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不定积分解题技巧

不定积分解题技巧探讨

数学与计算机科学学院数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强指导

老师：邓勇平

【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。

【关键词】不定积分；难度；典型；技巧

引言

《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。

一:不定积分的概念与性质

定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。

定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。

定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则

（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数；（2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。

定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为

()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号?

称为积

分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则

()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f

性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()?

=dx x f k dx x kf 。

附：常用积分公式

（1）

?kdx=kx+C(k 是常数)；（2）

x u

dx=1

u x 1

u +++C(u ≠-1);

（3）

x dx =ln x +C ；（4）?2x

1dx +=arctanx+C; (5)

1dx -=arcsinx+C; (6)

?cosxdx=sinx+C;

(7) ?sinxdx=-cosx+C ; (8)

cos dx =?sec 2

xdx=tanx+C; (9)

dx 2sin =?csc 2

xdx=-cotx+C; (10) ?secxtanxdx=secx+C; (11) ?cscxcotxdx=-cscx+C; (12) ?e x dx= e x

+C; (13) ?a x

dx= e x

+C; (14) ?shxdx=chx+C; (15) ?chxdx=shx+C. (16) ?tanxdx=-ln cosx +C; (17)

cotxdx=ln sinx +C; (18)

secxdx=ln tanx secx ++C;

(19) cscxdx=ln x cot cscx -+C; (20)

22x a dx +=a

x x ln a 1+-a

+C;

(21)

?22x a dx -=arcsin

+C; (22) ?2

2x a dx +=ln(x+22a x ++C;

(23) ?

2a x dx -=ln 22a x x -+

+C.

二：求不定积分的方法及技巧小汇总

(一):不定积分的直接积分法

一般地，我们把将被积函数进行适当的恒等变形后，利用不定积分的性质和基本积分公

式，求出不定积分的方法称为直接积分法。直接积分法是建立在不定积分线性运算法则（∑?

?∑===n

i i

i n

i i

dx x x f

k f

1))(()(）

和不定积分基本积分公式之上的，求解不定积分的一般思路是：先将被积函数变形为积分公式中被积函数的代数和运算及数乘运算，然后应用不定积分

的基本积分公式和线性运算法则来求解。例 2.1 求不定积分：

?dx x x x

22sin cos 2cos

【解】???-=-=dx x x dx x x x x dx x

x x )cos 1

sin 1(sin cos sin cos sin cos 2cos 22222222 .tan cot sec csc 22c x x xdx xdx +--=-=??

例 2.2 ?

+-+-+dx x

x x x )1111(

【解】??--+-+=+-+-+dx x

x x x dx x x x x )1)1(1)1(()1111(2

22 ?

+=-=--++=.arcsin 2121)

1()1(2

c x dx x

dx x

x x

例 2.3()?--dx x x 2

1010

【解】()?--dx x x 2

1010=()?-+-dx x x 2101022

()()[]

d x x

?-+=-2101022

()C x x x +---2101010

ln 21

(二):不定积分的换元积分法

1:第一换元积分法（凑微分法）：令)(x u u = 若已知

?+=C x F dx x f )()(，则有

[][]C x F dx x x f +='?)()()(???

其中)(x ?是可微函数，C 是任意常数。

应用第一换元法应熟悉下列常见的微分变形。 a b ax d a

b x d dx )((1

)(+=+=、)0≠，a b 为常数具体应用为

（1）??++=+)()(1)(b ax d b ax a dx b ax m

m =???????+++++?+C b ax a

C m b ax a m ln 11)(11

)1()1(-=-≠m m

（2） )(111b x d a dx x a a

++=

+ )()1(11b ax d a

a a ++=+，a (、

b 均为常数，且)1,0-≠≠a a 。例如：

x d dx x

x x d dx x dx xdx 21

),(32,212===

（3）

)ln (1

ln 1b x a d a

x d dx x +==b a ,(为常数，)0≠a （4）,0(ln )

(,>=

=a a

a d dx a de dx e x x

且)1≠a ；（5）);(sin cos ),(cos sin x d xdx x d xdx =-= （6）)cot (csc ),(tan sec 22x d xdx x d xdx -== （7）

)(arctan 11

x d dx x

=+ （8）)(arcsin 112

x d dx x

在具体问题中，凑微分要根据被积函数的形式特点灵活运用。

例2.4：?

+-+dx x x x

x )

1(ln )1ln(

【解】)

1(1

111)'ln )1(ln(+-

=-+=

-+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2

)ln )1(ln(2

1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2.5：?

+dx x x x 2

)ln (ln 1

【解】x x x ln 1)'ln (+=

C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1

)ln (ln )1(ln 122

例 2.6：?

xdx x 5

3cos sin

【解】???-==xdx x xdx x x xdx x 525253cos sin sin cos sin cos sin

()()??+-=-=--=C x

x x d x x x xd x 6

cos cos cos cos cos cos cos cos 1

例2.7：计算

+dx x b x a x x 2222cos sin cos sin ，22a b ≠

【解】?

+=+x

b x a xdx x dx x

b x a x

x 2

cos sin cos sin cos sin cos sin

()()??++-=++-=x

b x a x b x a d b a x b x a x b x a d b a 2222222

222

2222222222c o s s i n 2c o s s i n 1c o s s i n 2c o s s i n 1 C x b x a b

a ++-=

2222

2c o s s i n 1

2第二换元积分法：

设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式

??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：

acht

x t a x t a x a x asht x t a x t a x a x t

a x t a x x a ===-===+==-；；：；；：；：csc sec )3(cot tan )2(cos sin )1(222222也奏效。

，有时代换当被积函数含有：：t

x c bx ax x t d

cx b

ax d cx b ax t

b ax b ax m n n

n 1

)6()5()4(2=++?=++++=++

例2.8：

()

+dx x x 11

【解】令t x =，则2t x =

()

()()???

?+=?+=+=+dt t tdt t t dt t t dx x x 222

21122111111 C x C t +=+=arctan 2arctan 2

例2.9：

?++321x dx

【解】令t x =+32，则23-=t x

?????? ??+++-=+=++C t t t dt t t s x dx 1ln 2312122

3 ()C x x x +???

??++++-+=333221ln 2223

例2.10：

-dx x a 22

【解】令,sin t a x =则a

t arcsin

= ???=-=-tdt a t da t a a dx x a 2222222cos sin sin

?+=+==-=-C a x

C t dt t

a a t

da x a dx arcsin sin sin 2222

?+??

