基于微分变换策略的全离散间断Galerkin方法

二次微分方程的通解

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解

这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且 x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 2 1y y i x e x -= βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解

二次微分方程的通解

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐 次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 y py qy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么y C 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使y e rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将 y e rx 代入方程 y py qy 0 得 (r 2 pr q )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2 pr q 0 函数y e rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程 特征方程 的两个根r 1、r 2可用公式 2 422,1q p p r -±+-= 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无 关的解 这是因为

函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0 )()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r 所以x r xe y 12=也是方程的解 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+= (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2i 时 函数y e ( i )x 、y e (i )x 是微分方程的 两个线性无关的复数形式的解 函数y e x cos x 、y e x sin x 是微分方程的两个线性无关 的实数形式的解 函数y 1e ( i )x 和y 2e (i )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得 y 1e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 2e ( i )x e x (cos x i sin x ) y 1y 22e x cos x ) (2 1cos 21y y x e x +=βα y 1y 22ie x sin x ) (21sin 21y y i x e x -=βα 故e x cos x 、y 2e x sin x 也是方程解 可以验证 y 1e x cos x 、y 2e x sin x 是方程的线性无关解 因此方程的通解为

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明教学提纲

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02=++q p λλ的特征根为 12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? (1)

几类三阶常微分方程的通解公式【开题报告】

毕业论文开题报告 数学与应用数学 几类三阶常微分方程的通解公式 一、选题的背景、意义 常微分方程是指包含一个自变量和它的未知函数以及未知函数的微分的等式。微分方程差不多是和微积分同时产生的，它的形成和发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关。20世纪30年代中期法国数学家勒雷和绍尔建立了LeraySchauder度理论[1]。他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函数方程时，取得了巨大成功。 常微分方程在很多学科领域内有着重要的作用，自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等等，这些问题都可以归结为高阶微分方程的模型[1，2]，或者化为研究解的性质的问题。很多物理与技术问题都可以化归为微分方程的求解问题。牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。 微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，就会有解方程的方法[3-5]。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。 有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，下面对研究三阶常微分方程的通解详见文献[6-10]。 二、研究的基本内容与拟解决的主要问题 本文主要是对三阶常微分方程通解的研究，具体研究的基本内容与拟解决的主要问题如下： 问题1 如果已知三阶线性微分方程 ()()()() +++= y P x y Q x y R x y f x ''''''

二次微分方程的通解

二次微分方程的通解 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

第六节 二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线 性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程 方程 ypyqy 0 称为二阶常系数齐次线性微分方程 其中p 、q 均为常数 如果y 1、y 2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解 那么yC 1y 1C 2y 2就是它的通解 我们看看 能否适当选取r 使ye rx 满足二阶常系数齐次线性微分方程 为此将ye rx 代入方程 ypyqy 0 得 (r 2prq )e rx 0 由此可见 只要r 满足代数方程r 2prq 0 函数ye rx 就是微分方程的解 特征方程 方程r 2prq 0叫做微分方程ypyqy 0的特征方程 特征方程的两个根r 1、r 2可用公式 求出 特征方程的根与通解的关系 (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解 这是因为 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解 又x r r x r x r e e e y y )(21212 1-==不是常数 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+= (2)特征方程有两个相等的实根r 1r 2时 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解 这是因为 x r e y 11=是方程的解 又

高阶线性微分方程常用解法简介

高阶线性微分方程常用解法简介 摘要：本文主要介绍高阶线性微分方程求解方法，主要的内容有高阶线性微分方程求解的常 用方法如。 关键词：高阶线性微分方程 求解方法 在微分方程的理论中，线性微分方程是非常值得重视的一部分内容，这不仅 因为线性微分方程的一般理论已被研究的十分清楚，而且线性微分方程是研究非线性微分方程的基础，它在物理、力学和工程技术、自然科学中也有着广泛应用。下面对高阶线性微分方程解法做一些简单介绍. 讨论如下n 阶线性微分方程：1111()()()()n n n n n n d x d x dx a t a t a t x f t dt dt dt ---++++= （1），其中()i a t （i=1,2,3, ,n ）及f(t)都是区间a t b ≤≤上的连续函数，如果 ()0f t ≡，则方程（1）变为 1111()()()0n n n n n n d x d x dx a t a t a t x dt dt dt ---++++= （2），称为n 阶齐次线性微分方程，而称一般方程（1）为n 阶非齐次线性微分方程，简称非齐次线性微分方程，并且把方程（2）叫做对应于方程（1）的齐次线性微分方程. 1.欧拉待定指数函数法 此方法又叫特征根法，用于求常系数齐次线性微分方程的基本解组。形如 111121[]0,(3),n n n n n n n d x d x dx L x a a a x dt dt dt ---≡++++= 其中a a a 为常数，称为n 阶常系数齐次线性微分方程。 111111111111[]()()()n t n t t t t n n n n n n n t t n n n n n n n d e d e de L e a a a e dt dt dt a a a e F e F a a a n λλλλλλλλλλλλλλλλ---------≡++++=++++≡≡++++ 其中=0(4)是的次多项式. ()F λ为特征方程，它的根为特征根. 1.1特征根是单根的情形 设12,,,n λλλ 是特征方程111()0n n n n F a a a λλλλ--≡++++= 的n 个彼此不相等的根，则应相应地方程（3）有如下n 个解：12,,,.n t t t e e e λλλ （5）我们指出这n 个解在区间a t b ≤≤上线性无关，从而组成方程的基本解组. 如果(1,2,,)i i n λ= 均为实数，则（5）是方程（3）的n 个线性无关的实值解，而方程（3）的通解可表示为1212,n t t t n x c e c e c e λλλ=+++ 其中12,,,n c c c 为任意常数. 如果特征方程有复根，则因方程的系数是实常数，复根将称对共轭的出现.

