高等数学教案
《高等数学》教案
第一章：函数与极限（18课时）
第一节：映射与函数
教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、集合概念
具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素。 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
1)},,,{321
a a a A = 2)}{P x x A 的性质
= 元素与集合的关系：A a ?，A a ∈
一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +
元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 全集I ：A i ?I （I=1，2，3，……..）。 空集φ：A ?φ。 2、集合的运算
并集B A ?：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ?：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集B A \：
}|{\B x A x x B A ?∈=且
补集（余集）C
A ：I ＼A
集合的并、交、余运算满足下列法则：
交换律：A B B A ?=?A B B A ?=?
结合律：)()(C B A C B A ??=??，)()(C B A C B A ??=??
分配律：)()()(C B C A C B A ???=??，)()()(C B C A C B A ???=?? 对偶律： (c
c
c
B A B A =?)c
c
c
B A B A ?=?)( 笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域
1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]
()[b a b a ,,。
2）无限区间：（,a -∞），(],a -∞，[),a +∞，(),a +∞，(),-∞+∞。 3）邻域：}{),(δδδ+-=a x a x a U
注：a 邻域的中心，δ邻域的半径；去心邻域记为),(δa U
。 二、映射 映射概念
定义设X ，Y 是两个非空集合，如果存在一个法则f ，使得对X 中的每一个元素x ，按法则f ，在Y 中有唯一确定的元素y 与之对应，则称f 为从X 到Y 的映射，记作
Y X f →：
其中y 称为元素x 的像，并记作)(x f ，即)(x f y =。 注意：每个X 有唯一的像；每个Y 的原像不唯一。
三、函数 1、函数的概念
定义 设数集R D ?，则称映射R D f →:为定义在D 上的函数，记为
D x x f y ∈=,)(。
注：函数相等：定义域、对应法则相等。 2、函数的几种特性
1）函数的有界性（上界、下界；有界、无界），有界的充要条件：既有上界又有下界。 2）函数的单调性（单增、单减），在x 1、x 2点比较函数值)(1x f 与)(2x f 的大小（注：与区间有关）。
3）函数的奇偶性(定义域对称、)(x f 与)(x f -关系决定)，图形特点 (关于原点、Y 轴对称)。
4)函数的周期性(定义域中成立：)()(x f l x f =+)
3、 函数与复合函数
1）反函数：函数)(:D f D f →是单射，则有逆映射x y f =-)(1
，称此映射1
-f
为f
函数的反函数。
函数与反函数的图像关x y =于对称。
2）复合函数：函数)(y g u =定义域为D 1，函数)(x f y =在D 上有定义、且1)(D D f ?。则)())((x f g x f g u ==为复合函数。
3）分段函数：分段函数的统一表达式。 结论：对于分段函数
f （x ）=12()
()()
()
f x x a f x x
a ≥??
? 若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）=f 2（a ），则 f （x ）= f 1[
12（
]+ f 1[12
（
]- f 1（a ） 4、初等函数 1）幂函数：a
x y =
2)指数函数：x
a y =
3)对数函数：)(log x y a = 4)三角函数：
)cot(),tan(),cos(),sin(x y x y x y x y ====
5)反三角函数：
)arcsin(x y =，)arccos(x y =
)cot()
arctan(x arc y x y ==
以上五种函数为基本初等函数。
6）双曲函数：2x
x e e shx --=
，2x x e e chx -+=，
x x x x e e e e chx shx thx --+-== 注：双曲函数的单调性、奇偶性。 双曲函数公式：
shy shx chy chx y x ch shy shx chy chx y x ch shy
chx chy shx y x sh shy chx chy shx y x sh ?-?=-?+?=+?-?=-?+?=+)()()()(
7）反双曲函数：
arthx y archx y arshx y ===
例1 已知分段函数
22,10,()1,0,2,0 1.x x f x x x x -≤
1）求其定义域并作图；2）求函数值11
22(),(0),().
f f f - 例2 求由所给函数复合的函数，并求各复合函数的定义域：
y=10u ，u=1+x 2, y=arctanu 2, u=tanv, v=a 2+x 2. 例3 求函数的反函数及反函数的定义域：
y=x 2,（0≤x 〈+∞）， 2
21,01,
2(2),1 2.x x y x x -<≤?
=?--<≤? 作业：见课后各章节练习。
第二节：数列的极限
教学目的与要求：理解极限的概念，性质。 教学重点（难点）：极限的概念的理解及应用。 一、数列
数列就是由数组成的序列。 1）这个序列中的每个数都编了号。
2）序列中有无限多个成员。 一般写成： n a a a a a 43
21
缩写为{}n u
例1 数列??
????n 1是这样一个数列{}n x ，其中 n x n 1
=
， 5,4,3,2,1=n
也可写为：
51
4
131211
可发现：这个数列有个趋势，数值越来越小，无限接近0，记为01
lim
=∞→n n 。
1、 限的N -ε定义
εε a x N
n N n -???0，则称数列{}n x 的极限为a ，记成
a
x n n =∞
→lim
也可等价表述： 1）ερε<>??>?)(0
a x N n N n
2）)(0
εεa
O x N
n N
n ∈>??>?。
极限是数列中数的变化总趋势，因此与数列中某个、前几个的值没有关系。 二、收敛数列的性质
定理1 如果数列{}n x 收敛，那么它的极限是唯一。 定理2 如果数列{}n x 收敛，那么数列{}n x 一定有界。 定理 3 如果
a
x n x =∞
→l i m 且a>0(a<0)那么存在正整数N>0，当n>N 时，
)0(0
<>n n x x 。
例2 证明数列{}1n n +的极限是1。 例3 作出数列
{
}1
(1)n n n
-+-图形，讨论其极限值。
作业：见课后各章节练习。
第三节：函数的极限
教学目的与要求：理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
教学重点（难点）：理解函数左极限与右极限，极限性质。 一、极限的定义 1、在0x 点的极限
1）0x 可在函数的定义域内，也可不在，不涉及f 在0x 有没有定义，以及函数值)(0x f 的大小。只要满足：存在某个0>ρ使：D x x x x ?+?-),(),(0000ρρ。 2）如果自变量x 趋于0x 时，相应的函数值)(x f 有一个总趋势——以某个实数A 为极限，则记为：A
x f x x =→)(lim 0
。
形式定义为：
εδδε<-<-?A x f x x x )()
0(00
2、∞→x 的极限 设),()
(+∞-∞∈=x x f y ，如果当时函数值)(x f 有一个总趋势--该曲线有一条水
平渐近线A y =--则称函数在无限远点∞有极限。记为：A
x f x =∞→)(lim 。
在无穷远点∞的左右极限：
)
(lim )(x f f x +∞
→=+∞，
)
(lim )(x f f x -∞
→=-∞
关系为：
)
(lim )(lim )(lim x f A x f A x f x x x -∞
→+∞
→∞
→==?=
二、函数极限的性质 1、极限的唯一性 2、函数极限的局部有界性 3、限的局部保号性
4、函数极限与数列极限的关系 例1 讨论函数x x
y =
在x 0→的极限。
例2 求下面函数极限：
lim
n →∞221
n n
+， 33
1
11
1
l i m ()x x x ++→--
。
作业：见课后各章节练习。
第四节：无穷小与无穷大
教学目的与要求：掌握无穷小与无穷大概念。 教学重点（难点）：理解无穷小与无穷大的关系。 一、无穷小定义
定义 对一个数列{}n x ，如果成立如下的命题：
εε????>?n x N n N 0则称它为无穷小量，即0lim =∞→n x x
注：1）ε?
