师用备用卡解决，但耽误时间由本人负责。不管是哪种情况需启用新答题卡，新答题卡都不再粘贴条形码，但要在新答题卡上填涂姓名、考生号、考场号和座位号。 4 不能提前交卷离场 按照规定，在考试结束前，不允许考生交卷离场。如考生确因患病等原因无法坚持到考试结束，由监考老师报告主考，由主考根据情况按有关规定处理。 5 不要把文具带出考场 考试结束，停止答题，把试卷整理好。然后将答题卡放在最上面，接着是试卷、草稿纸。不得把答题卡、试卷、草稿纸带出考场，试卷全部收齐后才能离场。请把文具整理好，放在座次标签旁以便后面考试使用，不得把文具带走。 6 外语听力有试听环 外语考试14:40入场完毕，听力采用CD播放。14：50开始听力试听，试听结束时，会有“试听到此结束”的提示。听力部分考试结束时，将会有“听力部分到此结束”的提示。听力部分结束后，考生可以 开始做其他部分试题。 高考数学模拟试题 (一) 历年全国卷高考数学真 题大全解析版 LG GROUP system office room 【LGA16H-LGYY-LGUA8Q8-LGA162】 全国卷历年高考真题汇编 三角 1（2017全国I 卷9题）已知曲线1:cos C y x =，22π:sin 23C y x ? ? =+ ?? ? ，则下面结论正确的是（） A ．把1C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C B ．把1 C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12 个单位长度，得到曲线2C C ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6 个单位长度，得到曲线2C D ．把1C 上各点的横坐标缩短到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π 12个单位长度，得到曲线2C 【答案】D 【解析】1:cos C y x =，22π:sin 23? ?=+ ?? ?C y x 【解析】首先曲线1C 、2C 统一为一三角函数名，可将1:cos C y x =用诱导公式处理． 【解析】πππcos cos sin 222??? ?==+-=+ ? ???? ?y x x x ．横坐标变换需将1=ω变成2=ω， 【解析】即112 πππsin sin 2sin 2224??????=+???????? ?→=+=+ ? ? ?????? ?C 上各坐短它原y x y x x 点横标缩来 【解析】2ππsin 2sin 233??? ??? →=+=+ ? ???? ?y x x ． 【解析】注意ω的系数，在右平移需将2=ω提到括号外面，这时π4+ x 平移至π 3 +x ， 【解析】根据“左加右减”原则，“π4+x ”到“π3+x ”需加上π12，即再向左平移π 12 2 （2017全国I 卷17题）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知ABC △的 面积为2 3sin a A ． （1）求sin sin B C ； （2）若6cos cos 1B C =，3a =，求ABC △的周长． 【解析】本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用. 【解析】（1）∵ABC △面积2 3sin a S A =.且1sin 2S bc A = 【解析】∴ 21 sin 3sin 2 a bc A A = 【解析】∴22 3sin 2 a bc A = 2015普通高等学校招生全国统一考试Ⅱ卷文科数学 第一卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 （1）已知集合A={}{} =<<=<<-B A x x B x x 则,30,21 A.(-1，3) B.(-1，0 ) C.(0，2) D.(2，3) (2)若a 实数，且 =+=++a i i ai 则,312 A.-4 B. -3 C. 3 D. 4 (3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量（单位：万吨）柱形图，以下 结论中不正确的是 2700 260025002400210020001900 ) A.逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著； B.2007年我国治理二氧化碳排放显现成效； C.2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势； D.2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。 （4）已知向量=?+-=-=a b a b a ）则（2),2,1(),1,0( A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 (5)设{}项和， 的前是等差数列n a S n n 若==++5531,3S a a a 则 A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 (6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 A. 81 B.71 C. 61 D. 5 1 (7)已知三点)32()30(),01(，，，，C B A ,则ABC ?外接圆的 圆心到原点的距离为 A. 35 B. 321 C. 3 5 2 D. 34 (8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b 分别为14,18，则输出的a 为 A. 0 B. 2 C. 4 D.14 (9)已知等比数列{}=-== 24531),1(4,41 a a a a a a n 则满足 C A. 2 B. 1 C. 21 D. 8 1 （10）已知A,B 是球O 的球面上两点，为该球面上动点，C AOB ,90?