一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题)
1.如图,△ABC 内接于⊙O ,2,BC AB AC ==,点D 为AC 上的动点,且10
cos B =. (1)求AB 的长度;
(2)在点D 运动的过程中,弦AD 的延长线交BC 的延长线于点E ,问AD?AE 的值是否变化?若不变,请求出AD?AE 的值;若变化,请说明理由.
(3)在点D 的运动过程中,过A 点作AH ⊥BD ,求证:BH CD DH =+.
【答案】(1) 10AB ;(2) 10AD AE ?=;(3)证明见解析.
【解析】
【分析】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,由垂径定理可得BF=1,再根据已知结合RtΔAFB 即可求得AB 长;
(2)连接DG ,则可得AG 为⊙O 的直径,继而可证明△DAG ∽△FAE ,根据相似三角形的性质可得AD?AE=AF?AG ,连接BG ,求得AF=3,FG=
1
3
,继而即可求得AD?AE 的值; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,通过证明△ADC ≌△ADN ,可得AC=AN ,继而可得AB=AN ,再根据AH ⊥BN ,即可证得BH=HD+CD. 【详解】(1)过A 作AF ⊥BC ,垂足为F ,交⊙O 于G ,
∵AB=AC ,AF ⊥BC ,∴BF=CF=1
2BC=1, 在RtΔAFB 中,BF=1,∴AB=10
cos 10
BF B == (2)连接DG ,
∵AF ⊥BC ,BF=CF ,∴AG 为⊙O 的直径,∴∠ADG=∠AFE=90°, 又∵∠DAG=∠FAE ,∴△DAG ∽△FAE , ∴AD :AF=AG :AE , ∴AD?AE=AF?AG ,
连接BG ,则∠ABG=90°,∵BF ⊥AG ,∴BF 2=AF?FG , ∵22AB BF -=3,
∴FG=
13
,
∴AD?AE=AF?AG=AF?(AF+FG )=3×
10
3
=10; (3)连接CD ,延长BD 至点N ,使DN=CD ,连接AN ,
∵∠ADB=∠ACB=∠ABC ,∠ADC+∠ABC=180°,∠ADN+∠ADB=180°, ∴∠ADC=∠ADN , ∵AD=AD ,CD=ND , ∴△ADC ≌△ADN , ∴AC=AN ,
∵AB=AC ,∴AB=AN , ∵AH ⊥BN , ∴BH=HN=HD+CD.
【点睛】本题考查了垂径定理、三角函数、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等,综合性较强,正确添加辅助线是解题的关键.
2.已知在平面直角坐标系中,点()()()3,0,3,0,3,8A B C --,以线段BC 为直径作圆,圆心为E ,直线AC 交E 于点D ,连接OD . (1)求证:直线OD 是
E 的切线;
(2)点F 为x 轴上任意一动点,连接CF 交E 于点G ,连接BG :
①当1
an 7
t ACF ∠=时,求所有F 点的坐标 (直接写出); ②求
BG
CF
的最大值. 【答案】(1)见解析;(2)①143,031F ??
???
,2(5,0)F ;② BG CF 的最大值为12.
【解析】 【分析】
(1)连接DE ,证明∠EDO=90°即可;
(2)①分“F 位于AB 上”和“F 位于BA 的延长线上”结合相似三角形进行求解即可; ②作GM BC ⊥于点M ,证明1~ANF ABC ??,得1
2
BG CF ≤,从而得解. 【详解】
(1)证明:连接DE ,则:
∵BC 为直径 ∴90BDC ∠=? ∴90BDA ∠=? ∵OA OB = ∴OD OB OA == ∴OBD ODB ∠=∠ ∵
EB ED =
∴EBD EDB ∠=∠
∴EBD OBD EDB ODB ∠+∠=∠+∠ 即:EBO EDO ∠=∠ ∵CB x ⊥轴 ∴90EBO ∠=? ∴90EDO ∠=? ∴直线OD 为
E 的切线.
(2)①如图1,当F 位于AB 上时: ∵1~ANF ABC ??