?的意义；
2）
ε 3）上述命题可翻译成：对于任意小的正数ε，存在一个号码N ，使在这个号码以后的所有的号码n ，相应的n x 与极限0的距离比这个给定的ε还小。它是我们在直观上对于一个 数列趋于0的认识。 定理1 在自变量的同一变化过程0x x →（或)∞→x 中，函数()x f 具有极限A 的充分必要条件是α+=A x f )(，其中α是无穷小。 二、无穷大定义 一个数列{}n x ，如果成立： G x N n N G n >?>????>?0那么称它为无穷大量。记成：∞=∞→n x x lim 。 特别地，如果G x N n N G n >?>????>?0，则称为正无穷大，记成+∞=∞→n x x lim 。 特别地，如果G x N n N G n -????>?0，则称为负无穷大，记成 -∞ =∞ →n x x lim 。 注：无法区分正负无穷大时就笼统地称之为无穷大量。 三、无穷小和无穷大的关系 定理2 在自变量的同一变化过程中，如果)(x f 为无穷大，则)(1 x f 为无穷小；反之，如果)(x f 为无穷小，且0)(≠x f 则)(1 x f 为无穷大。 即非零的无穷小量与无穷大量是倒数关系：当0≠n x 时：有 ∞=?=∞→∞ ←n x x x 1 lim 0lim 01 lim lim =?∞=∞→∞ ←n x x x 注意是在自变量的同一个变化过程中。 四、无穷小的性质 设{}n x 和{}n y 是无穷小量于是： 1）两个无穷小量的和差也是无穷小量： )(lim 0lim 0 lim =±?==∞ ←∞ →∞ →n n x n x n x y x y x 2）对于任意常数C ，数列{}n x c ?也是无穷小量： )(lim 0lim =??=∞ ←∞ →n x n x x c x 3） {}n y x n ?也是无穷小量，两个无穷小量的积是一个无穷小量。 )(lim 0lim 0 lim =??==∞ →∞ →∞ →n n x n x n x y x y x 4）{} n x 也是无穷小量： lim 0lim 0 =?=→→n x x n x x x x 5）无穷小与有界函数的积为无穷小。 五、函数极限的四则运算 1）若函数f 和g 在点0x 有极限，则 ) (lim )(lim ))()((lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→+=+ 2）函数f 在点0x 有极限，则对任何常数a 成立 ) (lim ))((lim 0 x f a x f a x x x x →→?=? 3）若函数f 和g 在点0x 有极限，则 ) (lim )(lim ))()((lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 4）函数f 和g 在点0x 有极限，并且0 )(lim 0 ≠=→βx g x x ，则 βα= =???? ??→→→)(lim )(lim )()(lim 0 0x g x f x g x f x x x x x x 极限的四则运算成立的条件是若函数f 和 g 在点0x 有极限。 定理 3 设函数)}([x g f y =是由函数)(u f y =与)(x g u =复合而成，)]([x g f 在点 0x 的某去心邻域内有定义，若0)(lim 0 u x g x x =→，A u f u u =→)(lim 0，且存在00>δ，当 ),(000 δx u x ∈时，有0)(u x g ≠，则 例1 下面函数在x 趋向什么时是无穷小，又当x 趋向什么时是无穷大： sin 1cos x x + 。 例2 求下面函数极限： A u f x g f u u x x ==→→)(lim )]([lim 0 9 3lim 23 --→x x x 4 532lim 21 +--→x x x x 作业：见课后各章节练习。 第五节：极限存在准则两个重要极限 教学目的与要求：掌握极限存在准则，透彻理解两个重要极限。 教学重点（难点）：极限存在准则，两个重要极限的应用。 定理1（夹逼定理） 三数列{}n x 、{}n y 和{}n z ，如果从某个号码起成立： 1）n n n z y x <<，并且已知{}n x 和{}n z 收敛， 2）n x n x z a x ∞ →∞ →==lim lim ，则有结论： a y n x =∞ →lim 定理2 单调有界数列一定收敛。 单调增加有上界的数列一定收敛；单调减少有下界的数列一定收敛。 Ⅰ极限0 lim x →[sinx/x] =1 该极限的证明，关键是证不等式:sinx 如图.设单位圆⊙O 的渐开线为 AB .若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ ⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB 及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则 Sinx =TH 我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”. 因扇形面积ＯAT ＝ 1 2 x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则 ∑△A i OA i-1=∑ 12Sin （x/n ）=1 2 n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=1 2x lim n →∞ [Sin （x/n ）/（x/n ）] 显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝1 2 x ，但令t= x / n ，则该极限为 要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。 Ⅱ极限lim n →∞ （1+1/n ）n = e 设A n =（1+1/n ）n ，利用算术和几何不等式关系，得： A n =（1+1/n ）（1+1/n ）……（1+1/n ）?1≦[（n （1+1/n ）+1）/（n+1）] n+1 即数列{A n }单增。 另外，设Ｂn ＝n/（n+1） ，利用算术和几何不等式关系，得： Ｂn ＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2?(1/2)+（n-2））/n ]≥[（1/2）2?1n-2]=（1/4）1/n 则 4≥ [（n+1）/ n ]= （1+1/n ）n 即数列{A n }有上界。 于是，极限Ⅱ存在，并记为数e 。 例1求下面函数极限： x x x tan lim 0→，20cos 1lim x x x -→，x x x arcsin lim 0→ 例2 证明x x x )11(lim +∞ →有界，并求x x x )1 1(lim -∞→的极限。 作业：见课后各章节练习。 第六节：无穷小的比较 教学目的与要求：理解无穷小的比较概念。 教学重点（难点）：熟练应用等价无穷小求极限。 定义 若βα,为无穷小，且 1 lim 0 lim 0 lim lim 0lim =≠=≠=∞ ==αβαβ αβ αβαβ c c K 则α与β的关系，依次是高阶、低阶、同阶、k 阶、等价（α～β） 1）若βα,为等价无穷小，则)(ααβ +=。 2）若α～1 α、β～1 β且 1 1 lim αβ 存在，则： 1 1lim lim αβα β= 例1 证明下面各无穷小量之间的关系： x （x 0→+） tanx-sinx 与sinx （x 0→）。 例2 求下面函数极限： x x x 5sin 2tan lim 0→，x x x x 3sin lim 30+→， 1cos 1)1(lim 3 1 20--+→x x x 。 作业：见课后各章节练习。 第七节：函数的连续性与间断点 教学目的与要求：利用定义判断连续或间断点。 教学重点（难点）：判断函数连续。 