求下列微分方程的通解

第一章 绪 论 例1-1 求下列微分方程2 3x dx dy =的通解，并分别求满足下列条件的特解。 （1）通过点)1,2(； （2）与直线x y =相切； （3）与直线13+-=x y 正交。 解 直接积分得方程的通解为C x y +=3。 （1）将代入通解中1,2==y x 得7-=C ，则通过点)1,2(解为73-=x y 。 （2）与直线x y =相切的解满足在切点处斜率相同，有132=x ，即得3 1± =x ，切 点坐标为)3 1, 3 1( 和)3 1,31(- - 。同（1）的解法，与直线x y =相切的解为 3 323 + =x y 和3 32 3- =x y 。 （3）与直线13+-=x y 正交的解在正交点处斜率满足3 132 =x ，即得3 1± =x ，正交 点坐标为)0,31 (和)2,3 1(- 。同（1）的解法所求方程的解为27 553 +=x y 和27 13 -=x y 。 评注：求方程满足某条件的特解，关键要找到所求积分曲线经过的某一特定点的坐标，代入通解中确定出任意常数即可得特解。 例1-2 求与曲线族x Ce y =正交的曲线族。 解 因为曲线族x Ce y =满足的微分方程为y y ='，所以与曲线族x Ce y =正交的曲线族满足的微分方程为y y 1- ='，解之得C x y +-=22 ，这就是所求曲线族方程。 评注：首先对已给定的曲线族求得其满足的微分方程，其次借助于正交性得到所求曲线族满足的微分方程，再求解此微分方程。有时直接给出一个微分方程，要求求得与此微分方程的积分曲线族正交（或夹角为某一固定值）的曲线族。 例1-3 求一曲线方程，使曲线上任一点平分过该点的法线在两坐标轴之间的线段。 解 设所求的曲线为)(x y y =，过曲线上任一点),(y x 的法线方程为

几类三阶常微分方程的通解公式【文献综述】

毕业论文文献综述 数学与应用数学 几类三阶常微分方程的通解公式 一、前言部分 数学分析中研究了变量的各种函数及函数的微分与积分。如函数未知，但知道变量与函数的代数关系式，便组成代数方程，通过求解代数方程解出未知函数。同样，如果知道自变量、未知函数及函数的导数组成的关系式，得到的便是微分方程。如果在一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，这个方程就叫做常微分方程。常微分方程是数学分析或基础数学的一个组成部分，在整个数学大厦中占据着重要位置。 塞蒙斯(Simmons)曾如此评价微分方程在数学中的地位：“300年来分析是数学里首要的分支，而微分方程又是分析的心脏．这是初等微积分的天然后继课，又是为了解物理科学的一门最重要的数学，而且在它所产生的较深的问题中，它又是高等分析里大部分思想和理论的根源．”很多物理与技术问题可以化归为常微分方程的求解问题，如自动控制、各种电子学装置的设计、弹道的计算、飞机和导弹飞行的稳定性的研究、化学反应过程稳定性的研究等。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，而上述这些问题都可以化为求常微分方程的解，因此，学好微分方程的求解相当重要．微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。又因为许多力学，电学与生物化学的模型都可以归结为高阶微分方程的模型(见文献[1，2])，因此探求高阶微分方程的求解是一项既有实际意义又有理论意义的工作。 二、主题部分 有关三阶常微分方程的求解研究已经取得了较为丰富的结果，许多数学家早已经对这个课题展开过讨论，并做了很多相关的课题研究和论文。现将已有文献的研究结果综述如下：文献[2]中讲述线性微分方程的基本理论和常微分方程的解法，也简单介绍某些高阶微分的降阶方法。关于线性微分方程的解法，作者介绍了五种较常用的方法：（1）求常系数齐次线性微分方程的基本解组的特征根法（欧拉待定指数函数法）；（2）求常系数非齐次线性微分方程的特解的待定系数法和拉普拉斯变换法；（3）求一般非齐次线性微分方程特

