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精算师考试金融数学课本知识精粹

第一篇：利息理论

第一章：利息的基本概念

t 0

t 0'()=()()()(0)1)(dr a t a t a t e

A n dt A n A δδδ?==-?

????????

?、有关利息力:

()()

11(1)1(1)(1)2m p m p i d i v d e m p

---+=+==-=-=、

=131 t t

i it d

id δδ?

??+??=?-?

、但贴单利率下的利息力：：现下的利息力

4??

???

严格单利法（英国法）

投资期的确定常规单利法（欧洲大陆法）银行家规则（欧洲货币法）、

k k

k n

k s t

t s

===

∑∑5、等时间法：

第二章年金

....

1....

1+i 11+i 1n n n

n n n n n a a a a s s s s -+?

==+???==-?

（1）、（1）

......

n m n m

m n m n m

v a a a v a a a ++?=-???=-?、

3、零头付款问题：（1）上浮式（2）常规（3）扣减式 4：变利率年金（1）各付款期间段的利率不同（2）各付款所依据的利率不同 5、付款频率与计息频率不同的年金（1）付款频率低于计息频率的年金

1.......1........n k n k

k n k n

k a s s is s a a s ia a ??????

????????

?????

???????

现值期末付年金：永续年金现值：终值：现值：期初付年金：永续年金现值：终值:

（2）付款频率高于计息频率的年金

()()()()()()..()

()()..()1:1.......(1)1

11........(1)1n

m m n m n

m m n m n n m m m n n m v a i i i i v a d d i s i ??-=??????+-?=?????

?-?=?????+-??=????

现值期末付年金：永续年金现值：终值：s 现值：期初付年金：永续年金现值：终值: （3）连续年金（注意：与永续年金的区别）

1(1)1(1)n

n t

n n

n t n v a v dt i s i dt δδ---?-==???+-?=+=????

6、基本年金变化

（1）各年付款额为等差数列

0..

0-101()()()=()+()=()+()n

n n n

n n

n n n n n n n n n n n n n

n n n n a nv V pa Q

i a n a nv Ia a i i a nv n a Da na i i V Ia v Da a a V Ia v Da a a ??

??+?-=+??

?--?=+=??

--?

=???=??

?=?????

现值期末付虹式年金：期末付平顶虹式年金:

（2）各年付款额为等比数列

0000:11()

1:1:n

i k V k n i V i k V i k

i i k V

?-+?

?>?不存在不存在存在

7、更一般变化的年金：

（1）在()n Ia 的基础上，付款频率小于计息频率的形式

k k

a n v a k V is -

（2）在()n Ia 的基础上，付款频率大于计息频率的形式

()()..()()

()()n

m n

m n n n m m n a nv Ia i a nv I a i ?-?=??

?-?=??

（m ）

每个计息期内的m 次付款额保持不变每个计息期内的m 次付款额保持不变（3）连续变化年金：

○

1：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为t,其现值为 ()n

n n a nv

I a δ

○

2：有n 个计息期，利率为i ，在t 时刻付款率为()f t ,其现值为 0

(0)()n

V f t v dt

第三章收益率

1、收益率（内部收益率）由

(0)0n

t t V v R ===∑可求出 2、收益率的唯一性：

（1）若在0~n 期间内存在一时刻t ，t 之后的期间里现金流向是

一致的，t 之前的期内的现金流向也一致，并且这两个流向方向相反，则收益率唯一。

（2）若在0~n-1内各发生现金流的时刻，投资（包括支出及回收，

总称投资）的积累额大于0，则该现金流唯一。

3、再投资收益率：

（1）情形一：在时刻0投资1单位，t 时刻的积累值:1n is + （2）情形二：在标准金中, t 时刻的积累值：

1()n n s n n i Is n i j

--+=+?

