微积分综合题
综合题
1．已知函数()y x f z ,=的全微分,22ydy xdx dz -=并且(),21,1=f 求()y x f ,在椭圆
域()???
? ??≤+=14|,22
y x y x D 上的最值. 解：由()
,2222C y x d ydy xdx dz +-=-=得().,22C y x y x f z +-== 又(),21,1=f 故,2=C 所以，().2,22+-==y x y x f z
下面求().2,2
2
+-=y x y x f 在椭圆域()???
? ??≤+=14|,22
y x y x D 上的最值. （i ）令???????=-=??==??.02,02y y z x x z ，得驻点()0,01P ，().20,0=f ???????=-=??==??.02,02y y
z x x z
（ii ）在椭圆142
2
=+y x 上，由椭圆的参数方程：[]πθθθ2,0.sin 2,cos ∈?
??==y x ， ()()22
2c o s 1422c o s 12s i n 4c o s
,2
2+--+=+-==θ
θθθθg y x f 22
3
2c o s 5+-=
θ. 所以，()()30,max ==g y x f ，()22,min -=??
?
??=πg y x f
综合(i),(ii)知，()3,max =y x f ，()2,min -=y x f .
2．在椭球面122222=++z y x 上求一点，使得()222,,z y x z y x f ++=沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)的方向导数具有最大值.
解：（1）记{}??????-=-==0,21,21
,0,1,10h ，方向导数为
(){}{}()y x z y x h f f f z y x f D z y x h -=??????-='''=20,21,21
.2,2,2.,,,,0.
（2）问题转化为求函数()y x -2在条件0122222=-++z y x 下的极值， 令()()()
1222,,,222-+++-=z y x y x z y x L λλ
由()?????
??????-=-++='==?----------=='-=???
?
??------=+-='-------=+=')
4(0122.010)3(02)2(042)1(042222z y x L z z L y
x y L x L z y x λλλλλ，或）不符舍，因与（ 得：?????????=-==.0,21,21z y x 或????
??
???==-=.0,21,21z y x 因此有两个驻点??? ??-0,21,211P 及???
??-0,21,212P
因为20,21,21=??? ??-f D h ，.20,21,21-=???
??-f D 所以，()222,,z y x z y x f ++=在
椭球面上点??
?
??-0,21,211P 处沿着点A(1,1,1)到点B(2,0,1)方向导数具有最大值2.
3．证明：曲面224y x z ++=上任意一点处的切平面与曲面22y x z +=所围成的立体体积为定值.
证明：令()z y x z y x F -++=224,,，则曲面224y x z ++=上任意一点
()000,,z y x M 处平面方程为： ()()()02200000=---+-z z y y y x x x ，
?????+==--+-+222
02000,0422y
x z y x z yy xx ，消去z ， 得立体向xoy 面上的投影区域()().4:2
02
0≤-+-y y x x D
()[]()()[]
σσd y y x x d y x y x yy xx V D
D
????----=----++=2
02
0222
02
0004422
()22
20
cos 48sin r d r rdr r π
θθπθ
======
=-==?
?00极坐标x-x y-y
4.设)(x f 在[]a ,0上连续，
证明：()(){}a y x y x y x D dx x xf dxdy y x f a
D
≤+≥≥==+???,0,0|,,)(0
证明：()()dy y x f dx dxdy y x f x
a a D
?
???-+=+0
其中，()()x dt t f y
x t dy y x f a
x
x
a (0
??==============-+=+视为常数）
，所以，
()()dt t f xdx dxdy y x f a
x
a
D
????
=+0
（交换积分次序后）
()()()dx x xf dt t tf dx dt t f a
a t a
????===0
（最后一步是利用积分与变量记号无关）.
5设闭区间[]b a ,上()x f 连续且恒大于零，试利用二重积分证明不等式
()()
()2
1a b dx x f dx x f b
a
b
a
-≥?
?
. 【证】因为()0≥x f ，所以有
2
0b a dx ?
?
?≥??
?，即 ()()()
220.b b
a
a
dx
f x dx b a f x λλ??+-+≥???
?
??
① ①式左边是λ的非负二次三项式，因此必有判别式
()()()2
0b b a a dx b a f x dx f x ?????=--≤????????
??. ②
故由②得到()()()2..b b a a dx f x dx b a f x ????≥-????????
?? 6.设区域(){}
0,1|,22≥≤+=x y x y x D ，求二重积分??
+++D
dxdy y
x xy
2
211. 【解】??
+++D
dxdy y x xy 2211??++=D dxdy y x 2211??+++D
dxdy y x xy
221 01121
2
2+++=??
D dxdy y x 【极坐标】rdr r d ??
+=20
1
02
11
2π
θ ()(
).2ln 2
1ln 2
1112|
10
2
21
02π
ππ
=
+=++=
?r
r d r
7．设)(x f 在[]b a ,上连续且单增，记(){}
.,|,b y a b x a y x D ≤≤≤≤= 试证明().)(22
2?
??-≥
b
a
D
dx x f a b dxdy y yf
证明：记()?????