一、函数在一点的连续性 函数f 在点0x 连续，当且仅当该点的函数值)(0x f 、左极限)0(0-x f 与右极限 )0(0+x f 三者相等： )0()()0(000+==-x f x f x f 或者：当且仅当函数f 在点0x 有极限且此极限等于该点的函数值。 ) ()(lim 00 x f x f x x =→ 其形式定义如下： εδδ ε<-<-?? (000x f x f x x x 函数在区间（a,b ）连续指：区间中每一点都连续，函数在区间［a,b ］连续时包括端点。 注：1）左右连续，在区间上连续(注意端点)； 2）连续函数的图像是一条连续且不间断的曲线。 二、间断点 若：)0()()0(000+==-x f x f x f 中有某一个等式不成立，就间断，分为： 1、第一类间断点 )0()0(00-≠+x f x f 即函数在点的左右极限皆存在但不相等，曲线段上出现一个跳跃。 2、第二类间断点0x 左极限)0(0-x f 与右极限)0(0+x f 两者之中至少有一个不存在。 例1 讨论函数在x=0处的连续性： ,0, ()1,0. x x f x x ?≠=? =? 例2 求下面函数的间断点，判断其类型： 1 (1),x y x =+1cos x y x = 。 作业：见课后各章节练习。 第八节：连续函数的运算与初等函数的连续性 教学目的与要求：理解连续函数的性质和初等函数的连续性，并会利用函数的连续性求函数极限。 教学重点（难点）：函数连续性判定。 一、连续函数的四则运算 1） ) ()(lim 00 x f x f x x =→且 ) ()(lim 00 x g x g x x =→， ?{}) ()()()(lim 000 x g x f x g x f x x ?+?=?+?→βαβα 2） ) ()(l i m 00 x f x f x x =→且 ) ()(lim 00 x g x g x x =→， ? {}) ()()()(lim 000 x g x f x g x f x x *=*→ 3） ) ()(l i m 00 x f x f x x =→且0 )()(lim 00 ≠=→x g x g x x ， ? )() ()()(lim 000 x g x f x g x f x x = → 二、反函数连续定理 如果函数f D x x f y f ∈=)(:是严格单调增加（减少）且连续的，则存在它的反函 数1 -f ： f D y y f x ∈=-)(1 也是严格单调增加（减少）并且连续。 注：1）反函数的定义域就是原来的值域。 2）通常惯用X 表示自变量，Y 表示因变量。反函数也可表成 1 ) (1 -∈=-f D x x f y 三、复合函数的连续性定理： 设函数f 和g 满足复合条件g ?f D ?，若函数g 在点x 0连续；00)(u x g =，又若f 函数 在点0u 连续，则复合函数g f 在点0x 连续。 注：复合函数的连续性可以保证极限号与函数符号的交换： )) (lim ())((lim 0 x g f x g f x x x x →→= 从这些基本初等函数出,通过若干次四则运算以及复合，得到的种种函数统称为初等函数，并且初等函数在其定义区间内连续。 例1 求下面函数的连续区间： lnsin y x =， y = 。 例2 求下面函数极限： x x a π→， n ( l i x x x a π→ 。 作业：见课后各章节练习。 第九节：闭区间上连续函数的性质 教学目的与要求：了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点（难点）：利用性质解决问题。 一、最大、最小值 设函数：D x x f y ∈=, )(在上有界，现在问在值域 {}D x x f y y D ∈==),(1 中是否有一个最大的实数？如果存在，譬如说它是某个点D x ∈0的函数值)(00x f y =，则记 {} )(max 0x f y D x ∈=叫做函数在D 上的最大值。 类似地，如果f D 中有一个最小实数，譬如说它是某个点f D x ∈2的函数值 )(22x f y =， 则记 {} )(min 2x f y f D x ∈=称为函数在上的最小值。 二、有界性 有界性定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则它在[]b a ,上有界。 三、零点、介值定理 最大值和最小值定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续则它在[]b a ,上有最大值和最小值，也就是说存在两个点?和η，使得 []b a x f x f f ,,)()()(∈≤≤η?。 亦即 [] {})(min )(,x f f b a x ∈=?[] {} )(max )(,x f f b a x ∈=η 若x 0使0)(0=x f ，则称x 0为函数的零点。 四、零点定理 零点定理 如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，且f 在区间[]b a ,的两个端点异号： 0)(*)( 五、中值定理 中值定理如果函数f 在闭区间[]b a ,上连续，则f 在[]b a ,上能取到它的最大值和最小值之间的任何一个中间值。 例1 证明方程x=asinx+b （a 、b >0）至少有一个正根，并且它不超过a=b 。 例2（20XX 年全国高考题） 已知函数[]247 2(),0,1x x f x x --=∈。 1）求()f x 的单调区间和值域； 2）设a ≥1，函数[]32()32,0,1g x x a x a x =--∈，若对于任意[]10,1x ∈使得 01()()g x f x =成立，求a 的取值范围。 作业：见课后各章节练习。 普洱市职业教育中心 教师备课本 科目：《高等数学》班级：_________________任课教师：周文德 日期：_________________ 《高等数学》（上册第一分册） 一元函数微积分 柳重堪主编 1.函数 2.极限与连续 3.导数与微分 4.导数的应用 5.不定积分 6.定积分及其应用 ?初等数学与高等数学的根本区别 用初等数学解决实际问题常常只能在有限的范围内孤立的静止的观念来研究，有很多问题不能得到最终答案，甚至无法解决。高等数学用运动的辨正观点研究变量及其依赖关系，极限的方法是研究变量的一种基本方法，贯穿高等数学的始终。用高等数学解决实际问题，计算往往比较简单，且能获得最终的结果。 ?关于数学应用的评价 “宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之 变，生物之迷，日用之繁，无处不用数学”。 ——华罗庚“数学处于人类智能的中心领域” ——冯.诺依曼“数学是调节理论和实践、思想和经验之间的差异的工具。它建起了一座连通双方的桥梁，并在不断地加固它。事实上，全部现代文明中有关理性认识和征服自然的部分都有赖于数学”。 ——希尔伯特 第1章函数本章教学内容: 1.1 实数 1.2 函数 1.3 初等函数 1.4 建立函数关系举例 【课题】1.1 实数 1.2 函数 【教学目标】 （1）理解区间的概念，学会用区间表示不等式的解集； （2）理解函数的概念，学会求函数值和定义域； （3）了解函数的主要性质（单调性、奇偶性、周期性和有界性）． 【教学重点】 函数的概念及其性质 【教学难点】 函数的概念及其性质 【教学设计】 （1）本次课内容旨在复习中专数学内容，温故知新，以自主学习为主； （2）引导学生通过练习，巩固知识，完成知识的升华； （3）依照学生的认知规律，顺应学生的学习思路展开，自然地层层推进教学． 【教学备品】 教学课件． 【课时安排】 2课时(90分钟) 【教学过程】 1.1实数 一、实数 ?创设情景兴趣导入 人们在幼童时期就学会了数东西，那就是自然数的一种应用，此后，在记账时为了表示收入和支出，需要用到正数和负数；在标明商品价格、测量物体长度和重量时要用到小数或分数；边长为1米的正方形，由勾股定理知其对角线的长为2米，这就导致无理数。 数的概念的逐步拓展，一方面是出于实践的需要，另一方面也完善了关于数的理论。 ?实数包括有理数和无理数两大类。 1)有理数是能表示为两个整数相除的形式的数，或者等价地，有理数就是有限小 数或无限循环小数。 