第六章实数总复习

第六章：实数复习

一、单元知识网络：

二、考试目标要求：

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义.进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况.了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系.了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质.

具体目标：

1.有理数

(1)理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小.

(2)借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值(绝对值符号内不含字母).

(3)理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算(以三步为主).

(4)理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算.

(5)能运用有理数的运算解决简单的问题.

(6)能对含有较大数字的信息作出合理的解释和推断.

2.实数

(1)了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根.

(2)了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根.

(3)了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点—一对应.

(4)能用有理数估计一个无理数的大致范围.

(5)了解近似数与有效数字的概念.在解决实际问题中，能用计算器进行近似计算，并按问题的要求对结果取近似值.

三、知识考点梳理

知识点一、实数的分类

1.按定义分类：

2.按性质符号分类：

注：0既不是正数也不是负数.

3.有理数：

整数和分数统称为有理数或者“形如(m，n是整数n≠0)”的数叫有理数．

4.无理数：

无限不循环小数叫无理数．

5.实数：

有理数和无理数统称为实数．

知识点二、实数的相关概念

1.相反数

(1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0.

(2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数，或数轴上，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称.

(3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数a+b=0.

2.绝对值

(1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．可用式子表示为：

(2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．用式子表示：若a是实数，则|a|≥0．

3.倒数

(1)实数的倒数是；0没有倒数；

(2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数.

4.平方根

(1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a(a

≥0)的平方根记作．

(2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a(a≥0)的平方根记作

．

5.立方根

如果x3=a，那么x叫做a的立方根．一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；零的立方根仍是零．

知识点三、实数与数轴

数轴定义：

规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．

知识点四、实数大小的比较

1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.

2.正数都大于0，负数都小于0，两个正数，绝对值较大的那个正数大；两个负数；绝对值大的反而小.

3.对于实数a、b，若a-b>0a>b；

a-b=0a=b；

a-b<0a

4.对于实数a，b，c，若a>b，b>c，则a>c.

5.无理数的比较大小：

利用平方转化为有理数：如果a>b>0，a2>b2a>b；

或利用倒数转化：如比较与.

知识点五、实数的运算

1.加法

同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．

2.减法

减去一个数等于加上这个数的相反数．

3.乘法

几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，

积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．

4.除法

除以一个数，等于乘上这个数的倒数．两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0．

5.乘方与开方

(1)a n所表示的意义是n个a相乘，正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数．

(2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方．

(3)零指数与负指数

6.实数的六种运算关系

加法与减法互为逆运算；乘法与除法互为逆运算；乘方与开方互为逆运算.

7.实数运算顺序

加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算．

8.实数的运算律

加法交换律：a+b=b+a

加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

乘法交换律：ab=ba

乘法结合律：(ab)c=a(bc)

乘法分配律：(a+b)c=ac+bc

知识点六、有效数字和科学记数法

1.近似数：

一个近似数，四舍五入到那一位，就说这个近似数精确到哪一位．

2.有效数字：

一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字．

3.科学记数法：

把一个数用(1≤＜10，n为整数)的形式记数的方法叫科学记数法．

四、规律方法指导

1.数形结合思想

实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口.

2.分类讨论思想

（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗漏.

3.从实际问题中抽象出数学模型

以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个知识点来解决问题，然后有的放矢.

4.注意观察、分析、总结

对于寻找规律的题目，仔细观察变化的量之间的关系，尝试用数学式子表示规律.对于阅读两量大的题目，经常是把规律用语言加以叙述，仔细阅读，找到关键的字、词、句，从而找到思路.

经典例题精析

考点一、实数概念及分类

1.(舟山市)下列各数中是正整数的是( )

A.1

B.-2

C.0.3

D.

思路点拨：考查实数的分类，首先判断性质符号为正，其次判断是否为整数.

答案：A.

2.下列实数、sin60°、、、

3.14159、、、

中无理数有( )个

A．1 B．2 C．3 D．4

答案：C.无理数有sin60°、、.

总结升华：对实数进行分类不能只看表面形式，应先化简，再根据结果去判断．

举一反三：

【变式1】把下列各数填入相应的集合里：

(1)自然数集合：{ …}

(2)整数集合：{ …}

(3)分数集合：{ …}

(4)无理数集合：{ …}

答案：

(1)自然数集合：

(2)整数集合：

(3)分数集合：

(4)无理数集合：

考点二、数轴、倒数、相反数、绝对值

3.(1)a的相反数是，则a的倒数是_______．

(2)实数a、b在数轴上对应点的位置如图所示:

则化简=______．

思路点拨:

(1)注意相反数和倒数概念的区别，互为相反数的两个数只有性质符号不同，互为倒数的两个数要改变分子分母的位置；或者利用互为相反数的两个数之和等

于0，互为倒数的两个数乘积等于1来计算.由a的相反数是，所以a=，的倒数为5.