∴
11
NF AF AN AB BC AC
== ∴设3AN x =,则114,5NF x AF x ==
∴103CN CA AN x =-=- ∴141tan 1037F N x ACF CN x ∠===-,解得:10
31
x = ∴150531AF x ==
15043
33131
OF =-=
即143,031F ??
???
如图2,当F 位于BA 的延长线上时: ∵2~AMF ABC ??
∴设3AM x =,则224,5MF x AF x == ∴103CM CA AM x =+=+ ∴241
tan 1037
F M x ACF CM x ∠===+ 解得:25
x =
∴252AF x ==
2325OF =+=
即2(5,0)F
②如图,作GM BC ⊥于点M , ∵BC 是直径
∴90CGB CBF ∠=∠=? ∴~CBF CGB ?? ∴
8
BG MG MG
CF BC ==
∵MG≤半径4=
∴
41
882 BG MG
CF
=≤=
∴BG
CF
的最大值为
1
2
.
【点睛】
本题考查了圆的综合题:熟练掌握切线的判定定理、解直角三角形;相似三角形的判定和性质和相似比计算线段的长;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题.
3.如图,海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向,距离为25海里.在某时刻,哨所A 与哨所B同时发现一走私船,其位置C位于哨所A北偏东53°的方向上,位于哨所B南偏东37°的方向上.
(1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离;
(2)若观察哨所A发现走私船从C处以16海里/小时的速度向正东方向逃窜,并立即派缉私艇沿北偏东76°的方向前去拦截.求缉私艇的速度为多少时,恰好在D处成功拦截.(结果保留根号)
(参考数据:sin37°=cos53°≈,cos37 =sin53°≈去,tan37°≈2,tan76°≈)
【答案】(1)观察哨所A与走私船所在的位置C的距离为15海里;(2)当缉私艇以每小时617D处成功拦截.
【解析】
【分析】
(1)先根据三角形内角和定理求出∠ACB=90°,再解Rt△ABC,利用正弦函数定义得出AC即可;
(2)过点C作CM⊥AB于点M,易知,D、C、M在一条直线上.解Rt△AMC,求出
CM 、AM .解Rt △AMD 中,求出DM 、AD ,得出CD .设缉私艇的速度为x 海里/小时,根据走私船行驶CD 所用的时间等于缉私艇行驶AD 所用的时间列出方程,解方程即可. 【详解】
(1)在ABC △中,180180375390ACB B BAC ?????∠=-∠-∠=--=. 在Rt ABC 中,sin AC B AB =
,所以3sin 3725155
AC AB ?
=?=?=(海里). 答:观察哨所A 与走私船所在的位置C 的距离为15海里.
(2)过点C 作CM AB ⊥,垂足为M ,由题意易知,D C M 、、在一条直线上. 在Rt ACM 中,4
sin 15125
CM AC CAM =?∠=?
=,3
cos 1595
AM AC CAM =?∠=?=.
在Rt ADM △中,tan MD
DAM AM
∠=,
所以tan 7636MD AM ?=?=. 所以222293691724AD AM MD CD MD MC =
+=+==-=,.
设缉私艇的速度为v 海里/小时,则有24917
16=
,解得617v =. 经检验,617v =是原方程的解.
答:当缉私艇以每小时617海里的速度行驶时,恰好在D 处成功拦截.
【点睛】
此题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,结合航海中的实际问题,将解直角三角形的相关知识有机结合,体现了数学应用于实际生活的思想.
4.(6分)某海域有A ,B 两个港口,B 港口在A 港口北偏西30°方向上,距A 港口60海里,有一艘船从A 港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B 港口南偏东75°方向的C 处,求该船与B 港口之间的距离即CB 的长(结果保留根号).
【答案】.
【解析】
试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案.
试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°,
∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°,
∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==,
∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里.
考点:解直角三角形的应用-方向角问题.
5.如图,平台AB高为12m,在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°,底部点C的俯角为30°,求楼房CD的高度(3=1.7).
【答案】32.4米.
【解析】
试题分析:首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造关系式求解.