=∠若三棱锥O-ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为 A. 36π B. 64π C. 144π D.256π (11)如图，长方形的边AB=2，BC=1,O 是AB 的中点，点P 沿着边BC,CD,与DA 运动，记 的图像大致为 则数两点距离之和表示为函到将动点)(),(,,x f x f B A P x BOP =∠ x P O D C B A D C B A 4 24 4 424 24π 4 24X O X O X X O 2020年高考模拟试题 理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1、若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为 A.5 B.4 C.3 D.2 2、复数在复平面上对应的点位于 A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限 3、小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点 到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 A. 14 17B.13 16 C.15 16 D. 9 13 4、函数的部分图象 如图示，则将的图象向右平移个单位后，得到的图象解析式为 A. B. C. D. 5、已知，，，则 A. B. C. D. 6、函数的最小正周期是 A.π B. π 2C. π 4 D.2π 7、函数y=的图象大致是A．B．C．D． 8、已知数列为等比数列，是是它的前n项和,若，且与2的等差中 项为，则 A.35 B.33 C.31 D.29 9、某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学（乘同一辆车的4名同学不考虑位置），其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有 A.24种 B.18种 C.48种 D.36种 10如图，在矩形OABC中，点E、F分别在线段AB、BC 上，且满足，，若 （），则 A.2 3 B . 3 2 C. 1 2 D.3 4 11、如图，F1，F2分别是双曲线C：(a，b＞0)的左右 焦点，B是虚轴的端点，直线F1B与C的两条渐近线分别交 于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M，若 |MF2|＝|F1F2|，则C的离心率是 A. B. C. D. 12、函数f（x）＝2x|log0.5x|－1的零点个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上 13、设θ为第二象限角，若，则sin θ＋cos θ＝__________ 14、(a+x）4的展开式中x3的系数等于8，则实数a=_________ 15、已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a= ln y x x =+()1,1() 221 y ax a x =+++ 2018年普通高等学校招生全国统一考试新课标1卷 理科数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设z=1-i 1+i +2i ，则|z|= A ．0 B ．1 2 C ．1 D ． 2 解析：选C z=1-i 1+i +2i=-i+2i=i 2．已知集合A={x|x 2-x-2>0}，则?R A = A ．{x|-1 解析几何大量精选 1 2 1.在直角坐标系xOy 中，点M 到点()1,0F ，)2,0F 的距离之和是4，点M 3 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于4 不同的两点P 和Q ． 5 ⑴求轨迹C 的方程； 6 ⑵当0AP AQ ?=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点． 7 【解析】 ⑴ 2214 x y +=． 8 ⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程， 9 整理得222(14)8440k x kbx b +++-=， 10 因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ， 11 所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ?=-+-=-+> ① 12 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k +=-+，21224414b x x k -=+ ② 13 且22 2 2 121212122 4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -?=++=+++=+， 14 显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -， 15 所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 16 由0AP AQ ?=，得1212(2)(2)0x x y y +++=． 17 将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=． 18 所以(2)(65)0k b k b -?-=，即2b k =或65 b k =．经检验，都符合条件① 19 当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-20 点． 21 即直线l 经过点A ，与题意不符． 22 当6 5b k =时，直线l 的方程为665 5y kx k k x ??=+=+ ?? ? ． 23 显然，此时直线l 经过定点6 ,05 ??- ?? ? 点，满足题意． 24 综上，k 与b 的关系是65 b k =，且直线l 经过定点6 ,05?? - ??? 25 26 2. 已知椭圆2222:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半 27 轴为半径的圆与直线0x y -+相切． 