(2)此题考查绝对值的几何意义，绝对值和二次根式的化简.注意要去掉绝对值符号，要判别绝对值内的数的性质符号.

由图知：

答案：(1)5；(2)-a-b.

举一反三：

【变式1】化简-(-2)的结果是( )

A．-2 B． C． D．2

答案：选D.

【变式2】若m+1与m–3互为相反数，则m=_______.

思路点拨：互为相反数的两个数之和等于0.∴m+1+m–3=0，解得m=1.

答案：1.

【变式3】-2的倒数是_______.

思路点拨：注意倒数与相反数的区别，乘积为1的两个数互为倒数.

答案：.

【变式4】的绝对值是( )

A． B． C． D．

答案：选B.

【变式5】若|x-1|=1-x，则x的取值范围是( )

A.x≥1

B.x≤1

C.x<1

D.x>1

答案：选B.

总结升华：

(1)考查绝对值的意义；

(2)考查绝对值的非负性，绝对值具有以下性质：

①|a|≥0，即绝对值的非负性；②若|x|=a(a≥0)，则x=±a，即绝对值的原数的双值性.

【变式6】下列说法正确的是( )

A.-1的倒数是1

B.-1的相反数是-1

C.1的算术平方根是1

D.1的立方根是±1

思路点拨：本例考查了实数中涉及的四个重要概念：互为倒数、互为相反数、算术平方根、立方根.解答时，一方面应从概念蕴含着的数学关系式入手，可知-1的倒数是-1，-1的相反数是1；另一方面根据定义具有的双重性，可知1的算术平方根是1，1的立方根是1.

答案：选C.

【变式7】甲、乙两同学进行数字猜谜游戏：甲说一个数a的相反数就是它本身，乙说一个数b的倒数也等于它本身，请你猜一猜|a-b|=________.

解析：欲求|a-b|，首先应知道a、b的值.由于甲、乙两同学所说的内容隐含着a和b的值，因此易得，∴a=0，b=±1，∴|a-b|=|±1|=1.

【变式8】(长沙市)如图，数轴上表示数的点是 .

思路点拨：实数与数轴上的点一一对应，表示正数的点在原点的右侧，

.

答案：B.

考点三、近似数、有效数字、科学记数法

4.(1)根据统计，某市2008年财政总收入达到10

5.5亿元.用科学记数

法(保留三位有效数字)表示105.5亿元约为( )

A.1.055×1010元

B.1.06×1010元

C.1.06×1011元

D.1.05×1011元

(2)2007年5月3日，中央电视台报道了一则激动人心的新闻，我国在渤海地区发现储量规模达10.2亿吨的南堡大油田，10.2亿吨用科学记数法表示为(单位：吨)( )

A.1.02×107

B.1.02×108

C.1.02×109

D.1.02×1010

思路点拨：解答本题的关键是正确理解近似数的精确度及有效数字等概念.精确度的形式有两种：(1)精确到哪一位；(2)保留几个有效数字.一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位；一个近似数，从左边第一个不为0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫做这个数的有效数字.一个数的近似数，常常要用科学记数法来表示.用科学记数法表示数的有效数字位数，只看乘号前的部分，因此(1)中105.5亿元=10 550 000 000元，用科学记数法表示为1.055×1010，保留三个有效数字为1.06×1010；(2)中应表示为1.02×109.

答案：(1)B；(2)C.

举一反三：

【变式1】废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量).某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为_________立方米.

解：600×50=30000=3×104.

总结升华：本题既考查有理数的乘法运算，又考查科学记数法以及分析问题的能力.从数学的角度来考查废旧电池对环境造成的危害，促使我们从小就要热爱大自然，树立环保意识.

【变式2】用科学记数法表示0.00608的结果是( )

A. B. C. D.

思路点拨：首先选项C、D所表示的记数方法不是科学记数法，因为它们中的a不符合只有一位整数数位，B中的n值错误.科学记数法只是一种表示数的方法，并没有改变数的大小.

答案：A.

【变式3】近似数0.030万精确到______位，有_____个有效数字，用科学记数法表示记作__________.