《高等数学》授课教案 第一讲高等数学学习介绍、函数 了解新数学认识观，掌握基本初等函数的图像及性质；熟练复合函 数的分解。 >函数概念、性质（分段函数）—>基本初等函数—> >初等函数—>例子（定义域、函数的分解与复合、分段函数的图像） 授课提要： 前言：本讲首先是《高等数学》的学习介绍，其次是对中学学过的函数进行复习总结（函数本质上是指变量间相依关系的数学模型，是事物普遍联系的定量反映。高等数学主要以函数作为研究对象，因此必须对函数的概念、图像及性质有深刻的理解）。 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数???-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 四：设y=f(u),u=g(x)，且与x 对应的u 使y=f(u)有意义，则y=f[g(x)]是x 的复合函数，u 称为中间变量。 (1)并非任意几个函数都能构成复合函数。 如：2,ln x u u y -==就不能构成复合函数。 (2)复合函数的定义域：各个复合体定义域的交集。 (3)复合函数的分解从外到进行；复合时，则直接代入消去中间变量即可。 例5、设?))(()),((,2)(,)(2x f g x g f x g x x f x 求== 例6、指出下列函数由哪些基本初等函数（或简单函数）构成？ (1))ln(sin 2x y = (2) x e y 2-= (3) x y 2arctan 1+= 五、初等函数：由基本初等函数经有限次复合、四则运算而成的函数，且用一 1）一般分段函数都不是初等函数，但x y =是初等函数； （2）初等函数的一般形成方式：复合运算、四则运算。 1、 确定一个函数需要有哪几个基本要素？ [定义域、对应法则] 高等数学教案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 高等数学教案 教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B (读作A 包含于B )或B A . 如果集合A 与集合B 互为子集, A B 且B A , 则称集合A 与集合B 相等, 记作A B . 若A B 且A B , 则称A 是B 的真子集, 记作A ≠?B . 例如, N ≠?Z ≠?Q ≠?R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 或者属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的并集(简称并), 记作A B , 即 A B {x |x A 或x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有既属于A 又属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的交集(简称交), 记作A B , 即 A B {x |x A 且x B }. 设A 、B 是两个集合, 由所有属于A 而不属于B 的元素组成的集合称为A 与B 的差集(简称差), 记作A \B , 即 A \ B {x |x A 且x B }. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I 中进行, 所研究的其他集合A 都是I 的子集. 此时, 我们称集合I 为全集或基本集. 称I\A 为A 的余集或补集, 记作A C . 集合运算的法则: 设A 、B 、C 为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A , A B B A ; (2)结合律 (A B )C A (B C ), (A B )C A (B C ); 《高等数学A》课程教学大纲 (216学时，12学分) 一、课程的性质、目的和任务 高等数学A是理科(非数学)本科个专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。 通过本课程的学习，要使学生获得：1、函数与极限；2、一元函数微积分学；3、向量代数与空间解析几何；4、多元函数微积分学； 5、无穷级数(包括傅立叶级数)； 6、微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础。 在传授知识的同时，要通过各个教学环节逐步培养学生具有抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和自学能力，还要特别注意培养学生具有综合运用所学知识去分析问题和解决问题 的能力。 二、总学时与学分 本课程的安排三学期授课，分为高等数学A(一)、(二)、(三)，总学时为90+72+54，学分为5+4+3。 三、课程教学基本要求及基本内容 说明：教学要求较高的内容用“理解”、“掌握”、“熟悉”等词表述，要求较低的内容用“了解”、“会”等词表述。 高等数学A(一) 一、函数、极限、连续、 1. 理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。 2. 理解复合函数和反函数的概念。 3. 熟悉基本初等函数的性质及其图形。 4. 会建立简单实际问题中的函数关系式。 5. 理解极限的概念，掌握极限四则运算法则及换元法则。 6. 理解子数列的概念，掌握数列的极限与其子数列的极限之间的 关系。 7. 理解极限存在的夹逼准则，了解实数域的完备性(确界原理、单界有界数列必有极限的原理，柯西(Cauchy)，审敛原理、区间套定理、致密性定理)。会用两个重要极限求极限。 8. 理解无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念。会用等价无穷 小求极限。 9. 理解函数在一点连续和在一个区间上连续的概念，了解间断点 的概念，并会判别间断点的类型。 10. 了解初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理，一致连续性)。 二、一元函数微分学 1.理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关系。会用导数描述一些物理量。 2.掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数、双曲函数的导数公式。了解微分的四则运算法则和一阶微分形式不变性。 3.了解高阶导数的概念。 4.掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。 5.会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。会求反函数的导数。 6.理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理，了解柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。 7.会用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。 8.理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求极值的方法。会求解较简单的最大值和最小值的应用问题。 9.会用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点，会描绘函数的图形(包括水平和铅直渐进线)。 10.了解有向弧与弧微分的概念。了解曲率和曲率半径的概念并会计算曲率和曲率半径。 11.了解求方程近似解的二分法和切线法。 三、一元函数积分学 1. 理解原函数与不定积分的概念及性质，掌握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法。会求简单的有理函数及三角函数有理式的积分。 2. 理解定积分的概念及性质，了解函数可积的充分必要条件。 