北师大版九年级数学下册全套教案
义务教育基础课程初中教学资料
第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起（第一课时）
学习目标:
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.
2.能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，外能够用正切进行简单的计算. 学习重点:
1.从现实情境中探索直角三角形的边角关系.
2.理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系. 学习难点:
理解正切的意义，并用它来表示两边的比. 学习方法:
引导—探索法. 学习过程:
一、生活中的数学问题:
1、你能比较两个梯子哪个更陡吗？你有哪些办法？
2、生活问题数学化：
⑴如图：梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
⑵以下三组中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？
二、直角三角形的边与角的关系（如图，回答下列问题） ⑴Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系? ⑵
2
2
2111B AC C B AC C 和有什么关系？ ⑶如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3)呢?
⑷由此你得出什么结论? 三、例题：
例1、如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?
例2、在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.
四、随堂练习：
1、如图，△ABC 是等腰直角三角形，你能根据图中所给数据求出tanC 吗
?
2、如图，某人从山脚下的点A 走了200m 后到达山顶的点B ，已知点B 到山脚的垂直距离为55m ，求山的坡度.(结果精确到
0.001)
3、若某人沿坡度i ＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高________米.
4、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tan θ＝______.
5、如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)
五、课后练习：
1、在Rt △ABC 中,∠C=90°,AB=3,BC=1,则tanA= _______.
2、在△ABC 中,AB=10,AC=8,BC=6,则tanA=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=3,BC=4,则tanC=______.
4、在Rt △ABC 中,∠C 是直角,∠A、∠B、∠C 的对边分别是a 、b 、c,且a=24,c= 25,求tanA 、tanB 的值.
5、若三角形三边的比是25:24:7,求最小角的正切值.
6、如图,在菱形ABCD 中,AE⊥BC 于E,EC=1,tanB=12
5
, 求菱形的边长和四边形AECD 的周长.
E D
B
A
C
7、已知:如图,斜坡AB 的倾斜角a,且tan α=
3
4
,现有一小球从坡底A 处以20cm/s 的速度向坡顶B 处移动,则小球以多大的速度向上升高?
8、探究:
⑴、a 克糖水中有b 克糖(a>b>0),则糖的质量与糖水质量的比为_______; 若再添加c 克糖(c>0),则糖的质量与糖水的质量的比为________.生活常识告诉我们: 添加的糖完全溶解后,糖水会更甜,请根据所列式子及这个生活常识提炼出一个不等式: ____________.
⑵、我们知道山坡的坡角越大,则坡越陡,联想到课本中的结论:tanA 的值越大, 则坡越陡,我们会得到一个锐角逐渐变大时,它的正切值随着这个角的变化而变化的规律,请你写出这个规律:_____________.
⑶、如图,在Rt△ABC 中,∠B=90°,AB=a,BC=b(a>b),延长BA 、BC,使AE=CD=c, 直线CA 、DE 交于点F,请运用(2) 中得到的规律并根据以上提供的几何模型证明你提炼出的不等式.
§1.1从梯子的倾斜程度谈起（第二课时）
学习目标：
1.经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义.
2.能够运用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算.
4.理解锐角三角函数的意义. 学习重点：
1.理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明.
2.能用sinA 、cosA 表示直角三角形两边的比.
3.能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算. 学习难点：
用函数的观点理解正弦、余弦和正切. 学习方法：
探索——交流法. 学习过程：
一、正弦、余弦及三角函数的定义 想一想：如图
(1)直角三角形AB 1C 1和直角三角形AB 2C 2有什么关系?
(2) 211
122BA C A BA C A 和有什么关系? 2
112BA BC BA BC 和
呢? (3)如果改变A 2在梯子A 1B 上的位置呢?你由此可得出什么结论?
(4)如果改变梯子A1B 的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请讨论后回答.
二、由图讨论梯子的倾斜程度与sinA 和cosA 的关系：
B A
C B
D
A C E F
B
三、例题：
例1、如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，AC ＝200.sinA ＝0.6，求BC 的长.