试题解析:如图,过点B作BE⊥CD于点E,
根据题意,∠DBE=45°,∠CBE=30°.
∵AB⊥AC,CD⊥AC,
∴四边形ABEC为矩形,
∴CE=AB=12m,
在Rt△CBE中,cot∠CBE=BE CE
,
∴BE=CE?cot30°=12×3=123,
在Rt△BDE中,由∠DBE=45°,
得DE=BE=123.
∴CD=CE+DE=12(3+1)≈32.4.
答:楼房CD的高度约为32.4m.
考点:解直角三角形的应用——仰角俯角问题.
6.下图是某儿童乐园为小朋友设计的滑梯平面图.已知BC=4 m,AB=6 m,中间平台宽度DE=1 m,EN,DM,CB为三根垂直于AB的支柱,垂足分别为N,M,B,∠EAB=31°,DF⊥BC于点
F,∠CDF=45°,求DM和BC的水平距离BM的长度.(结果精确到0.1 m.参考数据:sin
31°≈0.52,cos 31°≈0.86,tan 31°≈0.60)
【答案】2.5m.
【解析】
试题分析:设DF=x,在Rt△DFC中,可得CF=DF=x,则BF=4-x,根据线段的和差可得
AN=5-x,EN=DM=BF=4-,在Rt△ANE中,∠EAB=,利用∠EAB的正切值解得x的值.
试题解析:解:设DF=,在Rt△DFC中,∠CDF=,
∴CF=tan ·DF=,
又∵CB=4,
∴BF=4-,
∵AB=6,DE=1,BM= DF=, ∴AN=5-,EN=DM=BF=4-, 在Rt △ANE 中,∠EAB=,EN=4-,AN=5-,
tan
=
=0.60,
解得=2.5,
答:DM 和BC 的水平距离BM 为2.5米. 考点:解直角三角形.
7.如图,某校数学兴趣小组为测量校园主教学楼AB 的高度,由于教学楼底部不能直接到达,故兴趣小组在平地上选择一点C ,用测角器测得主教学楼顶端A 的仰角为30°,再向主教学楼的方向前进24米,到达点E 处(C ,E ,B 三点在同一直线上),又测得主教学楼顶端A 的仰角为60°,已知测角器CD 的高度为1.6米,请计算主教学楼AB 的高度.(3≈1.73,结果精确到0.1米)
【答案】22.4m 【解析】 【分析】
首先分析图形,根据题意构造直角三角形.本题涉及多个直角三角形,应利用其公共边构造等量关系,进而求解. 【详解】
解:在Rt △AFG 中,tan ∠AFG 3, ∴FG =
tan 3
AG AFG =∠,
在Rt △ACG 中,tan ∠ACG =AG
CG
, ∴CG =
tan AG
ACG ∠=3.
又∵CG ﹣FG =24m ,
即3AG
﹣
3
AG
=24m , ∴AG =123m , ∴AB =123+1.6≈22.4m .
8.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的边AB 在x 轴上,点B 坐标(﹣6,0),点C 在y 轴正半轴上,且cos B =
3
5
,动点P 从点C 出发,以每秒一个单位长度的速度向D 点移动(P 点到达D 点时停止运动),移动时间为t 秒,过点P 作平行于y 轴的直线l 与菱形的其它边交于点Q . (1)求点D 坐标;
(2)求△OPQ 的面积S 关于t 的函数关系式,并求出S 的最大值; (3)在直线l 移动过程中,是否存在t 值,使S =320ABCD
S 菱形?若存在,求出t 的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)点D 的坐标为(10,8).(2)S 关于t 的函数关系式为S =
24(04)
220
(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.(3)3或7. 【解析】 【分析】
(1)在Rt △BOC 中,求BC,OC,根据菱形性质再求D 的坐标;(2)分两种情况分析:①当0≤t ≤4时和②当4<t ≤10时,根据面积公式列出解析式,再求函数的最值;(3)分两种情况分析:当0≤t ≤4时,4t =12,;当4<t ≤10时,2220
1233
t t -
+=
【详解】
解:(1)在Rt △BOC 中,∠BOC =90°,OB =6,cos B =
35
, 10cos OB
BC B
∴=
=
8OC ∴==∵四边形ABCD 为菱形,CD ∥x 轴, ∴点D 的坐标为(10,8).