第四章不定积分 教学目的： 1、理解原函数概念、不定积分的概念。 2、掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的性质，掌握换元积分法（第一，第二） 与分部积分法。 3、会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。 教学重点： 1、不定积分的概念； 2、不定积分的性质及基本公式； 3、换元积分法与分部积分法。 教学难点： 1、换元积分法； 2、分部积分法； 3、三角函数有理式的积分。 §4 1 不定积分的概念与性质 一、教学目的与要求： 1．理解原函数与不定积分的概念及性质。 2．掌握不定积分的基本公式。 二、重点、难点：原函数与不定积分的概念 三、主要外语词汇：At first function ，Be accumulate function ， Indefinite integral ，Formulas integrals elementary forms. 四、辅助教学情况：多媒体课件第四版和第五版（修改） 五、参考教材（资料）：同济大学《高等数学》第五版 一、原函数与不定积分的概念 定义1 如果在区间I 上, 可导函数F (x )的导函数为f (x ), 即对任一x ∈I , 都有 F '(x )=f (x )或dF (x )=f (x )dx , 那么函数F (x )就称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的原函数. 例如 因为(sin x )'=cos x , 所以sin x 是cos x 的原函数. 又如当x ∈(1, +∞)时, 因为x x 21)(=', 所以x 是x 21的原函数. 提问: cos x 和x 21还有其它原函数吗？ 原函数存在定理 如果函数f (x )在区间I 上连续, 那么在区间I 上存在可导函数F (x ), 使对任一x ∈I 都有 F '(x )=f (x ). 简单地说就是: 连续函数一定有原函数. 两点说明: 第一, 如果函数f (x )在区间I 上有原函数F (x ), 那么f (x )就有无限多个原函数, F (x )+C 都是f (x )的原函数, 其中C 是任意常数. 第二, f (x )的任意两个原函数之间只差一个常数, 即如果Φ(x )和F (x )都是f (x )的原函数, 则 Φ(x )-F (x )=C (C 为某个常数). 定义2 在区间I 上, 函数f (x )的带有任意常数项的原函数称为f (x )(或f (x )dx )在区间I 上的不定积分, 记作 ?dx x f )(. 其中记号?称为积分号, f (x )称为被积函数, f (x )dx 称为被积表达式, x 称为积分变量. 根据定义, 如果F (x )是f (x )在区间I 上的一个原函数, 那么F (x )+C 就是f (x )的不定积分, 即 ?+=C x F dx x f )()(. 因而不定积分dx x f )(?可以表示f (x )的任意一个原函数. 例1. 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以 C x xdx +=?sin cos . 因为x 是x 21的原函数, 所以 C x dx x +=?21. 第一章：函数、极限与连续 教学目的与要求 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题） 第一节：集合与函数 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。 第八章空间解析几何与向量代数 教学目的： 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。 3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运 算的方法。 4、掌握平面方程和直线方程及其求法。 5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平 行、垂直、相交等）解决有关问题。 6、会求点到直线以及点到平面的距离。 7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲 面及母线平行于坐标轴的柱面方程。 8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。 9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。 教学重点： 1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算； 2、两个向量垂直和平行的条件； 3、平面方程和直线方程； 4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件； 5、点到直线以及点到平面的距离； 6、常用二次曲面的方程及其图形； 7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程； 8、空间曲线的参数方程和一般方程。 教学难点： 1、向量积的向量运算及坐标运算，数量积和向量积的运算； 2、平面方程和直线方程及其求法； 3、空间曲线在坐标面上的投影 4、点到直线的距离； 5、二次曲面图形； 6、旋转曲面及柱面的方程。 §8.1 向量及其线性运算 一、教学目的与要求： 1．理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。 2．掌握向量的线性运算、掌握单位向量、方向余弦、两向量的夹角、向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的方法。 二、重点（难点）：向量概念、向量的运算 三、教学方式：讲授式教学结合多媒体 讲授内容： 一、向量概念 向量：既有大小,又有方向,这一类量叫做向量. 在数学上,用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小, 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号: 以A为起点、B为终点的有向线段所表示的向量记作 → AB.向量可用粗体字母表示,也可用上加箭 头书写体字母表示,例如,a、r、v、F或→a、→r、→v、→F. 自由向量:由于一切向量的共性是它们都有大小和方向,所以在数学上我们只研究与起点无关的向量,并称这种向量为自由向量,简称向量.因此,如果向量a和b的大小相等,且方向相同,则说向量a和b是相等的,记为a =b.相等的向量经过平移后可以完全重合. 向量的模:向量的大小叫做向量的模. 向量a、→a、→AB的模分别记为|a|、| |→a、| |→AB. 单位向量:模等于1的向量叫做单位向量. 零向量:模等于0的向量叫做零向量,记作0或→0.零向量的起点与终点重合,它的方向可以看作是任意的. 向量的平行:两个非零向量如果它们的方向相同或相反,就称这两个向量平行.向量a与b平行,记作a // b.零向量认为是与任何向量都平行. 当两个平行向量的起点放在同一点时,它们的终点和公共的起点在一条直线上.因此,两向量平行又称两向量共线. 类似还有共面的概念.设有k(k≥3)个向量,当把它们的起点放在同一点时,如果k个终点和公共起点在一个平面上,就称这k个向量共面. 二、向量的线性运算 1．向量的加法 向量的加法:设有两个向量a与b,平移向量使b的起点与a的终点重合,此时从a的起点到b 的终点的向量c称为向量a与b的和,记作a+b,即c=a+b . 三角形法则 平行四边形法则: 高等数学教案第 1 次课 教 学 过 程 §1 函数 一、 集合与区间 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A , B , C ….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a 是集合M 的元素表示为a M . 