??-=--
=b
a
b a
D
b
a
D
dx x f ydy dxdy y yf dx x f a b dxdy y yf I )()()(22
2
()()[]d x d y
x f y f y d x d y x yf dxdy y yf D
D
D
??????-=-=()()( 由轮换对称性， ()[]dxdy y f x f x I D
??-=()(
所以，()()[]0)()(2≥--=??dxdy x f y f x y I D
（因)(x f 单增，故无论,,y x y x ><
均有[].0)()()(≥--x f y f x y 即，().)(202
2?
??-≥
?≥b
a
D dx x f a b dxdy y yf I
8．证明：(
).4
sin sin 161
41721
2
2
22π
π≤
++≤
-??
≤+dxdy y x y x
证明：一方面：
4
16
1sin sin 161
1
1
2
22222π
??
??
≤+≤+=
≤
++y x y x dxdy dxdy y
x ；
另一方面：
??
??
≤+≤+++≥
++1
2
2
1
2
22222161sin sin 161
y x y x dxdy
y
x dxdy y
x ()
.41721620
1
2
??
-=+=π
πθr
rdr d 注意：用到了：当.|tan ||sin |,4
||0x x x x ≤≤≤
≤π
9.设L 是圆周()().1112
2
=-+-y x 取逆时针方向，又)(x f 是正值连续函数，试证：
.2)
()(π≥-
?
dx x f y
dy y xf L
证明：由格林公式：记()()(){}
111|,2
2
≤-+-=y x y x D ，
()d x d y x f y f d x d y y x f y x y xf dx x f y dy y xf D D L ??????????
?+=??????
?
???????????? ??-?-??=-)(1)()()()()( ()d x d y x f d x d y y f D
D
????+
=)
(1
----（1）
又由轮换对称性：()dxdy x f dxdy y f D
D
????=)(---（2），代入（1）式，得：
.22)(1)(2)(1)()()(π==≥??????+=-
???????
D
D D L
dxdy dxdy x f x f dxdy x f x f dx x f y dy y xf 10.设曲线积分()?+L
xdy ydx y x F ),(与路径无关，且方程0),(=y x F 所确定的曲线的图形过点)2,1(.其中0),(=y x F 是可微函数，求0),(=y x F 所确定的曲线. 解：（1）由于曲线积分()?+L
xdy ydx y x F ),(与路径无关，所以，
[][](),,),(),(),(,(),(y x F x y x F y x F y y x F x
y x xF y y x yF y x '+='+???=??
即：
.x
y
F F dx dy y x -=''-=分离变量型微分方程 11ln ln ln ln()ln ,dy dx y x C xy C y x =-?=-+?=??得其通解：
.C xy =又曲线的图形过点)2,1(，所以，.2=C 因此所求曲线为：.2=xy 11.设),(y x Q 在xoy 平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分?+L
dy y x Q xydx ),(2
与路径无关，并且对任意的t ，恒有()
()
=
+?1,0,0,(2t ydy x Q xydx (
)
()
.,(2,10,0?+t ydy x Q xydx 求
函数),(y x Q .
解：由于曲线积分?+L
dy y x Q xydx ),(2与路径无关，所以
()x x
Q
y xy x Q 22=????=??，故：()y x xdx dx x Q y x Q ?+==??=??22),(-
()()
(
)
()
=
++?1,0,022t dy y x xydx ?()()
(
)
()
.2,10,02?++t dy y x xydx ?
选择平行于坐标轴的折线路径积分分别以定积分表示出左、右两曲线积分，得：
()()
()()dy y dy y t
t
??+=+0
10
2
1??，即
()()dy y t dy y t t
??+=+0
1
2??-对t 求导，得：
()()1212-=?+=t t t t ??，所以()12,2-+=y x y x Q .
12.设曲线)2(x x y -=与x 轴交于点O(0,0),A(2,0).曲线在A 点处的切线交y 轴于
B 点积分，试计算[]?++++??
?
???+-+=AB dy x y x dx y x y I )1ln(.cos 111sin
解：（1）由)2(x x y -=，2|
2
-='==x y K ，故曲线在A 点处的切线方程为：
)2(20--=-x y ，其与y 轴于B （0,4）. （2）记)1ln(.cos 1,11sin x y x Q y x
y
P +++=+-+=，因为
.1c o s 1,11c o s x
y x Q x y y P ++=??-+=?? 补充直线段BO OA ,，记由BO OA ,AB ,所围成的平面区域为D ，则
84*2*21*22=???
??==????????-??++?????
??
==========
D
D AB
OA
BO dxdy dxdy y P x Q 格林
. 所以，.1042811882
4
????=+-=--=--=AO
OB
dy dx I
13.设函数?具有连续导数，试计算
()[]()[]dy x y dx y x y I AB
π?π?-'+-=??sin cos ，其中?
AB 为点)4,3(),2,(ππB A 与点的
直线段下方的任意光滑曲线，且该曲线与直线段所围成的面积为.6π 解：记()().sin ,cos π?π?-'=-=x y Q y x y P ，则
()().c o s ,c o s x y x
Q
x y y P ?π?'=??-'=?? 因为??????==???
?????-??+=======?D D BA AB dxdy dxdy y P x Q 26ππ格林----（1）
易知:BA .~3:,.
,
1πππ
x x x x y ?????
=+= 又dx x x x x x BA ??????????????-???
??+'+????????? ??+-??? ??+=ππ
πππ?πππ?31sin 11cos 1
()dx x xdx x ??+-??? ??+=πππ
πππ?33cos 1??-??