4、基金收益率：A ：期初基金的资本量 B ：期末基金的本息和 I ：投资期内基金所得收入 t C ：t 时刻的现金流（01t ≤≤） C ：在此期间的现金流之和t t

C C =∑，

（1）(1)

t t

i A C t ≈+-∑

（2）2I

i A B I

≈+-（现金流在0-1期间内均匀分布）

（3）(1)(1)I

i kA k B k I ≈

+---（其中(/)t t

k t C C =?∑）

注意：上述求收益率的方法也叫投资额加权收益率 5、时间加权收益率

12(1)(1)()1m i i i i i =+++-

6、投资组合法：计算出一个基于整个基金所得的平均收益率，然后根据每个资金账户所占比列与投资时间长度分配基金收益

投资年法：按最初投资时间和投资所持续的时间，以及与各时间相

联系的利率，积累值为：

121

12(1+)(1)(1)......(1+)(1)(1)(1).....(1+).....y y

y k y y y

y m y k

C i i i k m C i i i i

k m

+++?++≤??+++>??

（m 为投资年法的年数，

即若投资时间未满m 年，利用投资年法计算收益；若超过部分按投资组合法计算收益率。在y 年投资第t 年收益率记为y t i ） 7、股息贴现模型

（1）每期末支付股息t D ，假定该股票的收益率为r,则它的理论价格为：

1(1)

n D p r ∞

==+∑ （2）每期末支付股息以公比（1+g ）呈等比增长，假定该股票的收益率为r,-1

D p r g

第四章债务偿还

1、分期偿还表（标准年金，贷款额n a ，年利率i ，每期末还款额为1）

第k 期偿还款中的利息部分记为k I ；本金部分为k p

1n k k I v

-=-1

=n k k p v

2、连续偿还的分期偿还表

B (1)p

t n t

r t n t t a t B a i S

---

?=???=+-?

时刻的余额

11t

t t

I B t p I B δδ-

?=???=-=-?时刻偿还的本金利息

3、偿还频率与计息频率不同的分期偿还表（1）若偿还期计息k 次（偿还频率小于计息频率）

（2）若每计息期偿还嗲款m次（偿还频率大于计息频率）

表（4-4）()m

a的分期偿还表

4、偿债基金表

第五章债券及其定价理论

1、债券价格

1:C Nr g g i :n :G=Nr /n p G i t 债券的价格 N:债券的面值：债券的赎回值

r:票利率：票息额 :修正票息率=Nr/C(N=C 时，g=r)收益率 :票息到期支付次数 K=Cv 基础金额：所得税率

（1）所得税后的债券价格：

11111(1)[(1)](1)Makeham ()n n n n p Nr t a Cv p c Nr t Ci a g t C K i ?=-+?

-=--??

-?-??

基本公式：溢价、折价公式：基础金额公式：p=G(1-t )+[C-G(1-t )]v 公式：p=K+

（2）所得税、资本增益税后（当购买价格低于赎回值）的债券价格：

2122(1)(1)(/)()()1/n

t K t g i C K p p t c p v p t K C

-+--=--←?→=

- （3）如果债券的购买时间不是付息日，则债券的全价（tp ）

11(1)(1)

(1)

w w

n w

Nr Nr

Nr C tp i i i +-++=++++

2、溢价与折价

本金调整：溢价摊销或折价积累

3、票息支付周期内债券的估价债券的平价：f t k B

+ 扣除应计票息后的买价称为市价：m

t k B +

公式：+f m

t k t k k B B Nr ++=或=-m f t k

t k k B B Nr ++ =(1)(1)11(1)1(1)f k t k t k k k

m k t k t

B B i i Nr Nr

i i B B i Nr i ++?

?+?

+-?

=??

?+-=+-??

（）理论法： =(1)

2(1)f t k t k m

t k t B B ki Nr kNr

B B ki kNr

++?+?

=??=+-?（）实务法： =(1)3(1)f k t k t k m k

t k t B B i Nr kNr

B B i kNr

++?+?