(2)∵AB =BC =10,点B 的坐标为(﹣6,0), ∴点A 的坐标为(4,0). 分两种情况考虑,如图1所示.
①当0≤t ≤4时,PQ =OC =8,OQ =t ,
∴S =1
2PQ ?OQ =4t ,
∵4>0,
∴当t =4时,S 取得最大值,最大值为16;
②当4<t ≤10时,设直线AD 的解析式为y =kx +b (k ≠0), 将A (4,0),D (10,8)代入y =kx +b ,得:
4k b 010k b 8+=??
+=?,解得:4k 3
16b 3?=????=-??
, ∴直线AD 的解析式为416
33
y x =-. 当x =t 时,416
33
y t =
-, 4164
8(10)3
33PQ t t ??∴=--=- ???
21220
233
S PQ OP t t ∴=
?=-+ 22202502
(5),033333S t t t =-+=--+-<∴当t =5时,S 取得最大值,最大值为
503
. 综上所述:S 关于t 的函数关系式为S =24(04)
220(410)3
3t t t t t ??
?-+?,S 的最大值为503.
(3)S 菱形ABCD =AB ?OC =80. 当0≤t ≤4时,4t =12, 解得:t =3;
当4<t ≤10时,2220
33
t t -
+=12, 解得:t 1=5﹣7(舍去),t 2=5+ 7. 综上所述:在直线l 移动过程中,存在t 值,使S =
3
20
ABCD S 菱形,t 的值为3或5+7.
【点睛】
考核知识点:一次函数和二次函数的最值问题.数形结合,分类讨论是关键.
9.如图,建筑物
上有一旗杆
,从与
相距的处观测旗杆顶部的仰角为
,
观测旗杆底部的仰角为
,求旗杆
的高度.(参考数据:
,
,
)
【答案】旗杆的高度约为.
【解析】 【分析】
在Rt △BDC 中,根据tan ∠BDC=求出BC ,接着在Rt △ADC 中,根据
tan ∠ADC==
即可求出AB 的长度
【详解】
解:∵在Rt △BDC 中,tan ∠BDC==1,∴BC=CD= 40m
在Rt △ADC 中,tan ∠ADC==
∴tan50°=
=1.19
答:旗杆AB的高度约为7.6m.
【点睛】
此题主要考查了三角函数的应用
10.在矩形ABCD中,AD>AB,点P是CD边上的任意一点(不含C,D两端点),过点P 作PF∥BC,交对角线BD于点F.
(1)如图1,将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF,QF交AD于点E.求证:△DEF是等腰三角形;
(2)如图2,将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF',连接P'C,F'B.设旋转角为α(0°<α<180°).
①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,求证:△DP'C∽△DF'B.
②如图3,若点P是CD的中点,△DF'B能否为直角三角形?如果能,试求出此时
tan∠DBF'的值,如果不能,请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)①证明见解析;②1
2
3
【解析】
【分析】(1)根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF,所以△DEF是等腰三角形;
(2)①由于PF∥BC,所以△DPF∽△DCB,从而易证△DP′F′∽△DCB;
②由于△DF'B是直角三角形,但不知道哪个的角是直角,故需要对该三角形的内角进行分类讨论.