?
??+'+πππππ?π33s i n 11dx xdx x ，
??????????? ??+=???
??+'πππ
ππ?π?π331s i n s i n 11x xd xdx x
x xd x xdx x x x cos 1cos 11sin 333|????
?
??+-=??? ??+-??? ??+=ππ
πππππ?π?π?
注意到：划线部分可互相抵消：
().262223233|ππππππ
ππ
π
π
π+=+??
????+-=-+-=???x x dx dx x BA
所以，()
.226622ππππ-=+-=I
14设S 为椭球面12
222
2=++z y x 的上半部分，点1,S S P ∈为S 在点P 处的切平面，()z y x ,,ρ为原点到平面1S 的距离.求().,,3dS z y x z I S
ρ??=
解：设切点()S z y x P ∈,,，则P 处的切平面方程为： ()()()02=-+-+-z Z z y Y y x X x ，即 022=-++zZ yY xX 原点到平面的距离
()2
2222
2
2
222
224222142
42|
200.0|,,y x y x y x S
P z y x z y x z y x z y x --=
?
??
?
??--++∈++=
++-++=
==========
ρ 2
21:22y x z S -
-=. ,
2
2122
2
y
x x x z
--
-=??,2
2122
2
y x y y
z
--
-=??
d x d y y
x y x d x d y y z x z dS 2
2222
2
22441----=????
????+??? ????+= (
)33,,S
D
I z x y z dS ρ==????
????
=======
???? ?
?--=--???
? ??----=D D
dxdy y x dxdy y
x y x y x 极2212242214)221(222
2
222
2
.212
220
πθπ
=???
?
??-?
?
rdr r d 15.设闭区域(){}
0,|,22≥≤+=x y y x y x D ，
()dudv v u f y x y x f D
??-
--=,8
1),(22π
，求),(y x f . 解：设k dudv v u f D
=??),( d x d y
k y x d x d y y x f k D D ??????????
---==π81),(22 ()
k d k dr r d --
=
-=-
-=??
?9
2
6
cos 18
.
8
120
3sin 0
2
20
π
θθπ
π
θπ
θ
π
， .9112-=
π
k 所以，.98321911281),(2222π
ππ+---=??? ??----=y x y x y x f 16.设()t f 在[)+∞,0上连续， ()dxdy y x f e t f t y x t ??
≤+??
?
??++
=2
222
422421π，求()t f . 解
dxdy y x f t y x ??
≤+??
? ??+2
22
42221rdr r f rdr r f d t t ?????
?
??=??
?
??=202020222πθπ， 所以，()+=2
4t e
t f πrdr r f t
???
?
??20
22π 两边同时对t 求导，得：
()()2.2282
4t t f te t f t πππ+='，即()2
48)(8t te t tf t f πππ=-' 此为一阶线性非齐才次微分方程.
()[]
[]
C
t e c dt te e e C dt te e e t f t t t t t tdt tdt
+=+=??
????+??
=??----2444448848822222ππππππππππ
又显见1)0(=f ，代入（3），得：C=1.所以，()()
.412
42t e t t f ππ+=
17.设有半径为R 的定球，另有一半径r 为的变球与定球相割.若变球中心在定球
球面上，试问：当r 等于多少时，含在定球内的变球部分的表面积最大，并求出最大表面积. 解：（一）建立空间直角坐标系，使原点在定球球心上，两球的球心连线为z 轴.则定球的方程为：22221:R z y x =++∑，变球：()22
222:r R z y x =-++∑.
由()22
222:r R z y x =-++∑，222y x r R z ---=.，
d x d y y
x r r d x d y y z x z dS 2
222
2
1--=????
????+??? ????+= 又联立()?????=-++=++2
2222
222,
r
R z y x R z y x ，消去z ，得投影区域为
()
.44:2
22
22
2
r R R
r y x D xy -≤+ （二）由公式，所求变球含在定球内的变球部分的表面积
()()
)023
2
420
2
2
20
2
2
2
22>-
=---=
?
?
??
-=====
r R
r r d r r d dxdy D y
x r r
r S r R R r
xy ππρρρ
θπ
极
（三）令().3
4
0342R r R r r r S =?=-='ππ 又,046434|3
4<-=??? ??
-=??? ??''=πππR r R r R S 所以，
()r S 在R r 34=
取到最大值.27
32342
R R S π=??? ??. 18.在底半径为R 高为H 的圆柱体上面拼加一个同半径的半球体，使整个 立体的重心位于球心处，试求R 与H 的关系.设立体密度1=ρ.
解：建立空间直角坐标系，使球心在原点.则圆柱面方程为
()0222≤≤-=+z H R y x .半球面的方程为：()02222≥=++z R z y x .设重心
()
z y x G ,,. 由题设，应有0x y ==.
.0=?=
?????????Ω
Ω
Ω
zdv dv
zdv
z -（Ω为整个立体）
而?????????Ω+Ω=Ω21zdv zdv zdv （21,ΩΩ分别为圆柱体及半球体） 又220
20
2
1H R zdz rdr d zdv R H
π
θπ
-
=Ω???
???-======
柱，
.4
c o s s i n 4220
20
2
R d d z d v R
π
ρρ?ρ??θπ
π
=
Ω???