思路点拨：带有单位或以科学记数法形式给出的近似数，首先要把它转化为

以“个”为单位的数，再确定其精确的位数.如，即“1”后面的第一个“0”在十位上，因此精确到十位，而不是百位.

答案：十；2；.

考点四、实数的大小比较

5.比较下列每组数的大小：

(1)与； (2)与；

(3)与； (4)a与(a≠0).

思路点拨：

(1)有理数比较大小：两个负数，绝对值大的反而小.因此比较和的大小，可将其通分，转化成同分母分数比较大小；

(2)无理数比较大小，往往通过平方转化以后进行比较；

(3)有时无理数比较大小，通过平方转化以后也无法进行比较，那么我们可以利用倒数关系比较；

(4)这道题实际上是互为倒数的两个数之间的比较大小，我们可以利用数轴进行比较，我们知道，0没有倒数，±1的倒数等于它本身，这样数轴就被这3个数分成了4部分，下面就可以分类讨论每种情况.

解：(1)，，，

所以

(2)

因为

所以；

(3)，，

而与可以很容易进行比较得到

，

所以；

(4)当a<-1或O

当-11时，a>；

总结升华：第(4)题我们还可以利用函数图象来解决这个问题，把的值看成是关于a的反比例函数，把a的值看成是关于a的正比例函数，在坐标系中画出它们的图象，可以很直观的比较出它们的大小.

考点五、快速准确地进行实数运算

6.计算：.

思路点拨：该题是实数的混合运算，包括绝对值，0指数幂、负整数指数幂，正整数指数幂．只要准确把握各自的意义，就能正确的进行运算．

解：

总结升华:本题考点是实数的混合运算.易错点是忘记负整数指数(0指数)幂的意义，

而使

举一反三：

【变式1】填空：

-1-1-1-1=_________；=_________；

=__________；(为正整数)

=__________；

=___________；

=____________；=__________.

思路点拨：

(1)根据同号两数、异号两数相加、减、乘、除的法则，先确定符号，再算绝对值.

(2)多个因数相乘时，由负因数个数的奇偶先定符号，再将绝对值相乘，乘方时注意负数的偶次方为正，奇次方为负，先乘方，再乘除.

(3)合理运用乘法分配律和使用可使运算显得更加简便.

答案：-4、+1、-1、-5、-6、4096、.

【变式2】计算：

(1)

(2)

(3)

思路点拨：

(1)题可将改写成……，然后用加法的交换律、结合律将整数和分数分别放在一起便得结果；

(2)题善于使用乘法分配律的顺逆两用，可使运算简便；

(3)题注意混合运算的顺序，不能先算.

答案：(1)11109；(2)-110；(3).

7.已知：x，y是实数，，若axy-3x=y，则实数a的值是_______.

思路点拨：此题考查的是非负数的性质.

解：即

两个非负数相加和为0，则这两个非负数必定同时是0

∴，(y-3)2=0，∴ x=， y=3

又∵axy-3x=y，∴ a=.

举一反三：

【变式1】已知，求的值.

思路点拨：利用≥0，≥0，≥0(为自然数)等常见的三种非负数

及其性质，分别令它们为零，得一个三元一次方程组，解得、、的值，再代入后本题得以解决.

答案：-3.

考点六、探索与创新

8．计算：

思路点拨：近年来，为了突出考察学生创造思维的水平，中考命题时不仅考查运算的熟练，准确，更注重考查算理的运用和灵活处理运算问题的能力，使运算更加合理简便的能力、我们从复习数开始，就要加强含字母的式子变形技能的训练及能力的提高.

解：设n=2001，则原式=

(把n2+3n看作一个整体)

=

=n2+3n+1=n(n+3)+1

=2001×2004+1=4010005.

9. 下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第个图形是由个正方形组成的，通过观察可以发现：

(1)第四个图形中火柴棒的根数是______________；

(2)第个图形中火柴棒的根数是______________.

思路点拨：观察各个图形的根数与图形个数之间的关系，并由此归纳出第个图形中火柴棒的根数.

答案：(1)13；(2).

10.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题

(1)请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；

(2)推算出OA

10

的长；

(3)求出S

12+S

2

2+S

3

2+…+S

10

2的值.

思路点拨：近几年各地的中考题中越来越多的出现了一类探究问题规律的题目，这些问题素材的选择、文字的表述、题型的设计不仅考察了数学的基础知识，基本技能，更重点考察了创新意识和能力，还考察了认真观察、分析、归纳、由特殊到一般，由具体到抽象的能力.