=??=+-?（）混合法：

4、收益率的确定

由()n p C C g i a =+-P C

k C

可导出 112k

g n i n k

≈

++或

112k g n i k -≈+(12n n +=1/2) ()4()i g i g

>?溢价发行：赎回日尽可能早

、可赎回债券计算收益率时：折价发行: 赎回日尽可能晚

5、系列债券：

t 1t 1t 1t 1

()m

t t t t g p K C K i =====+-∑∑∑∑系列债券的价格

其中：t 1t 1

g /:m

t m

t Nr C

K C ===∑∑所有现金流现值之和：所有现金流之和

第二篇利率期限结构

第六章：利率期限结构理论

,(1)

(1)(1)

i j

i j i j i y f y ++++=

+1、远期利率：

1mod 1

2Macaulay D D D /(1)

:(1)=1

mac i ti

i mac ti ti ti

ti i t w y F w i p y w ==?

=???

?=+?

+∑∑、久期与修正久期：

久期修正久期其中第次现金流的现值在现金流总和中所占的比例

mod mod 2

Macaulay C (1)1C

(1+y)mac N

i i ti ti i D y t t C p +=??

=????

+?=??

∑3、凸度与修正凸度：凸度修正凸度

+-E 0+-0

200+-D =242()E

p p p p p p p p p p -?

????

+-?=???

?有效久期：、有效凸度：C 其中、、表示债券期初价格、收益率在初始收益率基础上增加和减少时对应的价格

第七章随机利率模型

(

)

()

12t

s t s r ds t r ds t e D t e β-?=?、时刻银行账户的价值、随机折现因子（,T ）=

()()31R t T t -R t T t B t t R t e B t B t e --?=??=??

（,T ）（,T ）、连续复利收益率

（,T ）:T 时刻到期的零息债券1单位面值在时刻的价格（,T ）：连续复利收益率

（,T ）（,T ）

4l e F F 、远期单利(t,T,S)与远期复利(t,T,S),t 时刻期限为[T,S]

1(,)(1)(,)1(,)ln (,)l

e B t T F S T B t S B t T F S T B t S ?-?-?

??-?

(t,T,S)=(t,T,S)= ()()(),ln (,)5,1,T

-f t u du T t B t T f t T T B t e R t f t u du T t ?=-

???=???-?

?、远期瞬时利率零息债券价格：（,T ）连续复利收益率:（,T ）=

16()t t Ho-Lee r r a t t u +d -ε+=+?+、模型的应用

短期利率满足：随机变量在出现时取1，在出现时取1

7、随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程

222(,)(,)1(,)(,)(,)2t t t t t t t t dr u t r dt t r dW B B B B dB u t r t r dt t r dW t t r t σσσ=+??

???????

=+++ ?????????

(,):(,)t t t t u t r t r W B=B t σ其中漂移项：波动项：标准布朗运动（,T ）=B(t,T,,r )

1212222(,,)(,,)

(,)(,,)(,,)(,)011(,)(,)(,)21(,)(,t t t t t

t t t t =B t T r B t T r m t T r B t T r B t T r v t T r r B B B m t T =u t r t r B t t r B

v t T t B t

λλσσ∏Φ∏∏+Φ?

?=???+Φ=?

???

?????++ ?

??????=

?8、利率风险市场价格()

用两种不同到期日的零息债券构造无风险资产组合然后选择适当的头寸使得的风险为零其中)t r

()00

()()2222223

9()(1)(,)1,()()()()()(1)24t t t t

t t t t u t u a b r t

Vasicek dr u-r dt dW u r r e u e e dW B t T e e =T t b a b u u e ααατταατ

ασασσττα

λσσλσσστττααααα

-------=+=+-+=--=

=-----+-?、模型及其下的债券定价模型：、、为正的常数

模型的解为：零息债券的价格：其中：

9()(,)t t t

t dr u-r dt u t r ασασλ=+=

、CIR 模型及其下的债券定价模型：、、为正的常数该模型下风险的市场价格为：

第三篇金融衍生工具定价理论

第八章金融衍生工具介绍

0()001...........().......rt r q t rt F=S e F S e q F S I e I -??

=??=-?

、远期的定价：连续复利率：离散红利

()

0()0

()

()02()():r T t t t r T t rt

t t r T t r q t t t t t T f F F e I f F e -S I e q f F e -S e -------≤≤?=-??=-????=???