???======
球 .
所以，.204
2
422H R R H R zdv =?=+
-
=???Ω
π
π
19.设()u f 具有连续导数，试计算
()
dxdy y x z dzdx y y x y x f x dydz e xy y x f y I z 2
2223211132121--+??
????-+???? ??++++????
??++???? ??+++=??∑，其中()211:22≤≤++=∑z y x z 表面的外侧. 解： .,32121,3212
12
222y x z R y y x y x f x Q e xy y x f y P z
--=-+???
? ??+++=++???? ??+++=
补充平面()
上侧,12:221≤+=∑y x z ，记∑与1∑所围成的区域为Ω. 由高斯公式：
()
1033321102
20221
πθπ=+=∑????????+??+??=+???????????+=====ΩΩr dz rdr r d dv y x dv z R y Q x P I 柱.
()()
.
5
6
23103210321031010220221
πππθπππ
π-=-=-----∑=-=??????=======rdr r d dxdy y x I D 极20
设函数
()x f 在点
0=x 点可导，且
()0
0=f ，求
()
d x d y d z z y x
f
t t ?
??Ω
→+++
222
4
1lim ，其中.:2222t z y x ≤++Ω
解：()
()()ρρρπρρρ??θππd f d f d d dxdydz z y x
f
t
t 20
20
20
222
4sin ???????==++Ω
所以，(
)
()4
20
2224
04lim 1
lim
t d f dxdydz z y x f t t
t t ????+
+→Ω
→=++ρ
ρρπ
()()()().000lim 44lim 000320f t f t f t
t t f t t '=--=+
=→→====
πππ
微积分期末测试题及复习资料
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-??? ? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞-=+____________. 2.31lim(1)x x x +→∞+=____________. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=?,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==++,求lim n x x →∞.
一元函数微分学习题
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=?，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -?是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -?是比h 高阶的无穷小量. 答D 2．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
)(x f 的（ ） （A ）间断点。 （B ）连续而不可导的点。 （C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x
微积分试题及答案(5)
微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2
高等数学下册试题(题库)及参考答案
高等数学下册试题库 一、选择题（每题4分，共20分） 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 解 ={1-1，2-0，1-2}={0，2，-1}， |AB |= 5)1(20222=-++. 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 解 (1) c =3a -2b =3{1,-1,3}-2{2,-1,2}={3-4,-3+2,9-4}={-1,-1,5}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1, -2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b ; （ A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 解c ={-1,-2,5}=-i -2j +5k . 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（C ） A ）2π B ）4π C ）3 π D ）π 解 由公式（6-21）有 2 1112)1(211)1(1221cos 2222222 121= ++?-++?-+?+?= ??= n n n n α， 因此，所求夹角 32 1 arccos π α= =． 5. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程．是：（D ） A ）2x+3y=5=0 B ）x-y+1=0 C ）x+y+1=0 D ）01=-+y x ． 解 由于平面平行于z 轴，因此可设这平面的方程为 0=++D By Ax 因为平面过1M 、2M 两点，所以有 ?? ?=+-=+020D B A D A 解得D B D A -=-=,，以此代入所设方程并约去)0(≠D D ，便得到所求的 平面方程 01=-+y x 6．微分方程()043 ='-'+''y y y x y xy 的阶数是( D )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2
微积分的基本运算
第4章微积分的基本运算 本章学习的主要目的： 1．复习高等数学中有关函数极限、导数、不定积分、定积分、二重积分、级数、方程近似求解、常微分方程求解的相关知识. 2．通过作图和计算加深对数学概念：极限、导数、积分的理解. 3．学会用MatLab软件进行有关函数极限、导数、不定积分、级数、常微分方程求解的符号运算； 4．了解数值积分理论,学会用MatLab软件进行数值积分;会用级数进行近似计算. 1 有关函数极限计算的MatLab命令 (1)limit(F,x,a) 执行后返回函数F在符号变量x趋于a的极限 (2)limit(F,a) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于a的极限 (3)limit(F) 执行后返回函数F在符号变量findsym(F)趋于0的极限 52
53 (4)limit(F,x,a,’left’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的左极限 (5)limit(F,x,a,’right’) 执行后返回函数F 在符号变量x 趋于a 的右极限 注:使用命令limit 前,要用syms 做相应符号变量说明. 例7 求下列极限 (1)42 20 x cos lim x e x x -→- 在MatLab 的命令窗口输入: syms x limit((cos(x)-exp(-x^2/2))/x^4,x,0) 运行结果为 ans =-1/12 理论上用洛必达法则或泰勒公式计算该极限: 方法1 =-+-=---=-- - →- →-→2 2 222 20 x 3 22 x 4 2 20 x 12cos lim 4) (sin lim cos lim x x e e x x x e x x e x x x x x 12112112)2(2 lim 1211cos lim 222 220x 2 2 22220 x -=--+=--++-- →- - →x x x e x x x x x e e x 方法2 4 42 224420x 4 2 20 x ))(2) 2()2(1()(!421lim cos lim x x o x x x o x x x e x x +-+---++-=-→- →
