人教版高中数学知识点总结：新课标人教A版高中数学必修2知识点总结

高中数学必修 2 知识点总结

第一章空间几何体

1.1柱、锥、台、球的结构特征

（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱ABCDE A'B'C'D'E'或用对角线的端点字母，如五棱柱AD'

几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥

定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等

表示：用各顶点字母，如五棱锥P A'B'C'D'E'

几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母，如五棱台P A'B'C'D'E'

几何特征：①上下底面是相似的平行多边形②侧面是梯形③侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体

几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

1.2空间几何体的三视图和直观图

（1）定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、

俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。

（2）画三视图的原则：长对齐、高对齐、宽相等

（3）直观图：斜二测画法

（4）斜二测画法的步骤：

（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）.平行于y轴的线长度变半，平行于x，z 轴的线长度不变；

（3）.画法要写好。

（5）用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图

1.3空间几何体的表面积与体积

（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。

（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长，h 为高，h 为斜高，l 为母线）

（3）柱体、锥体、台体的体积公式

（4）球体的表面积和体积公式：V 球= 4R3； S 球面=4 R2

3 第二章直线与平面的

位置关系

D C

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系

（1）平面

①平面的概念：A. 描述性说明；B.平面是无限伸展的；

②平面的表示：通常用希腊字母α、β、γ表示，如平面α（通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表

示，如平面BC 。

③点与平面的关系：点A 在平面内，记作A ；点A 不在平面内，记作A 点与直线的关系：点A 的直线l 上，记作：A∈

l；点A 在直线l 外，记作A l；直线与平面的关系：直线l 在平面α内，记作l α；直线l 不在平面α内，记作l α。（2）公理1：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线是所有的点都在这个平面内。（即直线在平面内，或者平面经过直线）

应用：检验桌面是否平；判断直线是否在平面内

用符号语言表示公理1：A l,B l,A ,B l

（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。

推论：一直线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确定一平面。公理2 及其推论作用：①它是空间内确定平面的依据②它是证明平面重合的依据（4）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线

符号：平面α和β相交，交线是a，记作α∩β＝a。

符号语言：P AI B AI B l,P l

公理3 的作用：

①它是判定两个平面相交的方法。②它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必过公共点。③它可以

判断点在直线上，即证若干个点共线的重要依据。

2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

共面直线

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a、b、c 是三条直线

a∥b

c∥b

强调：公理4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4 作用：判断空间两条直线平行的依据。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

①a' 与b' 所成的角的大小只由a、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈ （0 ，）；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就2说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥ b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直2两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

2.1.3—2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

∩α =A 文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.

∥α

α

2.2. 直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面

平行。简记为：线线平行，符号表示：

则线面平

行。

a∥b

β

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面

平行。

符号表示：β

β

a∩b = Pβ∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平

行。

2.2.3 —

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平

行。简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α a β α∩β = b 作用：利用该定理可解决直线间的平

行问题。∥b

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平

行。符号表示：

α∥

α∩γ = a a β∩γ = b 作用：可以由平面与平面平

行得出直线与直线平行

2.3 直线、平面垂直的判定及其性

质

1、定义

如果直线L 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L 与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的

2、判定定

理：

垂线，平面α

注意点： a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

3、两个平面互相垂直的判定定理： 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 —

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2 性质定两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面

本章知识结构框图

平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4)

3.1 倾斜角和斜率

1、直线的倾斜角的概念：当直线 l 与 x 轴相交时 , 取 x 轴作为基准 , x 轴正向与直线 l 向上方向之间所成的角α叫做直线 的

倾斜角.特别地,当直线 l 与x 轴平行或重合时 , 规定α= 0°.

2、 倾斜角α的取值范围： 0 °≤α< 180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90°.

3、直线的斜率 :

一条直线的倾斜角α ( α≠ 90°)的正切值叫做这条直线的斜率 ,斜率常用小写字母 k 表示,也就是 k = tan α ⑴当直线 l 与

x 轴平行或重合时 , α=0°, k = tan0 ° =0;

⑵当直线 l 与 x 轴垂直时 , α= 90°, k 不存在 .

由此可知 , 一条直线 l 的倾斜角α一定存在 , 但是斜率 k 不一定存在 .

4、 直线的斜率公式 :

给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1 ≠ x2, 用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率： 斜率公式 : k=y2-y1/x2-x1

1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，

即

注意 : 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果 一定有 L1∥L2 2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互 相垂直，即

3.2.1 直线的点斜式方程

直线与直线的位置关系

3.1 直线的倾斜角和斜率

空间直线、平面的位置关系

直线与平面第的三位章置关系直线与方

程

平面与平面的位置关系

k1=k2, 那么 β或α -AB- β

4.1.1 圆的标准方程

2 2 2

1、圆的标准方程： (x a)

2

(y b)2 r 2

圆心为 A(a,b), 半径为 r 的圆的方程

2 2 2

M (x 0,y 0) 与圆 (x a)