【详解】(1)由翻折可知:∠DFP=∠DFQ,
∵PF∥BC,
∴∠DFP=∠ADF,
∴∠DFQ=∠ADF,
∴△DEF是等腰三角形;
(2)①若0°<α<∠BDC,即DF'在∠BDC的内部时,
∵∠P′DF′=∠PDF,
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC,
∴∠P′DC=∠F′DB,
由旋转的性质可知:△DP′F′≌△DPF,
∴△DPF ∽△DCB , ∴△DP′F′∽△DCB ∴
'
'
DC DP DB DF = , ∴△DP'C ∽△DF'B ;
②当∠F′DB=90°时,如图所示, ∵DF′=DF=1
2
BD , ∴
'1
2
DF BD =, ∴tan ∠DBF′=
'1
2
DF BD =;
当∠DBF′=90°,此时DF′是斜边,即DF′>DB ,不符合题意; 当∠DF′B=90°时,如图所示,
∵DF′=DF=1
2
BD , ∴∠DBF′=30°,
∴tan ∠DBF′=
33
.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题,涉及旋转的性质,锐角三角函数的定义,相似三角形的性质以及判定等知识,综合性较强,有一定的难度,熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
一、二次函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.已知二次函数的图象以A(﹣1,4)为顶点,且过点B(2,﹣5) (1)求该函数的关系式; (2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标; (3)将该函数图象向右平移,当图象经过原点时,A、B两点随图象移至A′、B′,求△O A′B′的面积. 【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0)(3)15. 【解析】 【分析】(1)已知了抛物线的顶点坐标,可用顶点式设该二次函数的解析式,然后将B 点坐标代入,即可求出二次函数的解析式; (2)根据函数解析式,令x=0,可求得抛物线与y轴的交点坐标;令y=0,可求得抛物线与x轴交点坐标; (3)由(2)可知:抛物线与x轴的交点分别在原点两侧,由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时,抛物线平移的单位,由此可求出A′、B′的坐标.由于△OA′B′不规则,可用面积割补法求出△OA′B′的面积. 【详解】(1)设抛物线顶点式y=a(x+1)2+4, 将B(2,﹣5)代入得:a=﹣1, ∴该函数的解析式为:y=﹣(x+1)2+4=﹣x2﹣2x+3; (2)令x=0,得y=3,因此抛物线与y轴的交点为:(0,3), 令y=0,﹣x2﹣2x+3=0,解得:x1=﹣3,x2=1, 即抛物线与x轴的交点为:(﹣3,0),(1,0); (3)设抛物线与x轴的交点为M、N(M在N的左侧), 由(2)知:M(﹣3,0),N(1,0), 当函数图象向右平移经过原点时,M与O重合,因此抛物线向右平移了3个单位, 故A'(2,4),B'(5,﹣5), ∴S△OA′B′=1 2 ×(2+5)×9﹣ 1 2 ×2×4﹣ 1 2 ×5×5=15. 【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,△ABC是等边三角形,AB=6cm,D为边AB中点.动点P、Q在边AB上同时从点D出发,点P沿D→A以1cm/s的速度向终点A运动.点Q沿D→B→D以2cm/s的速度运动,回到点D停止.以PQ为边在AB上方作等边三角形PQN.将△PQN绕QN的中点旋转180°得到△MNQ.设四边形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积为S(cm2),点P运动的时间为t(s)(0<t<3). (1)当点N落在边BC上时,求t的值. (2)当点N到点A、B的距离相等时,求t的值. (3)当点Q沿D→B运动时,求S与t之间的函数表达式. (4)设四边形PQMN的边MN、MQ与边BC的交点分别是E、F,直接写出四边形PEMF 与四边形PQMN的面积比为2:3时t的值. 【答案】(1)(2)2(3)S=S菱形PQMN=2S△PNQ=t2;(4) t=1或 【解析】 试题分析:(1)由题意知:当点N落在边BC上时,点Q与点B重合,此时DQ=3;(2)当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,此时PD=DQ; (3)当0≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为四边形PQMN;当≤t≤时,四边形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形PQFEN. (4)MN、MQ与边BC的有交点时,此时<t<,列出四边形PEMF与四边形PQMN的面积表达式后,即可求出t的值. 试题解析:(1)∵△PQN与△ABC都是等边三角形, ∴当点N落在边BC上时,点Q与点B重合. ∴DQ=3 ∴2t=3. ∴t=; (2)∵当点N到点A、B的距离相等时,点N在边AB的中线上,