高等数学第7章微分方程解答

习题7-2 可分离变量的微分方程 1求下列微分方程的通解： （1）2211y y x -='-； 解 = = 两端积分得 arcsin arcsin y x C =+， （C 为任意常数） 即为原方程的通解。 （2）0tan sec tan sec 2 2 =+xdy y ydx x ； 解 将原方程分离变量，得 22sec sec tan tan y x dy dx y x =- 两端积分得ln tan ln tan ln y x C =-+ 或ln tan tan ln x y C = 故原方程的通解为tan tan x y C =（C 为任意常数）。 2、求下列微分方程满足所给初始条件的特解： （1）e y y y x y x =='= 2 ,ln sin π ； 解 将原方程分离变量，得 ln sin dy dx y y x = 两端积分得()tan ln 2ln tan 2 x d d y x y ? ? ? ?? =??， 即ln ln ln tan ln 2x y C =+ 故原方程的通解为ln tan 2x y C =,代入初始条件,2 x y e π ==,得1C =.于是,所求之特解为tan 2 x y e =. （2）.1,022 ==+=x y ydx xdy 解 将原方程分离变量，得 2dy dx y x =- 两端积分得 2dy dx y x =-??， 即ln 2ln ln y x C =-+

故原方程的通解为2 x y C =,代入初始条件2,1x y ==,得4C =.于是,所求之特解为 24x y =. 3、一曲线通过点（2,3），它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分，求这曲线方程. 解 设曲线方程为,切点为.由条件,切线在x 轴与y 轴上的截距分别为2x 与2y,于是切线的斜率2002y y y x x -'= =--,分离变量得dy dx y x =-,积分得ln ln ln y x C =-+,即xy C =. 代入初始条件23x y ==,得6C =,故曲线方程为6xy =. 习 题 7-3 齐次方程 1、求下列齐次方程的通解 （1）022=-- -'x y y y x 解 (a) 当0x >时,可将方程改写成y y x '=+.令y u x =,即y xu =,所以有 y u xu ''=+.则原方程成为u xu u '+=+分离变量, dx x = . 两边积分得ln ln ln u x C =+,即u Cx =. 将y u x = 代入上式整理,得通解为2y Cx +=; (b) 当0x <时,方程两边同除以x -,则原方程可改写成0y y x '-+=,即 0y y y y x x ''-- =--=(因为0x <时,x x -==),也就是 y y x '=+与x >0的情况一样) 所以,对任意的0x ≠,方程的通解为2y Cx =(C 为任意常数). （注:如果C =0,则由原方程知,0xy '=,即0x =或y A =,若0x =,则原方程变为 0y +=,只有当0y <时成立;若y A =(A 为常数),则原方程变成0A =,当 A <0时方程有解.） （2）0cos 3)cos 3sin 2(=-+dy x y x dx x y y x y x

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明

二阶常系数齐次线性微分方程的通解证明 来源：文都教育 在考研数学中，微分方程是一个重要的章节，每年必考，其中的二阶常系数齐次线性微分方程是一个基本的组成部分，它也是求解二阶常系数非齐次线性微分方程的基础，但很多同学对其求解公式不是十分理解，做题时也感到有些困惑，为了帮助大家对其通解公式有更深的理解和更牢固的掌握，文都网校的蔡老师下面对它们进行一些分析和简捷的证明，供考研的朋友们学习参考。 一、二阶常系数齐次线性微分方程的通解分析 通解公式：设0y py qy '''++=，,p q 为常数，特征方程02 =++q p λλ的特征根为12,λλ，则 1）当12λλ≠且为实数时，通解为1212x x y C e C e λλ=+； 2）当12λλ=且为实数时，通解为1112x x y C e C xe λλ=+； 3）当12,i λλαβ=±时，通解为12(cos sin )x y e C x C x αββ=+； 证：若02=++q p λλ的特征根为12,λλ，则1212(),p q λλλλ=-+ =，将其代入方程0y py qy '''++=中得1212()y py qy y y y λλλλ''''''++=-++= 212212()()()0y y y y y y y y λλλλλλ'''''''=---=---=， 令2z y y λ'=-，则11110x dz z z z z c e dx λλλ'-=? =?=，于是121x y y c e λλ'-=，由一阶微分方程的通解公式得 221212()()()1212[][]dx dx x x x y e c e e dx C e c e dx C λλλλλλ----??=+=+?? …（1） 1）当12λλ≠且为实数时，由（1）式得原方程的通解为

二次微分方程的通解

第六节二阶常系数齐次线性微分方程 教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法 教学过程： 一、二阶常系数齐次线性微分方程 二阶常系数齐次线性微分方程: 方程 y''+py'+qy=0 称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数. 如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解. 我们看看, 能否适当选取r, 使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e rx代入方程 y''+py'+qy=0 得 (r2+pr+q)e rx=0. 由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=e rx就是微分方程的解. 特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y''+py'+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式 2 4 2 2,1 q p p r - ± + - =

求出. 特征方程的根与通解的关系: (1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的解, 又x r r x r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为 x r x r e C e C y 2121+=. (2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解. 这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又 x r x r x r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r , 所以x r xe y 12=也是方程的解, 且x e xe y y x r x r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=. (3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a ±ib 时, 函数y =e (a +ib )x 、y =e (a -ib )x 是微分方程的两个线性无关的复数形式的解. 函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1=e (a +ib )x 和y 2=e (a -ib )x 都是方程的解, 而由欧拉公式, 得