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A {a , b , c , d , e , f , g }. 描述法: 若集合M 是由元素具有某种性质P 的元素x 的全体所组成, 则M 可表示为 A {a 1, a 2, , a n }, M {x | x 具有性质P }. 例如M {(x , y )| x , y 为实数, x 2y 21}. 几个数集: N 表示所有自然数构成的集合, 称为自然数集. N {0, 1, 2, , n , }. N {1, 2, , n , }. R 表示所有实数构成的集合, 称为实数集. Z 表示所有整数构成的集合, 称为整数集. Z {, n , , 2, 1, 0, 1, 2, , n , }. Q 表示所有有理数构成的集合, 称为有理数集. },|{互质与且q p q Z p q p +∈∈=N Q 子集: 若x A , 则必有x B , 则称A 是B 的子集, 记为A B(读作A包含于B)或B A . 如果集合A与集合B互为子集, A B且B A, 则称集合A与集合B相等, 记作A B. 若A B且A B, 则称A是B的真子集, 记作A≠?B . 例如, N ≠?Z ≠? Q ≠? R. 不含任何元素的集合称为空集, 记作. 规定空集是任何集合的子集. 2. 集合的运算 设A、B是两个集合, 由所有属于A或者属于B的元素组成的集合称为A与B的并集(简称并), 记作A B, 即 A B{x|x A或x B}. 设A、B是两个集合, 由所有既属于A又属于B的元素组成的集合称为A与B的交集(简称交), 记作A B, 即 A B{x|x A且x B}. 设A、B是两个集合, 由所有属于A而不属于B的元素组成的集合称为A与B的差集(简称差), 记作A\B, 即A\B{x|x A且x B}. 如果我们研究某个问题限定在一个大的集合I中进行, 所研究的其他集合A都是I的子集. 此时, 我们称集合I为全集或基本集. 称I\A为A的余集或补集, 记作A C. 集合运算的法则: 设A、B、C为任意三个集合, 则 (1)交换律A B B A, A B B A; (2)结合律(A B)C A(B C), (A B)C A(B C); (3)分配律(A B)C(A C)(B C), 高等数学教案 一、课程的性质与任务 高等数学是计算机科学与技术；信息管理与信息系统两个专业的一门重要的基础理论课，通过本课程的学习，也是该专业的核心课程。要使学生获得“向量代数”与“空间解析几何”，“微积分”，“常微分方程与无穷级数”等方面的基本概论、基本理论与基本运算；同时要通过各个教学环节逐步培训学生的抽象概括能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力。在传授知识的同时，要着眼于提高学生的数学素质，培养学生用数学的方法去解决实际问题的意识、兴趣和能力。 第一章：函数与极限 教学目的与要求18学时 1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4.掌握基本初等函数的性质及其图形。 5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。 6.掌握极限的性质及四则运算法则。 7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。 8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 第一节：映射与函数 一、集合 1、集合概念 具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。组成这个集合的事物称为该集合的元素 表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素 1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质= 元素与集合的关系：A a ? A a ∈ 一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。 常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系： A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ?。 如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ?且B A ≠则称A 是B 的真子集。 空集φ： A ?φ 2、 集合的运算 并集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?或 交集B A ? ：}A x |{x B A B x ∈∈=?且 差集 B A \： }|{\B x A x x B A ?∈=且 全集I 、E 补集C A ： 集合的并、交、余运算满足下列法则： 高等数学教案—函数 课 时 授 课 计 划 第一课时 教学过程及授课内容 教学过程 函数及其性质 一.函数的概念 1.函数的定义 定义1 设x 和y 是两个变量,D 是一个给定的数集,如果对于每个数D x ∈,变量y 按照一定法则总有惟一确定的数值与其对应,则称y 是x 的函数,记作)(x f y =.数集D 称为该函数的定义域, x 称为自变量, y 称为因变量. 当自变量x 取数值0x 时，因变量y 按照法则f 所取定的数值称为函数 )(x f y =在点0x 处的函数值， 记作)(0x f .当自变量x 遍取定义域D 的每个数值时,对应的函数值的全体组成的数集W ={}D x x f y y ∈=),(称为函数的值域. . 2. 函数的两要素 函数)(x f y =的定义域D 是自变量x 的取值范围，而函数值y 又是由对应规则f 来确定的，所以函数实质上是由其定义域D 和对应规则f 所确定的，因此通常称函数的定义域和对应规则为函数的两个要素.也就是说，只要两个函数的定义域相同，对应规则也相同，就称这两个函数为相同的函数，与变量用什么符号表示无关，如2v z x y ==与，就是相同的函数. （1）对应规律 例1. 132(22-+=x x x f ） 就是一个特定的函数，f 确定的对应规则为 10)(4)()(23-+=f 例2.设).2 (,1sin 1)(π f x x x f 求= 解 2 2sin 2)2(π πππ==f 例3.设).(,3)1(2x f x x x f 求-=+ 解：令x+1=t,则x=t-1,所以 45)1(3)1()(22+-=---=t t t t t f 所以 45)(2+-=x x x f （2）定义域：自变量的取值范围称为函数的定义域 例4.的定义域求函数7 1 2arcsin 62-+--=x x x y 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中 的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在 与左、右极限之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重 要极限求极限的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无 穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点 的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函 数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 闭区间上连续函数性质的应用。 第二章导数与微分 教学目的： 1、理解导数和微分的概念与微分的关系和导数的几何意义，会求平面曲线的切线方程和法线方程，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，理解函数的可导性与连续性之间的的关系。 