O G F B D A C E 1.如图,矩形ABCD 中,3AB =cm ,6AD =cm ,点E 为AB 边上的任意一点,四边形EFGB 也是矩形,且2EF BE =,则AFC S =△ 2 cm . 2 .5月23日8时40分,哈尔滨铁路局一列满载着2400吨“爱心”大米的专列向四川灾区 进发,途中除3次因更换车头等原因必须停车外,一路快速行驶,经过80小时到达成都.描述上述过程的大致图象是( ) 3 如图,将沿DE 折叠,使点A 与BC 边的中点F 重合,下列结论中:①EF AB ∥且1 2 EF AB =;②BAF CAF ∠=∠; ③1 2 ADFE S AF DE =g 四边形; ④2BDF FEC BAC ∠+∠=∠,正确的个数是( ) A .1 B .2 C .3 D .4 4 如图,在四边形ABCD 中,动点P 从点A 开始沿A B C D 的路径匀速前进到D 为止。在这个过程中,△APD 的面积S 随时间t 的变 化关系用图象表示正确的是( ) 5如图,在正方形纸片ABCD 中,对角线AC 、BD 交于点O ABCD ,使AD 落在BD 上,点A 恰好与BD 上的点F 重合.别交AB 、AC 于点E 、G.连接GF.下列结论:①∠AGD=112.5°;②③S △AGD=S △OGD ;④四边形AEFG 是菱形;⑤BE=2OG.是 . 6 福娃们在一起探讨研究下面的题目: 参考下面福 娃们的讨 论,请你解该题,你选择的答案是( ) 贝 贝:我注意 s t O A s t O B s t O C s t O D A D C E F G B s 80 O v t 80 O v 80 O t v O A . B. C . D . 80 A D B F E 第20题图 D C B P A 函数2y x x m =-+(m 为常数)的图象如左图, 如果x a =时,0y <;那么1x a =-时, 函数值( ) A .0y < B .0y m << C .y m > D .y m = x y O x 1 x 2
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.如图,山坡上有一棵树AB,树底部B点到山脚C点的距离BC为63米,山坡的坡角为30°.小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高,点C到测角仪EF的水平距离CF=1米,从E处测得树顶部A的仰角为45°,树底部B的仰角为20°,求树AB的高度.(参考数 值:sin20°≈0.34,cos20°≈0.94,tan20°≈0.36) 【答案】6.4米 【解析】 解:∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米,山坡的坡角为30°. ∴DC=BC?cos30°=3 639 ==米, 2 ∵CF=1米, ∴DC=9+1=10米, ∴GE=10米, ∵∠AEG=45°, ∴AG=EG=10米, 在直角三角形BGF中, BG=GF?tan20°=10×0.36=3.6米, ∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米, 答:树高约为6.4米 首先在直角三角形BDC中求得DC的长,然后求得DF的长,进而求得GF的长,然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长,从而求得树高 2.(6分)某海域有A,B两个港口,B港口在A港口北偏西30°方向上,距A港口60海里,有一艘船从A港口出发,沿东北方向行驶一段距离后,到达位于B港口南偏东75°方向的C处,求该船与B港口之间的距离即CB的长(结果保留根号).
【答案】. 【解析】 试题分析:作AD⊥BC于D,于是有∠ABD=45°,得到AD=BD=,求出∠C=60°,根据正切的定义求出CD的长,得到答案. 试题解析:作AD⊥BC于D,∵∠EAB=30°,AE∥BF,∴∠FBA=30°,又∠FBC=75°, ∴∠ABD=45°,又AB=60,∴AD=BD=,∵∠BAC=∠BAE+∠CAE=75°,∠ABC=45°, ∴∠C=60°,在Rt△ACD中,∠C=60°,AD=,则tanC=,∴CD==, ∴BC=.故该船与B港口之间的距离CB的长为海里. 考点:解直角三角形的应用-方向角问题. 3.如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于H,过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB 的延长线于切点为G,连接AG交CD于K. (1)求证:KE=GE; (2)若KG2=KD?GE,试判断AC与EF的位置关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若sinE=,AK=,求FG的长.