微积分复习题题库超全
习题 1—2 1．确定下列函数的定义域： （1）91 2 -=x y ； （2）x y a arcsin log =； （3）x y πsin 2 = ； （4）)32(log 213-+-=x x y a ；（5）)4(log 2 1 arccos 2x x y a -+-= 2．求函数 ?????=≠=) 0(0 )0(1sin x x x y 的定义域和值域。 3．下列各题中，函数)(x f 和)(x g 是否相同？ （1）2)(,)(x x g x x f ==； （2）2 sin 21)(,cos )(2π -==x g x x f ； （3）1)(,1 1 )(2-=+-= x x g x x x f ； （4）0)(,)(x x g x x x f == 。 4．设x x f sin )(=证明： ?? ? ?? +=-+2cos 2sin 2)()(x x x x f x x f ??? 5．设5)(2++=bx ax x f 且38)()1(+=-+x x f x f ，试确定b a ,的值。 6．下列函数中哪些是偶函数？哪些是奇函数？哪些是既非奇函数又非偶函数？ （1）)1(22x x y -= （2）3 23x x y -=； （3）2211x x y +-=； （4）)1)(1(+-=x x x y ； （5）1cos sin +-=x x y （6）2 x x a a y -+=。 7．设)(x f 为定义在),(∞+-∞上的任意函数，证明： （1）)()()(1x f x f x F -+= 偶函数； （2）)()()(2x f x f x F --=为奇函数。 8．证明：定义在),(∞+-∞上的任意函数可表示为一个奇函数与一个偶函数的和。 9．设)(x f 定义在),(L L -上的奇函数，若)(x f 在),0(L 上单增，证明：)(x f 在)0,(L -上也单增。 10．下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期： （1）)2cos(-=x y （2）x y 4cos =； （3）x y πsin 1+=； （4）x x y cos =； （5）x y 2sin = （6）x x y tan 3sin +=。 11．下列各组函数中哪些不能构成复合函数？把能构成复合函数的写成复合函数，并指出其定义域。 （1）t x x y sin ,3== （2）2,x u a y u ==； （3）23,log 2+==x u u y a ； （4）2sin ,-==x u u y （5）3,x u u y == （6）2,log 2-==x u u y a 。 12．下列函数是由哪些简单函数复合而成的？ （1）321)1(++=x y （2）2 )1(3+=x y ；
微积分试题及答案
微积分试题及答案
5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（， ）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 21x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、 有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim ββαα=∞若，就说是比低阶的无穷小( )4可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分）1、1sin x y x =求函数 的导数 2、 21()arctan ln(12f x x x x dy =-+已知），求 3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求 4、20tan sin lim sin x x x x x →-求 5、31)x x +计算（ 6、21 0lim(cos )x x x + →计算 五、应用题 1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2 )100R x x x =-（，总成本函数为2 ()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分） 2、描绘函数21 y x x =+的图形（12分） 六、证明题（每题6分） 1、用极限的定义证明：设01lim (),lim ()x x f x A f A x + →+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数 一、 选择题
1、C 2、C 3、A 4、B 5、D 6、B 二、填空题 1、0x = 2、6,7a b ==- 3、18 4、3 5、20x y +-= 三、判断题 1、√ 2、× 3、√ 4、× 5、× 四、计算题 1、 1sin 1sin 1sin ln 1sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )x x x x x x y x e e x x x x x x x x x x x '='='??=-+??? ?=-+（（ 2、 22()112(arctan )121arctan dy f x dx x x x dx x x xdx ='=+-++= 3、 解： 2222)2)22230 2323(23)(23(22)(26) (23x y xy y y x y y x y y x y x y yy y x y --'+'=-∴'=--'----'∴''=-
一元函数微分学综合练习题
第二章 综合练习题 一、 填空题 1. 若21lim 11x x x b x →∞??+-+= ?+?? ，则b =________. 2. 若当0x →时，1cos x -与2sin 2x a 是等价无穷小，则a =________. 3. 函数21()1ln f x x = -的连续区间为________. 4. 函数2()ln |1| x f x x -=-的无穷间断点为________. 5. 若21sin ,0,(),0, x x f x x a x x ?>?=??+?…在R 上连续，则a =________. 6. 函数()sin x f x x =在R 上的第一类间断点为________. 7 当x → 时，1 1x e -是无穷小量 8 设21,10(), 012,12x x f x x x x x ?--≤
清华大学微积分试题库完整