??+=+=C t t a dt t a 22sin 222cos 122

C x a x a x a +-+=2222

arcsin 2 例2.11:求不定积分：

?+dx x

【解】分析：对于例题2.11，若采用第二换元积分法，新得出的积分

?++-=c t t tdt cot csc ln csc ，比原来的积分显然更易“积出”，而若采用第一换元积分

法则过程相对复杂。

令x

x t tdt dx t x 22

1csc ,sec ,tan +===，

??=+tdt t

t dx x x 22

sec sec tan 1

++-==c t t tdt cot csc ln csc

c x

x +++=2

11ln

（三）分部积分法

设)(),(x x u u υυ==是可微函数，且)()(x x u υ?'或)()(x x u υ'?有原函数，则有分部积分公式：

??'?-?='?dx x u x x x u dx x x u )()()()()()(υυυ

或 ??

-=du u ud υυυ

当被积函数是两个函数的积的形式时，用以前学过的方法都不易计算，考虑用分部积分法求解，用分部积分法求积分时，首先要将被积函数凑成?

'dx u υ或?

υud 的形式，然后应用分部积分公式?'-du u υυ，或?

'-dx u u υυ，再计算

?'dx u υ，即得到积分结果。显然，用分

部积分法计算不定积分时，关键是如何恰当地选择谁做u 和υ'。原则是：①根据υ'容易求出υ；②

?'dx u υ要比原积分?'dx u υ容易计算。

分部积分法适用的情况是被积函数是由两个不同的函数组成，不便于进行换元的组合分成两部分进行积分，其原理是函数四则运算的求导法则的逆用。分为两种类型的分部积分法：“降幂”分部积分法和“升幂”分部积分法。

1、“降幂”分部积分法

一般地，对形如

()?dx x f x n ，当()x f 的不定积分不易求出时，可令其为

()()()n x x u x f x v ==,,，对n x 求导达到降幂的目的。如()x p 是多项式函数，被积函数为：()()()()1,0,cos ,sin ≠>a a a x p x x p x x p x 等，常令()x x v s i n ,=或x cos 或

()()x p x u a x =,。这种方法称为“降幂”分部积分法。

例2.12：?

-xdx x 3cos )12( 【解】令x v x u 3cos ,12='-=

?-=-)3sin 3

()12(3cos )12(x d x xdx x c x x x xdx x x ++-=--=

?3cos 9

3sin )12(313sin 323sin )12(31.

例2.13：?

-dx e x x

【解】???----+-=-=dx xe e x e d x dx e x x x x x 2)(222

c e x x dx e xe e x x x x x +++-=+-=----?)22(2222.

例2.14：?

xdx 4

sin

【解】?xdx 4sin ??+-==xdx x xdx x 2233cos sin 3sin cos sin sin

-+xdx xdx x x 4

sin 3sin 3cos sin - 变号移项并整理得到：

()C

x x x x dx

x x x xdx x x xdx =-+-=-+-=+-=???2sin 16

83cos sin 412cos 183

cos sin 41sin 43cos sin 41sin 332

34 2、“升幂”分部积分法

一般地，对形如()?

dx x f x n ，当()x f 的不定积分计算不易求出时，只好先求出n

x 的

不定积分。令()()()x f x u x x v n

==,,

，如()x p 是多项式函数，被积函数为：

()()()()x x p x x p x x p ln ,arctan ,arcsin 等，常令()()()x x u x p x v arcsin ,,==或x

arctan 或x ln 。这种方法称为“升幂”分部积分法。例2.15：?

-xdx x ln )12(;

【解】 ???---=-=-dx x

x x x x x x x xd xdx x 1

)(ln )()(ln ln )12(222

c x x x x x ++--=222

ln )(

例2.16：

?xdx x arcsin 2

【解】 ???--==dx x

x x x x xd xdx x 23

332

131arcsin 3)3(arcsin arcsin

c x x x x x +-+-+

=32223)1(9

13arcsin 3 例2.17：dx x

x x ?

-?2

31arccos

【解】观察被积函数，选取变换x t arccos =,则

()?

??-=-=-tdt t dt t t t

dx x x x 332

3cos sin sin cos 1arccos

()?????

??-=-=t t td t d t t sin sin 31sin 1sin 32

dt t t t t t t ????

??---=sin sin 31sin sin 3133 t d t t t t t cos 1sin 31sin sin 3123????

??-+-= C t t t t t t +---=33cos 91

cos 32sin sin 31 ()C x x x x x +-+---=arccos 123

3291223

例2.18：?

xdx 2

arcsin

【解】?

--=dx x

x x x xdx 2

211arcsin 2sin arcsin

x x x x x dx x

x x x x x x xd x x +--+=----+=-+=??2arcsin 12arcsin 121arcsin 12arcsin 1arcsin 2arcsin 22

222

上面的例2.17，降低了多项式系数；例2.18，简化了被积函数的类型。

有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在??

-=νμμννμd d 中，νμ、的选取有下面简单的规律：

选取的函数不能改变。

，会出现循环，注意，，，νμββνμνμνμ)4(sin ,cos )3()(arcsin ,arctan ,ln )2(cos ,sin ,)()1(x

x e x P x x x ax ax e x P ax

m ax m ======

三：有理函数的积分

1、有理函数可分为如下三种类型：

（1）多项式：它的积分根据积分公式表即可求得，是比较容易计算的类型。

（2）有理真分式：任何有理真分式都可通过待定系数法分解成下列四种类型的最简分

式的代数和：

k q px x B

Ax q px x B Ax a x A a x A )(,

,)(,22++++++-- 其中k q p ,,为常数，1,042≠<-k q p 。

（3）有理假分式；任何有理假分式都可分解为一个多项式和一个有理真分式之和，而这两部分的积分可分别归结为（1）和（2）。

综上所述，有理函数的积分实质上归结为求多项式的积分和最简分式的积分，而前者是易于求得的，后者可通过凑微分法求出的结果。

例3.1：dx x x x x x ?+--+2

23246)

1(2

4 【解】=

++-++=+--+223222346223246)1(2

4)1()1(24x x x x x x x x x x x x 2

2322)1(241++-+x x x x x 2222422242223222)1(12)1(24)1(24)1ln(2

11x

dx x x x xdx x x x dx x x x C x dx x x =++=++=++++=+????μ

x x C d d d ++-=+-+=+-=+-+=++=???)