一、锐角三角函数真题与模拟题分类汇编(难题易错题) 1.某地是国家AAAA 级旅游景区,以“奇山奇水奇石景,古賨古洞古部落”享誉巴渠,被誉为 “小九寨”.端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”,昂首向天,望穿古今.一个周末,某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离.他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD ,想法测出了尾部C 看头顶B 的仰角为40,从前脚落地点D 看上嘴尖A 的仰角刚好60,5CB m =, 2.7CD m =.景区管理员告诉同学们,上嘴尖到地面的距离是3m .于是,他们很快就算出了AB 的长.你也算算?(结果精确到0.1m .参考数据:400.64400.77400.84sin cos tan ?≈?≈?≈,,.2 1.41,3 1.73≈≈) 【答案】AB 的长约为0.6m . 【解析】 【分析】 作BF CE ⊥于F ,根据正弦的定义求出BF ,利用余弦的定义求出CF ,利用正切的定义求出DE ,结合图形计算即可. 【详解】 解:作BF CE ⊥于F , 在Rt BFC ?中, 3.20BF BC sin BCF ?∠≈=, 3.85CF BC cos BCF ?∠≈=, 在Rt ADE ?E 中,3 1.73tan 3AB DE ADE = ==≈∠, 0.200.58BH BF HF AH EF CD DE CF ∴+=﹣=,==﹣= 由勾股定理得,22BH AH 0.6(m)AB =+≈, 答:AB 的长约为0.6m .
【点睛】 考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题,掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 2.如图,AB是⊙O的直径,点C,D是半圆O的三等分点,过点C作⊙O的切线交AD的延长线于点E,过点D作DF⊥AB于点F,交⊙O于点H,连接DC,AC. (1)求证:∠AEC=90°; (2)试判断以点A,O,C,D为顶点的四边形的形状,并说明理由; (3)若DC=2,求DH的长. 【答案】(1)证明见解析; (2)四边形AOCD为菱形; (3)DH=2. 【解析】 试题分析:(1)连接OC,根据EC与⊙O切点C,则∠OCE=90°,由题意得 ,∠DAC=∠CAB,即可证明AE∥OC,则∠AEC+∠OCE=180°,从而得出 ∠AEC=90°; (2)四边形AOCD为菱形.由(1)得,则∠DCA=∠CAB可证明四边形AOCD是平行四边形,再由OA=OC,即可证明平行四边形AOCD是菱形(一组邻边相等的平行四边形是菱形); (3)连接OD.根据四边形AOCD为菱形,得△OAD是等边三角形,则∠AOD=60°,再由 DH⊥AB于点F,AB为直径,在Rt△OFD中,根据sin∠AOD=,求得DH的长. 试题解析:(1)连接OC,
平行四边形二次达标题 1、等腰三角形中有一条边长为6,其三条中位线长度总和为10,则底边长为 ______ 2.如图,平行四边形ABCD的周长是30cm,△ABC的周长是22cm, 则AC的长为_________ 3.如图,在平行四边形ABCD中,EF过两条对角线的交点O,若AB=4,BC=7,OE=3, 则四边形EFCD的周长是__________ 4.能判定四边形是平行四边形的条件序号是__________ ①一组对边平行,另一组对边相等②一组对边相等,一组邻角相等 ③一组对边平行,一组邻角相等④一组对边平行,一组对角相等 5.平行四边形的两对角线的长度分别为8和6,则其边长a范围为____________ 6、如图,在?ABCD中,AB=,AD=4,将?ABCD沿AE翻折后, 7、在A B C中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D、E、F分别是 AB、BC、AC的中点,则D E F的面积为__________ 8、如图,在平行四边形ABCD中,以A为圆心,AB为半径画弧, 交AD于F,再分别以B、F为圆心,大于BF的长为半径画弧, 两弧相交于点G,若BF=12,AB=10,则AE的长为_______ 9、如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD>BC,BC=6cm,点 P、Q分别从A、C两点的位置同时出发,点P以1cm/s的速度由 点A向点D运动,点Q以2cm/s的速度由点C出发向点B运动.则 _______秒后四边形ABQP是平行四边形。 10、如图,△ABC的周长为28,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE, 垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10, 则PQ的长为___________