(3343)．微分方程0cos tan =-+'x x y y 的通解为 x C x y cos )(+=。 (4455)．过点)0,2 1(且满足关系式11arcsin 2 =-+ 'x y x y 的曲线方程为 21arcsin - =x x y 。 (4507)．微分方程03='+''y y x 的通解为 2 2 1x C C y + =。 (4508)．设)(),(),(321x y x y x y 是线性微分方程)()()(x f y x b y x a y =+'+''的三个特解，且 C x y x y x y x y ≠--) ()() ()(1312，则该微分方程的通解为 )())()((())()((1132121x y x y x y C x y x y C y +-+-=。 (3081)．设x e x y x y -++=+=22213,3是某二阶线性非齐次微分方程的两个特解，且相 应齐次方程的一个解为x y =3，则该微分方程的通解为x e C x C x y -+++=212 3。 (4725)．设出微分方程x e xe x y y y x x 2cos 32++=-'-''-的一个特解形式 )2sin 2cos ()(*x F x E e e D Cx x B Ax y x x +++++=-。 (4476)．微分方程x e y y y =+'-''22的通解为 )sin cos 1(21x C x C e y x ++=。 (4474)．微分方程x e y y 24=-''的通解为 x x e x C e C y 222141??? ? ? ++=-。 (4477)．函数x C x C y 2s i n 2c o s 21+=满足的二阶线性常系数齐次微分方程为04=+''y y 。 (4532)．若连续函数)(x f 满足关系式 2ln )2 ()(20 +=? x dt t f x f ，则=)(x f 2ln 2x e 。 (6808)．设曲线积分 ?--L x ydy x f ydx e x f cos )(sin ])([与路径无关，其中)(x f 具有一阶 连续导数，且0)0(=f ，则)(x f 等于[ ] (A) )(2 1x x e e --。 (B) )(21 x x e e --。
(微积分II)课外练习题 期末考试题库
《微积分Ⅱ》课外练习题 一、选择： 1. 函数在闭区间上连续是在上可积的． ( ) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充要条件 D．无关条件 2. 二元函数定义域是． ( ) B． D． 比较大小：． ( ) B． C． D．不确定 4.微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 5.下列广义积分发散的是． ( ) A． B． C． D． 6.是级数收敛的条件． ( ) A．必要非充分 B．充分非必要 C．充分必要 D．无关7．如果点为的极值点，且在点处的两个一阶偏导数存在,则点必为的． ( ) 最大值点 B．驻点 C．最小值点 D．以上都不对 微分方程是微分方程． ( ) A．一阶线性非齐次 B. 一阶齐次 C. 可分离变量的 D. 一阶线性齐次 9 .设是第一象限内的一个有界闭区域，而且。记，，，则的大小顺序是 ． ( ) C. D. 10. 函数的连续区域是． ( ) B. D.
1. ． ( ) B. C. D. 12．下列广义收敛的是． ( ) A． B． C． D． ．下列方程中，不是微分方程的是． ( ) A． B． C． D． ．微分方程的阶数是． ( ) A．5 B．3 C．2 D．1 ．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． ．设，则 ( ) A． B． C． D． ．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D． 18．下列等式正确的是． ( ) A．B． C．D． 19．二元函数的定义域是． ( ) A． B． C． D． 20．曲线在上连续，则曲线与以及轴围成的图形的面积是．( ) A．B．C．D．|| ．． ( ) A． B． C． D． 22．= 其中积分区域D为区域：． ( ) A． B． C． D．
一元函数微积分重点
微积分的基本内容可以分为三大块：一元函数微积分，多元函数微积分（主要是二元函数），无穷级数和常微分方程与差分方程。一元函数微积分学的知识点是考研数学三微积分部分出题的重点，应引起重视。多元函数微积分学的出题焦点是二元函数的微分及二重积分的计算。无穷级数和常微分方程与差分方程考查主要集中在数项级数的求和、幂级数的和函数、收敛区间及收敛域、解简单的常微分方程等。 一、熟记基本内容 事实上，数学三考微积分相关内容的题目都不是太难，但是出题老师似乎对基本计算及应用情有独钟，所以对基础知识扎扎实实地复习一遍是最好的应对方法。阅读教材虽然是奠定基础的一种良方，但参考一下一些辅导资料，如《微积分过关与提高》等，能够有效帮助同学们从不同角度理解基本概念、基本原理，加深对定理、公式的印象，增加基本方法及技巧的摄入量。对基本内容的复习不能只注重速度而忽视质量。在看书时带着思考，并不时提出问题，这才是好的读懂知识的方法。 二、紧抓内容重点 在看教材及辅导资料时要依三大块分清重点、次重点、非重点。阅读数学图书与其他文艺社科类图书有个区别，就是内容没有那么强的故事性，同时所述理论有一定抽象性，所以在此再一次提醒同学们读书需要不断思考其逻辑结构。比如在看函数极限的性质中的局部有界性时，能够联系其在几何上的表现来理解，并思考其实质含义及应用。三大块内容中，一元函数的微积分是基础，定义一元函数微积分的极限及微积分的主要研究对象——函数及连续是基础中的基础。这个部分也是每年必定会出题考查的，必须引起注意。多元函数微积分，主要是二元函数微积分，这个部分大家需要记很多公式及解题捷径。无穷级数和常微分方程与差分方程部分的重点很容易把握，考点就那几个，需要注意的是其与实际问题结合出题的情况。 三、检测学习效果 大量做题是学习数学区别与其他文科类科目的最大区别。在大学里，我们常常会看到，平时不断辗转于各自习室占坐埋头苦干的多数是学数学的，而那些平时总抱着小说看，还时不时花前月下的同学多半是文科院系的。并不是对两个院系的同学有什么诟病，这种状况只是所学专业特点使然。在备考研究生考试数学的时候，如果充分了解其特点，就能对症下药。微积分的选择及填空题考查的是基本知识的掌握程度及技巧的灵活运用，可做做《考研数学客观题1500题》，必定能达到所希望的结果。微积分的解答题注重计算及综合应用能力，平时多做这方面的题目既可以练习做题速度及提高质量，也能检测复习效果。 高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点高考数学中关于一元函数微积分学所考查的知识点：
微积分计算公式
§3-6 常用积分公式表·例题和点评 ⑴ d k x kx c =+? (k 为常数) ⑵1 1 d (1)1 x x x c μ μμμ+≠-= ++? 特别， 2 1 1d x c x x =- +?, 3 223 x x c = +? , x c =? ⑶ 1 d ln ||x x c x =+? ⑷d ln x x a a x c a = +?, 特别， e d e x x x c =+? ⑸sin d cos x x x c =-+? ⑹cos d sin x x x c =+? ⑺ 2 2 1 d csc d cot sin x x x x c x ==-+?? ⑻ 2 2 1 d sec d tan cos x x x x c x ==+?? ⑼arcsin (0)x x c a a =+>?,特别，arcsin x x c =+? ⑽2 2 1 1d arctan (0)x x c a a a a x = +>+?,特别， 21 d arctan 1x x c x =++? ⑾2 2 1 1d ln (0)2a x x c a a a x a x += +>--? 或 2 2 1 1d ln (0)2x a x c a a x a x a -= +>+-? ⑿ tan d ln cos x x x c =-+? ⒀cot d ln sin x x x c =+? ⒁ln csc cot 1csc d d ln tan sin 2x x c x x x x c x ?-+? = =?+?? ? ? ⒂πln sec tan 1 sec d d ln tan cos 24x x c x x x x c x ?++?= =?? ?++ ?????? ?