1(1111))1(11()1()1()1(1222222

222μμμμμμ

μμμμμμμμ

例3.2：求不定积分

?+11

3x dx

【解】用待定系数法作分解：

()()

111111223+-++

+=+-+=+x x C

Bx x A x x x x 上式两边消去分母得：1=A ()

()()112

++++-x C Bx x x

比较等式两边x 的幂次得：A+B=0，-A+B+C=0，A+C=1

解出 3

131

A =-==C

B ，，，因此 ???+-+-++=+dx x x x dx x dx x 12

3111311123 =?+-++--+1

211ln 611ln 3122

x x dx x x dx x =()C x x x x +??

? ??-++--

+21332arctan 331ln 611ln 3

12 四：简单无理函数的积分

一般用第二类换元法中的那些变换形式。像一些简单的，应灵活运用。如：同时出现x +1和

x 时，可令t x 2tan =；同时出现

x x 和-1时，可令t x 2sin =；同时出现x x arcsin 12和-时，可令x=sint ；同时出现

x x arccos 12和-时，可令x=cost 等等。

例4.1：求

()()

dx x x x ?++++-31111

【解】令16

+=x t ，于是dt t dx t x 5661=-=，，从而有

()()

dx x x x ?++

++-3

1111

1=()()()??+-=+-dt t t t dt t t t t 2

116161 =()????

???-+--=+--+-+dt t t t t t t t t t t 1111611622322 ()

C t t t t +??

???-++-=arctan 1ln 21ln 62

C x x x x ++-+++++=6633

161arctan 61

例4.2：求

()

1x x dx

【解】注意，被积函数的定义域为()

() ∞+∞，

，01--，我们改写 ()?

1x x

?+4

令4

t +=

，于是()()dt t t dx t x 3244

4111--=-=-，，从而有 ()

1x x dx

()()

()?

?-=---±=--dt t t dt t

t t

414142

324

?+???

? ??--+±=??? ??+-±=C t t t dt t t arctan 211ln 11-11

C x x x x x x +?

???

??+-+-++±=4441arctan 21111ln

其中，当x>0时取正号，当x<0时取负号。

五：三角函数有理式的积分

万能公式：??????????

+-=

+=2

tan 12tan 1cos 2tan 12

tan 2sin 22

2x x

x x

x x 化为有理函数可用变换2

tan )cos ,(sin )cos ,(sin x

t dx x x Q x x P =?的积分，但由于计算较麻烦，应尽量避免。

对于只含有tanx （或cotx ）的分式，必化成

x x sin cos cos sin 或。再用待定系数 x

b x a x b x a B x b x a A sin cos )

sin'cos'()sin cos (++++来做。

例5.1：求?++x

x dx

cos sin 1

【解】令2

tan x

t =，于是

2211cos ,12sin 12arctan 2t t x t t x t dt dx t x +-=+=+==，，

从而有?++x x dx cos sin 1??+=

+-+

+++=t

dt t t t t dt t 11112112

222 =C x

C t ++=++2

tan

1ln 1ln 例5.2：求

?+dx x x x

cos 2sin 2sin 2

【解】改写?+dx x

x x

cos 2sin 2sin 2?+-=dx x x x x cos 2cos 1cos sin 22 令t=cosx ，于是dt=dx sin -,从而有

?+dx x x x cos 2sin 2sin 2=??-+-+-=-+-22212

22212t t t t t tdt

()

()??----+-+2

221222121t dt t t t t d =C t t t t ++--++-+1212ln 2221ln 2

C x

x x x ++--++

-+=cos 12cos 122

cos cos 21ln 2

C x

x x x ++--++

+=cos 12cos 12ln 22cos 2sin ln 2 六：对于?=/++)0(),(2a dx c bx ax x R 型积分，考虑ac b 42-=?的符号来确定取不同的变换。

如果0>?，设方程02

=++c bx ax

两个实根为βα,，令

()?-=++x t c bx ax 2，

可使上述积分有理化。如果0

=++c bx ax

没有实根，令t x a c bx ax ±=++2，

可使上述积分有理化。此种情况下，还可以设c xt c bx ax ±=++2，

至于采用哪种替换，具体问题具体分析。例6.1：求

+++dx x x x 2

222

【解】分成两项并按公式得

()()?

?????

++++++=+++dx x x x dx x x x 111

111

2222

()(

)()

()

??++++

++++1

111

121

2x x d x x d

)

C x x x x x ++++++++221ln 2222

例6.2：求

?+-+

x x x dx

【解】令x t x x -=+-12

则()

()

dt t t t dx t t x x tx t x x 2

222

121

2,12121-+-=--=+-=+-，，

从而有()()dt t t t dt t t t t x x x dx

?????

???-+--=-+-=+-+2222

1231232122221 =()

C t t t +----

21223

12ln 23ln 2 =()

C x x x x x x x x x ++-+-+-+-+-+

2223122ln 231ln 2222

七：求隐函数的不定积分

当被积函数是隐函数时，为求不定积分，可引入新的参变量，将x ，y 都用参变量表示

出来。求出关于参变量的不定积分后，再还原为x ，y 的函数即可。这时，一般地说，原函数也是隐函数。例：7.1若()

()

2222

22y x a y x -=+，求不定积分()

++=dx a

y x y I 2

221

【解】令tx y =，由()

()

2222

22y x a y x -=+得

22112112t t t a

y t t a x +-±=+-±=， ()

3131132t t a a y x dt t

t t

t a

dx +-=++-+-±=，于是，当00>>y x ，时及0<

12122ln 2111ln 21111C y x y

x a

C t t a dt t a I ++-=++-=-=

? 当00<>y x ，时及00<

22221

ln 2111C t t a t dt a I ++--=--

22ln 21ln 21-

C y x y x a

C y x y x a +-+=++-= 八：对

?≠+++)0(sin cos sin cos 2

2n m dx x

n x m x b x a 的推广对于

dx c x n x m l

x b x a ?++++sin cos sin cos 的不定积分，其中a ，b ，c ，m ，n ，l 为常数且m ，n ，

c 不同时为零，我们也可以类似讨论其解法。

(1)若0≠m ，n=0或m=0，o n ≠，c 为常数，则变得非常简单，在此就不再加以讨论。

(2) 若0≠m ，o n ≠，c ，a ，b ，l 中至少有一个不为0，则

???++++++++++=++++dx c x n x m c x n x m B dx c x n x m c x n x m A dx c x n x m l x b x a sin cos )'

sin cos (sin cos )sin cos (sin cos sin cos ?++dx c x n x m C

sin cos =?

??+++++-+++++dx c x n x m C

dx c x n x m x m x n B dx c x n x m c x n x m A sin cos sin cos )sin cos (sin cos )sin cos ( =?