、时刻持有远期合约的价值：（0）

中间收入：如果有中间收入提供红利

3::(,)(,)1()1(,)1(1t t t t i i =S S F t T F t T iT

S i T

F t T iT S i T

=++>+、远期利率平价公式

、本币和外币的利率（假定借款利率贷款利率）外币的以本币标价的即期汇率（本币/外币）外币远期的价格为一般不超过一年故采用单利若：持有本币所得利息低于外币，持有外币有利）

4、远期利率协议（1）结算时金额：|S-F|T

1S T

??+?

其中：S ：目标利率；F ：远期价格，T ：远期期限（2）远期价格,t t T F f +=

满足：,(1)(1)[1()]t t t T t T rt f T r t T ++++=++ 5、期货合约的盈亏：01=nN ||t t Z Z +?-

期货合约保证金账户盈亏代数和为：00N ||t S Z - 无论盈亏都只需交00N Z 6、利率期货

（1）短期利率期货：（欧洲美元期货、定价、套期保值、周期3个月） ○

1 若果价格变动一个基点（小数点后第二位变动一个数，如94.79→94.80或94.78），则一份合约的买方或卖方将支付25远。对于本金100万而言，一个季度每个基点的价值为：

1000.01%25()4

??=万美元

○2远期利率22111122

(1)(10.25)(1)41r T rT f rT f r T f rT -++=+?=?+足满 ○

3套期保值原理(N ：被保资产金额D ：保质期限S 存款利率变动的基点n ：合约的份数）

N n S =

??面值 (2)长期利率期货 ○

1国债期货：点数价值：价格波动一个最小值时，一份合约买卖双方盈亏金额 ○

2转换因子：指如果名义债券平价发行，那么一单位面值的该债券的价格。如：若名义债券的票息率为半年4%,某实际债券的票息率为半年3%，剩余期限为2年，则付息日的转换因子为：

234

3331003

[

]/100(14%)(14%)(14%)(14%)CF +=+++++++ （3）交割债券的选择（最廉价交割债券）

卖方在债券的现货市场上可以以P+A 价格买到债券（P ：债券净价，A ：应计利息）；在期货交割时卖方将收到买方现金CF Z A ?+（Z ：债券期货的价格），同时支付债券。显然A 不影响卖方的成本，卖方的净交割成本为：P CF Z -?

（4）国债的定价类似于：0().rt F S I e =-

例题：假设某国债期货党的CTD 债券的票息率为12%；CF=1.4. 假定在270天后交割，债券每半年计息一次；当前时刻距上次付息以过了60天，利息力为r=0.1;债券报价为120；可按如下方法计算期货的价格Z ：

解：（1）债券的全价=净价+应计利息之和（每100元面值的利息）

120+

6=121.978182

? （2）计算期货的现金价格：

132

270

0.10.1365

365

(121.978-6e

)125.095e

????=

（3）计算以CTD 债券为基础资产的期货价格：

148

125.0956120.242183

= （4）利用转换因子CF 计算国债期货的价格：

120.242

85.8871.4

Z =

= （5）国债期货套期保值原理

基点价值bpv ：收益率变动一个基点所引起的债券价格的变化。如：面值为10万美元、期限为3年，票利率为10.75%，若当前市场利率为10%，则该债券的bpv 为：

1075010000010750100000

()()(110%)(110%)(110.01%)(110.01%)t t t t bpv ===+-+++++∑∑ 7、看涨看跌期权平价公式

()r T t t t t c Ke p S --+=+

其中t c ：t 时刻的看涨期权的价格 K ：看涨期权的执行价格

t p ：t 时刻的看跌期权的价格 t S ：t 时刻的基础资产价格

8、期权价值的影响因素

（1）基础资产价格t S ：对看涨期权t S 越大，价格越高

对看跌期权t S 越大，价格越低

（2）执行价格K ：对看涨期权K ：越大，价格越高

对看跌期权K ：越大，价格越低

（3）到期期限T ：对美式而言，T 越长，价格越高对欧式而言，不一定

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