28 ⑴ 求椭圆C 的方程； 29 ⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 30 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ； 31 ⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ?的取32 值范围． 33 【解析】 ⑴22 143 x y +=． 34 2019-2020高考数学模拟试题含答案 一、选择题 1．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组 B ．9组 C ．8组 D ．7组 2．已知向量a v ，b v 满足a =v ||1b =v ，且2b a +=v v ，则向量a v 与b v 的夹角的余弦值 为（ ） A ． 2 B ． 3 C D ． 4 3．设双曲线22 22:1x y C a b -=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别 交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ?=u u u u v u u u u v ，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲 线C 的离心率为( ). A B C D 4．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( ) A ．－15x 4 B ．15x 4 C ．－20i x 4 D ．20i x 4 5．已知P 为双曲线22 22:1(0,0)x y C a b a b -=>>上一点，12F F ， 为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =± B ．34 y x =? C ．3 5y x =± D ．5 3 y x =± 6．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈,则复数x yi +的模是 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 7．若不等式222424ax ax x x +-<+ 对任意实数x 均成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．(22)-， B ．(2)(2)-∞-?+∞， ， C ．(22]-， D ．(2]-∞， 8．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在 (1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,)e +∞ B ．2(,2)e e C ．2(2,)e +∞ D ．22(,2)(2,)e e e +∞U 9．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ） 山东省春季高考数学试卷 一、选择题 1．已知全集U={1，2}，集合M={1}，则?U M等于（） A．?B．{1}C．{2}D．{1，2} 2．函数的定义域是（） A．[﹣2，2]B．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） 3．下列函数中，在区间（﹣∞，0）上为增函数的是（） A．y=x B．y=1 C．D．y=|x| 4．二次函数f（x）的图象经过两点（0，3），（2，3）且最大值是5，则该函数的解析式是（） A．f（x）=2x2﹣8x+11 B．f（x）=﹣2x2+8x﹣1 C．f（x）=2x2﹣4x+3 D．f（x）=﹣2x2+4x+3 5．等差数列{a n}中，a1=﹣5，a3是4与49的等比中项，且a3＜0，则a5等于（） A．﹣18 B．﹣23 C．﹣24 D．﹣32 6．已知A（3，0），B（2，1），则向量的单位向量的坐标是（）A．（1，﹣1）B．（﹣1，1）C．D． 7．“p∨q为真”是“p为真”的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 8．函数y=cos2x﹣4cosx+1的最小值是（） A．﹣3 B．﹣2 C．5 D．6 9．下列说法正确的是（） A．经过三点有且只有一个平面 B．经过两条直线有且只有一个平面 第1页（共25页） C．经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面垂直 D．经过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直 10．过直线x+y+1=0与2x﹣y﹣4=0的交点，且一个方向向量的直线方程是（） A．3x+y﹣1=0 B．x+3y﹣5=0 C．3x+y﹣3=0 D．x+3y+5=0 11．文艺演出中要求语言类节目不能相邻，现有4个歌舞类节目和2个语言类节目，若从中任意选出4个排成节目单，则能排出不同节目单的数量最多是（） A．72 B．120 C．144 D．288 12．若a，b，c均为实数，且a＜b＜0，则下列不等式成立的是（）A．a+c＜b+c B．ac＜bc C．a2＜b2D． 13．函数f（x）=2kx，g（x）=log3x，若f（﹣1）=g（9），则实数k的值是（） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 14．如果，，那么等于（） A．﹣18 B．﹣6 C．0 D．18 15．已知角α的终边落在直线y=﹣3x上，则cos（π+2α）的值是（）A．B．C．D． 16．二元一次不等式2x﹣y＞0表示的区域（阴影部分）是（）A．B．C．D． 17．已知圆C1和C2关于直线y=﹣x对称，若圆C1的方程是（x+5）2+y2=4，则圆C2的方程是（） A．（x+5）2+y2=2 B．x2+（y+5）2=4 C．（x﹣5）2+y2=2 D．x2+（y﹣5）2=4 18．若二项式的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（） A．20 B．﹣20 C．15 D．﹣15 第2页（共25页）高考真题理科数学解析版
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