++++-++dx c

x n x m C Ac x Bm An x Bn Am sin cos )

(sin )(cos )( 于是有

Aa Bb m Ab Ba n Ac C l +=??-=??+=? ? 2222

22ma nb A a b mb na B a b ma nb C l c a b +?=?+?

=?+?

=-??+?

所以

???+++++++++=++++)

sin cos (sin cos sin cos )sin cos (sin cos sin cos c x n x m d c x b x m B

dx c x n x m c x n x m A dx c x n x m l x b x a +?

++dx c x n x m C

sin cos ??+++++?+-+++=)sin cos (sin cos 1222

2c x n x m d c x n x m n m bm an dx n m bn am ? ??++?

???++-dx c

x n x m c n m nb ma l sin cos 122. ??++???

?++-++++-+?++=

?c x n x m dx c n

m nb ma l c x n x m n m mb na x n m nb ma sin cos sin cos ln 222222至此，还需要求不定积分?++c x n x m dx

sin cos 的解，我们可以用万能代换法，将其化为

有理不定积分的形式。

令tan 2x t =，则221dx dt t =+，22sin 1t

x t =+，22

1cos 1t x t

-=+ I=

?++c x n x m dx

sin cos 故

+++-=++?++-?+dt c

m nt t m c dt c t

n t t m t 2)(2

121112

222

.在这里我们需要讨论m ，n ，c 的情况.下面进行分类讨论：

情况一：当c-m=0时，当n 0≠时， I=

122tan ln 12ln 122C m

c x n C m n c t n dt c m nt +++=+++=++?(1C 为常数)。此时，所求的不定积分

?++++dx c x n x m l

x b x a sin cos sin cos

122222222tan ln 1sin cos ln C m

c x c n m nb ma l b c x n x m n m mb na x n m nb ma +++ ???

???++-++++-+?++=

(1C 为常数)。

当n=0,mc 0≠时，I=

?++=++=+212

tan 222C x

c m C t c m dt c m (2C 为常数)．此时，所求的不定积分

?++++dx

c x n x m l

x b x a sin cos sin cos 22

222222tan 2sin cos ln C x

c n m nb ma l c m c x n x m n m mb na x n m nb ma + ????

??++-+++++-+?++=

(2C 为常数)。

当n=0，mc=0时与已知条件矛盾，在这里我们不予以讨论。情况二：当c-m 0≠时，

)()(

? ?

?---+???-+-=+++-=dt m c n m c m c n t m c dt c m nt t m c I 2222221

222 令()

22m c n m c k ---=,则当0k =时， ????

? ??

-+??

??-+-=??? ??-+-=

m c n t d m c b t m c dt m c n t m c I 2

212 31

2C m

c b

t m c +-+?--

()32

C n

t m c ++--

tan )(2

C n

m c ++-=

(3C 为常数)．

此时，所求的不定积分

?++++dx c x n x m l

x b x a sin cos sin cos

()32222222

tan 2sin cos ln C n m nb ma l x m c c x n x m n m mb na x n m nb ma +??

? ??

++---+++-+?++=

(3C 为常数)。当0k >时，

()()()????

???-+-+-=+??? ??-+-=

dt k m c b t m c k m c dt k m c b t m c I 2211

212()()()3

arctan 2

C k

m c n t m c k m c +-+--=

()()()42

tan arctan

C k

m c n

x m c k

m c +-+--=

(4C 为常数)。

此时，所求的不定积分

?++++dx

c x n x m l x b x a sin cos sin cos ?

()???

???++--+++-+?++=

c n m nb ma l k m c x n x m n

m mb na x n m nb ma 2

222222sin cos ln ()()42

tan arctan

C k

m c b

x m c +-+-(4C 为常数)。

当0k <时，0k ->，且

()??-+??? ??-+??? ??---+-=+?

? ??-+-=

dt k m c n t k m c n t m c dt k m c n t m c I 1

2122()5ln ln 21C k m c n t k m c n t m c +??

??-+-+----+

()52tan ln 2tan ln 21C k m c n x k m c n x m c +??

??-+-+----+

(5C 为常数)．则此时所求的不定积分

?++++dx c x n x m l

x b x a sin cos sin cos

()??

???++--++++-+?++=

c n m nb ma l m c c x n x m n m mb na x n m nb ma 22

222221sin cos ln 52tan ln 2tan ln C k m c n x k m c n x +??

??-+-+----+

(5C 为常数) …………

总的来说，解不定积分的一般方法有三种，即直接积分法、换元法和分部积分法。这三种方法明确了不定积分解题的大致方向，是进行不定积分运算的基础。不定积分解题的技巧性和灵活性较强，积分方法类型多，但各种方法都是在这三种常规方法的基础之上进行改造和拓展而得。因此，熟练掌握常规的三种方法是求解不定积分的基础。

参考文献：

[1]梅加强.《数学分析》.高等教育出版社，2011.07:130-133

[2]李克典马云苓.《数学分析选讲》.厦门大学出版社,2006.06:210-212 [3]李成章黄玉民.《数学分析》.科学出版社，2007:167-172

[4]吴良森毛羽辉韩士安吴畏.《数学分析学习指导书》上册. 高等教育出版社，2004.09:108-111

[5]王家正乔宗敏丁以鸣金永容.《数学分析选讲》.北京师范大学出版集团，2010.08:50-52

[6]裘兆泰王承国章仰文.《数学分析学习指导》. 科学出版社,2004:83-84 [7]张从军.《数学分析概要二十讲》.安徽大学出版社,2000:80-83

[8]王勇曹雪广.《数学分析全程导学及习题全解》.复旦大学第二版（上册）.中国时代经济出版社，2007:211-212

[9]吕冠国卲南谷天慧王涛董义琳方钢.《数学分析》（上册）.科学出版社，2006:121-122 [10]叶国菊赵大方.《数学分析学习与考研指导》.清华大学出版社，2009.09:93-94

The Methods of Solving Indefinite Integral

Institute of mathematics and computer science Mathematics and Applied Mathematics(s)

2011031103 Fang Shouqiang

Supervisor: Deng Yongping

【Abstract 】Indefinite integral mathematical analysis is one of the important content in differential calculus, we commonly used for the indefinite integral method is: direct integral method, change yuan integral method and the division of integral method, etc. Indefinite integral

we learned in our textbook is very simple , but use of basic formulas and nature, can only find out some simple integral, for more complex integral, the operation is has the certain difficulty. Sometimes, we also found in the calculation of some indefinite integral can't use direct way to calculate, which require us in the usual study,wu should learn to generalization,summarization and promote. According to our difficulties in study, this paper introduces several types of indefinite integral and list some example to solve problem in technology.