2、熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数的求导法则，熟练掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。 3、了解高阶导数的概念，会求某些简单函数的n阶导数。 4、会求分段函数的导数。 5、会求隐函数和由参数方程确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数 的导数。 教学重点： 1、导数和微分的概念与微分的关系； 2、导数的四则运算法则和复合函数的求导法则； 3、基本初等函数的导数公式； 4、高阶导数； 6、隐函数和由参数方程确定的函数的导数。 教学难点： 1、复合函数的求导法则； 2、分段函数的导数； 3、反函数的导数 4、隐函数和由参数方程确定的导数。 第三章中值定理与导数的应用 教学目的： 1、理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中 值定理和泰勒中值定理。 2、理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和 求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及 其简单应用。 3、会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的 拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。 4、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 高等数学教案 系部：基础部 任课教师： 教师职称： 授课对象：大一 课程学时： 120 学年学期： 60 第 1次课 学时 2 授课题目（章，节） 第五章 不定积分 §1不定积分的概念 授课类型（请打√） 理论课√□ 研讨课□ 习题课□ 复习课□ 其他□ 教学目的： 1、正确理解原函数，不定积分的概念； 2、熟悉基本积分公式。 教学方法、手段： 讲授法，板书，课件展示。 教学重点、难点： 重点：原函数，不定积分的概念； 难点：利用积分公式求函数的积分。 教学内容及过程设计 补充内容和时间分配 一、引入新课 通过实例（变速直线运动（课件展示））的分析和讲解，知其速度是路程函数)(t s s =对时间t 的导数，即速度)()(t s t v '=。反过来，如果已知变速直线运动物体的速度函数)(t v v =，如何求出物体的路程函数)(t s s =，使得它的导数)(t s '等于已知的速度函数)(t v 。 这是我们这节课所要讲解的重点。 说明：从数学的观点来看，它的实质是：已知函数)(t v v =，求一个函数)(t s s =，使得)()(t v t s ='。这就是与求导数相反的问题。 通过对此例题的讲解，引出此节课要讲的不定积分的概念。 二、讲授新课 1、原函数的概念 定义3.1 设函数)(x f y =在某区间上有定义，若存在函数)(x F ，使得在该区间任一 点处，均有 [])()(x f x F ='或x x f x F d )()(d = 则称)(x F 为)(x f 在该区间上的一个原函数。 设计思路：通过几个例子加以说明，加强学生对于原函数概念的理解，为不定积分概念的学习做铺垫。 2、不定积分的概念 不定积分的概念（课件展示），强调不定积分的重要性。 说明：根据不定积分的定义可知，求函数)(x f 的不定积分，只需求出)(x f 的一个原函 数再加上一个常数C 即可。 值得注意的是，一个函数的不定积分既不是一个数，也不是一个函数，而是一个函数族。例如：at at ='??? ??221，有 C at atdt +=?221；x x cos )(sin '=，有?+=C x xdx sin cos ；2331x x ='??? ??， 有C x dx x +=?3231。 注意：求不定积分时，不要忘记在一个原函数后面再加任意常数C ，否则求的只是一 （5分钟） （20分钟） （25分钟） 高等数学精品课教案 摘要：一个量无论多么小,都不能是无穷小,零唯一例外.当...的导数的相关公式和运算法...设均可导,则(1);(2)(为常数);(3)30.复合函数的求导法则设,均可导,则复合... 关键词：论,算法,导 类别：专题技术 来源：牛档搜索（https://www.sodocs.net/doc/7b18619521.html,） 本文系牛档搜索（https://www.sodocs.net/doc/7b18619521.html,）根据用户的指令自动搜索的结果，文中内涉及到的资料均来自互联网，用于学习交流经验，作品其著作权归原作者所有。不代表牛档搜索（https://www.sodocs.net/doc/7b18619521.html,）赞成本文的内容或立场，牛档搜索（https://www.sodocs.net/doc/7b18619521.html,）不对其付相应的法律责任！ 《高等数学》精品课教案 课 题：§1.1函数及其性质 教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值 2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义 教学重点：初等函数的概念、图形及性质 教学难点：分段函数的概念 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程 一、导入新课 在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子： 例如：某种商品的销售单价为p 元，则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系：L =px 又例如：圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2 r S π= 不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。 二、讲授新课 （一）函数的定义 定义 设有两个变量x ，y 。对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。记作y=f(x)，x ∈D 。其中x 叫自变量，y 叫因变量。 定义10 （集合的观点）A ，B 为两个数集，对任意的x ∈D ，存在f ，在B 中有唯一确定的值与之对应。记作：f ：A →B 函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。 例1 f(x)=2x 2 +3x-1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为： f( )=2( )2 +3( )-1 例10：设f(x+1)=2x 2 +3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则 f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2 -t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2 其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2 定义域：使函数有意义的自变量的集合。因此，求函数定义域需注意以下几点： ①分母不等于0 ②偶次根式被开方数大于或等于0 ③对数的真数大于0 ④y=x 0 (x ≠0 ) ⑤y=tanx(x ≠Z k k ∈+ ,2 π π)等. 例2 求函数y=6—2x －x +arcsin 7 1 2x －的定义域. 