例2、做一做：
如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA ＝
13
12
，AC ＝10，AB 等于多少?sinB 呢?cosB 、sinA 呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达.
四、随堂练习：
1、在等腰三角形ABC 中，AB=AC ＝5，BC=6，求sinB ，cosB ，tanB.
2、在△ABC 中，∠C ＝90°，sinA ＝5
4
，BC=20，求△ABC 的周长和面积.
3、在△ABC 中.∠C=90°，若tanA=
2
1
，则sinA= .
4、已知：如图，CD 是Rt △ABC 的斜边AB 上的高，求证：BC 2
＝AB ·BD.(用正弦、余弦函数的定义证明)
五、课后练习：
1、在Rt△ABC 中,∠ C=90°,tanA=
3
4
,则sinB=_______,tanB=______. 2、在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=41,sinA=9
41
,则AC=______,BC=_______.
3、在△ABC 中,AB=AC=10,sinC=4
5
,则BC=_____.
4、在△ABC 中,已知AC=3,BC=4,AB=5,那么下列结论正确的是( )
A.sinA=34
B.cosA=35
C.tanA=34
D.cosB=3
5
D
B A
C
5、如图,在△ABC 中,∠C=90°,sinA=35,则BC AC
等于( ) A.34 B.43 C.35 D.45
6、Rt△ABC 中,∠C=90°,已知cosA=3
5
,那么tanA 等于( )
A.43
B.34
C.45
D.54
7、在△ABC 中，∠C=90°,BC=5,AB=13,则sinA 的值是
A ．135
B ．1312
C ．125
D ．5
12
8、已知甲、乙两坡的坡角分别为α、β, 若甲坡比乙坡更徒些, 则下列结论正确的是( ) A.tan α
9、如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的高,则下列线段的比中不等于sinA 的是( )
A.CD AC
B.DB CB
C.CB AB
D.CD
CB
10、某人沿倾斜角为β的斜坡前进100m,则他上升的最大高度是( )m
A.
100
sin β
B.100sin β
C.100cos β
D. 100cos β
11、如图,分别求∠α,∠β的正弦,余弦,和正切.
12、在△ABC 中,AB=5,BC=13,AD 是BC 边上的高,AD=4.求:CD,sinC.
13、在Rt△ABC 中,∠BCA=90°,CD 是中线,BC=8,CD=5.求sin∠ACD,cos∠ACD 和tan∠ACD.
14、在Rt△ABC 中,∠C=90°,sinA 和cosB 有什么关系?
15、如图,已知四边形ABCD 中,BC=CD=DB,∠ADB=90°,cos ∠ABD=4
5
.求：s △ABD ：s △BCD
§1.2 30°、45°、60°角的三角函数值
学习目标：
1.经历探索30°、45°、60°角的三角函数值的过程，能够进行有关的推理.进一步体会三角函数的意义.
B
D
A
C
2.能够进行30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.能够根据30°、45°、60°的三角函数值说明相应的锐角的大小. 学习重点：
1.探索30°、45°、60°角的三角函数值.
2.能够进行含30°、45°、60°角的三角函数值的计算.
3.比较锐角三角函数值的大小. 学习难点：
进一步体会三角函数的意义. 学习方法： 自主探索法 学习过程： 一、问题引入
[问题]为了测量一棵大树的高度，准备了如下测量工具：①含30°和60°两个锐角的三角尺；②皮尺.请你设计一个测量方案，能测出一棵大树的高度.
二、新课
[问题] 1、观察一副三角尺，其中有几个锐角?它们分别等于多少度? [问题] 2、sin30°等于多少呢?你是怎样得到的?与同伴交流. [问题] 3、cos30°等于多少?tan30°呢?
[问题] 4、我们求出了30°角的三个三角函数值，还有两个特殊角——45°、60°，它们的三角函数值分别是多少?你是如何得到的?