【Key words】Indefinite integral; Difficulties Representative; Technology

致谢

在这大学四年中，我要感谢所有教过我的老师，通过老师们孜孜不倦的教诲和耐心的指导，我学到了丰富的知识，终于成长成为一个对社会对国家有用的人。我能够顺利完成毕业论文地撰写，更要感谢我的指导老师邓勇平老师，他严肃的科学态度，严谨的治学精神，细心的指导，深深地感染和激励着我。从课题的选择到论文的最终完成，邓老师都始终给予我细心的指导和耐心的讲解，在此谨向邓勇平老师致以诚挚的感谢和崇高的敬意。最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位老师表示感谢！

不定积分练习题及答案

不定积分练习题一、选择题、填空题： 1、(1 sin2X )dx 2 2、若e x是f(x)的原函数，贝x2f(l nx)dx ___________ 3、sin(ln x)dx _______ 2 4、已知e x是f (x)的一个原函数，贝V f (tanx)sec2xdx ___________ : 5、在积分曲线族dx 中，过(1,1点的积分曲线是y _______________ 6、F'(x) f(x)，则f '(ax b)dx ____________ ; 、1 7、设f (x)dx 2 c,则 x 8、设xf (x)dx arcs in x c,贝V ---------- dx f(x) 9、f '(lnx) 1 x,则f (x) _______ ; 10、若f (x)在(a,b)内连续，则在(a,b)内f (x) _________ (A)必有导函数(B)必有原函数(C)必有界(D)必有极限 11、若xf (x)dx xsin x sin xdx,贝Vf (x) _____ 12、若F'(x) f(x), '(x) f(x),贝V f (x)dx ______ (A)F(x) (B) (x) (C) (x) c (D)F(x) (x) c 13 、下列各式中正确的是：(A) d[ f (x)dx] f (x) (B)引 dx f (x)dx] f (x)dx (C) df(x) f(x) (D) df(x) f (x) c 14 、设f (x) e x,则： f(lnx) dx x 1 c x (A) 1 c x (B) lnx c (C) (D) ln x c ◎dx

不定积分练习题及答案

不定积分练习题 2 11sin )_________ 2 x d x -=?一、选择题、填空题：、（ 2 2()(ln )_______x e f x x f x dx =?、若是的原函数，则： 3sin (ln )______x d x =?、 2 2 2 4()(tan )sec _________; 5(1,1)________; 6'()(),'()_________;1() 7(),_________;1 8()arcsin ,______() x x x e f x f x xd x d x y x x F x f x f a x b d x f e f x d x c d x x e xf x d x x c d x f x --===+== +==+=?? ??? ? ? 、已知是的一个原函数，则、在积分曲线族中，过点的积分曲线是、则、设则、设则____; 9'(ln )1,()________; 10()(,)(,)()______;()()()()11()sin sin ,()______; 12'()(),'()(),()_____()() ()() ()(f x x f x f x a b a b f x A B C D xf x d x x x xd x f x F x f x x f x f x d x A F x B x C x κ??=+== - = ===???、则、若在内连续，则在内必有导函数必有原函数必有界必有极限、若则、若则)()()()c D F x x c ?+++ 13()[()]() ()[()]()() ()() () ()()d A d f x dx f x B f x dx f x dx d x C df x f x D df x f x c === = +????、下列各式中正确的是： (ln )14(),_______ 11() ()ln () () ln x f x f x e dx x A c B x c C c D x c x x -==++-+-+? 、设则：

定积分的几类特殊解题技巧

第四章“积分”简介一、内容和要求 “积分”一章主要包括不定积分的概念及其运算、定积分的概念与性质、定积分的应用三部分。“不定积分的概念及其运算”主要是运用基本积分公式表，求不定积分的过程；“定积分的概念与性质”主要是理解并掌握定积分的概念，定积分的概念是本章最重要的概念，是学习其他内容的基础；“定积分的应用”主要介绍定积分在几何上的应用和在力学上的简单应用。（一）不定积分概念及其运算不定积分概念及其运算包括原函数和不定积分的概念、基本积分公式、不定积分的运算法则、直接积分法、第一换元积分法等。不定积分是一元函数微积分学的基本内容，本章教材在学生掌握求导数方法的基础上，求原函数或不定积分。由于在一定的条件下，求不定积分与求导数互为逆运算，因此学习本部分时，要与“导数与微分”一章的有关内容对照。特别是基本积分公式与常见函数的导数的对应（如下表）基本积分公式常见函数的导数不定积分中的运算及化归的内容非常丰富，涉及的积分方法有：直接积分法和第一换元积分法，它是进一步培养学生运算及化归能力的良好素材。不定积分的内容与导数的内容紧密相联，由于导数与积分之间的逆运算关系，所以大纲中强调一定的运算能力及变换技巧，但在高中阶段不应过分强调，否则容易成为学习的一种障碍，因为求不定积分及定积分涉及很多的运算及技巧，在高中安排积分的初衷似主要不是在此方面。学生只需学会用直接积分法和第一换元积分法求不定积分即可。本部分的教学要求： 1．掌握原函数与不定积分的概念，掌握不定积分的线性性质。 2．熟记基本积分公式（），会利用线性性质和第一换元积分法求简单函数的不定积分。（二）定积分的概念与性质定积分的概念是“积分”一章中最重要的概念。定积分是在学习了极限、导数、微分及不定积分的基础上来学习的，它的理论基础是极限。定积分的概念是微积分重要而又基

定积分典型例题20例答案(供参考)

定积分典型例题20例答案例1 求2 1lim n n →∞L ．分析将这类问题转化为定积分主要是确定被积函数和积分上下限．若对题目中被积函数难以想到，可采取如下方法：先对区间[0,1]n 等分写出积分和，再与所求极限相比较来找出被积函数与积分上下限．解将区间[0,1]n 等分，则每个小区间长为1i x n ?=，然后把2111 n n n =?的一个因子1n 乘入和式中各项．于是将所求极限转化为求定积分．即 21lim n n →∞+L =1lim n n →∞+L =34 = ?．例2 0 ? =_________．解法1 由定积分的几何意义知，0 ?等于上半圆周22(1)1x y -+= (0y ≥) 与x 轴所围成的图形的面积．故0 ? = 2 π ．解法2 本题也可直接用换元法求解．令1x -=sin t （2 2 t π π - ≤≤ ），则 ? =2 2 tdt ππ- ? =2tdt =220 2cos tdt π ?= 2 π 例3 （1）若2 2 ()x t x f x e dt -=?，则()f x '=___；（2）若0 ()()x f x xf t dt =?，求()f x '=___．分析这是求变限函数导数的问题，利用下面的公式即可 () () ()[()]()[()]()v x u x d f t dt f v x v x f u x u x dx ''=-?．解（1）()f x '=42 2x x xe e ---；（2）由于在被积函数中x 不是积分变量，故可提到积分号外即0()()x f x x f t dt =?，则可得 ()f x '=0()()x f t dt xf x +?．例4 设()f x 连续，且31 ()x f t dt x -=?，则(26)f =_________．解对等式310 ()x f t dt x -=? 两边关于x 求导得 32(1)31f x x -?=，故321(1)3f x x -= ，令3126x -=得3x =，所以1(26)27 f =．

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 -标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1111)'ln )1(ln(+-=-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2)ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 ) ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：

不定积分例题及答案

第4章不定积分

习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 5 3 2 2 23x dx x C - - ==-+? ★(2)dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)422 331 1 x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 2 1x dx x +?