解：要使函数有定义，即有： 《高等数学》-授课教案 第一讲 高等数学学习介绍、函数 一、新教程序言 1、为什么要重视数学学习 （1）文化基础——数学是一种文化，它的准确性、严格性、应用广泛性，是现代社会文明的重要思维特征，是促进社会物质文明和精神文明的重要力量； （2）开发大脑——数学是思维训练的体操，对于训练和开发我们的大脑（左脑）有全面的作用； （3）知识技术——数学知识是学习自然科学和社会科学的基础，是我们生活和工作的一种能力和技术； （4）智慧开发——数学学习的目的是培养人的思维能力，这种能力为人的一生提供持续发展的动力。 2、对数学的新认识 （1）新数学观——数学是一门特殊的科学，它为自然科学和社会科学提供思想和方法，是推动人类进步的重要力量； （2）新数学教育观——数学教育（学习）的目的：数学精神和数学思想方法，培养人的科学文化素质，包括发展人的思维能力和创新能力。 （3）新数学素质教育观——数学教育（学习）的意义：通过“数学素质”而培养人的“一般素质”。[见教材“序言”] 二、函数概念 1、函数定义：变量间的一种对应关系（单值对应）。 （用变化的观点定义函数），记：)(x f y =（说明表达式的含义） (1)定义域：自变量的取值集合（D ）。 (2)值 域：函数值的集合，即}),({D x x f y y ∈=。 例1、求函数)1ln(2x y -=的定义域？ 2、函数的图像：设函数)(x f y =的定义域为D ，则点集}),(),{(D x x f y y x ∈= 就构成函数的图像。 例如：熟悉基本初等函数的图像。 3、分段函数：对自变量的不同取值范围，函数用不同的表达式。 例如：符号函数、狄立克莱函数、取整函数等。 分段函数的定义域：不同自变量取值范围的并集。 例2、作函数???≥<=0,20 ,)(2x x x x x f 的图像？ 例3、求函数?? ?-<≥=?)1(),0(),1(0 10 )(2f f f x x x x f 的定义域及函数值，， 高等数学电子教案 【篇一：高等数学下册电子教案】 第四章常微分方程 4．1 基本概念和一阶微分方程 甲内容要点 一．基本概念 1．常微分方程 含有自变量、未知函数和未知函数的导数（或微分）的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程，而未知函数是多元函数则称为偏微分方程，我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。 2．微分方程的阶 微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶 3．微分方程的解、通解和特解 满足微分方程的函数称为微分方程的解； 通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解； 通解有时也称为一般解但不一定是全部解； 不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。 4．微分方程的初始条件 要求自变量取某定值时，对应函数与各阶导数取指定的值，这种条件称为初始条件，满足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。 5．积分曲线和积分曲线族 微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线；而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。 6．线性微分方程 如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。不含未知函数和它的导数的项称为自由项，自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。 二．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： dydydx=p(x)q(y)(q(y)≠0) 通解?p(x)dx+c ?q(y)= （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：m1(x)n1(y)dx+m2(x)n2(y)dy=0 通解?m1(x) m2(x)dx+?n2(y)n1(y)dy=c (m2(x)≠0,n1(y)≠0) 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 y x dy dxdy?y?=f ? dx?x? 令则=u， =u+xdu dx=f(u) ?f(u)-u dy dxdu=?dxx+c=ln|x|+c （2）=f(ax+by+c)(a≠0,b≠0) 令ax+by+c=u， 则du dx=a+bf(u) ?a+bf(u)=?dx dydu=x+c ?a1x+b1y+c1? ? =f （3） ?dx?a2x+b2y+c2? ①当?=a1 v?? a1+b1?a1u+b1v?u?属于齐次方程情形 ?=f v?a2u+b2v? ?a+b 2?2u?? b1 b2 b1=0情形，令a2a1= 令u=a1x+b1y， 则du 属于变量可分离方程情形。 三．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 dy dx+p(x)y=0 -?p(x)dx 它也是变量可分离方程，通解公式y=ce 2．一阶线性非齐次方程 dy dx+p(x)y=q(x) ，（c为任意常数） 讲授内容 §6.1 定积分的元素法 §6.2 定积分在几何上的应用 教学目的 1. 深刻理解定积分的元素法的思想. 2. 掌握用定积分的元素法计算实际问题的条件和解题步骤. 3． 熟练掌握平面图形面积和旋转体体积的计算方法. 4． 会求平面曲线的弧长及简单的平行截面面积为已知的立体体积. 教学重点、难点 重点：求平面图形面积和旋转体体积及平面曲线的弧长. 难点：求旋转体体积. 教学方法：讲授 教学建议 1．应用定积分的元素法关键是根据题中的具体条件，利用所学的几何或物理的知识，求出所求量的微元. 2. 计算平面图形面积时，应根据图形的特点选择积分变量. 3. 当旋转轴与坐标轴平行时,只需作坐标轴平移再用旋转体体积公式算出体积. 4. 求平面曲线的弧长时，重点是记住公式2 2 ()()ds dx dy =+ 教学过程 一、元素法:当实际问题中的所求量A 符合下列条件: 1) A 是与一个变量x 的变化区间[a ,b ]有关的量; 2) A 对于区间[a ,b ]具有可加性,即:将区间[a ,b ]分成许多部分区间,则A 相 应地分成许多部分量,A 等于许多部分量的和; 3) 部分量i A ?的近似值为()i i f x ξ?,即: ()i i i A f x ξ?≈?. 则A 可以用定积分来表示,其方法为: 1） 选取变量x 并确定区间[a ,b ]; 2） 将[a ,b ]分成n 个小区间,并任取小区间[x ,x +dx ],此小区间上的部分量 A ?.且()()()A dA dx f x dx dx οο?=+=+.即()dA f x dx =.称dA 为A 的元素. 3） 以A 的元素f (x )dx 为被积表达式,在[a ,b ]上积分:得()b a A f x dx =? . 这种方法为元素法. 关键在于第二步.求出元素()dA f x dx = 二、平面图形的面积 1．直角坐标情形 1）X －型: 由()y f x =、x a =、,()x b a b =<与x 轴围成的曲边梯形的面积A : |()|b a A f x dx =? 由()y f x =、()y g x =、x a =、,()x b a b =<围成的曲边梯形的面积A : |()()|b a A f x g x dx =-? 2） Y －型: 由曲线()x f y = 、直线y c =、y d =，()c d <与y 轴围成的曲边梯形的面积A 为: |()|d c A f y dy =? 由曲线()x f y =、()x g y =直线y c =、y d =， ()c d <围成的曲边梯形的面积A 为:高等数学教案
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