(1)sin30°+cos45°； (2)sin 260°+cos 2
60°-tan45°.
[例2]一个小孩荡秋千，秋千链子的长度为2.5 m ，当秋千向两边摆动时，摆角恰好为60°，且两边的摆动角度相同，求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差.(结果精确到0.01 m)
三、随堂练习 1.计算：
(1)sin60°-tan45°； (2)cos60°+tan60°；
(3) 22sin45°+sin60°-2cos45°； ⑷1
32
30sin 1+-?；
⑸(2+1)-1+2sin30°-8； ⑹(1+2)0
-｜1-sin30°｜1+(
2
1)-1
；
⑺sin60°+
?-60tan 11； ⑻2-3-(0032+π)0
-cos60°-2
11-.
2.某商场有一自动扶梯，其倾斜角为30°.高为7 m ，扶梯的长度是多少?
3．如图为住宅区内的两幢楼，它们的高AB ＝CD=30 m ，两楼问的距离AC=24 m ，现需了解甲楼对乙楼的采光影响情况.当太阳光与水平线的夹角为30°时，求甲楼的影子在乙楼上有多高?(精确到0.1 m ，2≈1.41，
3≈1.73)
四、课后练习：
1、Rt △ABC 中，8,60=?=∠c A ，则__________,==b a ；
2、在△ABC 中，若2,32==b c ,，则____tan =B ，面积S ＝ ；
3、在△ABC 中，AC ：BC ＝1：3，AB ＝6，∠B ＝ ，AC ＝ BC ＝
4、等腰三角形底边与底边上的高的比是3:2，则顶角为 （ ） （A ）600
（B ）900
（C ）1200
（D ）150
5、有一个角是?30的直角三角形，斜边为cm 1，则斜边上的高为 （ ） （A ）
cm 41 （B ）cm 2
1
（C ）cm 43 （D ）cm 23 6、在ABC ?中，?=∠90C ，若A B ∠=∠2，则tanA 等于（ ）． （A ）3 （B ）
33 （C ）23 （D ）2
1
7、如果∠a 是等边三角形的一个内角，那么cos a 的值等于（ ）．
（A ）2
1 （B ）22
（C ）23 （D ）1
8、某市在“旧城改造”中计划内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a 元，则购买这种草皮至少要（ ）． （A ）450a 元 （B ）225a 元 （C ）150a 元 （D ）300a 元
9、计算：
⑴、?+?60cos 60sin 2
2
⑵、??-?30cos 30sin 260sin
⑶、?-?45cos 30sin 2
⑷、3245cos 2-+?
?
15020米30米
⑸、0
45cos 360sin 2+ ⑹、 1
30sin 560cos 300
-
⑺、?30sin 22
·?+?60cos 30tan tan60° ⑻、?-?30tan 45sin 2
2
10、请设计一种方案计算tan15°的值。
§1.4 船有触礁的危险吗
学习目标：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的应用.
2.能够把实际问题转化为数学问题，能够借助于计算器进行有关三角函数的计算，并能对结果的意义进行说明. 学习重点：
1.经历探索船是否有触礁危险的过程，进一步体会三角函数在解决问题过程中的作用.
2.发展学生数学应用意识和解决问题的能力. 学习难点：
根据题意，了解有关术语，准确地画出示意图. 学习方法：
探索——发现法 学习过程： 一、问题引入：
海中有一个小岛A ，该岛四周10海里内有暗礁.今有货轮由西向东航行，开始在A 岛南偏西55°的B 处，往东行驶20海里后，到达该岛的南偏西25°的C 处，之后，货轮继续往东航行，你认为货轮继续向东航行途中会有触礁的危险吗?你是如何想的?与同伴进行交流.