思路:注意到22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34134 （- +-）2 思路:分项积分。解：34 11342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-?????34134（- +-）2 223134 ln ||.423 x x x x C --=--++ ★ (8)23( 1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ? ★★ (9) 思路 =？ 111 7248 8 x x ++==，直接积分。解： 715 8 88 .15x dx x C ==+? ? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1) (1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? ★★(12)3x x e dx ?

不定积分的解题方法与技巧

不定积分的解题方法与技巧-标准化文件发布号：（9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为()()21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成() () ? --2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

不定积分例题及答案理工类吴赣昌

第4章不定积分习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！

★(1) ? 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C --==-+? ★(2) dx ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23 ()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+? ??? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++???（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 22 3311311 x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：422 32233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +? 思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

不定积分解题技巧汇编

不定积分解题技巧探讨数学与计算机科学学院数学与应用数学（s ） 2011031103 作者：方守强指导老师：邓勇平【摘要】在微分学中不定积分是数学分析的一个重要内容，我们经常用的解题方法有：直接积分法、换元积分法和分部积分法等。在我们接触过的有限的教材中，不定积分显得十分简明，但是利用基本积分公式及其性质，只能求出部分相对简单的积分，对于一些比较复杂的积分，则有一定难度。有时，我们在计算中会发现有的不定积分是无法用直接的方法来计算的，这就要求我们在平时的学习中，多进行归纳总结和概括推广。针对我们在学习中经常遇到的一些困难，本文将总结求不定积分的几种基本方法和技巧，列举一些典型例子，运用技巧解题。【关键词】不定积分；难度；典型；技巧引言《数学分析》是数学与应用数学专业的大学生必修的基础理论课程,其核心任务是训练逻辑思维、应用技巧、提高学生研究能力和分析问题解决问题的能力,为今后其他数学课程的学习提供可靠的理论基础和强有力的解决问题的工具。不定积分是积分学的基础，掌握的深浅会影响相关课程的学习和理解,对于学习其他知识也有着相当重要的意义。对不定积分求解方法进行探讨，不仅会使求解不定积分的方法易于掌握，而且有助于提高对不定积分概念的理解和学习，激发学生学习数学的兴趣。为此，在前人的基础上，本文对常规的不定积分求解方法进行了一些归纳总结及探讨。一:不定积分的概念与性质定义1 如果F （x ）是区间I 上的可导函数，并且对任意的x ∈I ，有)()(x f x F ='dx 则称F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数。定理1（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I 上连续，那么f(x)在区间I 上一定有原函数，即存在可导函数F （x ），使得)()(x f x F ='（x ∈I ）。定理2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，则（1） F （x ）+C 也是f(x)在区间I 上的原函数，其中C 是任意函数；（2） f(x)在I 上的任意两个原函数之间只相差一个常数。定义2 设F （x ）是f(x)在区间I 上的一个原函数，那么f(x)的全体原函数F （x ）+C 称为f(x)在区间I 上的不定积分，记为 ()?dx x f ,即()()?+=C x F dx x f 。其中记号? 称为积分号，f(x)称为被积函数，f(x)d(x)称为被积表达式，x 称为积分变量，C 称为积分常数。性质1 设函数f(x)和g(x)存在原函数，则 ()()[]()()???±=±dx x g dx x f dx x g x f 性质2 设函数f(x)存在原函数，k 为非零常熟，则()()? ? =dx x f k dx x kf 。附：常用积分公式

经济数学(不定积分习题及答案)

第五章不定积分习题 5－1 1. 1. 验证在(-∞,+∞) 内, 221 sin , cos 2, cos 2x x x -- 都是同一函数的原函数. 解 221 (sin )'(cos 2)'(cos )'sin 22x x x x =-=-=因为 221 sin ,cos 2,cos sin 22x x x x --所以都是的原函数. 2. 2. 验证在(-∞,+∞) 内, 2222(),() 2()x x x x x x e e e e e e ---+-+都是的原函数. 解 2 2 22[()]' [()]'=2() x x x x x x e e e e e e - --+=-+因为 2222 ()() 2().x x x x x x e e e e e e ---+=-+所以都是的原函数 3.已知一个函数的导数是2 11 x -，并且当x = 1时, 该函数值是3 2π，求这个函数. 解设所求函数为f (x ), 则由题意知 '()f x = '(arcsin )x 因为 '()()d arcsin f x f x x x C ===+?所以又当x = 1时， 3 (1)2f π =，代入上式, 得C = π 故满足条件的函数为 ()f x =arcsin x π+. 3. 3. 设曲线通过点(1, 2) , 且其上任一点处的切线的斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程. 解设曲线方程为 ()y f x =, 则由题意知'' ()2y f x x == 因为 2()'2x x = 所以 2'()d 2d y f x x x x x C = ==+? ? 又因为曲线过点(1, 2), 代入上式, 得C = 1 故所求曲线方程为 2 1y x =+. 5. 求函数y = cos x 的分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1)的积分曲线的方程. 解设y = cos x 积分曲线方程为 ()y f x = 因为 ' (sin )cos x x = 所以 ()cos d sin f x x x x C ==+? 又因为积分曲线分别通过点( 0, 1) 与点(π, -1),代入上式, 得C 1 = 1 与 C 2 = -1. 故满足条件的积分曲线分别为

不定积分解题方法及技巧总结剖析

? 不定积分解题方法总结摘要：在微分学中，不定积分是定积分、二重积分等的基础，学好不定积分十分重要。然而在学习过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学习过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词：不定积分；总结；解题方法不定积分看似形式多样，变幻莫测，但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律，并非所有相似题型都适用，具体情况仍需要具体分析。 1.利用基本公式。（这就不多说了~） 2.第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则 C x F x d x f dx x x f +==???)]([)()]([)(')]([????? 其中)(x ?可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例1、例2：例1：? +-+dx x x x x ) 1(ln )1ln( 【解】) 1(1 111)'ln )1(ln(+- =-+= -+x x x x x x C x x x x d x x dx x x x x +-+-=-+-+-=+-+??2 )ln )1(ln(2 1)ln )1(ln()ln )1(ln()1(ln )1ln(例2：? +dx x x x 2 )ln (ln 1 【解】x x x ln 1)'ln (+= C x x x x x dx dx x x x +-==++??ln 1 )ln (ln )1(ln 122 3.第二类换元法：设)(t x ?=是单调、可导的函数，并且)(')]([.0)('t t f t ???又设≠具有原函数，则有换元公式 ??=dt t t f dx f )(')]([x)(??