高等数学试题及答案
高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]
《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos
一元函数微积分学内容提要
第四部分 一元函数微积分 第11章 函数极限与连续[内容提要] 一、函数：(138-141页） 1、函数的定义：对应法则、定义域的确定、函数值计算、简单函数图形描绘。 2、函数分类：基本初等函数（幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反 三角函数的统称）；复合函数（[()]y f x ?=）；初等函数（由常数和基本初等函数构成的，且只能用一个式子表达的函数）；分段函数；隐函数；幂指函数（()()g x y f x =）；反函数。 3、函数的特性：奇偶性；单调性；周期性；有界性. 二、极限： 1、极限的概念：(141-142页) 定义1：（数列极限）给定数列{}n x ，如果当n 无限增大时，其通项n x 无限趋向 于某一个常数a ，即a x n -无限趋近于零，则称数列{}n x 以a 的极限，或称数列{}n x 收敛于a ，记为a x n n =∞ →lim ，若{}n x 没有极限，则称数列{} n x 发散。 定义2：（0x x →时函数)(x f 的极限）设函数)(x f 在点0x 的某一去心邻域0(,) U x δo 内有定义，当x 无限趋向于0x （0x x ≠）时，函数)(x f 的值无限趋向于 A ，则称0x x →时， )(x f 以A 为极限，记作A x f x x =→)(lim 0 。 左极限：设函数)(x f 在点0x 的左邻域00(,)x x δ-内有定义，当0x x <且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的左极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A -→-==。 右极限：设函数)(x f 在点0x 的右邻域00(,)x x δ+内有定义，当0x x >且无限趋向 于0x 时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称0x x →时，)(x f 的右极限为A ，记作0 0(0)lim ()x x f x f x A +→+==。 定义3：（x 趋于无穷大时函数)(x f 的极限）设)(x f 在区间)0(>>a a x 时有定义， 若x 无限增大时，函数)(x f 的值无限趋向于常数A ，则称当∞→x 时，
微积分期末测试题及答案
微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT
一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞.
微积分考试题库(附答案)
85 考试试卷（一） 一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ?+?+?= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ? dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．???>+≤+=0 ,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线???==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ； （C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（ ） 。 （A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'? dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ
86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=?)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 3 1sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1． 求与两条直线?? ? ??+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π； （2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分 （1）?dx x sin ； （2） ? +dx x sin 21 （3）?+dx x x e ln 11 2； （4）?--+2/12/111dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设3 2 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。 （2）? ??+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 （3）x x x y sin )1( +=，求dy 。 （4）设a y x =+，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1(,0)1()0(===f f f ，证明： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f
一元函数微积分基本练习题及答案
一、极限题 1、求.)(cos lim 2 1 x x x → 2、6 sin )1(lim 2 2 x dt e x t x ?-→求极限。 3、、)(arctan sin arctan lim 20x x x x x -→ 4、2 1 0sin lim x x x x ?? ? ??→ 5、? ?+∞ →x t x t x dt e dt e 0 20 2 2 2)(lim 6、 ) 1ln(1 lim -→+x e x x 7、x x x e x cos 11 20 ) 1(lim -→+ 8、 x x x x x x ln 1lim 1+--→ 9、) 1ln()2(sin ) 1)((tan lim 2 30 2 x x e x x x +-→ 10、1 0lim( )3 x x x x x a b c →++ ， (,,0,1)a b c >≠ 11、)1)(12(lim 1--+∞ →x x e x 12、 )cot 1(lim 2 20x x x -→ 13、[] )1(3sin 1 lim 11x e x x ---→ 14、() ?? ???=≠+=0 021)(3 x A x x x f x 在0=x 点连续，则A =___________ 二、导数题 1、.sin 2 y x x y ''=，求设 2、.),(0y x y y e e xy y x '==+-求确定了隐函数已知方程 3、.)5()(2 3 的单调区间与极值求函数-=x x x f 4、要造一圆柱形油罐，体积为V ，问底半径r 和高h 等于多少时，才能使表面积最小，