(1)由题意可知，图形满足勾股定理，

(2)因为OA

1=，OA

2

=，OA

3

=…，

所以OA

10

=

(3)S

12+ S

2

2+ S

3

2+…+ S

10

2

.

中考题萃：实数

一、考试目标：

了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式呈现试题，也可以建立在应用知识解决问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系。了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。

二、中考真题：

1．(北京)(4分)-3的倒数是( )

A． B． C．-3 D．3

2.(安徽省)(4分)相反数是( )

A. B. C. D.

3.(河北省)(2分)的相反数是( )

A．7 B． C． D．

4.(山东)(3分)的绝对值是( )

A. B. C. D.

5.(成都市)(3分)如果某台家用电冰箱冷藏室的温度是，冷冻室的温度比冷藏室的温度低，那么这台电冰箱冷冻室的温度为( ) Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．

6.(北京)(4分)国家游泳中心----“水立方”是北京2008年奥运会场馆之一，它的外层膜的展开面积约为260 000平方米，将260 000用科学记数法表示应为( )

A．0.26×106 B．26×104 C．2.6×106 D．2.6×105

7.(安徽省)(4分)今年“五一”黄金周，我省实现社会消费的零售总额约为94亿元。若用科学记数法表示，则94亿可写为( )

A.0.94×109

B. 9.4×109

C. 9.4×107

D. 9.4×108

8.(河北省)(2分)据2007年5月27日中央电视台“朝闻天下”报道，北京

市目前汽车拥有量约为3 100 000辆．则3 100 000用科学记数法表示为( ) A．0.31×107 B．31×105 C．3.1×105 D．3.1×106

9. (广东省)(3分)2006年广东省国税系统完成税收收入人民币3.45065×1011元，连续12年居全国首位，也就是收入了( )

A.345.065亿元

B.3450.65亿元

C.34506.5亿元

D.345065亿元

10.(山东)(4分)2007年4月，全国铁路进行了第六次大提速，提速后的线路时速达200千米，共改造约6000千米的提速线路，总投资约296亿人民币，那么，平均每千米提速线路的投资约______亿元人民币(用科学记数法，保留两个有效数字).

11.(湖南邵阳)(3分)如图是一台计算机D盘属性图的一部分，从中可以看出该硬盘容量的大小，请用科学记数法将该硬盘容量表示为______字节．(保留3位有效数字)

A． B． C． D．

12. (河北省)( 2分)我国古代的“河图”是由3×3的方格构成，每个方格内均有数目不同的点图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点图的点数之和均相等．图中给出了“河图”的部分点图，请你推算出P处所对应的点图是( )

13.(上海市)(3分)计算：．

14.(河北省)(3分)比较大小：7 ．(填“＞”、“＝”或“＜”)

15.(广东省)(3分)在三个数0.5、、中，最大的数是( )

A.0.5

B.

C.

D.不能确定

16.(安徽省)(5分)的整数部分是_________.

17.(广东省)(4分)池塘中放养了鲤鱼8000条，鲢鱼若干。在几次随机捕捞中，共抓到鲤鱼320条，鲢鱼400条.估计池塘中原来放养了鲢鱼______条.

18.(北京)(4分)在五环图案内，分别填写五个数a，b，c，d，e，如图，

，其中a，b，c是三个连续偶数(a

且满足a+b+c=d+e，例如.请你在0到20之间选择另一组符合条件的数填入下图：.

19.(江苏盐城)根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为____________.

20.(河北省)(3分)已知，当n=1时，a

1=0；当n=2时，a

2

=2；

当n=3时，a

3=0；…则a

1

+a

2

+a

3

+a

4

+a

5

+a

6

的值为______．

21.(北京)(5分)计算：.

22.(广东省)(6分)计算：.

23.(成都市)(7分)计算：．

24.(山东)(10分)根据以下10个乘积，回答问题：

11×29； 12×28； 13×27；14×26； 15×25；

16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20.

(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程；

(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；

(3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论。(不要求证明)

25.(广东省)(9分)已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA

1

为边，按

逆时针方向作等边△OA

1B

1

，A

1

B

1

与OB相交于点A

2

.

(1)求线段OA

2

的长；

(2)若再以 OA

2为边按逆时针方向作等边△OA

2

B

2

，A

2

B

2

与 OB

1

相交于点 A

3

，

按此作法进行下去，得到△OA

3B

3

，△OA

4

B

4

，…，△OA

n

B

n

(如图).求△OA

6

B

6

的周长.

答案解析：

1.A

2.D

3.A

4.A

5.C

6.D

7.B

8.D

9.B