§_5_定积分习题与答案

第五章定积分 (A) 1．利用定积分定义计算由抛物线12 +=x y ，两直线)(,a b b x a x >==及横轴所围成的图形的面积。 2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ? =1 12)1xdx 4 1) 21 2π = -? dx x ?- =π π0sin ) 3xdx ?? - =2 2 20 cos 2cos )4π ππ xdx xdx 3．估计下列各积分的值 ? 33 1arctan ) 1xdx x dx e x x ?-0 2 2)2 4．根据定积分的性质比较下列各对积分值的大小 ?2 1 ln )1xdx 与dx x ?2 1 2)(ln dx e x ?10)2与?+1 )1(dx x 5．计算下列各导数

dt t dx d x ?+20 2 1)1 ?+32 41)2x x t dt dx d ?x x dt t dx d cos sin 2)cos()3π 6．计算下列极限 x dt t x x ?→0 20 cos lim )1 x dt t x x cos 1)sin 1ln(lim )20 -+?→ 2 2 20 )1(lim )3x x t x xe dt e t ? +→ 7．当x 为何值时，函数? -=x t dt te x I 0 2 )(有极值？ 8．计算下列各积分 dx x x )1 ()12 1 42? + dx x x )1()294+?

? --212 12) 1()3x dx ? +a x a dx 30 2 2) 4 ?---+2 11)5e x dx ?π20sin )6dx x dx x x ? -π 3sin sin )7 ? 2 )()8dx x f ，其中??? ??+=22 11)(x x x f 1 1>≤x x 9.设k ，l 为正整数，且l k ≠，试证下列各题： ?- =π π 0cos )1kxdx πππ =?-kxdx 2cos )2 ?- =?π π 0sin cos )3lxdx kx ?-=π π 0sin sin )4lxdx kx

不定积分的解题方法与技巧

一．直接积分法（公式法）利用不定积分的运算性质和基本积分公式直接求出不定积分二．第一类换元法 1.当遇到形如 ? ++c bx ax dx 2 的不定积分，可分为以下三种情况：（1）当0>?时，可将原式化为()() 21x x x x --，其中，21,x x 为c bx ax ++2 的两个解，则原不定积分为： ()()()()()?? ? ?? ?------=--??? 221112211 x x x x d x x x x d x x x x x x dx ()C x x x x x x +---= 2 1 12ln 1 （2）当0=?时，可利用完全平方公式，化成 () () ?--2 k x k x d 。然后根据基本积分公式即可解决。（3）当0

三．分部积分法口诀：反对幂指三，谁后谁先微。意思是：反三角函数，对数函数，幂函数，指数函数，三角函数，谁在后面谁先被微分。分部积分法一般用于两个函数相乘且两个函数属于口诀中五种函数中的两个。四．有理函数的积分 1.形如 () k a -x 1 的有理函数，它所对应的部分分式是 ()()() k k 221a -x A a -x A a -x A +??++ 2.形如 () k q px ++2 x 1 的有理函数，它所对应的的部分分式是 ( )( ) () k 2 k k 2 22 2211x x x q px C x B q px C x B q px C x B ++++ ??+++++ +++ 3.非以上二者形式的有理函数，采取固定分项步骤（其实，就是上述两种方法的综合）：部分分式项数为原有理函数的分母整体的次数和。当部分分式分母次数为1时（指的是x 的次数，并非整体次数），拆开时，分子所设x 的次数相应减一。例如：当部分分式分母x 次数为1时，分子所设应为A ；当部分分式分母x 次数为2时，分子所设应为Ax+B 。上述三种方法解题时可用待定系数法或者特殊值法确定各未知量。 3.不能拆的时候，可采用凑微分的方法，将分子凑出分母的微分，再拆开求解。（这样的题用到arctan 和ln 很多）。 4．类似二次多项式常数形式，分母配方，使用arctan 。 5.带根号的，想办法无理化有理，要么三角代换，要么根号整体分式代换。 6.对于分母是多项式平方的有理分式，依然要配方，再凑微分。然后一步三角换元，所得各个三角量利用三角形，找出表达式。

常见不定积分的求解方法

常见不定积分的求解方法的讨论马征指导老师：封新学摘要介绍不定积分的性质，分析常见不定积分的各种求解方法：直接积分法、第一类换元法（凑微法）、第二类换元法、分部积分法，并结合实际例题加以讨论，以便于在解不定积分时能快速选择最佳的解题方法。关键词不定积分直接积分法第一类换元法（凑微法）第二类换元法分部积分法。 The discussion of common indefinite integral method of calculating Ma Zheng Abstract there are four solutions of indefinite integration in this discourse: direct integration; exchangeable integration; parcel integration. It discussed the feasibility which these ways in the solution of integration, and it is helpful to solve indefinite integration quickly. Key words Indefinite integration,exchangeable integration, parcel integration.

0引言不定积分是《高等数学》中的一个重要内容，它是定积分、广义积分、狭积分、重积分、曲线积分以及各种有关积分的函数的基础，要解决以上问题，不定积分的问题必须解决，而不定积分的基础就是常见不定积分的解法。不定积分的解法不像微分运算时有一定的法则，它要根据不同题型的特点采用不同的解法，积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且也已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 ?-x k dx 22sin 1（其中10<

不定积分例题及答案

第4章不定积分内容概要课后习题全解习题4-1 1.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。

思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！ ★(1) 思路: 被积函数52 x - =，由积分表中的公式（2）可解。解： 53 2 2 23x dx x C -- ==-+? ★(2) dx - ? 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：1 14111 33322 23()2 4dx x x dx x dx x dx x x C - - =-=-=-+???? ★(3)22 x x dx +? （）思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解：2 2 3 2122ln 23 x x x x dx dx x dx x C +=+=++? ??（） ★(4) 3)x dx - 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： 3153 22 222 3)325 x dx x dx x dx x x C -=-=-+?? ★★(5)4223311x x dx x +++? 思路:观察到422 223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：4223 2233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x ++=+=++++??? ★★(6)2 21x dx x +?