大一微积分练习题及答案
《微积分（1）》练习题 一．单项选择题 1．设()0x f '存在，则下列等式成立的有（ ） A ． ()()()0000 lim x f x x f x x f x '=?-?-→? B ．()()()0000lim x f x x f x x f x '-=?-?-→? C ．()()()0000 2lim x f h x f h x f h '=-+→ D ．()()()00002 1 2lim x f h x f h x f h '=-+→ 2．下列极限不存在的有（ ） A ．201 sin lim x x x → B ．12lim 2+-+∞→x x x x C ． x x e 1 lim → D ．() x x x x +-∞ →63 2 21 3lim 3．设)(x f 的一个原函数是x e 2-，则=)(x f （ ） A ．x e 22-- B ．x e 2- C ．x e 24- D ． x xe 22-- 4．函数?? ? ??>+=<≤=1,11,110,2)(x x x x x x f 在[)+∞,0上的间断点1=x 为（ ）间断点。 A ．跳跃间断点； B ．无穷间断点； C ．可去间断点； D ．振荡间断点 5． 设函数()x f 在[]b a ,上有定义，在()b a ,内可导，则下列结论成立的有（ ） A ． 当()()0微积分考试试题
《微积分》试题 一、选择题（3×5=15） 1、.函数f (x)=1＋x3＋x5,则f (x3＋x5)为(d) (A)1＋x3＋x5(B)1＋2(x3＋x5) (C)1＋x6＋x10(D)1＋(x3＋x5)3＋(x3＋x5)5 2、.函数f(x)在区间[a,b] 上连续，则以下结论正确的是(b) (A)f (x)可能存在，也可能不存在，x∈[a，b]。 (B)f (x)在[a，b] 上必有最大值。 (C)f (x)在[a，b] 上必有最小值，但没有最大值。 (D)f (x)在(a,b) 上必有最小值。 3、函数的弹性是函数对自变量的（ C ） A、导数 B、变化率 C、相对变化率 D、微分 4、下列论断正确的是（ a ） A、可导极值点必为驻点 B、极值点必为驻点 C、驻点必为可导极值点 D、驻点必为极值点 5、∫e－x dx=(b) (A)e－x＋c(B)－e－x＋c (C)－e－x(D)－e x ＋c 二、填空题（3×5=15） 1.设，则。 [答案： ] 2．函数ｙ＝ｘ＋ｅx上点(0,1) 处的切线方程是_____________。[答案：２ｘ－ｙ＋１＝０] 任课教师：系主任签字：
3、物体运动方程为S=1 1+t （米）。则在t=1秒时，物体速度为V=＿＿＿＿，加速度 为a=＿＿＿＿。[答案：41-，4 1 ] 4.设,则 。 [答案： 3 4] 5．若? +=c e 2dx )x (f 2 x ，则 f(x)=_________。[答案：2 x e ] 三、计算题 1、设x sin e y x 1tan = ，求dy 。 （10分） 解：dy=d x sin e x 1tan =dx x sin x 1sec x 1x cos e 22x 1tan ?? ? ??- 2．计算 ?+2x )e 1(dx 。 （15分） 解：原式＝?+-+dx )e 1(e e 12x x x ＝??++-+2x x x )e 1()e 1(d e 1dx ＝?+++-+x x x x e 11 dx e 1e e 1 ＝x -ln(1+e x )+x e 11 + +c 3.求 （15分） 解： 4．设一质量为ｍ的物体从高空自由落下，空气阻力正比于速度（ 比例常数为ｋ）０ ）求速度与时间的关系。 （15分）
(完整)高等数学考试题库(附答案)
《高数》试卷1（上） 一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）. 1．下列各组函数中，是相同的函数的是（ ）. （A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ( )g x =（C ）()f x x = 和 ( )2 g x = （D ）()|| x f x x = 和 ()g x =1 2．函数() 00x f x a x ≠=?? =? 在0x =处连续，则a =（ ）. （A ）0 （B ）1 4 （C ）1 （D ）2 3．曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ ）. （A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ ）. （A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 5．点0x =是函数4 y x =的（ ）. （A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 6．曲线1 || y x = 的渐近线情况是（ ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线 （C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7． 211 f dx x x ??' ???? 的结果是（ ）. （A ）1f C x ?? -+ ??? （B ）1f C x ?? --+ ??? （C ）1f C x ?? + ??? （D ）1f C x ?? -+ ??? 8． x x dx e e -+?的结果是（ ）. （A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （ D ）ln()x x e e C -++ 9．下列定积分为零的是（ ）. （A ）4 24arctan 1x dx x π π-+? （B ）44 arcsin x x dx ππ-? （C ）112x x e e dx --+? （D ）()121sin x x x dx -+? 10．设() f x 为连续函数，则()1 2f x dx '?等于（ ）. （A ）()()20f f - （B ） ()()11102f f -????（C ）()()1 202 f f -????（D ）()()10f f - 二．填空题（每题4分，共20分） 1．设函数()21 00x e x f x x a x -?-≠? =??=? 在0x =处连续，则a = . 2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为5 6 π，则()2f '=. 3．21 x y x =-的垂直渐近线有条. 4． ()21ln dx x x = +?. 5． ()4 22 sin cos x x x dx π π - += ?.