来看这些历年中考数学易错题你能都做对吗?(附答案) 作者:学大教育编辑整理 来源:网络 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案 一、选择题 1.如图,菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图象上,对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O,已知点A(1,1),∠ABC=60°,则k的值是() A.﹣5 B.﹣4 C.﹣3 D.﹣2 【答案】C 【解析】 分析:根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得k的值. 详解:∵四边形ABCD是菱形, ∴BA=BC,AC⊥BD, ∵∠ABC=60°, ∴△ABC是等边三角形, ∵点A(1,1), ∴OA=, ∴BO=, ∵直线AC的解析式为y=x, ∴直线BD的解析式为y=-x, ∵OB=, ∴点B的坐标为(?,), ∵点B在反比例函数y=的图象上, ∴, 解得,k=-3, 故选C. 点睛:本题考查反比例函数图象上点的坐标特征、菱形的性质,解答本题的关键是明确题意,利用反比例函数的性质解答. 2.如图,某地修建高速公路,要从A地向B地修一条隧道(点A,B在同一水平面上).为了测量A,B两地之间的距离,一架直升飞机从A地起飞,垂直上升1000米到 达C 处,在C 处观察B 地的俯角为α,则AB 两地之间的距离约为( ) A .1000sin α米 B .1000tan α米 C .1000tan α米 D .1000sin α 米 【答案】C 【解析】 【分析】 在Rt △ABC 中,∠CAB=90°,∠B=α,AC=1000米,根据tan AC AB α= ,即可解决问题. 【详解】 解:在Rt ABC ?中,∵90CAB ∠=o ,B α∠=,1000AC =米, ∴tan AC AB α= , ∴1000tan tan AC AB αα ==米. 故选:C . 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 3.在Rt △ABC 中,∠C=90°,如果AC=2,cosA= 23,那么AB 的长是( ) A .3 B .43 C 5 D 13【答案】A 【解析】 根据锐角三角函数的性质,可知cosA= AC AB =23,然后根据AC=2,解方程可求得AB=3. 故选A. 点睛:此题主要考查了解直角三角形,解题关键是明确直角三角形中,余弦值cosA=A ∠的邻边 斜边,然后带入数值即可求解. 4.如图,在ABC ?中,AB AC =,MN 是边BC 上一条运动的线段(点M 不与点B 重 初中数学选择、填空、简答题 易错题集锦及答案 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( C ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( A ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( B ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( B ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( C ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线是一个平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2 -(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( C ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2 ,则两圆的位置关系是( B ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b 中考数学易错题集锦 一、选择题 1、A 、B 是数轴上原点两旁的点,则它们表示的两个有理数是( ) A 、互为相反数 B 、绝对值相等 C 、是符号不同的数 D 、都是负数 2、有理数a 、b 在数轴上的位置如图所示,则化简|a-b|-|a+b|的结果是( ) A 、2a B 、2b C 、2a-2b D 、2a+b 3、轮船顺流航行时m 千米/小时,逆流航行时(m-6)千米/小时,则水流速度( ) A 、2千米/小时 B 、3千米/小时 C 、6千米/小时 D 、不能确定 4、方程2x+3y=20的正整数解有( ) A 、1个 B 、3个 C 、4个 D 、无数个 5、下列说法错误的是( ) A 、两点确定一条直线 B 、线段是直线的一部分 C 、一条直线不是平角 D 、把线段向两边延长即是直线 6、函数y=(m 2-1)x 2-(3m-1)x+2的图象与x 轴的交点情况是 ( ) A 、当m ≠3时,有一个交点 B 、1±≠m 时,有两个交点 C 、当1±=m 时,有一个交点 D 、不论m 为何值,均无交点 7、如果两圆的半径分别为R 和r (R>r ),圆心距为d ,且(d-r)2=R 2,则两圆的位置关系是( ) A 、内切 B 、外切 C 、内切或外切 D 、不能确定 8、在数轴上表示有理数a 、b 、c 的小点分别是A 、B 、C 且b初中数学锐角三角函数的易错题汇编含答案
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