2

(y b)2 r 2 的关系的判断方法：

2 2 2 2 2 2

(x 0 a) (y 0 b) >r ，点在圆外 (2) (x 0 a) (y 0 b) = r ，点在圆上

22

1、 直线的 点斜式 方程：直线 l 经过点

P 0(x 0, y 0) ，且斜率为 k

y y 0

k(x x 0)

2、、直线的 斜截式 方程：已知直线 l 的斜率为

k ，且与 y 轴的交点为 (0,b)

kx 3.2.2 直线的两点式方程

1、直线的两点式方程：已知两点 P 1( x 1, x 2 ),P 2(x 2,y 2) 其中 (x 1 x 2 ,y 1

y 2)

y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直线的截距式方程：已知直线

l 与 x 轴的交点为 A (a,0)， 与 y 轴的交点为 B (0,b) ，其中 a 0,b 0

3.2.3 直线的一般式方程

1、直线的一般式方 P 1P 2

2

x 2 x 2 y 2

y

1

程：关于 x,y 的二元一次方程 Ax By C 0(A ，

B 不同时为 0)

2、各种直线方程之间的互

3.3 直线的交点坐标与距离公式

1、给出例题：两直线交点坐标

L1 ： 3x+4 y-2=0

L1： 2x+y +2=0

解：解方程组

3x 4y 2x 2y 20 20

得 x=-2 ， y=2

所以 L1 与 L2 的交点坐标为 M (-2，2)

3.3.2 两点间距离

两点间的距离公式

3.3.3

点到直线的距离公式

1．点到直线距离公式：

点

P (

x 0,

y 0)

到直线 l : Ax By C 0的距离为：

Ax 0 By 0 C

A

2 B 2

2、两平行线间的距离公式：

已知两条平行线直线

l 1和 l 2 的一般式方程为 l

1：

Ax By C 1 0 ，

C

1 l

2 ：

Ax By C 2 0，则 l 1 与 l 2的距离为 d 1 2 2 1 2

A 2

C

2

B 2

第四章 圆与方程

2、点

(x0 a)2 (y0 b)2

1、圆的一般方程：x2y2Dx Ey F 0

2、圆的一般方程的特点：

（1）①x2 和y2 的系数相同，不等于0．②没有xy 这样的二次项．

（2）圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定

了．

（3）、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显。

4.2.1 圆与圆的位置关系

1、用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关

系．

设直线l：ax by c 0，圆C：x2y2Dx Ey F 0 ，圆的半径为r ，圆心（D, 2 离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点：E）到直线的距

2

（1）当d r时，直线l与圆C相离；（2）当d r时，直线l与圆C相切；

（3）当d r 时，直线l 与圆C 相交；

4.2.2 圆与圆的位置关系

两圆的位置关系．

设两圆的连心线长为l ，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几

点：

1

）当l r1 r2时，圆C1与圆C 2相离；（2）当l r1 r2时，圆C1与圆C2外切；

3

）当|r1 r2 | l r1 r2时，圆C1与圆C2相交；

4

）当l |r1 r2|时，圆C1与圆C2内切；（5）当l |r1 r2 |时，圆C1 与圆C2 内含；

4.2.3 直线与圆的方程的应用直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况，基本上由下列两种方法判断：

（1）设直线l : Ax By C 0，圆C : x a 2 y b 2 r 2，圆心C a,b 到l 的距离为 d 则有d r l与C相离；d r

l与C相切；d r l与C相交

（2）设直线l:Ax By C 0，圆C: x a 2y b 2r 2，先将方程联立消元，得到一个方程之后，令其中的判别式为，则有

0 l与C相离；0 l与C相切；0 l与C相交

2 注：如果圆心的位置在原点，可使用公式xx0 yy0 r2去解直线与圆相切的问题，其中

切点坐标，r 表示半径。Aa Bb C

A

2

B

2

一元二次x0,y0 表示

1、利用平面直角坐标系解决直线与圆的位置关

系；

2、过程与方法

用坐标法解决几何问题的步

骤：

第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为代数问题；

第二步：通过代数运算，解决代数问题；

第三步：将代数运算结果“翻译”成几何结论．

(3)过圆上一点的切线方程：

2

①圆x2+y2=r 2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为xx0 yy0 r (课本命题)．

②圆(x-a) 2+(y-b) 2=r 2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y 0-b)(y-b)= r 2(课本命题的推广)．

1、点M对应着唯一确定的有序实数组(x,y,z)，x、y、z分别是P、Q、R在x、

y、z轴上的坐标

2、有序实数组(x, y,z) ，对应着空间直角坐标系中的一点

3、空间中任意点M 的坐标都可以用有序实数组(x,y,z) 来表示，该数组叫做点此

空间直角坐标系中的坐标，记M(x,y,z) ，x叫做点M 的横坐标，y叫

做点M 的纵坐标，z 叫做点M 的竖坐标。z 1、空间中任意一点P1(x1, y1 , z1)到点P2(x2, y2 , z2 )之间的距离公式

P2

N1 N