二、解决问题：
1、如图，小明想测量塔CD 的高度.他在A 处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m 至B 处.测得仰角为60°.那么该塔有多高?(小明的身高忽略不计，结果精确到1 m)
2、某商场准备改善原来楼梯的安全性能，把倾角由40°减至35°，已知原楼梯长为 4 m ，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面?(结果精确到0.0l m)
三、随堂练习
1.如图，一灯柱AB 被一钢缆CD 固定，CD 与地面成40°夹角，且DB ＝5 m ，现再在C 点上方2m 处加固另一条钢缆ED ，那么钢缆ED 的长度为多少?
2.如图,水库大坝的截面是梯形ABCD.坝顶AD ＝6m ，坡长CD ＝8m.坡底BC ＝30m ，∠ADC=135°. (1)求∠ABC 的大小：
(2)如果坝长100 m.那么建筑这个大坝共需多少土石料?(结果精确到0.01 m 3
)
3．如图，某货船以20海里／时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时.接到气象部门通知，一台风中心正以40海里／时的速度由A 向北偏西60°方向移动，距台风中心200海里的圆形区域(包括边界)均受到影响. (1)问：B 处是否会受到台风的影响?请说明理由.
(2)为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物?(供选用数据：2
≈1.4，3 ≈1.7)
四、课后练习：
1. 有一拦水坝是等腰楼形,它的上底是6米,下底是10米,高为3,求此拦水坝斜坡的坡度和坡角.
2.如图,太阳光线与地面成60°角,一棵大树倾斜后与地面成36°角, 这时测得大树在地面上的影长约为10米,求大树的长(精确到0.1米).
太阳光线
B
60?
D
A 36?C
3.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇,且∠QPN=30°,点A 处有一所学校,AP=160米,假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向行驶时 ,学校是否会受到噪声影响?请说明理由.
N
A
M
P
4.如图,某地为响应市政府“形象重于生命”的号召,在甲建筑物上从点A 到点E 挂一长为30米的宣传条幅,
在乙建筑物的顶部D 点测得条幅顶端A 点的仰角为40°,测得条幅底端E 的俯角为26°,求甲、乙两建筑物的水平距离BC 的长(精确到0.1米).
B
D
A E F
5.如图,小山上有一座铁塔AB,在D 处测得点A 的仰角为∠ADC=60°,点B 的仰角为∠BDC=45°;在E 处测得A 的仰角为∠E=30°,并测得DE=90米, 求小山高BC 和铁塔高AB(精确到0.1米).
6.某民航飞机在大连海域失事,为调查失事原因,决定派海军潜水员打捞飞机上的黑匣子,如图所示,一潜水员在A 处以每小时8海里的速度向正东方向划行,在A 处测得黑匣子B 在北偏东60°的方向,划行半小时后到达C 处,测得黑匣子B 在北偏东30 °的方向,在潜水员继续向东划行多少小时,距离
黑匣子B 最近,并求最近距离.
7.以申办2010年冬奥会,需改变哈尔滨市的交通状况,在大直街拓宽工程中, 要伐掉一棵树AB,在地面上事先划定以B 为圆心,半径与AB 等长的圆形危险区,现在某工人站在离B 点3米远的D 处测得树的顶点A 的仰角为60°,树的底部B 点的俯角为30°, 如图所示,问距离B 点8米远的保护物是否在危险区内?
8.如图,某学校为了改变办学条件,计划在甲教学楼的正北方21米处的一块空
地上(BD=21米),再建一幢与甲教学等高的乙教学楼(甲教学楼的高AB=20米),设计要求冬至正午时,太阳光线必须照射到乙教学楼距地面5米高的二楼窗口处, 已知该地区冬至正午时太阳偏南,太阳光线与水平线夹角为30°,试判断:
计划所建的乙教学楼是否符合设计要求?并说明理由.
9.如图,两条带子,带子α的宽度为2cm,带子b 的宽度为1cm,它们相交成α角,如果重叠部分的面积为4cm 2
,求α的度数.
1.5 测量物体的高度
B 30?
D A
60?C
E
F 30?北A 60?C