思路:注意到 22222 111 1111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：22 21arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++??? 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。 ★(7)x dx x x x ? 34 134（ -+-）2 思路:分项积分。解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-? ????34134（ -+-）2 ★ (8) 23(1dx x -+? 思路:分项积分。解：2231( 323arctan 2arcsin .11dx dx x x C x x =-=-+++? ?? ★★ (9) 思路 =？看到1117248 8 x x ++==，直接积分。解： 7 15 8 88 .15x dx x C ==+? ★★(10) 221 (1)dx x x +? 思路:裂项分项积分。解： 222222 111111 ()arctan .(1)11dx dx dx dx x C x x x x x x x =-=-=--++++???? ★(11)21 1 x x e dx e --? 解：21(1)(1)(1).11 x x x x x x x e e e dx dx e dx e x C e e --+==+=++--??? 3x x e dx ?

高等数学不定积分例题思路和答案超全

高等数学不定积分例题思路和答案超全内容概要课后习题全解习题4-1 ：求下列不定积分1.知识点：。直接积分法的练习——求不定积分的基本方法思路分析：！利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分(1)★思路: 被积函数，由积分表中的公式（2）可解。解： (2)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (3)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。：解． (4)★思路: 根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。解： (5)思路:观察到后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。

解： (6)★★思路:注意到，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。解：注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。(7)★思路:分项积分。解： (8)★思路:分项积分。解： (9)★★思路:？看到，直接积分。解： (10)★★思路: 裂项分项积分。解： (11)★解： (12)★★思路:初中数学中有同底数幂的乘法：指数不变，底数相乘。显然。解： (13)★★思路:应用三角恒等式“”。解： (14)★★思路:被积函数，积分没困难。解： (15)★★思路:若被积函数为弦函数的偶次方时，一般地先降幂，再积分。解： (16)★★思路:应用弦函数的升降幂公式，先升幂再积分。解： () 17★思路:不难，关键知道“”。：解． ()18★思路:同上题方法，应用“”，分项积分。解： ()19★★思路:注意到被积函数，应用公式(5)即可。解： ()20★★思路:注意到被积函数，则积分易得。解：、设，求。2★知识点：。考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：：。即可1直接利用不定积分的性质解：：等式两边对求导数得、，。求的原函数全体设的导函数为3★知识点：。仍为考查不定积分（原函数）与被积函数的关系思路分析：。连续两次求不定积分即可解：，由题意可知：。所以的原函数全体为、证明函数和都是的原函数4★知识点：。考查原函数（不定积分）与被积函数的关系思路分析：。只需验证即可解：，而、，且在任意点处的切线的斜率都等于该点的横坐标的倒数，求此曲线的方程。一曲线通过点5★知识点：属于第12章最简单的一阶线性微分方程的初值问题，实质仍为考查原函数（不定积分）与被积函数的关系。思路分析：求得曲线方程的一般式，然后将点的坐标带入方程确定具体的方程即可。解：设曲线方程为，由题意可知：，；又点在曲线上，适合方程，有，所以曲线的方程为、，：问6一物体由静止开始运动，经秒后的速度是★★（1）在秒后物体离开出发点的距离是多少？

(完整版)不定积分习题与答案

不定积分（Ａ）１、求下列不定积分１）?2 x dx ２） ? x x dx 2 ３） dx x ?-2)2 ( ４） dx x x ? +2 2 1 ５）??- ? dx x x x 3 2 5 3 2 ６） dx x x x ?2 2sin cos 2 cos ７） dx x e x) 3 2(?+ ８） dx x x x ) 1 1( 2 ?- ２、求下列不定积分（第一换元法）１） dx x ?-3)2 3( ２） ? - 33 2x dx ３） dt t t ?sin ４） ? ) ln(ln ln x x x dx ５）? x x dx sin cos６） ?- +x x e e dx ７） dx x x) cos(2 ? ８） dx x x ? -4 3 1 3 ９） dx x x ?3 cos sin 10） dx x x ? - - 2 4 9 1 11）? -1 22x dx 12） dx x ?3 cos 13)?xdx x3 cos 2 sin 14) ?xdx x sec tan3 15) dx x x ? +2 3 916) dx x x ? +2 2sin 4 cos 3 1 17) dx x x ? -2 arccos 2 1 10 18) dx x x x ? +) 1( arctan

3、求下列不定积分（第二换元法）１） dx x x ? +2 1 1 ２） dx x ?sin ３） dx x x ?-4 2 ４） ?> - )0 (, 2 2 2 a dx x a x ５）? +3 2)1 (x dx ６） ? +x dx 2 1 ７）? - +2 1x x dx ８） ? - +2 1 1x dx ４、求下列不定积分（分部积分法）１） inxdx xs ? ２） ?xdx arcsin ３）?xdx x ln 2 ４） dx x e x ?- 2 sin 2 ５）?xdx x arctan 2 ６） ?xdx x cos 2 ７）?xdx 2 ln ８） dx x x 2 cos2 2 ? ５、求下列不定积分（有理函数积分）１） dx x x ? +3 3 ２）? - + + dx x x x 10 3 3 2 2 3）? +)1 (2x x dx （Ｂ） 1、一曲线通过点 )3, (2e，且在任一点处的切线斜率等于该点的横坐标的倒数，求该曲线的方程。 2、已知一个函数 ) (x F的导函数为2 1 1 x -，且当1 = x时函数值为 π 2 3 ，试求此函数。

不定积分_定积分复习题与答案

上海第二工业大学不定积分、定积分测验试卷姓名：学号：班级：成绩：一、选择题：（每小格3分，共30分） 1、设 sin x x 为()f x 的一个原函数，且0a ≠，则()f ax dx a ?应等于（）（A ）3sin ax C a x +；（B ）2sin ax C a x +；（C ）sin ax C ax +；（D ）sin ax C x + 2、若x e 在(,)-∞+∞上不定积分是()F x C +，则()F x =（）（A ）12,0(),0x x e c x F x e c x -?+≥=?-+?? ===??-<>。令1()b a s f x dx =?，2()()s f b b a =- 31 [()()]()2 s f a f b b a =+-，则（）（A ）123s s s <<；（B ）213s s s <<；（C ）312s s s <<；（D ）231s s s <<

不定积分解题技巧

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